段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、常數 e、求和符號與無窮等比級數、函數的定義域與值域、合成函數與反函數、函數的極限、連續函數、夾擠定理）

臺東高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

多重選擇題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、填充題 20 格（共 80 分）、計算題 1 題（5 分），合計 100 分。填充題依答對格數給分：答對 1～9 格依序得 8、16、24、30、36、42、47、52、57 分，第 10 格起每格 2 分（10 格 60 分、20 格 80 分）。大題編號照卷面（卷面印一、三、三）。本頁第 4～23 題為原卷填充的 20 格（依序），第 24 題為計算題。答案已與學校公布的答案逐題核對，有 1 題不同（本頁第 13 題），理由見詳解。

一、多重選擇題(每題 5 分，共 15 分；錯 1 個選項扣 2 分，扣至 0 分為止。)

下列數列中，有哪些數列收斂？

(1) $⟨ sin nπ ⟩$
(2) $⟨ \frac{1008}{n ^{2}} ⟩$
(3) $⟨ 1008 ⟩$
(4) $⟨(- 1.008)^{n} ⟩$
(5) $⟨ (1 + \frac{1}{n})^{n} ⟩$

選出正確的敘述。

(1) $f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 3 x + 4}$ 的定義域為 R
(2) $g (x) = x^{2} - 9$ 的定義域為 ${x ∣ x \in R, x \geq 3}$
(3) $h (x) = [x]$ 的定義域為所有整數
(4) $k (x) = e^{x}$ 的為偶函數
(5) $p (x) = sin x$ 為奇函數

已知函數

f (x)

的圖形如圖，選出正確的敘述。

(1) $x \to 0^{+} lim f (x) = f (0)$
(2) $x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{-} lim f (x)$
(3) $x \to 1 lim f (x) = f (1)$
(4) $x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{-} lim f (x)$ ，故 $f (x)$ 在 $x = 1$ 連續。
(5) $x \to 3 lim f (x) = f (3)$ ，故 $f (x)$ 在 $x = 3$ 連續。

載入中...

三、填充題：配分如表格，共 80 分

已知數列

⟨ a_{n} ⟩

：

\frac{4}{3}

，

\frac{10}{5}

，

\frac{28}{7}

，

\frac{82}{9}

，……則一般項

a_{n} =

＿＿＿＿。

填充第 2 題（第 5～15 題）　計算下列各式之值：

(1)

n \to \infty lim (7 + \frac{3}{n} - \frac{5}{n ^{3}}) =

＿＿＿＿；

(2)

n \to \infty lim \frac{5 ^{n + 2} + 7 ^{n - 1}}{5 ^{n - 1} + 7 ^{n - 3}} =

＿＿＿＿；

(3)

n \to \infty lim (1 + \frac{8}{n})^{n} =

＿＿＿＿；

(4)

n \to \infty lim (\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{2 \times 5} + \frac{1}{3 \times 6} + \frac{1}{4 \times 7} + \dots + \frac{1}{n ( n + 3 )}) =

＿＿＿＿；

(5)

n \to \infty lim \frac{2 + 4 + 6 + \dots\dots + 2 n}{1 + 3 + 5 + \dots\dots + ( 2 n - 1 )} =

＿＿＿＿；

(6)

n \to \infty lim \frac{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \dots\dots + ( \frac{1}{3} ) ^{n - 1}}{1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots\dots + ( - \frac{1}{2} ) ^{n - 1}} =

＿＿＿＿；（分子第三項後面卷面印作「−」，依各項的規律應為「+」）

(7)

x \to \frac{3}{2} π lim sin x =

＿＿＿＿；

(8)

x \to 0 lim 10 =

＿＿＿＿；

(9) 設函數

f (x) = [x]

，

x \to - 2^{+} lim f (x) =

＿＿＿＿；

(10)

x \to 1 lim \frac{x + 7}{x ^{2} - x + 4} =

＿＿＿＿；

(11)

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 8 x + 7}{x ^{2} - 5 x + 4} =

＿＿＿＿。

填充第 3 題（第 16～17 題）　試求下列各級數的和：

(1)

k = 10 \sum 59 (5 k - 2) =

＿＿＿＿；

(2)

k = 21 \sum 50 k^{2} (k - 3) =

＿＿＿＿；

函數

f (x) = x^{2} + 6 x + 3

，

- 4 \leq x \leq 0

的值域為＿＿＿＿。

若函數

f (x) = x

，

g (x) = [x]

，則

(g \circ f) (40) =

＿＿＿＿。

試求的

f (x) = \frac{1}{2} x - 5

反函數為＿＿＿＿。

已知

x \to 3 lim \frac{2 x ^{2} + x + a}{x - 3}

存在，則此極限的值為＿＿＿＿。

若

a

為實數，且

f (x) = {x + 5, x^{2} + 2 x + a, x \geq 1 x < 1

是連續函數，則

a =

＿＿＿＿。

如下圖，

A B C D

是一個邊長為

6

的正方形。在正方形內部做內切圓

P_{1}

，內切圓與各邊的切點為

A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}

，得一正方形

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

，接著在正方形

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

再做一個內切圓

P_{2}

。重複這樣的步驟會得到無窮多個圓，則所有圓面積的總和為＿＿＿＿。

載入中...

三、計算題 (共 5 分) 請詳細列出計算過程，只有答案者，整題不予計分。

已知對任意實數

x

，函數

f (x)

滿足

x^{2} - \frac{x ^{4}}{2} \leq f (x) \leq x^{2}

，試求

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}}

的值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(2)(3)(5)

第 2 題(1)(5)

第 3 題(1)(5)

第 4 題

\frac{3 ^{n} + 1}{2 n + 1}

第 5 題

7

第 6 題

49

第 7 題

e^{8}

第 8 題

\frac{11}{18}

第 9 題

1

第 10 題

\frac{9}{4}

第 11 題

- 1

第 12 題

10

第 13 題

- 2

（學校公布的答案印

2

，代回題目不成立，應是漏印負號，見詳解）

第 14 題

2

第 15 題

2

第 16 題

8525

第 17 題

1461360

第 18 題

{y ∣ y \in R, - 6 \leq y \leq 3}

第 19 題

6

第 20 題

y = 2 x + 10

第 21 題

13

第 22 題

3

第 23 題

18 π

第 24 題

1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇 1～3：數列的收斂與發散、定義域與奇偶性、由圖形讀極限與連續

第 1 題答案 (1)(2)(3)(5)。 (1) 正確。

n

是正整數時

sin nπ = 0

，每一項都是

0

，是常數數列，收斂到

0

。 (2) 正確。

n

愈大，

n^{2}

愈大，

\frac{1008}{n ^{2}}

愈接近

0

，收斂到

0

。 (3) 正確。 每一項都是

1008

的常數數列，收斂到

1008

。 (4) 錯誤。 這是公比

r = - 1.008

的等比數列，

∣ r ∣ > 1

；各項正負相間，而且絕對值

1.00 8^{n}

愈來愈大，不會趨近任何定值，發散。 (5) 正確。 這就是課本由連續複利引進常數

e

的數列：

(1 + \frac{1}{n})^{n}

隨

n

遞增而且不超過

3

，收斂到

e \approx 2.718

。

(1) 容易誤以為正弦值會上下擺動而判成發散。擺動的是

sin n

（

n

弳），

sin nπ

的每一項都剛好是

0

。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

只在

- 1 < r \leq 1

時收斂。

第 2 題答案 (1)(5)。 (1) 正確。 根號在分母，需要

x^{2} - 3 x + 4 > 0

。配方得

x^{2} - 3 x + 4 = (x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{7}{4}

，對所有實數都是正數，所以定義域是全體實數。 (2) 錯誤。 需要

x^{2} - 9 \geq 0

，即

(x - 3) (x + 3) \geq 0

，解得

x \geq 3

或

x \leq - 3

。選項漏了

x \leq - 3

這一段，例如

g (- 4) = 7

有定義。 (3) 錯誤。 高斯符號

[x]

表示不超過

x

的最大整數，任何實數都可以代入，例如

h (2.5) = 2

。定義域是全體實數；是整數的是它的值域。 (4) 錯誤。 偶函數要滿足

k (- x) = k (x)

。取

x = 1

，

k (- 1) = \frac{1}{e}

，

k (1) = e

，兩者不相等，不是偶函數。 (5) 正確。

sin (- x) = - sin x

對所有實數成立，是奇函數。

(3) 把定義域與值域弄反是常見的錯。奇函數的圖形對稱於原點，偶函數的圖形對稱於

y

軸；

y = e^{x}

的圖形兩種對稱都沒有。

第 3 題答案 (1)(5)。先由圖形讀出需要的值。在

x = 0

：左邊那一段斜線往右上走到空心點

(0, 2)

，所以

x \to 0^{-} lim f (x) = 2

；實心點在

(0, 1)

，所以

f (0) = 1

；右邊的斜線從

(0, 1)

出發，所以

x \to 0^{+} lim f (x) = 1

。在

x = 1

：左邊的斜線走到空心點

(1, 2)

，右邊的曲線也從空心點

(1, 2)

出發，所以左右極限都是

2

；實心點在

(1, 1)

，所以

f (1) = 1

。在

x = 3

：曲線不間斷地通過實心點

(3, 2)

，所以

x \to 3 lim f (x) = 2

，

f (3) = 2

。 (1) 正確。 右極限是

1

，

f (0) = 1

，兩者相等。 (2) 錯誤。 右極限是

1

，左極限是

2

，不相等。 (3) 錯誤。 左右極限都是

2

，所以

x \to 1 lim f (x) = 2

；但

f (1) = 1

，兩者不相等。 (4) 錯誤。 前半句是對的，左右極限都是

2

。但連續還需要極限值等於函數值，而

f (1) = 1 \neq = 2

，所以在

x = 1

不連續，「故連續」的推論不成立。 (5) 正確。 極限值與函數值都是

2

，符合連續的定義。

在

x = a

連續要三件事都成立：

f (a)

有定義、

x \to a lim f (x)

存在、兩者相等。(4) 只檢查了第二件。空心點表示圖形不包含那一點，極限看的是附近的走勢，與那一點本身的函數值無關。

數列先看是不是常數數列或等比數列；定義域從分母不為 0、根號內不為負下手；看圖判斷連續時，極限值與函數值要分開讀再比較。

02填充 1 與填充 2 的 (1)～(6)（本頁第 4～10 題）：一般項與數列的極限

第 4 題分母

3, 5, 7, 9

是首項

3

、公差

2

的等差數列，第

n

項是

2 n + 1

。分子

4, 10, 28, 82

各減

1

得

3, 9, 27, 81

，是

3^{n}

，所以分子的第

n

項是

3^{n} + 1

。因此

a_{n} = \frac{3 ^{n} + 1}{2 n + 1}

。

卷面的

\frac{10}{5}

、

\frac{28}{7}

沒有約分，分子、分母各自的規律才看得出來。只由前四項決定的一般項寫法不只一種，這裡取最自然的一種，與學校的答案相同。

第 5 題

n \to \infty

時

\frac{3}{n} \to 0

，

\frac{5}{n ^{3}} \to 0

，由極限的運算性質，原式

= 7 + 0 - 0 = 7

。

第 6 題底數最大的是

7

，分子分母同除以

7^{n}

。分子：

\frac{5 ^{n + 2} + 7 ^{n - 1}}{7 ^{n}} = 25 (\frac{5}{7})^{n} + \frac{1}{7}

。分母：

\frac{5 ^{n - 1} + 7 ^{n - 3}}{7 ^{n}} = \frac{1}{5} (\frac{5}{7})^{n} + \frac{1}{343}

。

n \to \infty

時

(\frac{5}{7})^{n} \to 0

，所以極限為

\frac{1}{7} \div \frac{1}{343} = 49

。

7^{n - 1} = \frac{7 ^{n}}{7}

，

7^{n - 3} = \frac{7 ^{n}}{343}

，指數上的常數要先拆出來。

第 7 題課本由連續複利得到

m \to \infty lim (1 + \frac{1}{m})^{m} = e

。令

m = \frac{n}{8}

，則

\frac{8}{n} = \frac{1}{m}

，

n = 8 m

，而且

n \to \infty

時

m \to \infty

（

m

不一定是整數；

(1 + \frac{1}{m})^{m}

在

m

取正實數趨向無限大時同樣趨近

e

）。

(1 + \frac{8}{n})^{n} = (1 + \frac{1}{m})^{8 m} = [(1 + \frac{1}{m})^{m}]^{8}

中括號內趨近

e

，所以極限為

e^{8}

。

用連續複利來看：年利率

800%

、一年分

n

期複利，期數愈來愈多時本利和趨近本金的

e^{8}

倍，約為

2981

倍。

第 8 題拆項：

\frac{1}{k ( k + 3 )} = \frac{1}{3} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 3})

。把

k = 1

到

n

加起來，前面的

\frac{1}{k}

與後面的

\frac{1}{k + 3}

隔三項相消，只剩頭三項與尾三項：

S_{n} = \frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3})

n \to \infty

時後三項都趨近

0

，極限為

\frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{18}

。

分母兩個因數相差

3

，拆項後前面要乘

\frac{1}{3}

，而且留下來的是頭三項，不是只有第一項。

第 9 題分子：

2 + 4 + \dots + 2 n = 2 (1 + 2 + \dots + n) = n (n + 1)

。分母：前

n

個正奇數的和

1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = \frac{n [ 1 + ( 2 n - 1 ) ]}{2} = n^{2}

。原式

= n \to \infty lim \frac{n ( n + 1 )}{n ^{2}} = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n}) = 1

。

第 10 題分子是首項

1

、公比

\frac{1}{3}

的等比級數前

n

項的和，分母是首項

1

、公比

- \frac{1}{2}

的等比級數前

n

項的和。分子

= \frac{1 - ( \frac{1}{3} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{3}}

，

n \to \infty

時趨近

\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}

。分母

= \frac{1 - ( - \frac{1}{2} ) ^{n}}{1 + \frac{1}{2}}

，

n \to \infty

時趨近

\frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}

。分子與分母的極限都存在，而且分母的極限不是

0

，所以原式

= \frac{3}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{9}{4}

。

卷面分子在

\frac{1}{9}

後面印的是減號；由前三項

1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}

與最後一項

(\frac{1}{3})^{n - 1}

看，各項都是正的，這裡照等比級數（各項相加）計算，結果與學校的答案相同。

指數型同除以底數最大的那一項；有點點點的式子先求和（等差、等比或拆項相消）再取極限；看到 1 加 n 分之幾的 n 次方，換成 e 的定義。

03填充 2 的 (7)～(11)（本頁第 11～15 題）：函數的極限

第 11 題正弦函數的圖形是不間斷的曲線，在每一點都連續，極限值等於函數值：

x \to \frac{3}{2} π lim sin x = sin \frac{3 π}{2} = - 1

。

第 12 題常數函數

y = 10

不論

x

是多少，函數值都是

10

，所以極限是

10

。

極限符號後面沒有

x

，不要把

x \to 0

的

0

當成答案。

第 13 題

x \to - 2^{+}

表示

x

從

- 2

的右邊趨近

- 2

，也就是

x

比

- 2

大一點。當

- 2 < x < - 1

時，不超過

x

的最大整數是

- 2

，所以

[x] = - 2

。在

- 2

的右邊附近

f (x)

恆為

- 2

，因此

x \to - 2^{+} lim f (x) = - 2

。

學校公布的答案印

2

。代數字檢查：

f (- 1.9) = [- 1.9] = - 2

，

f (- 1.99) = - 2

，

f (- 1.999) = - 2

，在

- 2

的右邊函數值一直是

- 2

，不會接近

2

。若題目是

x \to 2^{+}

，由

2 < x < 3

時

[x] = 2

，答案才是

2

；學校的答案可能漏印負號。本頁答案欄寫依題目計算的

- 2

。另外，負數的高斯符號是往小的方向取：

[- 1.9] = - 2

，不是

- 1

。

第 14 題

x = 1

時分母

1 - 1 + 4 = 4

不是

0

，直接代入：

\frac{1 + 7}{4} = 2

。

第 15 題

x = 1

代入，分子分母都是

0

，先因式分解約去公因式。

\frac{x ^{2} - 8 x + 7}{x ^{2} - 5 x + 4} = \frac{( x - 1 ) ( x - 7 )}{( x - 1 ) ( x - 4 )} = \frac{x - 7}{x - 4}

（

x \neq = 1

）

x \to 1

時趨近

\frac{1 - 7}{1 - 4} = \frac{- 6}{- 3} = 2

。

取極限時

x

只是趨近

1

、不等於

1

，所以可以約去

x - 1

。

連續的函數直接代入；代入後分子分母都是 0 就先因式分解約分；高斯符號的單邊極限先定出 x 落在哪兩個相鄰整數之間。

04填充 3（本頁第 16、17 題）：求和符號

第 16 題

k

從

10

到

59

共

59 - 10 + 1 = 50

項，各項成等差數列。首項

5 \cdot 10 - 2 = 48

，末項

5 \cdot 59 - 2 = 293

，和為

\frac{50 ( 48 + 293 )}{2} = 25 \times 341 = 8525

。

項數是

59 - 10 + 1 = 50

，不是

49

。

第 17 題

k^{2} (k - 3) = k^{3} - 3 k^{2}

。下標從

21

開始，用「加到

50

」減去「加到

20

」。立方和：

k = 1 \sum n k^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2}

，所以

k = 21 \sum 50 k^{3} = 127 5^{2} - 21 0^{2} = 1625625 - 44100 = 1581525

。平方和：

k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

，所以

k = 21 \sum 50 k^{2} = 42925 - 2870 = 40055

。原式

= 1581525 - 3 \times 40055 = 1581525 - 120165 = 1461360

。

要減掉的是

k = 1

到

20

的和，不是到

21

。

下標不是從 1 開始時，用「加到上限」減去「加到下限的前一項」。

05填充 4～6（本頁第 18～20 題）：值域、合成函數、反函數

第 18 題配方：

f (x) = (x + 3)^{2} - 6

，圖形是開口向上的拋物線，頂點

(- 3, - 6)

。

x = - 3

在範圍

- 4 \leq x \leq 0

內，所以最小值是

f (- 3) = - 6

。兩個端點

f (- 4) = - 5

、

f (0) = 3

，離頂點較遠的

x = 0

給出最大值

3

。函數值連續地從

- 6

變到

3

，值域為

{y ∣ y \in R, - 6 \leq y \leq 3}

。

只代兩個端點會得到

- 5 \leq y \leq 3

，漏掉頂點。先檢查頂點的

x

坐標有沒有落在範圍內。

第 19 題

(g \circ f) (40) = g (f (40)) = g (40) = [40]

。因為

6^{2} = 36 \leq 40 < 49 = 7^{2}

，所以

6 \leq 40 < 7

，

[40] = 6

。

g \circ f

是先算

f

再算

g

。若順序弄反，

f (g (40)) = 40

，就不是整數了。

第 20 題令

y = \frac{1}{2} x - 5

，解出

x

：

\frac{1}{2} x = y + 5

，

x = 2 y + 10

。把

x

、

y

對調，得反函數

y = 2 x + 10

，也就是

f^{- 1} (x) = 2 x + 10

。

檢查：

f (2 x + 10) = \frac{1}{2} (2 x + 10) - 5 = x

。

二次函數在閉區間上的值域要看頂點是否在區間內；合成函數由內往外算；反函數是解出 x 之後把 x、y 對調。

06填充 7～9（本頁第 21～23 題）：極限存在的條件、連續、無窮等比級數

第 21 題設極限值為

L

。分子可以寫成

2 x^{2} + x + a = \frac{2 x ^{2} + x + a}{x - 3} \cdot (x - 3)

，

x \to 3

時右邊趨近

L \cdot 0 = 0

，所以分子在

x = 3

的值必須是

0

：

18 + 3 + a = 0

，

a = - 21

。此時

2 x^{2} + x - 21 = (x - 3) (2 x + 7)

，原式

= x \to 3 lim (2 x + 7) = 13

。

分母趨近

0

而極限存在，分子也必須趨近

0

；否則分式的絕對值會愈來愈大，極限不存在。題目問的是極限值

13

，不是

a

。

第 22 題兩段各自都是多項式，只需要檢查接點

x = 1

。

f (1) = 1 + 5 = 6

，右極限

x \to 1^{+} lim (x + 5) = 6

，左極限

x \to 1^{-} lim (x^{2} + 2 x + a) = 3 + a

。連續需要左極限等於右極限等於函數值：

3 + a = 6

，

a = 3

。

第 23 題圓

P_{1}

是邊長

6

的正方形的內切圓，直徑等於邊長，半徑

r_{1} = 3

，面積

9 π

。

A_{1}

、

B_{1}

是相鄰兩邊的中點，與它們之間的頂點

A

形成兩股都是

3

的等腰直角三角形，所以正方形

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的邊長是

32

，為原來的

\frac{1}{2}

倍。每做一次，正方形的邊長變成

\frac{1}{2}

倍，內切圓的半徑也變成

\frac{1}{2}

倍，面積變成

\frac{1}{2}

倍。各圓面積成首項

9 π

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，公比的絕對值小於

1

，總和為

\frac{9 π}{1 - \frac{1}{2}} = 18 π

。

公比要用面積的比

\frac{1}{2}

，不是半徑的比

\frac{1}{2}

。

18 π \approx 56.5

，比原正方形的面積

36

大並不奇怪，因為這些圓一個包著一個，面積重複計算。

分母趨近 0 而極限存在，分子也要趨近 0；分段函數的連續只看接點；圖形一層一層縮小的題目，先找相鄰兩層的長度比，面積比是它的平方。

07計算題（本頁第 24 題）：夾擠定理

第 24 題取極限時

x

趨近

0

但不等於

0

，此時

x^{2} > 0

。把已知的不等式各項同除以

x^{2}

，不等號方向不變：

1 - \frac{x ^{2}}{2} \leq \frac{f ( x )}{x ^{2}} \leq 1 (x \neq = 0)

左邊：

x \to 0 lim (1 - \frac{x ^{2}}{2}) = 1 - 0 = 1

。右邊：

x \to 0 lim 1 = 1

。兩邊的極限都是

1

，由夾擠定理，

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 1

。

過程要寫出三件事：除以的

x^{2}

是正數所以不等號方向不變、左右兩邊的極限各是多少、最後引用夾擠定理。學校的參考答案也是依這幾步給分。

函數本身不知道、只知道它被兩個函數夾住時，把要求的式子也夾起來，兩邊極限相等就用夾擠定理。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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上傳考卷

常見問題

臺東高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺東高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 2 題第 (9) 格（本頁第 13 題）是負數的高斯符號，從右邊靠近負二時函數值是負二，學校公布的答案印二，應是漏印負號，本頁有說明；填充第 2 題第 (4) 格（本頁第 8 題）拆項後留下的是頭三項；多重選擇第 3 題的選項 (4) 左右極限相等還不夠，要等於函數值才連續；填充第 7 題（本頁第 21 題）要先由極限存在求出未知係數，而且問的是極限值。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自臺東高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

臺東高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

一、多重選擇題(每題 5 分，共 15 分；錯 1 個選項扣 2 分，扣至 0 分為止。)

下列數列中，有哪些數列收斂？

(1) $⟨ sin nπ ⟩$
(2) $⟨ \frac{1008}{n ^{2}} ⟩$
(3) $⟨ 1008 ⟩$
(4) $⟨(- 1.008)^{n} ⟩$
(5) $⟨ (1 + \frac{1}{n})^{n} ⟩$

選出正確的敘述。

(1) $f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 3 x + 4}$ 的定義域為 R
(2) $g (x) = x^{2} - 9$ 的定義域為 ${x ∣ x \in R, x \geq 3}$
(3) $h (x) = [x]$ 的定義域為所有整數
(4) $k (x) = e^{x}$ 的為偶函數
(5) $p (x) = sin x$ 為奇函數

已知函數

f (x)

的圖形如圖，選出正確的敘述。

(1) $x \to 0^{+} lim f (x) = f (0)$
(2) $x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{-} lim f (x)$
(3) $x \to 1 lim f (x) = f (1)$
(4) $x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{-} lim f (x)$ ，故 $f (x)$ 在 $x = 1$ 連續。
(5) $x \to 3 lim f (x) = f (3)$ ，故 $f (x)$ 在 $x = 3$ 連續。

載入中...

三、填充題：配分如表格，共 80 分

已知數列

⟨ a_{n} ⟩

：

\frac{4}{3}

，

\frac{10}{5}

，

\frac{28}{7}

，

\frac{82}{9}

，……則一般項

a_{n} =

＿＿＿＿。

填充第 2 題（第 5～15 題）　計算下列各式之值：

(1)

n \to \infty lim (7 + \frac{3}{n} - \frac{5}{n ^{3}}) =

＿＿＿＿；

(2)

n \to \infty lim \frac{5 ^{n + 2} + 7 ^{n - 1}}{5 ^{n - 1} + 7 ^{n - 3}} =

＿＿＿＿；

(3)

n \to \infty lim (1 + \frac{8}{n})^{n} =

＿＿＿＿；

(4)

n \to \infty lim (\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{2 \times 5} + \frac{1}{3 \times 6} + \frac{1}{4 \times 7} + \dots + \frac{1}{n ( n + 3 )}) =

＿＿＿＿；

(5)

n \to \infty lim \frac{2 + 4 + 6 + \dots\dots + 2 n}{1 + 3 + 5 + \dots\dots + ( 2 n - 1 )} =

＿＿＿＿；

(6)

n \to \infty lim \frac{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \dots\dots + ( \frac{1}{3} ) ^{n - 1}}{1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots\dots + ( - \frac{1}{2} ) ^{n - 1}} =

＿＿＿＿；（分子第三項後面卷面印作「−」，依各項的規律應為「+」）

(7)

x \to \frac{3}{2} π lim sin x =

＿＿＿＿；

(8)

x \to 0 lim 10 =

＿＿＿＿；

(9) 設函數

f (x) = [x]

，

x \to - 2^{+} lim f (x) =

＿＿＿＿；

(10)

x \to 1 lim \frac{x + 7}{x ^{2} - x + 4} =

＿＿＿＿；

(11)

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 8 x + 7}{x ^{2} - 5 x + 4} =

＿＿＿＿。

填充第 3 題（第 16～17 題）　試求下列各級數的和：

(1)

k = 10 \sum 59 (5 k - 2) =

＿＿＿＿；

(2)

k = 21 \sum 50 k^{2} (k - 3) =

＿＿＿＿；

函數

f (x) = x^{2} + 6 x + 3

，

- 4 \leq x \leq 0

的值域為＿＿＿＿。

若函數

f (x) = x

，

g (x) = [x]

，則

(g \circ f) (40) =

＿＿＿＿。

試求的

f (x) = \frac{1}{2} x - 5

反函數為＿＿＿＿。

已知

x \to 3 lim \frac{2 x ^{2} + x + a}{x - 3}

存在，則此極限的值為＿＿＿＿。

若

a

為實數，且

f (x) = {x + 5, x^{2} + 2 x + a, x \geq 1 x < 1

是連續函數，則

a =

＿＿＿＿。

如下圖，

A B C D

是一個邊長為

6

的正方形。在正方形內部做內切圓

P_{1}

，內切圓與各邊的切點為

A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}

，得一正方形

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

，接著在正方形

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

再做一個內切圓

P_{2}

。重複這樣的步驟會得到無窮多個圓，則所有圓面積的總和為＿＿＿＿。

載入中...

三、計算題 (共 5 分) 請詳細列出計算過程，只有答案者，整題不予計分。

已知對任意實數

x

，函數

f (x)

滿足

x^{2} - \frac{x ^{4}}{2} \leq f (x) \leq x^{2}

，試求

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}}

的值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(2)(3)(5)

第 2 題(1)(5)

第 3 題(1)(5)

第 4 題

\frac{3 ^{n} + 1}{2 n + 1}

第 5 題

7

第 6 題

49

第 7 題

e^{8}

第 8 題

\frac{11}{18}

第 9 題

1

第 10 題

\frac{9}{4}

第 11 題

- 1

第 12 題

10

第 13 題

- 2

（學校公布的答案印

2

，代回題目不成立，應是漏印負號，見詳解）

第 14 題

2

第 15 題

2

第 16 題

8525

第 17 題

1461360

第 18 題

{y ∣ y \in R, - 6 \leq y \leq 3}

第 19 題

6

第 20 題

y = 2 x + 10

第 21 題

13

第 22 題

3

第 23 題

18 π

第 24 題

1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇 1～3：數列的收斂與發散、定義域與奇偶性、由圖形讀極限與連續

第 1 題答案 (1)(2)(3)(5)。 (1) 正確。

n

是正整數時

sin nπ = 0

，每一項都是

0

，是常數數列，收斂到

0

。 (2) 正確。

n

愈大，

n^{2}

愈大，

\frac{1008}{n ^{2}}

愈接近

0

，收斂到

0

。 (3) 正確。 每一項都是

1008

的常數數列，收斂到

1008

。 (4) 錯誤。 這是公比

r = - 1.008

的等比數列，

∣ r ∣ > 1

；各項正負相間，而且絕對值

1.00 8^{n}

愈來愈大，不會趨近任何定值，發散。 (5) 正確。 這就是課本由連續複利引進常數

e

的數列：

(1 + \frac{1}{n})^{n}

隨

n

遞增而且不超過

3

，收斂到

e \approx 2.718

。

(1) 容易誤以為正弦值會上下擺動而判成發散。擺動的是

sin n

（

n

弳），

sin nπ

的每一項都剛好是

0

。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

只在

- 1 < r \leq 1

時收斂。

第 2 題答案 (1)(5)。 (1) 正確。 根號在分母，需要

x^{2} - 3 x + 4 > 0

。配方得

x^{2} - 3 x + 4 = (x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{7}{4}

，對所有實數都是正數，所以定義域是全體實數。 (2) 錯誤。 需要

x^{2} - 9 \geq 0

，即

(x - 3) (x + 3) \geq 0

，解得

x \geq 3

或

x \leq - 3

。選項漏了

x \leq - 3

這一段，例如

g (- 4) = 7

有定義。 (3) 錯誤。 高斯符號

[x]

表示不超過

x

的最大整數，任何實數都可以代入，例如

h (2.5) = 2

。定義域是全體實數；是整數的是它的值域。 (4) 錯誤。 偶函數要滿足

k (- x) = k (x)

。取

x = 1

，

k (- 1) = \frac{1}{e}

，

k (1) = e

，兩者不相等，不是偶函數。 (5) 正確。

sin (- x) = - sin x

對所有實數成立，是奇函數。

(3) 把定義域與值域弄反是常見的錯。奇函數的圖形對稱於原點，偶函數的圖形對稱於

y

軸；

y = e^{x}

的圖形兩種對稱都沒有。

第 3 題答案 (1)(5)。先由圖形讀出需要的值。在

x = 0

：左邊那一段斜線往右上走到空心點

(0, 2)

，所以

x \to 0^{-} lim f (x) = 2

；實心點在

(0, 1)

，所以

f (0) = 1

；右邊的斜線從

(0, 1)

出發，所以

x \to 0^{+} lim f (x) = 1

。在

x = 1

：左邊的斜線走到空心點

(1, 2)

，右邊的曲線也從空心點

(1, 2)

出發，所以左右極限都是

2

；實心點在

(1, 1)

，所以

f (1) = 1

。在

x = 3

：曲線不間斷地通過實心點

(3, 2)

，所以

x \to 3 lim f (x) = 2

，

f (3) = 2

。 (1) 正確。 右極限是

1

，

f (0) = 1

，兩者相等。 (2) 錯誤。 右極限是

1

，左極限是

2

，不相等。 (3) 錯誤。 左右極限都是

2

，所以

x \to 1 lim f (x) = 2

；但

f (1) = 1

，兩者不相等。 (4) 錯誤。 前半句是對的，左右極限都是

2

。但連續還需要極限值等於函數值，而

f (1) = 1 \neq = 2

，所以在

x = 1

不連續，「故連續」的推論不成立。 (5) 正確。 極限值與函數值都是

2

，符合連續的定義。

在

x = a

連續要三件事都成立：

f (a)

有定義、

x \to a lim f (x)

存在、兩者相等。(4) 只檢查了第二件。空心點表示圖形不包含那一點，極限看的是附近的走勢，與那一點本身的函數值無關。

數列先看是不是常數數列或等比數列；定義域從分母不為 0、根號內不為負下手；看圖判斷連續時，極限值與函數值要分開讀再比較。

02填充 1 與填充 2 的 (1)～(6)（本頁第 4～10 題）：一般項與數列的極限

第 4 題分母

3, 5, 7, 9

是首項

3

、公差

2

的等差數列，第

n

項是

2 n + 1

。分子

4, 10, 28, 82

各減

1

得

3, 9, 27, 81

，是

3^{n}

，所以分子的第

n

項是

3^{n} + 1

。因此

a_{n} = \frac{3 ^{n} + 1}{2 n + 1}

。

卷面的

\frac{10}{5}

、

\frac{28}{7}

沒有約分，分子、分母各自的規律才看得出來。只由前四項決定的一般項寫法不只一種，這裡取最自然的一種，與學校的答案相同。

第 5 題

n \to \infty

時

\frac{3}{n} \to 0

，

\frac{5}{n ^{3}} \to 0

，由極限的運算性質，原式

= 7 + 0 - 0 = 7

。

第 6 題底數最大的是

7

，分子分母同除以

7^{n}

。分子：

\frac{5 ^{n + 2} + 7 ^{n - 1}}{7 ^{n}} = 25 (\frac{5}{7})^{n} + \frac{1}{7}

。分母：

\frac{5 ^{n - 1} + 7 ^{n - 3}}{7 ^{n}} = \frac{1}{5} (\frac{5}{7})^{n} + \frac{1}{343}

。

n \to \infty

時

(\frac{5}{7})^{n} \to 0

，所以極限為

\frac{1}{7} \div \frac{1}{343} = 49

。

7^{n - 1} = \frac{7 ^{n}}{7}

，

7^{n - 3} = \frac{7 ^{n}}{343}

，指數上的常數要先拆出來。

第 7 題課本由連續複利得到

m \to \infty lim (1 + \frac{1}{m})^{m} = e

。令

m = \frac{n}{8}

，則

\frac{8}{n} = \frac{1}{m}

，

n = 8 m

，而且

n \to \infty

時

m \to \infty

（

m

不一定是整數；

(1 + \frac{1}{m})^{m}

在

m

取正實數趨向無限大時同樣趨近

e

）。

(1 + \frac{8}{n})^{n} = (1 + \frac{1}{m})^{8 m} = [(1 + \frac{1}{m})^{m}]^{8}

中括號內趨近

e

，所以極限為

e^{8}

。

用連續複利來看：年利率

800%

、一年分

n

期複利，期數愈來愈多時本利和趨近本金的

e^{8}

倍，約為

2981

倍。

第 8 題拆項：

\frac{1}{k ( k + 3 )} = \frac{1}{3} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 3})

。把

k = 1

到

n

加起來，前面的

\frac{1}{k}

與後面的

\frac{1}{k + 3}

隔三項相消，只剩頭三項與尾三項：

S_{n} = \frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3})

n \to \infty

時後三項都趨近

0

，極限為

\frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{18}

。

分母兩個因數相差

3

，拆項後前面要乘

\frac{1}{3}

，而且留下來的是頭三項，不是只有第一項。

第 9 題分子：

2 + 4 + \dots + 2 n = 2 (1 + 2 + \dots + n) = n (n + 1)

。分母：前

n

個正奇數的和

1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = \frac{n [ 1 + ( 2 n - 1 ) ]}{2} = n^{2}

。原式

= n \to \infty lim \frac{n ( n + 1 )}{n ^{2}} = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n}) = 1

。

第 10 題分子是首項

1

、公比

\frac{1}{3}

的等比級數前

n

項的和，分母是首項

1

、公比

- \frac{1}{2}

的等比級數前

n

項的和。分子

= \frac{1 - ( \frac{1}{3} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{3}}

，

n \to \infty

時趨近

\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}

。分母

= \frac{1 - ( - \frac{1}{2} ) ^{n}}{1 + \frac{1}{2}}

，

n \to \infty

時趨近

\frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}

。分子與分母的極限都存在，而且分母的極限不是

0

，所以原式

= \frac{3}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{9}{4}

。

卷面分子在

\frac{1}{9}

後面印的是減號；由前三項

1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}

與最後一項

(\frac{1}{3})^{n - 1}

看，各項都是正的，這裡照等比級數（各項相加）計算，結果與學校的答案相同。

指數型同除以底數最大的那一項；有點點點的式子先求和（等差、等比或拆項相消）再取極限；看到 1 加 n 分之幾的 n 次方，換成 e 的定義。

03填充 2 的 (7)～(11)（本頁第 11～15 題）：函數的極限

第 11 題正弦函數的圖形是不間斷的曲線，在每一點都連續，極限值等於函數值：

x \to \frac{3}{2} π lim sin x = sin \frac{3 π}{2} = - 1

。

第 12 題常數函數

y = 10

不論

x

是多少，函數值都是

10

，所以極限是

10

。

極限符號後面沒有

x

，不要把

x \to 0

的

0

當成答案。

第 13 題

x \to - 2^{+}

表示

x

從

- 2

的右邊趨近

- 2

，也就是

x

比

- 2

大一點。當

- 2 < x < - 1

時，不超過

x

的最大整數是

- 2

，所以

[x] = - 2

。在

- 2

的右邊附近

f (x)

恆為

- 2

，因此

x \to - 2^{+} lim f (x) = - 2

。

學校公布的答案印

2

。代數字檢查：

f (- 1.9) = [- 1.9] = - 2

，

f (- 1.99) = - 2

，

f (- 1.999) = - 2

，在

- 2

的右邊函數值一直是

- 2

，不會接近

2

。若題目是

x \to 2^{+}

，由

2 < x < 3

時

[x] = 2

，答案才是

2

；學校的答案可能漏印負號。本頁答案欄寫依題目計算的

- 2

。另外，負數的高斯符號是往小的方向取：

[- 1.9] = - 2

，不是

- 1

。

第 14 題

x = 1

時分母

1 - 1 + 4 = 4

不是

0

，直接代入：

\frac{1 + 7}{4} = 2

。

第 15 題

x = 1

代入，分子分母都是

0

，先因式分解約去公因式。

\frac{x ^{2} - 8 x + 7}{x ^{2} - 5 x + 4} = \frac{( x - 1 ) ( x - 7 )}{( x - 1 ) ( x - 4 )} = \frac{x - 7}{x - 4}

（

x \neq = 1

）

x \to 1

時趨近

\frac{1 - 7}{1 - 4} = \frac{- 6}{- 3} = 2

。

取極限時

x

只是趨近

1

、不等於

1

，所以可以約去

x - 1

。

連續的函數直接代入；代入後分子分母都是 0 就先因式分解約分；高斯符號的單邊極限先定出 x 落在哪兩個相鄰整數之間。

04填充 3（本頁第 16、17 題）：求和符號

第 16 題

k

從

10

到

59

共

59 - 10 + 1 = 50

項，各項成等差數列。首項

5 \cdot 10 - 2 = 48

，末項

5 \cdot 59 - 2 = 293

，和為

\frac{50 ( 48 + 293 )}{2} = 25 \times 341 = 8525

。

項數是

59 - 10 + 1 = 50

，不是

49

。

第 17 題

k^{2} (k - 3) = k^{3} - 3 k^{2}

。下標從

21

開始，用「加到

50

」減去「加到

20

」。立方和：

k = 1 \sum n k^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2}

，所以

k = 21 \sum 50 k^{3} = 127 5^{2} - 21 0^{2} = 1625625 - 44100 = 1581525

。平方和：

k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

，所以

k = 21 \sum 50 k^{2} = 42925 - 2870 = 40055

。原式

= 1581525 - 3 \times 40055 = 1581525 - 120165 = 1461360

。

要減掉的是

k = 1

到

20

的和，不是到

21

。

下標不是從 1 開始時，用「加到上限」減去「加到下限的前一項」。

05填充 4～6（本頁第 18～20 題）：值域、合成函數、反函數

第 18 題配方：

f (x) = (x + 3)^{2} - 6

，圖形是開口向上的拋物線，頂點

(- 3, - 6)

。

x = - 3

在範圍

- 4 \leq x \leq 0

內，所以最小值是

f (- 3) = - 6

。兩個端點

f (- 4) = - 5

、

f (0) = 3

，離頂點較遠的

x = 0

給出最大值

3

。函數值連續地從

- 6

變到

3

，值域為

{y ∣ y \in R, - 6 \leq y \leq 3}

。

只代兩個端點會得到

- 5 \leq y \leq 3

，漏掉頂點。先檢查頂點的

x

坐標有沒有落在範圍內。

第 19 題

(g \circ f) (40) = g (f (40)) = g (40) = [40]

。因為

6^{2} = 36 \leq 40 < 49 = 7^{2}

，所以

6 \leq 40 < 7

，

[40] = 6

。

g \circ f

是先算

f

再算

g

。若順序弄反，

f (g (40)) = 40

，就不是整數了。

第 20 題令

y = \frac{1}{2} x - 5

，解出

x

：

\frac{1}{2} x = y + 5

，

x = 2 y + 10

。把

x

、

y

對調，得反函數

y = 2 x + 10

，也就是

f^{- 1} (x) = 2 x + 10

。

檢查：

f (2 x + 10) = \frac{1}{2} (2 x + 10) - 5 = x

。

二次函數在閉區間上的值域要看頂點是否在區間內；合成函數由內往外算；反函數是解出 x 之後把 x、y 對調。

06填充 7～9（本頁第 21～23 題）：極限存在的條件、連續、無窮等比級數

第 21 題設極限值為

L

。分子可以寫成

2 x^{2} + x + a = \frac{2 x ^{2} + x + a}{x - 3} \cdot (x - 3)

，

x \to 3

時右邊趨近

L \cdot 0 = 0

，所以分子在

x = 3

的值必須是

0

：

18 + 3 + a = 0

，

a = - 21

。此時

2 x^{2} + x - 21 = (x - 3) (2 x + 7)

，原式

= x \to 3 lim (2 x + 7) = 13

。

分母趨近

0

而極限存在，分子也必須趨近

0

；否則分式的絕對值會愈來愈大，極限不存在。題目問的是極限值

13

，不是

a

。

第 22 題兩段各自都是多項式，只需要檢查接點

x = 1

。

f (1) = 1 + 5 = 6

，右極限

x \to 1^{+} lim (x + 5) = 6

，左極限

x \to 1^{-} lim (x^{2} + 2 x + a) = 3 + a

。連續需要左極限等於右極限等於函數值：

3 + a = 6

，

a = 3

。

第 23 題圓

P_{1}

是邊長

6

的正方形的內切圓，直徑等於邊長，半徑

r_{1} = 3

，面積

9 π

。

A_{1}

、

B_{1}

是相鄰兩邊的中點，與它們之間的頂點

A

形成兩股都是

3

的等腰直角三角形，所以正方形

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的邊長是

32

，為原來的

\frac{1}{2}

倍。每做一次，正方形的邊長變成

\frac{1}{2}

倍，內切圓的半徑也變成

\frac{1}{2}

倍，面積變成

\frac{1}{2}

倍。各圓面積成首項

9 π

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，公比的絕對值小於

1

，總和為

\frac{9 π}{1 - \frac{1}{2}} = 18 π

。

公比要用面積的比

\frac{1}{2}

，不是半徑的比

\frac{1}{2}

。

18 π \approx 56.5

，比原正方形的面積

36

大並不奇怪，因為這些圓一個包著一個，面積重複計算。

分母趨近 0 而極限存在，分子也要趨近 0；分段函數的連續只看接點；圖形一層一層縮小的題目，先找相鄰兩層的長度比，面積比是它的平方。

07計算題（本頁第 24 題）：夾擠定理

第 24 題取極限時

x

趨近

0

但不等於

0

，此時

x^{2} > 0

。把已知的不等式各項同除以

x^{2}

，不等號方向不變：

1 - \frac{x ^{2}}{2} \leq \frac{f ( x )}{x ^{2}} \leq 1 (x \neq = 0)

左邊：

x \to 0 lim (1 - \frac{x ^{2}}{2}) = 1 - 0 = 1

。右邊：

x \to 0 lim 1 = 1

。兩邊的極限都是

1

，由夾擠定理，

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 1

。

過程要寫出三件事：除以的

x^{2}

是正數所以不等號方向不變、左右兩邊的極限各是多少、最後引用夾擠定理。學校的參考答案也是依這幾步給分。

函數本身不知道、只知道它被兩個函數夾住時，把要求的式子也夾起來，兩邊極限相等就用夾擠定理。

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02填充 1 與填充 2 的 (1)～(6)（本頁第 4～10 題）：一般項與數列的極限

03填充 2 的 (7)～(11)（本頁第 11～15 題）：函數的極限

04填充 3（本頁第 16、17 題）：求和符號

05填充 4～6（本頁第 18～20 題）：值域、合成函數、反函數

06填充 7～9（本頁第 21～23 題）：極限存在的條件、連續、無窮等比級數

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