段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用）

臺東高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺東高中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺東高中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要分清楚對稱於 x 軸、y 軸與直線 y＝x 三種情形；第 9 題要把三個對數都化成以 16 為底再比較真數；第 17 題 a 可以是負數或 0，正方形的上下兩邊各給出一個界線；第 19 題先由圖上三個點求出 a 與 k，再判斷每個選項。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多選題 2 題（10 分）、填充題 16 格（答對 1～16 格依序得 8、16、24、30、36、42、46、50、54、58、62、66、70、74、77、80 分）、混合題 2 題（每題 5 分，共 10 分；第 1 題多選答錯一個選項得 3 分、答錯兩個選項得 1 分，第 2 題依答案卷分段給 2、1、2 分）。本頁第 1、2 題為原卷多選 1、2，第 3～10 題為填充 1～8，第 11、12 題為填充 9(1)、9(2)，第 13～18 題為填充 10～15，第 19、20 題為混合題 1、2。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多選題 (每題5分，答錯一個選項得3分，答錯兩個選項得1分，其他或未作答得0分，共10分)

下列敘述哪些正確？

(A) $y = 3^{x}$ 與 $y = 3^{- x}$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(B) $y = lo g_{3} x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(C) $y = 3^{x}$ 與 $y = lo g_{3} x$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(D) $y = 3^{- x}$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 的圖形對稱於 $x - y = 0$
(E) $y = 3^{x}$ 與 $y = lo g_{3} x$ 的圖形沒有交點。

已知點

(a, b)

是指數函數

y = f (x) = 2^{x}

圖形上的任一點，則下列哪些選項中的點也會在此

f (x)

的圖形上？

(A) $(2 a, b + 1)$
(B) $(\frac{a}{2}, b)$
(C) $(a + 1, 2 b)$
(D) $(a - 1, b - 1)$
(E) $(a^{2}, b^{2})$

二、填充題

設指數函數

f (x) = 5^{x}

，試求

f (0) + f (- 2) + f (\frac{1}{2}) =

＿＿＿＿。

試求

7^{l o g_{7} 8} + lo g_{2} 34 + lo g_{3} \frac{1}{81} =

＿＿＿＿。

試求

lo g 8 + lo g 375 - lo g 30 + lo g 10 0^{13} =

＿＿＿＿。

已知

lo g 2.025 \approx 0.3064

，試求

lo g 0.002025 =

＿＿＿＿。

試求

lo g_{3} 9 \times lo g_{9} 15 \times lo g_{15} 21 \times lo g_{21} 27 \times \dots \times lo g_{237} 243 =

＿＿＿＿。

設

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，

c = lo g 7

，請將

lo g_{18} 84

以

a

、

b

、

c

來表示＿＿＿＿。

設

p = lo g_{2} 3

，

q = lo g_{4} 7

，

r = lo g_{16} 48

，試比較

p

、

q

、

r

三數的大小關係為＿＿＿＿。

不等式

(\frac{1}{2})^{3 x - 1} > (\frac{1}{4})^{2 x + 1}

的解為＿＿＿＿。

試解下列方程式：(1)

lo g (x + 1) + lo g (2 x + 5) = 1 + lo g 2

，則

x =

＿＿＿＿。

試解下列方程式：(2)

3^{2 x + 1} - 28 \times 3^{x} + 9 = 0

，則

x =

＿＿＿＿。

參考附表，若媽媽將人生的第一筆定存50萬元存

3

年，已知年利率為

6%

，每半年複利計息一次，請計算3年後的本利和為＿＿＿＿萬元。

期數 \ 利率 36912 1.5% 1.046 1.093 1.143 1.196 3% 1.093 1.194 1.305 1.426 6% 1.191 1.419 1.689 2.012

已知坐標平面上

A (3, lo g 3)

，

B (6, lo g 6)

，

C (18, lo g k)

三點共線，試求

k =

＿＿＿＿。

某種細菌每過

1

天數量會增加為原來的

2

倍，已知原有這種細菌

30

隻，試問至少經過＿＿＿＿天之後，細菌的數量會超過

3 \times 1 0^{20}

隻？（取至整數位）（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

學生在坐標平面上畫了一個函數

y = 6^{x}

的圖形，沿著直線

y = x

對摺之後，得到新的圖形是

y = f (x)

的圖形，則

f (9) + f (24) =

＿＿＿＿。

在坐標平面上，

Γ

是邊長為

6

的正方形，其中心位在點

(1, 1)

，且各邊與坐標軸平行。已知函數

y = a \times 2^{x}

的圖形與

Γ

相交，其中

a

為實數，則

a

的最大可能範圍為＿＿＿＿。

設

a > 1

，函數

f (x) = a^{x}

與

g (x) = lo g_{a} x

。在坐標平面上，水平線

y = 1

分別與這兩個函數的圖形交於

A

、

B

兩點；水平線

y = 4

分別與這兩個函數的圖形交於

C

、

D

兩點。若

\overline{A B} = 4

，則

\overline{C D} =

＿＿＿＿。

三、混合題(每題5分，共10分)

混合題（第 19～20 題）　如下圖所示，S公司於2020年11月19日於全球發行最新的次世代遊戲主機PS5，在上市之前公司內部以對數函數

y = lo g_{a} (x + k)

來預估上市後一個月內的銷售總數量，此函數表示從銷售日算起

x

天後（

0 \leq x \leq 30

），共可賣出

y

百萬臺主機，其中

a

、

k

為常數。

1. 根據文中的對數函數與圖形，請選出下列正確的選項。（多選題）

(A) $k < 0$
(B) $0 < a < 1.5$
(C) $1.5 \leq a < 3$
(D) 當 $1 \leq x \leq 30$ 時，對數函數 $lo g_{a} x > lo g_{a} (x + k)$
(E) 當 $1 \leq x \leq 30$ 時， $y = lo g (x + k)$ 圖形恆在 $y = lo g_{a} (x + k)$ 圖形的下方。

載入中...

2. 承上題，若S公司營銷部門希望能在30天內賣出1000萬臺主機。如果按照此對數函數來推估，營銷部門是否能達成這個目標，請說明你的理由。（計算證明題）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(D)(E)

第 2 題(B)(C)

第 3 題

\frac{26}{25} + 5

第 4 題

\frac{14}{3}

第 5 題

28

第 6 題

- 2.6936

第 7 題

5

第 8 題

\frac{2 a + b + c}{a + 2 b}

第 9 題

p > q > r

第 10 題

x > - 3

第 11 題

\frac{3}{2}

第 12 題

- 1

或

2

第 13 題

59.7

第 14 題

96

第 15 題

64

第 16 題

3

第 17 題

- 8 \leq a \leq 16

第 18 題

255

第 19 題(B)(E)

第 20 題不能達成（

lo g_{2} 31 < 10

，不到

1000

萬臺）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題：圖形的對稱關係、指數函數圖形上的點

第 1 題

答案 (A)(D)(E)。

(A) 正確。 點 $(s, t)$ 在 $y = 3^{x}$ 上，則 $t = 3^{s} = 3^{- (- s)}$ ，所以 $(- s, t)$ 在 $y = 3^{- x}$ 上；兩圖形互為左右翻轉，對稱於 $y$ 軸。

(B) 錯誤。 由換底公式， $lo g_{\frac{1}{3}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{3}} = \frac{lo g x}{- lo g 3} = - lo g_{3} x$ ，兩圖形上下翻轉，對稱於 $x$ 軸，不是 $y$ 軸（對數函數的定義域都只在 $x > 0$ ，不可能對稱於 $y$ 軸）。

(D) 正確。 $y = 3^{- x} = (\frac{1}{3})^{x}$ ，它與 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 是同底數 $\frac{1}{3}$ 的指數與對數函數，對稱於直線 $y = x$ ，也就是 $x - y = 0$ 。

(E) 正確。 先說明 $3^{x} > x$ 對所有實數 $x$ 成立： $x \leq 0$ 時 $3^{x} > 0 \geq x$ ； $x > 0$ 時取正整數 $n$ 使 $n - 1 < x \leq n$ ，則 $3^{x} > 3^{n - 1} \geq n \geq x$ （ $n = 1$ 時 $3^{0} = 1 = n$ ； $n$ 每加 $1$ ，左邊乘 $3$ 、至少增加 $2$ ，右邊只加 $1$ ，所以 $3^{n - 1} \geq n$ 一直成立）。若兩圖形交於 $(s, t)$ ，則 $t = 3^{s}$ 且 $s = 3^{t}$ ，於是 $t = 3^{s} > s = 3^{t} > t$ ，矛盾。所以沒有交點。

y = 3^{x}

整條在直線

y = x

上方，

y = lo g_{3} x

是它對

y = x

的對稱圖形，整條在

y = x

下方，兩者被

y = x

隔開。

第 2 題

答案 (B)(C)。 $(a, b)$ 在圖形上，即 $b = 2^{a}$ （ $b > 0$ ）。逐項檢查「縱坐標是否等於 $2$ 的橫坐標次方」：

(A) 錯誤。 $2^{2 a} = (2^{a})^{2} = b^{2}$ ，一般不等於 $b + 1$ 。例如 $(a, b) = (0, 1)$ 得到 $(0, 2)$ ，但 $2^{0} = 1 \neq = 2$ 。

(B) 正確。 $2^{\frac{a}{2}} = (2^{a})^{\frac{1}{2}} = b$ 。

(D) 錯誤。 $2^{a - 1} = \frac{b}{2}$ ，一般不等於 $b - 1$ 。例如 $(a, b) = (0, 1)$ 得到 $(- 1, 0)$ ，但 $2^{- 1} = \frac{1}{2} \neq = 0$ 。

(E) 錯誤。 $2^{a^{2}}$ 與 $b^{2} = 2^{2 a}$ 只有在 $a^{2} = 2 a$ 時才相等。例如 $(a, b) = (1, 2)$ 得到 $(1, 4)$ ，但 $2^{1} = 2 \neq = 4$ 。

「任一點」要對圖形上每個點都成立，只要找到一個點不成立就是錯的。

對稱於

y

軸是

x

換成

- x

，對稱於

x

軸是

y

換成

- y

，對稱於

y = x

是

x

、

y

互換；同底數的指數函數與對數函數就是

x

、

y

互換。

02填充第 1～4 題（第 3～6 題）：指數與對數的求值

第 3 題

f (0) = 5^{0} = 1

，

f (- 2) = 5^{- 2} = \frac{1}{25}

，

f (\frac{1}{2}) = 5^{\frac{1}{2}} = 5

。相加得

1 + \frac{1}{25} + 5 = \frac{26}{25} + 5

。

第 4 題

由對數的定義， $lo g_{7} 8$ 是「 $7$ 的幾次方等於 $8$ 」，所以 $7^{l o g_{7} 8} = 8$ 。

$34 = 2^{\frac{2}{3}}$ ，所以 $lo g_{2} 34 = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{81} = 3^{- 4}$ ，所以 $lo g_{3} \frac{1}{81} = - 4$ 。

合計 $8 + \frac{2}{3} - 4 = \frac{14}{3}$ 。

第 5 題

前三項合併： $lo g 8 + lo g 375 - lo g 30 = lo g \frac{8 \times 375}{30} = lo g 100 = 2$ 。

最後一項是 $10 0^{13}$ 的對數： $lo g 10 0^{13} = 13 lo g 100 = 26$ 。

合計 $2 + 26 = 28$ 。

lo g 10 0^{13}

指的是

lo g (10 0^{13})

，不是

(lo g 100)^{13}

。

第 6 題

0.002025 = 2.025 \times 1 0^{- 3}

，所以

lo g 0.002025 = lo g 2.025 + lo g 1 0^{- 3} \approx 0.3064 - 3 = - 2.6936

。

寫成首數與尾數是

- 3 + 0.3064

，尾數

0.3064

由

2.025

決定，首數

- 3

由小數點位置決定。

a^{l o g_{a} b} = b

；真數寫成底數的次方就能直接讀出對數值。

03填充第 5～7 題（第 7～9 題）：換底公式與比較大小

第 7 題

底數依序是 $3, 9, 15, 21, 27, \dots, 237$ ，每次加 $6$ ，而每一項的真數正好是下一項的底數，最後一項的真數 $243 = 237 + 6$ 。用換底公式全部寫成常用對數相除：

$\frac{lo g 9}{lo g 3} \cdot \frac{lo g 15}{lo g 9} \cdot \frac{lo g 21}{lo g 15} \dots \frac{lo g 243}{lo g 237} = \frac{lo g 243}{lo g 3} = lo g_{3} 243$

$243 = 3^{5}$ ，所以答案是 $5$ 。

第 8 題

$84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ ， $18 = 2 \times 3^{2}$ 。由換底公式

$lo g_{18} 84 = \frac{lo g 84}{lo g 18} = \frac{2 lo g 2 + lo g 3 + lo g 7}{lo g 2 + 2 lo g 3} = \frac{2 a + b + c}{a + 2 b}$

第 9 題

把三個數都化成以 $16$ 為底。 $16 = 2^{4} = 4^{2}$ ，所以

$p = lo g_{2} 3 = lo g_{2^{4}} 3^{4} = lo g_{16} 81$ ；

$q = lo g_{4} 7 = lo g_{4^{2}} 7^{2} = lo g_{16} 49$ ；

$r = lo g_{16} 48$ 。

底數 $16 > 1$ ， $y = lo g_{16} x$ 遞增，而 $81 > 49 > 48$ ，所以 $p > q > r$ 。

lo g_{a^{n}} b^{n} = lo g_{a} b

：底數與真數同時取

n

次方，對數值不變。

比較不同底數的對數，先化成同一個底數，再比較真數。

04填充第 8、9 題（第 10～12 題）：指數不等式、對數與指數方程式

第 10 題

(\frac{1}{4})^{2 x + 1} = (\frac{1}{2})^{2 (2 x + 1)} = (\frac{1}{2})^{4 x + 2}

。原不等式變成

(\frac{1}{2})^{3 x - 1} > (\frac{1}{2})^{4 x + 2}

。底數

0 < \frac{1}{2} < 1

，指數函數遞減，函數值大的指數反而小，所以

3 x - 1 < 4 x + 2

，即

x > - 3

。

底數介於

0

與

1

之間，比較指數時不等號要反向。

第 11 題

先寫真數條件： $x + 1 > 0$ 且 $2 x + 5 > 0$ ，即 $x > - 1$ 。

右邊 $1 + lo g 2 = lo g 10 + lo g 2 = lo g 20$ ；左邊 $lo g ((x + 1) (2 x + 5))$ 。所以 $(x + 1) (2 x + 5) = 20$ ，即 $2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$ ， $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ ， $x = \frac{3}{2}$ 或 $x = - 5$ 。

$x = - 5$ 不符合 $x > - 1$ （ $lo g (- 4)$ 沒有意義），捨去。答案 $x = \frac{3}{2}$ 。

第 12 題

$3^{2 x + 1} = 3 \cdot (3^{x})^{2}$ 。令 $t = 3^{x}$ （ $t > 0$ ），方程式變成 $3 t^{2} - 28 t + 9 = 0$ ， $(3 t - 1) (t - 9) = 0$ ， $t = \frac{1}{3}$ 或 $t = 9$ ，兩者都大於 $0$ 。

$3^{x} = \frac{1}{3} = 3^{- 1}$ 得 $x = - 1$ ； $3^{x} = 9 = 3^{2}$ 得 $x = 2$ 。答案 $x = - 1$ 或 $2$ 。

解對數方程式先寫真數條件、最後代回檢查；指數方程式看到

3^{2 x}

與

3^{x}

就令

t = 3^{x}

。

05填充第 10～12 題（第 13～15 題）：複利、三點共線、細菌成長

第 13 題年利率

6%

、每半年計息一次，每期利率是

\frac{6%}{2} = 3%

；

3

年共

3 \times 2 = 6

期。本利和為

50 \times (1 + 3%)^{6} = 50 \times (1.03)^{6}

。查附表期數

6

、利率

3%

那一格得

(1.03)^{6} \approx 1.194

，所以本利和約為

50 \times 1.194 = 59.7

（萬元）。

容易誤用

6%

那一欄或期數

3

；每半年計息一次時，利率要除以

2

，期數要乘以

2

。

第 14 題

三點共線， $\overline{A B}$ 與 $\overline{B C}$ 的斜率相等：

$\frac{lo g 6 - lo g 3}{6 - 3} = \frac{lo g k - lo g 6}{18 - 6}$

左邊 $= \frac{lo g 2}{3}$ ，所以 $lo g k - lo g 6 = 12 \times \frac{lo g 2}{3} = 4 lo g 2 = lo g 16$ ，即 $lo g \frac{k}{6} = lo g 16$ ， $k = 96$ 。

第 15 題經過

n

天後細菌有

30 \times 2^{n}

隻。要

30 \times 2^{n} > 3 \times 1 0^{20}

，即

2^{n} > 1 0^{19}

。兩邊取常用對數：

n lo g 2 > 19

，

n > \frac{19}{0.3010} \approx 63.12

。

n

是整數，所以至少經過

64

天。

2^{63}

約為

9.2 \times 1 0^{18}

，還不到

1 0^{19}

；

2^{64}

約為

1.8 \times 1 0^{19}

，才超過。題目給的

lo g 3

在這題用不到。

「至少經過幾次才超過」的問題，列出不等式後取對數，再取比它大的最小整數。

06填充第 13～15 題（第 16～18 題）：反函數圖形、圖形與正方形相交、水平截線

第 16 題沿直線

y = x

對摺，就是把

x

、

y

互換：

y = 6^{x}

變成

x = 6^{y}

，即

y = lo g_{6} x

。所以

f (x) = lo g_{6} x

，

f (9) + f (24) = lo g_{6} (9 \times 24) = lo g_{6} 216 = 3

（

6^{3} = 216

）。

第 17 題

正方形中心 $(1, 1)$ 、邊長 $6$ 、各邊與坐標軸平行，所以 $Γ$ 的範圍是 $- 2 \leq x \leq 4$ 、 $- 2 \leq y \leq 4$ 。圖形與 $Γ$ 相交，就是存在 $- 2 \leq x \leq 4$ 使 $- 2 \leq a \times 2^{x} \leq 4$ 。

$a = 0$ ：圖形是 $y = 0$ ，經過 $(- 2, 0)$ ，相交。

$a > 0$ ：在 $- 2 \leq x \leq 4$ 上， $a \times 2^{x}$ 遞增，從 $\frac{a}{4}$ 到 $16 a$ ，都是正的。只要最小值 $\frac{a}{4} \leq 4$ 就會碰到正方形，即 $a \leq 16$ 。

$a < 0$ ： $a \times 2^{x}$ 遞減，從 $\frac{a}{4}$ 到 $16 a$ ，都是負的。只要最大值 $\frac{a}{4} \geq - 2$ 就會碰到，即 $a \geq - 8$ 。

合起來 $- 8 \leq a \leq 16$ 。

a = 16

時圖形恰好通過正方形左上角

(- 2, 4)

；

a = - 8

時恰好通過左下角

(- 2, - 2)

。圖形在

x = - 2

處若落在

- 2

與

4

之間，就碰到正方形的左邊，所以把

Γ

看成正方形的邊或整塊區域，答案都一樣。

第 18 題

$y = 1$ ： $a^{x} = 1$ 得 $x = 0$ ， $A (0, 1)$ ； $lo g_{a} x = 1$ 得 $x = a$ ， $B (a, 1)$ 。 $\overline{A B} = a = 4$ 。

$y = 4$ ： $4^{x} = 4$ 得 $x = 1$ ， $C (1, 4)$ ； $lo g_{4} x = 4$ 得 $x = 4^{4} = 256$ ， $D (256, 4)$ 。

所以 $\overline{C D} = 256 - 1 = 255$ 。

指數函數與同底數的對數函數對稱於

y = x

；水平線與兩圖形的交點，分別用「指數化對數」「對數化指數」求橫坐標。

07混合題（第 19、20 題）：由圖形求對數函數，再做推估

第 19 題

答案 (B)(E)。先由圖上的點求 $a$ 、 $k$ ：

圖形過 $O (0, 0)$ ： $lo g_{a} k = 0$ ，所以 $k = 1$ 。

圖形過 $(1, 2)$ ： $lo g_{a} (1 + 1) = 2$ ， $a^{2} = 2$ ，底數 $a > 0$ ，所以 $a = 2$ 。

檢查 $(3, 4)$ ： $lo g_{2} 4 = 4$ （ $(2)^{4} = 4$ ），符合。所以函數是 $y = lo g_{2} (x + 1)$ 。

(A) 錯誤。 $k = 1 > 0$ 。

(B) 正確。 $a = 2 \approx 1.414$ ，介於 $0$ 與 $1.5$ 之間。

(D) 錯誤。 底數 $2 > 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 遞增，而 $x < x + 1$ ，所以 $lo g_{2} x < lo g_{2} (x + 1)$ ，與選項相反。

(E) 正確。 由換底公式 $lo g_{2} (x + 1) = \frac{lo g ( x + 1 )}{lo g 2}$ 。 $lo g 2 = \frac{1}{2} lo g 2 \approx 0.1505$ ，介於 $0$ 與 $1$ 之間；當 $1 \leq x \leq 30$ 時 $lo g (x + 1) > 0$ ，除以一個小於 $1$ 的正數會變大，所以 $lo g_{2} (x + 1) > lo g (x + 1)$ ， $y = lo g (x + 1)$ 的圖形恆在下方。

底數都大於

1

時，在

x > 1

的部分底數越小，對數函數的圖形越高。

第 20 題

由上題， $y = lo g_{2} (x + 1)$ 。底數 $2 > 1$ ，函數遞增， $0 \leq x \leq 30$ 內賣出的總數量在 $x = 30$ 時最多：

$y = lo g_{2} 31$

$1000$ 萬臺 $= 10$ 百萬臺，而 $10 = lo g_{2} (2)^{10} = lo g_{2} 32$ 。因為 $31 < 32$ 且函數遞增， $lo g_{2} 31 < lo g_{2} 32 = 10$ 。

所以 30 天內預估賣出不到 $10$ 百萬臺（約 $991$ 萬臺），不能達成目標。

lo g_{2} 31 = 2 lo g_{2} 31 \approx 9.91

，差一點點；用

31 < 32 = (2)^{10}

比較，不必算近似值就能確定。

由圖上的特殊點代入對數函數，先求出底數與參數；比較大小時把目標值也寫成同底數的對數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

臺東高中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺東高中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要分清楚對稱於 x 軸、y 軸與直線 y＝x 三種情形；第 9 題要把三個對數都化成以 16 為底再比較真數；第 17 題 a 可以是負數或 0，正方形的上下兩邊各給出一個界線；第 19 題先由圖上三個點求出 a 與 k，再判斷每個選項。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自臺東高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用）

臺東高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、多選題 (每題5分，答錯一個選項得3分，答錯兩個選項得1分，其他或未作答得0分，共10分)

下列敘述哪些正確？

(A) $y = 3^{x}$ 與 $y = 3^{- x}$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(B) $y = lo g_{3} x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(C) $y = 3^{x}$ 與 $y = lo g_{3} x$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(D) $y = 3^{- x}$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 的圖形對稱於 $x - y = 0$
(E) $y = 3^{x}$ 與 $y = lo g_{3} x$ 的圖形沒有交點。

已知點

(a, b)

是指數函數

y = f (x) = 2^{x}

圖形上的任一點，則下列哪些選項中的點也會在此

f (x)

的圖形上？

(A) $(2 a, b + 1)$
(B) $(\frac{a}{2}, b)$
(C) $(a + 1, 2 b)$
(D) $(a - 1, b - 1)$
(E) $(a^{2}, b^{2})$

二、填充題

設指數函數

f (x) = 5^{x}

，試求

f (0) + f (- 2) + f (\frac{1}{2}) =

＿＿＿＿。

試求

7^{l o g_{7} 8} + lo g_{2} 34 + lo g_{3} \frac{1}{81} =

＿＿＿＿。

試求

lo g 8 + lo g 375 - lo g 30 + lo g 10 0^{13} =

＿＿＿＿。

已知

lo g 2.025 \approx 0.3064

，試求

lo g 0.002025 =

＿＿＿＿。

試求

lo g_{3} 9 \times lo g_{9} 15 \times lo g_{15} 21 \times lo g_{21} 27 \times \dots \times lo g_{237} 243 =

＿＿＿＿。

設

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，

c = lo g 7

，請將

lo g_{18} 84

以

a

、

b

、

c

來表示＿＿＿＿。

設

p = lo g_{2} 3

，

q = lo g_{4} 7

，

r = lo g_{16} 48

，試比較

p

、

q

、

r

三數的大小關係為＿＿＿＿。

不等式

(\frac{1}{2})^{3 x - 1} > (\frac{1}{4})^{2 x + 1}

的解為＿＿＿＿。

試解下列方程式：(1)

lo g (x + 1) + lo g (2 x + 5) = 1 + lo g 2

，則

x =

＿＿＿＿。

試解下列方程式：(2)

3^{2 x + 1} - 28 \times 3^{x} + 9 = 0

，則

x =

＿＿＿＿。

參考附表，若媽媽將人生的第一筆定存50萬元存

3

年，已知年利率為

6%

，每半年複利計息一次，請計算3年後的本利和為＿＿＿＿萬元。

期數 \ 利率 36912 1.5% 1.046 1.093 1.143 1.196 3% 1.093 1.194 1.305 1.426 6% 1.191 1.419 1.689 2.012

已知坐標平面上

A (3, lo g 3)

，

B (6, lo g 6)

，

C (18, lo g k)

三點共線，試求

k =

＿＿＿＿。

某種細菌每過

1

天數量會增加為原來的

2

倍，已知原有這種細菌

30

隻，試問至少經過＿＿＿＿天之後，細菌的數量會超過

3 \times 1 0^{20}

隻？（取至整數位）（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

學生在坐標平面上畫了一個函數

y = 6^{x}

的圖形，沿著直線

y = x

對摺之後，得到新的圖形是

y = f (x)

的圖形，則

f (9) + f (24) =

＿＿＿＿。

在坐標平面上，

Γ

是邊長為

6

的正方形，其中心位在點

(1, 1)

，且各邊與坐標軸平行。已知函數

y = a \times 2^{x}

的圖形與

Γ

相交，其中

a

為實數，則

a

的最大可能範圍為＿＿＿＿。

設

a > 1

，函數

f (x) = a^{x}

與

g (x) = lo g_{a} x

。在坐標平面上，水平線

y = 1

分別與這兩個函數的圖形交於

A

、

B

兩點；水平線

y = 4

分別與這兩個函數的圖形交於

C

、

D

兩點。若

\overline{A B} = 4

，則

\overline{C D} =

＿＿＿＿。

三、混合題(每題5分，共10分)

混合題（第 19～20 題）　如下圖所示，S公司於2020年11月19日於全球發行最新的次世代遊戲主機PS5，在上市之前公司內部以對數函數

y = lo g_{a} (x + k)

來預估上市後一個月內的銷售總數量，此函數表示從銷售日算起

x

天後（

0 \leq x \leq 30

），共可賣出

y

百萬臺主機，其中

a

、

k

為常數。

1. 根據文中的對數函數與圖形，請選出下列正確的選項。（多選題）

(A) $k < 0$
(B) $0 < a < 1.5$
(C) $1.5 \leq a < 3$
(D) 當 $1 \leq x \leq 30$ 時，對數函數 $lo g_{a} x > lo g_{a} (x + k)$
(E) 當 $1 \leq x \leq 30$ 時， $y = lo g (x + k)$ 圖形恆在 $y = lo g_{a} (x + k)$ 圖形的下方。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(D)(E)

第 2 題(B)(C)

第 3 題

\frac{26}{25} + 5

第 4 題

\frac{14}{3}

第 5 題

28

第 6 題

- 2.6936

第 7 題

5

第 8 題

\frac{2 a + b + c}{a + 2 b}

第 9 題

p > q > r

第 10 題

x > - 3

第 11 題

\frac{3}{2}

第 12 題

- 1

或

2

第 13 題

59.7

第 14 題

96

第 15 題

64

第 16 題

3

第 17 題

- 8 \leq a \leq 16

第 18 題

255

第 19 題(B)(E)

第 20 題不能達成（

lo g_{2} 31 < 10

，不到

1000

萬臺）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題：圖形的對稱關係、指數函數圖形上的點

第 1 題

答案 (A)(D)(E)。

(A) 正確。 點 $(s, t)$ 在 $y = 3^{x}$ 上，則 $t = 3^{s} = 3^{- (- s)}$ ，所以 $(- s, t)$ 在 $y = 3^{- x}$ 上；兩圖形互為左右翻轉，對稱於 $y$ 軸。

(D) 正確。 $y = 3^{- x} = (\frac{1}{3})^{x}$ ，它與 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 是同底數 $\frac{1}{3}$ 的指數與對數函數，對稱於直線 $y = x$ ，也就是 $x - y = 0$ 。

y = 3^{x}

整條在直線

y = x

上方，

y = lo g_{3} x

是它對

y = x

的對稱圖形，整條在

y = x

下方，兩者被

y = x

隔開。

第 2 題

答案 (B)(C)。 $(a, b)$ 在圖形上，即 $b = 2^{a}$ （ $b > 0$ ）。逐項檢查「縱坐標是否等於 $2$ 的橫坐標次方」：

(A) 錯誤。 $2^{2 a} = (2^{a})^{2} = b^{2}$ ，一般不等於 $b + 1$ 。例如 $(a, b) = (0, 1)$ 得到 $(0, 2)$ ，但 $2^{0} = 1 \neq = 2$ 。

(B) 正確。 $2^{\frac{a}{2}} = (2^{a})^{\frac{1}{2}} = b$ 。

(D) 錯誤。 $2^{a - 1} = \frac{b}{2}$ ，一般不等於 $b - 1$ 。例如 $(a, b) = (0, 1)$ 得到 $(- 1, 0)$ ，但 $2^{- 1} = \frac{1}{2} \neq = 0$ 。

(E) 錯誤。 $2^{a^{2}}$ 與 $b^{2} = 2^{2 a}$ 只有在 $a^{2} = 2 a$ 時才相等。例如 $(a, b) = (1, 2)$ 得到 $(1, 4)$ ，但 $2^{1} = 2 \neq = 4$ 。

「任一點」要對圖形上每個點都成立，只要找到一個點不成立就是錯的。

對稱於

y

軸是

x

換成

- x

，對稱於

x

軸是

y

換成

- y

，對稱於

y = x

是

x

、

y

互換；同底數的指數函數與對數函數就是

x

、

y

互換。

02填充第 1～4 題（第 3～6 題）：指數與對數的求值

第 3 題

f (0) = 5^{0} = 1

，

f (- 2) = 5^{- 2} = \frac{1}{25}

，

f (\frac{1}{2}) = 5^{\frac{1}{2}} = 5

。相加得

1 + \frac{1}{25} + 5 = \frac{26}{25} + 5

。

第 4 題

由對數的定義， $lo g_{7} 8$ 是「 $7$ 的幾次方等於 $8$ 」，所以 $7^{l o g_{7} 8} = 8$ 。

$34 = 2^{\frac{2}{3}}$ ，所以 $lo g_{2} 34 = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{81} = 3^{- 4}$ ，所以 $lo g_{3} \frac{1}{81} = - 4$ 。

合計 $8 + \frac{2}{3} - 4 = \frac{14}{3}$ 。

第 5 題

前三項合併： $lo g 8 + lo g 375 - lo g 30 = lo g \frac{8 \times 375}{30} = lo g 100 = 2$ 。

最後一項是 $10 0^{13}$ 的對數： $lo g 10 0^{13} = 13 lo g 100 = 26$ 。

合計 $2 + 26 = 28$ 。

lo g 10 0^{13}

指的是

lo g (10 0^{13})

，不是

(lo g 100)^{13}

。

第 6 題

0.002025 = 2.025 \times 1 0^{- 3}

，所以

lo g 0.002025 = lo g 2.025 + lo g 1 0^{- 3} \approx 0.3064 - 3 = - 2.6936

。

寫成首數與尾數是

- 3 + 0.3064

，尾數

0.3064

由

2.025

決定，首數

- 3

由小數點位置決定。

a^{l o g_{a} b} = b

；真數寫成底數的次方就能直接讀出對數值。

03填充第 5～7 題（第 7～9 題）：換底公式與比較大小

第 7 題

$\frac{lo g 9}{lo g 3} \cdot \frac{lo g 15}{lo g 9} \cdot \frac{lo g 21}{lo g 15} \dots \frac{lo g 243}{lo g 237} = \frac{lo g 243}{lo g 3} = lo g_{3} 243$

$243 = 3^{5}$ ，所以答案是 $5$ 。

第 8 題

$84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ ， $18 = 2 \times 3^{2}$ 。由換底公式

$lo g_{18} 84 = \frac{lo g 84}{lo g 18} = \frac{2 lo g 2 + lo g 3 + lo g 7}{lo g 2 + 2 lo g 3} = \frac{2 a + b + c}{a + 2 b}$

第 9 題

把三個數都化成以 $16$ 為底。 $16 = 2^{4} = 4^{2}$ ，所以

$p = lo g_{2} 3 = lo g_{2^{4}} 3^{4} = lo g_{16} 81$ ；

$q = lo g_{4} 7 = lo g_{4^{2}} 7^{2} = lo g_{16} 49$ ；

$r = lo g_{16} 48$ 。

底數 $16 > 1$ ， $y = lo g_{16} x$ 遞增，而 $81 > 49 > 48$ ，所以 $p > q > r$ 。

lo g_{a^{n}} b^{n} = lo g_{a} b

：底數與真數同時取

n

次方，對數值不變。

比較不同底數的對數，先化成同一個底數，再比較真數。

04填充第 8、9 題（第 10～12 題）：指數不等式、對數與指數方程式

第 10 題

(\frac{1}{4})^{2 x + 1} = (\frac{1}{2})^{2 (2 x + 1)} = (\frac{1}{2})^{4 x + 2}

。原不等式變成

(\frac{1}{2})^{3 x - 1} > (\frac{1}{2})^{4 x + 2}

。底數

0 < \frac{1}{2} < 1

，指數函數遞減，函數值大的指數反而小，所以

3 x - 1 < 4 x + 2

，即

x > - 3

。

底數介於

0

與

1

之間，比較指數時不等號要反向。

第 11 題

先寫真數條件： $x + 1 > 0$ 且 $2 x + 5 > 0$ ，即 $x > - 1$ 。

$x = - 5$ 不符合 $x > - 1$ （ $lo g (- 4)$ 沒有意義），捨去。答案 $x = \frac{3}{2}$ 。

第 12 題

$3^{x} = \frac{1}{3} = 3^{- 1}$ 得 $x = - 1$ ； $3^{x} = 9 = 3^{2}$ 得 $x = 2$ 。答案 $x = - 1$ 或 $2$ 。

解對數方程式先寫真數條件、最後代回檢查；指數方程式看到

3^{2 x}

與

3^{x}

就令

t = 3^{x}

。

05填充第 10～12 題（第 13～15 題）：複利、三點共線、細菌成長

第 13 題年利率

6%

、每半年計息一次，每期利率是

\frac{6%}{2} = 3%

；

3

年共

3 \times 2 = 6

期。本利和為

50 \times (1 + 3%)^{6} = 50 \times (1.03)^{6}

。查附表期數

6

、利率

3%

那一格得

(1.03)^{6} \approx 1.194

，所以本利和約為

50 \times 1.194 = 59.7

（萬元）。

容易誤用

6%

那一欄或期數

3

；每半年計息一次時，利率要除以

2

，期數要乘以

2

。

第 14 題

三點共線， $\overline{A B}$ 與 $\overline{B C}$ 的斜率相等：

$\frac{lo g 6 - lo g 3}{6 - 3} = \frac{lo g k - lo g 6}{18 - 6}$

左邊 $= \frac{lo g 2}{3}$ ，所以 $lo g k - lo g 6 = 12 \times \frac{lo g 2}{3} = 4 lo g 2 = lo g 16$ ，即 $lo g \frac{k}{6} = lo g 16$ ， $k = 96$ 。

第 15 題經過

n

天後細菌有

30 \times 2^{n}

隻。要

30 \times 2^{n} > 3 \times 1 0^{20}

，即

2^{n} > 1 0^{19}

。兩邊取常用對數：

n lo g 2 > 19

，

n > \frac{19}{0.3010} \approx 63.12

。

n

是整數，所以至少經過

64

天。

2^{63}

約為

9.2 \times 1 0^{18}

，還不到

1 0^{19}

；

2^{64}

約為

1.8 \times 1 0^{19}

，才超過。題目給的

lo g 3

在這題用不到。

「至少經過幾次才超過」的問題，列出不等式後取對數，再取比它大的最小整數。

06填充第 13～15 題（第 16～18 題）：反函數圖形、圖形與正方形相交、水平截線

第 16 題沿直線

y = x

對摺，就是把

x

、

y

互換：

y = 6^{x}

變成

x = 6^{y}

，即

y = lo g_{6} x

。所以

f (x) = lo g_{6} x

，

f (9) + f (24) = lo g_{6} (9 \times 24) = lo g_{6} 216 = 3

（

6^{3} = 216

）。

第 17 題

$a = 0$ ：圖形是 $y = 0$ ，經過 $(- 2, 0)$ ，相交。

$a > 0$ ：在 $- 2 \leq x \leq 4$ 上， $a \times 2^{x}$ 遞增，從 $\frac{a}{4}$ 到 $16 a$ ，都是正的。只要最小值 $\frac{a}{4} \leq 4$ 就會碰到正方形，即 $a \leq 16$ 。

$a < 0$ ： $a \times 2^{x}$ 遞減，從 $\frac{a}{4}$ 到 $16 a$ ，都是負的。只要最大值 $\frac{a}{4} \geq - 2$ 就會碰到，即 $a \geq - 8$ 。

合起來 $- 8 \leq a \leq 16$ 。

a = 16

時圖形恰好通過正方形左上角

(- 2, 4)

；

a = - 8

時恰好通過左下角

(- 2, - 2)

。圖形在

x = - 2

處若落在

- 2

與

4

之間，就碰到正方形的左邊，所以把

Γ

看成正方形的邊或整塊區域，答案都一樣。

第 18 題

$y = 1$ ： $a^{x} = 1$ 得 $x = 0$ ， $A (0, 1)$ ； $lo g_{a} x = 1$ 得 $x = a$ ， $B (a, 1)$ 。 $\overline{A B} = a = 4$ 。

$y = 4$ ： $4^{x} = 4$ 得 $x = 1$ ， $C (1, 4)$ ； $lo g_{4} x = 4$ 得 $x = 4^{4} = 256$ ， $D (256, 4)$ 。

所以 $\overline{C D} = 256 - 1 = 255$ 。

指數函數與同底數的對數函數對稱於

y = x

；水平線與兩圖形的交點，分別用「指數化對數」「對數化指數」求橫坐標。

07混合題（第 19、20 題）：由圖形求對數函數，再做推估

第 19 題

答案 (B)(E)。先由圖上的點求 $a$ 、 $k$ ：

圖形過 $O (0, 0)$ ： $lo g_{a} k = 0$ ，所以 $k = 1$ 。

圖形過 $(1, 2)$ ： $lo g_{a} (1 + 1) = 2$ ， $a^{2} = 2$ ，底數 $a > 0$ ，所以 $a = 2$ 。

檢查 $(3, 4)$ ： $lo g_{2} 4 = 4$ （ $(2)^{4} = 4$ ），符合。所以函數是 $y = lo g_{2} (x + 1)$ 。

(A) 錯誤。 $k = 1 > 0$ 。

(B) 正確。 $a = 2 \approx 1.414$ ，介於 $0$ 與 $1.5$ 之間。

(D) 錯誤。 底數 $2 > 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 遞增，而 $x < x + 1$ ，所以 $lo g_{2} x < lo g_{2} (x + 1)$ ，與選項相反。

底數都大於

1

時，在

x > 1

的部分底數越小，對數函數的圖形越高。

第 20 題

由上題， $y = lo g_{2} (x + 1)$ 。底數 $2 > 1$ ，函數遞增， $0 \leq x \leq 30$ 內賣出的總數量在 $x = 30$ 時最多：

$y = lo g_{2} 31$

$1000$ 萬臺 $= 10$ 百萬臺，而 $10 = lo g_{2} (2)^{10} = lo g_{2} 32$ 。因為 $31 < 32$ 且函數遞增， $lo g_{2} 31 < lo g_{2} 32 = 10$ 。

所以 30 天內預估賣出不到 $10$ 百萬臺（約 $991$ 萬臺），不能達成目標。

lo g_{2} 31 = 2 lo g_{2} 31 \approx 9.91

，差一點點；用

31 < 32 = (2)^{10}

比較，不必算近似值就能確定。

由圖上的特殊點代入對數函數，先求出底數與參數；比較大小時把目標值也寫成同底數的對數。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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題目取自臺東高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

臺東高中 114 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01多選第 1、2 題：圖形的對稱關係、指數函數圖形上的點

02填充第 1～4 題（第 3～6 題）：指數與對數的求值

03填充第 5～7 題（第 7～9 題）：換底公式與比較大小

04填充第 8、9 題（第 10～12 題）：指數不等式、對數與指數方程式

05填充第 10～12 題（第 13～15 題）：複利、三點共線、細菌成長

06填充第 13～15 題（第 16～18 題）：反函數圖形、圖形與正方形相交、水平截線

07混合題（第 19、20 題）：由圖形求對數函數，再做推估

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高二第二次段考
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