01 · 試題原卷 17 題，照原卷順序
卷頭印「二年級自然組數學科」；全卷為填充題，共 17 題 20 格（第 3、12、15 題各 2 格），依卷面配分表計分：答對 1～10 格每格 6 分，第 11 格起每格 4 分，20 格全對 100 分。第 1 題是選出所有同界角的題目，卷面列在填充題內。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 格全部一致。
填充題：(20 格，計分：如配分表)
1
選出所有 5π 弳的同界角。 (A) 56π 弳 (B) −36∘ (C) 324∘ (D) −59π 弳 (E) 511π 弳。
2
如右圖，已知半徑分別為 1 與 3 的兩圓外切，且直線 AB 為其外公切線，求鋪色區域的面積 = ____。 3
已知一條繩子長 40 公分，今圍出一個扇形（如下圖），請問如欲得最大之扇形面積，則
(1) 此扇形之半徑為 ____ 公分。
(2) 此時之面積為 ____ 平方公分 4
利用 y=sinx 的圖形比較 a=sin3，b=sin4，c=sin5，d=sin6 的大小關係：____。
5
方程式 2sinx=πx 共有 ____ 個實根。
6
右圖是三角函數 y=a+bcoscx 的部分圖形，其中 c>0，試求數對 (a,b,c)= ____。 7
在 0≤x<2π 範圍內，求滿足不等式 sin2x≥22 的解為 ____。 8
已知 2π<α,β<π，且 sinα=53，sinβ=1312，則 cos(α−β)= ____。
9
已知 π<θ<23π，且 tanθ=43，求 sin2θ+cos2θ= ____。
10
已知 23π<θ<2π，且 cosθ=31，則 tan2θ+tan2θ= ____。
11
如右圖，已知 △ABC 為直角三角形，∠A=90∘，AB=4，AC=3，試求：sin3θ= ____。 12
求下列各值：
(1) cos48π+cos483π+cos485π+cos487π= ____。
(2) cos111∘sin24∘−sin291∘sin66∘= ____。
13
函數 y=sinx+cos(x−6π)，其最大值為 M，最小值為 m，則數對 (M,m)= ____。
14
在 0≤x≤π，求函數 y=3cosx−3sinx+2，在 x=α 時，有最小值 m，求 (α,m)= ____。 15
彰化車站有一個倉庫 OAB 是以 O 為圓心，半徑為 1 的扇形，且圓心角 ∠AOB=60∘，今欲在倉庫內放入一個矩形箱子 PQRS 並以 ∠AOB 的角平分線 OC 為對稱軸放置，且 ∠COR=θ，如右圖所示，試問： (1) 當 θ= ____ 時， (2) 矩形 PQRS 的面積有最大值 M= ____。 16
在 −π<x<π 的範圍內，求方程式 sinx−3cosx=2 的解為 ____。 17
特斯拉使用示波器觀測某交流電發電機的電壓 y（伏特）與時間 x（秒）所形成的波形（如下圖），其中電壓 y 與時間 x 的關係可表為 y=asin(cx)+bcos(cx)，其中 A 為波峰，B 為波谷，試求 a2+b2+c2= ____。 第 1 題(D)(E)
第 3 題(1) 10；(2) 100
第 4 題a>d>b>c
第 5 題3
第 6 題(1,3,32)
第 7 題2π≤x≤23π
第 8 題6556
第 9 題2531
第 11 題125117
第 16 題127π，−1211π
第 17 題13
03 · 勾錯題號勾出錯的題號，看錯在哪幾章
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01第 1～3 題：同界角、扇形面積
第 1 題答案 (D)(E)。同界角彼此相差 2π（360∘）的整數倍，所以把每個選項減去 5π（=36∘），看差是不是 2π 的整數倍。(A) 錯誤。 56π−5π=π，不是 2π 的整數倍。(B) 錯誤。 −36∘−36∘=−72∘，不是 360∘ 的整數倍。(C) 錯誤。 324∘−36∘=288∘，不是 360∘ 的整數倍（324∘ 是 −36∘ 的同界角）。(D) 正確。 −59π−5π=−2π。(E) 正確。 511π−5π=2π。
(B)、(C) 與 5π 的終邊對稱於 x 軸，不是同一條終邊。
第 2 題設小圓、大圓的圓心分別為 O1、O2，兩圓外切，所以 O1O2=1+3=4。半徑 O1A、O2B 都垂直於切線 AB，四邊形 O1ABO2 是直角梯形。過 O1 作 O2B 的垂線，垂足 H，則 O2H=3−1=2，AB=O1H=42−22=23。梯形面積 =2(1+3)×23=43。直角三角形 O1HO2 中 cos∠O1O2H=42=21，所以 ∠O1O2B=60∘=3π，∠AO1O2=180∘−60∘=120∘=32π。梯形裡屬於大圓的扇形面積 =21×32×3π=23π，屬於小圓的扇形面積 =21×12×32π=3π。鋪色區域 =43−23π−3π=43−611π。 扇形面積公式 21r2θ 的 θ 要用弧度。數值約 6.93−5.76=1.17，是一小塊，合理。
第 3 題設扇形半徑 r 公分、圓心角 θ 弧度，弧長是 rθ。繩子圍成扇形的周長：2r+rθ=40，所以 rθ=40−2r（0<r<20）。面積 =21r2θ=21r⋅rθ=21r(40−2r)=20r−r2=−(r−10)2+100。所以 r=10 公分時面積最大，最大面積是 100 平方公分。
此時弧長 =40−20=20 公分，圓心角 θ=1020=2 弧度。周長固定的扇形，面積最大時弧長恰好等於兩條半徑的和。
02第 4～7 題：三角函數的圖形
第 4 題π≈3.14，23π≈4.71，2π≈6.28。3 介於 2π 與 π 之間，圖形在 x 軸上方，a=sin3>0。4、5、6 都介於 π 與 2π 之間，圖形在 x 軸下方，b、c、d 都是負的。這一段圖形對稱於直線 x=23π（最低點），離這條直線愈近，函數值愈小：∣5−4.71∣≈0.29，∣4−4.71∣≈0.71，∣6−4.71∣≈1.29，所以 c<b<d<0。合起來 a>d>b>c。
這裡的 3、4、5、6 是弧度，不是度。數值約為 a≈0.14，d≈−0.28，b≈−0.76，c≈−0.96。
第 5 題實根的個數就是 y=2sinx 的圖形與直線 y=πx 的交點個數。x=0 時兩邊都是 0，是一個根。看 x>0：2sinx≤2，而 x>2π 時直線的高度超過 2，不會有交點；π≤x≤2π 時 2sinx≤0，直線是正的，也沒有交點。0<x<π 時，0<x≤2π 這一段，圖形向上凸，位在 (0,0) 到 (2π,2) 的線段上方，而這條線段（斜率 π4）又在直線 y=πx（斜率 π1）上方，所以曲線一直在直線上方；2π<x<π 這一段曲線從 2 降到 0，直線從 21 升到 1，恰好交一次。所以 x>0 有 1 個根。兩個函數的圖形都對稱於原點，x<0 也有 1 個根。共 1+1+1=3 個實根。
直線通過 (2π,2)，但那裡 2sin2π=0，不是交點；別忘了 x=0。
第 6 題coscx 介於 −1 與 1 之間。最高點 A(0,4) 在 x=0，此時 cos0=1，所以 a+b=4；最低點 B(23π,−2) 的高度是 −2。b>0 時最大值 a+b=4、最小值 a−b=−2，解得 a=1，b=3（若 b<0，x=0 會是最低點，與圖不合）。相鄰的最高點與最低點相差半個週期：23π−0=23π，所以週期是 3π。y=a+bcoscx（c>0）的週期是 c2π，c2π=3π 得 c=32。答 (1,3,32)。
圖上 x 軸的 π、2π 是刻度，曲線與 x 軸的交點不在刻度上：代 x=π 得 y=1+3cos32π=−21。決定答案的是 A、B 兩點。
第 7 題令 t=2x，0≤x<2π 時 0≤t<π。這個範圍內 sint≥0，絕對值可以直接拿掉，不等式變成 sint≥22。由 y=sint 在 0≤t<π 的圖形，sint=22 發生在 t=4π 與 t=43π，兩者之間的圖形在直線 y=22 上方，所以 4π≤t≤43π，即 2π≤x≤23π。 先把 2x 的範圍寫出來，才知道絕對值可以拿掉；最後記得乘回 2。
03第 8～12 題：和差角、倍角與半角公式
第 8 題α、β 都在第二象限，餘弦為負：cosα=−1−259=−54，cosβ=−1−169144=−135。cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(−54)(−135)+53×1312=6520+6536=6556。 第 9 題θ 在第三象限，正弦、餘弦都是負的；tanθ=43，所以 sinθ=−53，cosθ=−54。sin2θ=2sinθcosθ=2×(−53)(−54)=2524；cos2θ=cos2θ−sin2θ=2516−259=257。相加得 2531。
第 10 題θ 在第四象限，sinθ=−1−91=−322，tanθ=cosθsinθ=−22。倍角：tan2θ=1−tan2θ2tanθ=1−8−42=742。半角：tan22θ=1+cosθ1−cosθ=3432=21；又 43π<2θ<π，2θ 在第二象限，正切為負，所以 tan2θ=−22。相加：742−22=1482−72=142。 半角開根號前，一定先由 θ 的範圍定出 2θ 的象限來決定正負。
第 11 題斜邊 BC=32+42=5。圖上的 θ 是 ∠ABC 的外角，θ=180∘−∠ABC，所以 sinθ=sin∠ABC=53，cosθ=−cos∠ABC=−54。先算倍角：sin2θ=2×53×(−54)=−2524，cos2θ=1−2sin2θ=1−2518=257。再用和角公式：sin3θ=sin(2θ+θ)=sin2θcosθ+cos2θsinθ=(−2524)(−54)+257×53=12596+12521=125117。 θ 是鈍角，餘弦是負的，要看清楚圖上標的是外角。數值檢查：θ≈143.13∘，3θ≈429.39∘，sin429.39∘=sin69.39∘≈0.936=125117。
第 12 題(1) 85π=π−83π，87π=π−8π，所以 cos85π=−cos83π，cos87π=−cos8π，四次方後負號消失，原式 =2(cos48π+cos483π)。又 83π=2π−8π，cos83π=sin8π。記 s=sin8π，k=cos8π，則 k4+s4=(k2+s2)2−2k2s2=1−21(2sk)2=1−21sin24π=1−21×21=43。原式 =2×43=23。 (2) 把角度都化成 21∘ 與 24∘：cos111∘=cos(90∘+21∘)=−sin21∘；sin291∘=sin(270∘+21∘)=−cos21∘；sin66∘=cos24∘。原式 =−sin21∘sin24∘+cos21∘cos24∘=cos(21∘+24∘)=cos45∘=22。 (1) 用到倍角公式 sin2θ=2sinθcosθ；(2) 的重點是先把四個角度換成兩個，才看得出和角公式。
04第 13～17 題：正餘弦的疊合
第 13 題先用差角公式展開：cos(x−6π)=cosxcos6π+sinxsin6π=23cosx+21sinx。所以 y=23sinx+23cosx。(23)2+(23)2=49+43=3，疊合得 y=3(23sinx+21cosx)=3sin(x+6π)。x 沒有限制，最大值 M=3，最小值 m=−3。 兩項的角度不同（x 與 x−6π），不能直接說最大值是 1+1=2：兩項不會同時達到 1。
第 14 題32+(3)2=12=23。−3sinx+3cosx=23(−21sinx+23cosx)=23(sinxcos32π+cosxsin32π)=23sin(x+32π)，所以 y=23sin(x+32π)+2。0≤x≤π 時 32π≤x+32π≤35π，這段角度經過 23π，正弦值最小是 −1，發生在 x+32π=23π，即 x=65π。最小值 m=−23+2。答 (65π,2−23)。 x 有範圍時，要把疊合後的角度範圍寫出來，確認 −1 取得到才能用。
第 15 題設 OC 與 SR 交於 N、與 PQ 交於 K。矩形以 OC 為對稱軸，所以 SR、PQ 都垂直於 OC，N、K 分別是它們的中點。直角三角形 ONR 中 OR=1、∠NOR=θ：NR=sinθ，ON=cosθ。直角三角形 OKQ 中 ∠KOQ=30∘、KQ=NR=sinθ：OK=tan30∘KQ=3sinθ。矩形的兩邊長是 SR=2sinθ 與 QR=KN=cosθ−3sinθ，面積 =2sinθ(cosθ−3sinθ)=2sinθcosθ−23sin2θ=sin2θ−3(1−cos2θ)=sin2θ+3cos2θ−3。疊合：sin2θ+3cos2θ=2sin(2θ+3π)，面積 =2sin(2θ+3π)−3。R 在弧 CB 上，0<θ<6π，3π<2θ+3π<32π，經過 2π。所以 2θ+3π=2π，即 θ=12π 時，面積有最大值 M=2−3。 θ=12π 也可以寫成 15∘。用到的倍角公式：2sinθcosθ=sin2θ、2sin2θ=1−cos2θ。圖上的 θ 沒有照答案的大小畫。
第 16 題12+(3)2=2，sinx−3cosx=2(21sinx−23cosx)=2(sinxcos3π−cosxsin3π)=2sin(x−3π)。方程式變成 sin(x−3π)=22。−π<x<π 時 −34π<x−3π<32π。正弦值等於 22 的角是 4π、43π 以及它們加減 2π 的整數倍；落在這個範圍內的只有 4π 與 43π−2π=−45π（43π 超過 32π，4π−2π=−47π 小於 −34π）。所以 x=4π+3π=127π 或 x=−45π+3π=−1211π。 x 的範圍包含負的角，疊合後的角度要往負的方向多找一圈，容易漏掉 −1211π。
第 17 題疊合：asin(cx)+bcos(cx)=a2+b2sin(cx+φ)，所以波形的最大值是 a2+b2。波峰 A 的高度是 2，a2+b2=2，a2+b2=4。由圖，A 與 B 是相鄰的波峰與波谷，橫坐標相差半個週期：187π−18π=3π，週期是 32π。函數的週期是 ∣c∣2π，所以 ∣c∣=3，c2=9。a2+b2+c2=4+9=13。 題目沒有要個別求 a、b，只要它們的平方和，就是振幅的平方。c 取 3 或 −3，平方都是 9。
扇形的弧長與面積都用弧度算；半角與和差角的題目先定象限、再定正負；疊合之後一定把角度的範圍寫出來，再看最大、最小值取不取得到。
同一次段考的其他學校
同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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上傳考卷常見問題
小港高中 109 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
小港高中 109 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？
第 15 題要先把矩形的兩邊用同一個角表示，再用倍角公式與疊合求最大值；第 16 題的範圍含負的角，容易漏掉負的那個解；第 5 題用圖形數交點，容易漏掉原點或把直線通過的端點也算進去；第 12 題第 1 小題要先把四個角化成同一個角。詳解逐題寫在本頁。
我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？
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這份段考卷可以下載列印嗎？
可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。
題目取自小港高中 109 學年度上學期 高二第一次段考 數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。
