段考詳解範圍：數與式（乘法公式、實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數與科學記號）、直線方程式

小港高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

填充題 12 題共 17 格，依答對格數給分：答對 1～17 格依序得 7、14、21、28、35、41、47、53、59、65、70、75、80、85、90、95、100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對

填充題（共 17 格。答對格數與得分：1 格 7 分、2 格 14 分、3 格 21 分、4 格 28 分、5 格 35 分、6 格 41 分、7 格 47 分、8 格 53 分、9 格 59 分、10 格 65 分、11 格 70 分、12 格 75 分、13 格 80 分、14 格 85 分、15 格 90 分、16 格 95 分、17 格 100 分。答案不可寫成指數型態，答案若是分數或根式，皆請化至最簡。）（本頁第 1～17 題依序為卷面第 1、2(1)、2(2)、3(1)、3(2)、3(3)、4、5(1)、5(2)、6、7、8、9(1)、9(2)、10、11、12 題）

展開

(2 a + 3 b) (4 a^{2} - 6 ab + 9 b^{2}) =

____。

卷面第 2 題（第 2～3 題）　已知

x + \frac{1}{x} = 3

，求下列各式的值：

(1)

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} =

____。

(2)

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} =

____。

卷面第 3 題（第 4～6 題）　化簡下列各式：

(1)

\frac{2}{3 - 7} =

____。

(2)

5^{2 + 7} \times (125)^{- \frac{7}{3}} =

____。

(3)

(5 + 2)^{4} \times (5 - 2)^{4} =

____。

在圓周率

π

、

1.732

、

\frac{64}{49}

、

- \frac{46}{7}

、

2 + 1

、

\frac{5}{6}

、

8.5 \overline{07}

之中，有理數有 ____ 個。

卷面第 5 題（第 8～9 題）　請解下列各方程式：

(1)

∣3 x + 1∣ \geq 7

的解為 ____。

(2)

∣ - x + 2∣ < 3

的解為 ____。

請將下列數字由大到小排列，答案請用代號

a

、

b

、

c

、

d

、

e

表示：

a = lo g 1 0^{5}

，

b = lo g \frac{1}{3 10}

，

c = 1

，

d = lo g 2

，

e = 1 0^{l o g 21}

。答：____。

已知

x = lo g 1131014

，則

1 0^{x}

化為科學記號並四捨五入取三位有效數字後為 ____。（答案請以科學記號表示）

試求斜率為不存在且通過點

(17, - 4)

的直線方程式為 ____。

卷面第 9 題（第 13～14 題）　坐標平面上，已知直線

3 x - 4 y + 15 = 0

，則：

(1) 此直線的斜率為 ____。

(2) 此直線與兩軸圍成的三角形面積為 ____。

不等式

∣ a x + 10∣ \geq b

的解為

x \leq 2

或

x \geq 8

，則數對

(a, b) =

____。

如圖所示，有位農夫想沿著牆邊（的一側如圖虛線）圍出兩塊相同大小的田地來耕種。如果他只需用繩子圍出四邊即可（一長邊及三短邊，如圖實線）。已知他手上有一段長度為

60

公尺的繩子。試問：他所能圍成的耕種面積最大值為 ____ 平方公尺。

載入中...

一正方形面積為

29 - 125

，設此正方形邊長

k

，則

k

落在兩個連續整數

m

、

m + 1

之間，則

m =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

8 a^{3} + 27 b^{3}

第 2 題

7

第 3 題

\pm 85

第 4 題

3 + 7

第 5 題

25

第 6 題

1

第 7 題

4

第 8 題

x \geq 2

或

x \leq - \frac{8}{3}

第 9 題

- 1 < x < 5

第 10 題

e > a > c > d > b

第 11 題

1.13 \times 1 0^{6}

第 12 題

x = 17

第 13 題

\frac{3}{4}

第 14 題

\frac{75}{8}

第 15 題

(- 2, 6)

第 16 題

300

第 17 題

1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01卷面第 1～2 題（第 1～3 題）：立方和公式與由 x＋1/x 求值

第 1 題立方和公式

(A + B) (A^{2} - A B + B^{2}) = A^{3} + B^{3}

。取

A = 2 a

、

B = 3 b

：

A^{2} = 4 a^{2}

、

A B = 6 ab

、

B^{2} = 9 b^{2}

，正好是題目的第二個括號，所以原式

= (2 a)^{3} + (3 b)^{3} = 8 a^{3} + 27 b^{3}

。

(2 a)^{3}

的係數是

2^{3} = 8

，

(3 b)^{3}

的係數是

3^{3} = 27

，係數也要一起立方。

第 2 題

(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}}

，所以

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 3^{2} - 2 = 7

。

第 3 題先求

x - \frac{1}{x}

：

(x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 7 - 2 = 5

，所以

x - \frac{1}{x} = \pm 5

。再用立方差公式：

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x}) (x^{2} + x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}}) = (x - \frac{1}{x}) (7 + 1) = \pm 85

。

由

x + \frac{1}{x} = 3

解得

x = \frac{3 \pm 5}{2}

，兩個都是正數：取

x = \frac{3 + 5}{2}

時

x > 1

，所求為

85

；取

x = \frac{3 - 5}{2}

時

0 < x < 1

，所求為

- 85

。題目沒有限制

x

的大小，兩個值都要寫。

已知

x + \frac{1}{x}

時，平方可得

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

；要求「差」的式子，先平方求出

x - \frac{1}{x}

，記得正負兩個都要。

02卷面第 3～4 題（第 4～7 題）：有理化、指數律、有理數的判斷

第 4 題分子分母同乘

3 + 7

：

\frac{2}{3 - 7} = \frac{2 ( 3 + 7 )}{( 3 - 7 ) ( 3 + 7 )} = \frac{2 ( 3 + 7 )}{9 - 7} = 3 + 7

。

第 5 題

125 = 5^{3}

，所以

(125)^{- \frac{7}{3}} = (5^{3})^{- \frac{7}{3}} = 5^{- 7}

。原式

= 5^{2 + 7} \times 5^{- 7} = 5^{2 + 7 - 7} = 5^{2} = 25

。

卷面規定答案不可寫成指數型態，所以要寫

25

，不能停在

5^{2}

。

第 6 題兩個四次方的底數先相乘：

(5 + 2)^{4} \times (5 - 2)^{4} = [(5 + 2) (5 - 2)]^{4} = (5 - 4)^{4} = 1^{4} = 1

。

第 7 題逐一判斷：

π

是無理數。

1.732

是有限小數，等於

\frac{1732}{1000}

，是有理數。

\frac{64}{49} = \frac{8}{7}

，是有理數。

- \frac{46}{7}

是分數，是有理數。

2 + 1

：

2

是無理數，加上有理數

1

仍是無理數。

\frac{5}{6} = \frac{30}{6}

，

30

不是完全平方數，是無理數。

8.5 \overline{07}

是循環小數，可以化成分數，是有理數。所以有理數是

1.732

、

\frac{64}{49}

、

- \frac{46}{7}

、

8.5 \overline{07}

，共

4

個。

1.732

只是

3

的近似值，它本身是有限小數，是有理數。有根號的數不一定是無理數，要先看能不能開得盡。

03卷面第 5、10、11 題（第 8、9、15、16 題）：絕對值不等式與算幾不等式

第 8 題

∣3 x + 1∣ \geq 7

表示

3 x + 1 \geq 7

或

3 x + 1 \leq - 7

。前者得

3 x \geq 6

，

x \geq 2

；後者得

3 x \leq - 8

，

x \leq - \frac{8}{3}

。所以解為

x \geq 2

或

x \leq - \frac{8}{3}

。

卷面這一大題的標題寫「方程式」，兩小題其實都是不等式，答案是範圍。

第 9 題

∣ - x + 2∣ = ∣ x - 2∣

，所以不等式是

∣ x - 2∣ < 3

，即

- 3 < x - 2 < 3

，各加

2

得

- 1 < x < 5

。

絕對值裡面整個變號，值不變；先改寫成

∣ x - 2∣

，就不必除以負數。

第 15 題解

x \leq 2

或

x \geq 8

是數線上「到

5

的距離至少是

3

」的點（

2

和

8

的中點是

5

，各距

3

），也就是

∣ x - 5∣ \geq 3

。另一方面，

a \neq = 0

時

∣ a x + 10∣ = ∣ a ∣ \cdot x + \frac{10}{a}

，原不等式是

x + \frac{10}{a} \geq \frac{b}{∣ a ∣}

。兩者比較：

- \frac{10}{a} = 5

，得

a = - 2

；

\frac{b}{∣ a ∣} = 3

，得

b = 6

。所以

(a, b) = (- 2, 6)

。驗算：

∣ - 2 x + 10∣ \geq 6

即

∣ x - 5∣ \geq 3

，解為

x \leq 2

或

x \geq 8

。

也可以直接代邊界：

x = 2

與

x = 8

時等號成立，

∣2 a + 10∣ = ∣8 a + 10∣ = b

；

2 a + 10 = 8 a + 10

會得到

a = 0

（不合，那樣解不會是兩段），所以

2 a + 10 = - (8 a + 10)

，

a = - 2

，

b = ∣2 \times (- 2) + 10∣ = 6

。

第 16 題設長邊（與牆平行的那一邊）長

x

公尺、每條短邊長

y

公尺（

x > 0

，

y > 0

）。繩子圍一條長邊和三條短邊，所以

x + 3 y = 60

，兩塊田地的總面積是

x y

。由算幾不等式

\frac{x + 3 y}{2} \geq x \cdot 3 y

，即

30 \geq 3 x y

，平方得

900 \geq 3 x y

，所以

x y \leq 300

。等號在

x = 3 y = 30

，也就是

x = 30

、

y = 10

時成立，所以最大面積是

300

平方公尺。

算幾不等式要用在「和是定值」的兩個數上：這裡和固定的是

x

與

3 y

，不是

x

與

y

。也可以用配方法：

x y = (60 - 3 y) y = - 3 (y - 10)^{2} + 300

，

y = 10

時最大值是

300

。

∣ x - c ∣ < r

是到

c

的距離小於

r

（一段），

∣ x - c ∣ \geq r

是距離至少

r

（兩段）；解的兩個端點的中點就是

c

。

04卷面第 6～7 題（第 10～11 題）：常用對數與科學記號

第 10 題把每個數都算出來。

a = lo g 1 0^{5} = lo g 1 0^{\frac{5}{2}} = \frac{5}{2} = 2.5

。

b = lo g \frac{1}{3 10} = lo g 1 0^{- \frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}

。

c = 1

。

d = lo g 2

：因為

1 < 2 < 10

，所以

0 < lo g 2 < 1

（約

0.3010

）。

e = 1 0^{l o g 21} = 21

（

lo g 21

就是「

10

的幾次方等於

21

」的那個次方）。由大到小：

21 > 2.5 > 1 > lo g 2 > - \frac{1}{3}

，即

e > a > c > d > b

。

1 0^{l o g 21}

不必查

lo g 21

的值，依定義它就是

21

。

第 11 題

x = lo g 1131014

的意思是

1 0^{x} = 1131014

。寫成科學記號：

1131014 = 1.131014 \times 1 0^{6}

。取三位有效數字，看第四位數字

1

，小於

5

捨去，得

1.13 \times 1 0^{6}

。

1131014

是

7

位數，所以是

1 0^{6}

，不是

1 0^{7}

。

lo g a

就是「

10

的幾次方等於

a

」，所以

lo g 1 0^{k} = k

，

1 0^{l o g a} = a

。

05卷面第 8～9 題（第 12～14 題）：直線方程式

第 12 題斜率不存在的直線是鉛直線（與

y

軸平行或重合），線上每一點的

x

坐標都相同。這條線通過

(17, - 4)

，所以方程式是

x = 17

。

水平線的斜率是

0

，方程式是

y =

常數；鉛直線的斜率不存在，方程式是

x =

常數，兩者不要弄反。

第 13 題把

3 x - 4 y + 15 = 0

改寫成

y = \frac{3}{4} x + \frac{15}{4}

，

x

的係數就是斜率，所以斜率是

\frac{3}{4}

。

一般式

a x + b y + c = 0

（

b \neq = 0

）的斜率是

- \frac{a}{b}

，這裡是

- \frac{3}{- 4} = \frac{3}{4}

。

第 14 題求與兩軸的交點。令

y = 0

：

3 x + 15 = 0

，

x = - 5

，與

x

軸交於

(- 5, 0)

。令

x = 0

：

- 4 y + 15 = 0

，

y = \frac{15}{4}

，與

y

軸交於

(0, \frac{15}{4})

。這兩點與原點圍成直角三角形，兩股長是

5

與

\frac{15}{4}

，面積

= \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{15}{4} = \frac{75}{8}

。

截距可以是負的，但算面積要用長度，

x

截距

- 5

對應的邊長是

5

。

06卷面第 12 題（第 17 題）：雙重根號化簡與估計

第 17 題邊長

k = 29 - 125

。把

125

改寫成

2180

，找兩數和

29

、積

180

：

20

和

9

。所以

29 - 125 = (20 - 9)^{2} = (25 - 3)^{2}

，而

25 = 20 > 3

，故

k = 25 - 3

。估計大小：

16 < 20 < 25

，所以

4 < 25 < 5

，

1 < k < 2

，

m = 1

。

開根號出來要取正的那個：是

25 - 3

，不是

3 - 25

。不化簡也可以估：

2.2 < 5 < 2.25

，所以

2 < 29 - 125 < 2.6

，面積介於

1^{2}

與

2^{2}

之間，邊長就介於

1

與

2

之間。

同一次段考的其他學校

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小港高中 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題先求出兩數的差再代立方差公式，正負兩個值都要寫；第 7 題的 1.732 是有限小數，屬於有理數；第 15 題要由解的兩個端點反推係數，其中一個係數是負的；第 16 題算幾不等式要用在長邊與三倍短邊上。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自小港高中 113 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（乘法公式、實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數與科學記號）、直線方程式

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

展開

(2 a + 3 b) (4 a^{2} - 6 ab + 9 b^{2}) =

____。

卷面第 2 題（第 2～3 題）　已知

x + \frac{1}{x} = 3

，求下列各式的值：

(1)

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} =

____。

(2)

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} =

____。

卷面第 3 題（第 4～6 題）　化簡下列各式：

(1)

\frac{2}{3 - 7} =

____。

(2)

5^{2 + 7} \times (125)^{- \frac{7}{3}} =

____。

(3)

(5 + 2)^{4} \times (5 - 2)^{4} =

____。

在圓周率

π

、

1.732

、

\frac{64}{49}

、

- \frac{46}{7}

、

2 + 1

、

\frac{5}{6}

、

8.5 \overline{07}

之中，有理數有 ____ 個。

卷面第 5 題（第 8～9 題）　請解下列各方程式：

(1)

∣3 x + 1∣ \geq 7

的解為 ____。

(2)

∣ - x + 2∣ < 3

的解為 ____。

請將下列數字由大到小排列，答案請用代號

a

、

b

、

c

、

d

、

e

表示：

a = lo g 1 0^{5}

，

b = lo g \frac{1}{3 10}

，

c = 1

，

d = lo g 2

，

e = 1 0^{l o g 21}

。答：____。

已知

x = lo g 1131014

，則

1 0^{x}

化為科學記號並四捨五入取三位有效數字後為 ____。（答案請以科學記號表示）

試求斜率為不存在且通過點

(17, - 4)

的直線方程式為 ____。

卷面第 9 題（第 13～14 題）　坐標平面上，已知直線

3 x - 4 y + 15 = 0

，則：

(1) 此直線的斜率為 ____。

(2) 此直線與兩軸圍成的三角形面積為 ____。

不等式

∣ a x + 10∣ \geq b

的解為

x \leq 2

或

x \geq 8

，則數對

(a, b) =

____。

60

公尺的繩子。試問：他所能圍成的耕種面積最大值為 ____ 平方公尺。

載入中...

一正方形面積為

29 - 125

，設此正方形邊長

k

，則

k

落在兩個連續整數

m

、

m + 1

之間，則

m =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

8 a^{3} + 27 b^{3}

第 2 題

7

第 3 題

\pm 85

第 4 題

3 + 7

第 5 題

25

第 6 題

1

第 7 題

4

第 8 題

x \geq 2

或

x \leq - \frac{8}{3}

第 9 題

- 1 < x < 5

第 10 題

e > a > c > d > b

第 11 題

1.13 \times 1 0^{6}

第 12 題

x = 17

第 13 題

\frac{3}{4}

第 14 題

\frac{75}{8}

第 15 題

(- 2, 6)

第 16 題

300

第 17 題

1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

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01卷面第 1～2 題（第 1～3 題）：立方和公式與由 x＋1/x 求值

第 1 題立方和公式

(A + B) (A^{2} - A B + B^{2}) = A^{3} + B^{3}

。取

A = 2 a

、

B = 3 b

：

A^{2} = 4 a^{2}

、

A B = 6 ab

、

B^{2} = 9 b^{2}

，正好是題目的第二個括號，所以原式

= (2 a)^{3} + (3 b)^{3} = 8 a^{3} + 27 b^{3}

。

(2 a)^{3}

的係數是

2^{3} = 8

，

(3 b)^{3}

的係數是

3^{3} = 27

，係數也要一起立方。

第 2 題

(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}}

，所以

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 3^{2} - 2 = 7

。

第 3 題先求

x - \frac{1}{x}

：

(x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 7 - 2 = 5

，所以

x - \frac{1}{x} = \pm 5

。再用立方差公式：

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x}) (x^{2} + x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}}) = (x - \frac{1}{x}) (7 + 1) = \pm 85

。

由

x + \frac{1}{x} = 3

解得

x = \frac{3 \pm 5}{2}

，兩個都是正數：取

x = \frac{3 + 5}{2}

時

x > 1

，所求為

85

；取

x = \frac{3 - 5}{2}

時

0 < x < 1

，所求為

- 85

。題目沒有限制

x

的大小，兩個值都要寫。

已知

x + \frac{1}{x}

時，平方可得

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

；要求「差」的式子，先平方求出

x - \frac{1}{x}

，記得正負兩個都要。

02卷面第 3～4 題（第 4～7 題）：有理化、指數律、有理數的判斷

第 4 題分子分母同乘

3 + 7

：

\frac{2}{3 - 7} = \frac{2 ( 3 + 7 )}{( 3 - 7 ) ( 3 + 7 )} = \frac{2 ( 3 + 7 )}{9 - 7} = 3 + 7

。

第 5 題

125 = 5^{3}

，所以

(125)^{- \frac{7}{3}} = (5^{3})^{- \frac{7}{3}} = 5^{- 7}

。原式

= 5^{2 + 7} \times 5^{- 7} = 5^{2 + 7 - 7} = 5^{2} = 25

。

卷面規定答案不可寫成指數型態，所以要寫

25

，不能停在

5^{2}

。

第 6 題兩個四次方的底數先相乘：

(5 + 2)^{4} \times (5 - 2)^{4} = [(5 + 2) (5 - 2)]^{4} = (5 - 4)^{4} = 1^{4} = 1

。

第 7 題逐一判斷：

π

是無理數。

1.732

是有限小數，等於

\frac{1732}{1000}

，是有理數。

\frac{64}{49} = \frac{8}{7}

，是有理數。

- \frac{46}{7}

是分數，是有理數。

2 + 1

：

2

是無理數，加上有理數

1

仍是無理數。

\frac{5}{6} = \frac{30}{6}

，

30

不是完全平方數，是無理數。

8.5 \overline{07}

是循環小數，可以化成分數，是有理數。所以有理數是

1.732

、

\frac{64}{49}

、

- \frac{46}{7}

、

8.5 \overline{07}

，共

4

個。

1.732

只是

3

的近似值，它本身是有限小數，是有理數。有根號的數不一定是無理數，要先看能不能開得盡。

03卷面第 5、10、11 題（第 8、9、15、16 題）：絕對值不等式與算幾不等式

第 8 題

∣3 x + 1∣ \geq 7

表示

3 x + 1 \geq 7

或

3 x + 1 \leq - 7

。前者得

3 x \geq 6

，

x \geq 2

；後者得

3 x \leq - 8

，

x \leq - \frac{8}{3}

。所以解為

x \geq 2

或

x \leq - \frac{8}{3}

。

卷面這一大題的標題寫「方程式」，兩小題其實都是不等式，答案是範圍。

第 9 題

∣ - x + 2∣ = ∣ x - 2∣

，所以不等式是

∣ x - 2∣ < 3

，即

- 3 < x - 2 < 3

，各加

2

得

- 1 < x < 5

。

絕對值裡面整個變號，值不變；先改寫成

∣ x - 2∣

，就不必除以負數。

第 15 題解

x \leq 2

或

x \geq 8

是數線上「到

5

的距離至少是

3

」的點（

2

和

8

的中點是

5

，各距

3

），也就是

∣ x - 5∣ \geq 3

。另一方面，

a \neq = 0

時

∣ a x + 10∣ = ∣ a ∣ \cdot x + \frac{10}{a}

，原不等式是

x + \frac{10}{a} \geq \frac{b}{∣ a ∣}

。兩者比較：

- \frac{10}{a} = 5

，得

a = - 2

；

\frac{b}{∣ a ∣} = 3

，得

b = 6

。所以

(a, b) = (- 2, 6)

。驗算：

∣ - 2 x + 10∣ \geq 6

即

∣ x - 5∣ \geq 3

，解為

x \leq 2

或

x \geq 8

。

也可以直接代邊界：

x = 2

與

x = 8

時等號成立，

∣2 a + 10∣ = ∣8 a + 10∣ = b

；

2 a + 10 = 8 a + 10

會得到

a = 0

（不合，那樣解不會是兩段），所以

2 a + 10 = - (8 a + 10)

，

a = - 2

，

b = ∣2 \times (- 2) + 10∣ = 6

。

第 16 題設長邊（與牆平行的那一邊）長

x

公尺、每條短邊長

y

公尺（

x > 0

，

y > 0

）。繩子圍一條長邊和三條短邊，所以

x + 3 y = 60

，兩塊田地的總面積是

x y

。由算幾不等式

\frac{x + 3 y}{2} \geq x \cdot 3 y

，即

30 \geq 3 x y

，平方得

900 \geq 3 x y

，所以

x y \leq 300

。等號在

x = 3 y = 30

，也就是

x = 30

、

y = 10

時成立，所以最大面積是

300

平方公尺。

算幾不等式要用在「和是定值」的兩個數上：這裡和固定的是

x

與

3 y

，不是

x

與

y

。也可以用配方法：

x y = (60 - 3 y) y = - 3 (y - 10)^{2} + 300

，

y = 10

時最大值是

300

。

∣ x - c ∣ < r

是到

c

的距離小於

r

（一段），

∣ x - c ∣ \geq r

是距離至少

r

（兩段）；解的兩個端點的中點就是

c

。

04卷面第 6～7 題（第 10～11 題）：常用對數與科學記號

第 10 題把每個數都算出來。

a = lo g 1 0^{5} = lo g 1 0^{\frac{5}{2}} = \frac{5}{2} = 2.5

。

b = lo g \frac{1}{3 10} = lo g 1 0^{- \frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}

。

c = 1

。

d = lo g 2

：因為

1 < 2 < 10

，所以

0 < lo g 2 < 1

（約

0.3010

）。

e = 1 0^{l o g 21} = 21

（

lo g 21

就是「

10

的幾次方等於

21

」的那個次方）。由大到小：

21 > 2.5 > 1 > lo g 2 > - \frac{1}{3}

，即

e > a > c > d > b

。

1 0^{l o g 21}

不必查

lo g 21

的值，依定義它就是

21

。

第 11 題

x = lo g 1131014

的意思是

1 0^{x} = 1131014

。寫成科學記號：

1131014 = 1.131014 \times 1 0^{6}

。取三位有效數字，看第四位數字

1

，小於

5

捨去，得

1.13 \times 1 0^{6}

。

1131014

是

7

位數，所以是

1 0^{6}

，不是

1 0^{7}

。

lo g a

就是「

10

的幾次方等於

a

」，所以

lo g 1 0^{k} = k

，

1 0^{l o g a} = a

。

05卷面第 8～9 題（第 12～14 題）：直線方程式

第 12 題斜率不存在的直線是鉛直線（與

y

軸平行或重合），線上每一點的

x

坐標都相同。這條線通過

(17, - 4)

，所以方程式是

x = 17

。

水平線的斜率是

0

，方程式是

y =

常數；鉛直線的斜率不存在，方程式是

x =

常數，兩者不要弄反。

第 13 題把

3 x - 4 y + 15 = 0

改寫成

y = \frac{3}{4} x + \frac{15}{4}

，

x

的係數就是斜率，所以斜率是

\frac{3}{4}

。

一般式

a x + b y + c = 0

（

b \neq = 0

）的斜率是

- \frac{a}{b}

，這裡是

- \frac{3}{- 4} = \frac{3}{4}

。

第 14 題求與兩軸的交點。令

y = 0

：

3 x + 15 = 0

，

x = - 5

，與

x

軸交於

(- 5, 0)

。令

x = 0

：

- 4 y + 15 = 0

，

y = \frac{15}{4}

，與

y

軸交於

(0, \frac{15}{4})

。這兩點與原點圍成直角三角形，兩股長是

5

與

\frac{15}{4}

，面積

= \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{15}{4} = \frac{75}{8}

。

截距可以是負的，但算面積要用長度，

x

截距

- 5

對應的邊長是

5

。

06卷面第 12 題（第 17 題）：雙重根號化簡與估計

第 17 題邊長

k = 29 - 125

。把

125

改寫成

2180

，找兩數和

29

、積

180

：

20

和

9

。所以

29 - 125 = (20 - 9)^{2} = (25 - 3)^{2}

，而

25 = 20 > 3

，故

k = 25 - 3

。估計大小：

16 < 20 < 25

，所以

4 < 25 < 5

，

1 < k < 2

，

m = 1

。

開根號出來要取正的那個：是

25 - 3

，不是

3 - 25

。不化簡也可以估：

2.2 < 5 < 2.25

，所以

2 < 29 - 125 < 2.6

，面積介於

1^{2}

與

2^{2}

之間，邊長就介於

1

與

2

之間。

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