01 · 試題 原卷 21 題，照原卷順序 單選題 2 題（每題 4 分）、多選題 2 題（每題 5 分）、填充題 16 格（答對 1～16 格依序得 8、16、24、32、38、44、50、56、60、64、66、68、70、72、74、76 分）、計算題 1 題（6 分），合計 100 分。本頁第 1、2 題為原卷單選 1、2，第 3、4 題為多選 1、2，第 5～20 題依序為填充 1～13 的 16 格（第 8、9 題為填充 4 的 (1)(2)，第 12、13 題為填充 7 的 (1)(2)，第 16、17 題為填充 10 的 (1)(2)），第 21 題為計算題。答案已與學校公布的答案逐題核對，除填充 13（本頁第 20 題）一處外全部一致：答案卷把不等於負 3 印成不等於 3（漏印負號），本頁寫不等於負 3。
一、單選題：（每題4分，共8分）
1
（素養題）小帥寒假到北海道旅遊，發現札幌市某一段時間的溫度函數為 f ( t ) = − t 2 + 8 t + 2 1 ≤ t ≤ 10 溫差 （最高溫與最低溫的差距）為下列何者？ (A) 9 (B) 16 (C) 20 (D) 25 (E) 36 2
下列五個圖形中哪一個最接近 y = − x 3 + 2 x (A) 見圖 (A) (B) 見圖 (B) (C) 見圖 (C) (D) 見圖 (D) (E) 見圖 (E) 二、多選題：(每題答對得 5 分，未答者不給分，錯一個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，錯 3 個或 3 個以上不給分。)
3
二次函數 f ( x ) = a x 2 + b x + c x 1 ( 1 , 0 ) (A) b < 0 (B) c > 0 (C) b 2 − 4 a c < 0 (D) a + b + c > 0 (E) 9 a + 3 b + c > 0 4
下列哪些不等式無解？ (A) x 2 + 4 x − 3 > 0 (B) x 2 + x + 1 < 0 (C) − x 2 + 6 x − 9 ≥ 0 (D) − 2 x 2 − x + 3 > 0 (E) − x 2 + 2 x − 3 ≥ 0 三、填充題：(共 76 分，配分方式如表格)
5
若 f ( x ) = ( a − 3 ) x 4 + ( 2 a + b ) x 3 − x 2 + b x + a x ( a , b ) =
6
多項式 f ( x ) = ( 2 x − 1 ) 3
7
已知 f ( x ) x 2 − 2 x − 2 2 x + 6 f ( x ) 2 x 2 − 4 x − 4
原卷填充第 4 題（第 8～9 題） 已知 a b c f ( x ) = x 3 − 3 x − 4 = a ( x − 2 ) 3 + b ( x − 2 ) 2 + c ( x − 2 ) + d
10
以 x + 1 x 3 + 6 x 2 + 2 x − 7
11
已知 f ( x ) = x 4 + 7 x 3 + 9 x 2 + 27 x + 62 f ( − 6 ) =
原卷填充第 7 題（第 12～13 題） 設 f ( x ) = x 2 + 2 x + 3
13
(2) 將 y = f ( x ) 2 3
14
若三次多項式 f ( x ) f ( 1 ) = f ( 2 ) = 0 f ( 3 ) = 16 f ( 0 ) = 10 f ( x ) =
15
（素養題）受到山陀兒颱風影響，蔬菜預期漲價，民眾紛紛至大賣場搶購蔬菜。有間賣場想透過降價吸引民眾購買，並根據市場調查，平均每包蔬菜調降 5 100 100 1000 a b ( a , b ) =
原卷填充第 10 題（第 16～17 題） 已知 f ( x ) = 2 x 3 + 12 x 2 + 27 x + 28
16
(1) y = f ( x )
17
(2) y = f ( x ) x = − 2
18
已知 f ( x ) = x 4 + 9 x 3 + 27 x 2 + 31 x + 12 x 2 + 5 x + 4 f ( x ) ≥ 0
19
若 p x x 2 + p x + ( p + 3 ) > 0 p
20
不等式 ( x + 3 ) 2 ( x − 2 ) 5 ( x − 4 ) ( x 2 − x + 4 ) > 0
四、計算題(6 分)：
21
設三次函數 y = f ( x ) 1 y = f ( x + 2 )
第 1 題 (E)
第 2 題 (D)
第 3 題 (A)(B)(D)
第 4 題 (B)(E)
第 5 題 ( 3 , − 6 )
第 6 題 1
第 7 題 2 x + 6
第 8 題 ( 1 , 6 , 9 , − 2 )
第 10 題 − 4
第 11 題 8
第 12 題 11
第 13 題 y = x 2 − 2 x + 6
第 14 題 x 3 + 2 x 2 − 13 x + 10
第 15 題 ( 75 , 112500 )
第 16 題 ( − 2 , 6 )
第 17 題 y = 3 x + 12
第 18 題 x ≥ − 3 x ≤ − 4
第 19 題 − 2 < p < 6
第 20 題 x > 4 x < 2 x = − 3 x = 3 x = − 3 0
第 21 題 f ( x ) = x 3 − x
03 · 勾錯題號 勾出錯的題號，看錯在哪幾章 不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。
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免費註冊 04 · 逐題詳解 每一題，錯在哪一步 看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。
01 單選 1～2（第 1～2 題）：閉區間上的溫差、三次函數的圖形第 1 題 答案 (E) 。配方：f ( t ) = − t 2 + 8 t + 2 = − ( t − 4 ) 2 + 18 t = 4 1 ≤ t ≤ 10 f ( 4 ) = 18 t = 4 t = 10 4 6 t = 1 4 3 f ( 10 ) = − ( 10 − 4 ) 2 + 18 = − 18 = 18 − ( − 18 ) = 36
另一端點 f ( 1 ) = − 9 + 18 = 9 f ( 10 )
第 2 題 答案 (D) 。最高次項是 − x 3 x y x y x − x 3 + 2 x = − x ( x 2 − 2 ) = 0 x = 0 ± 2 x x 2 x 也可以代點檢查：x = 1 y = − 1 + 2 = 1 > 0 x = − 1 y = 1 − 2 = − 1 < 0 x
閉區間的二次函數：頂點在區間內就先算頂點，再比兩個端點；三次函數的圖形先看最高次項定兩端走勢，再看與 x
02 多選 1～2（第 3～4 題）：由圖形判斷係數、二次不等式無解第 3 題 答案 (A)(B)(D) 。圖形開口向上，所以 a > 0 正確。 頂點在 y x = − 2 a b > 0 a > 0 b < 0 正確。 c = f ( 0 ) y y c > 0 錯誤。 圖形與 x a x 2 + b x + c = 0 b 2 − 4 a c > 0 正確。 a + b + c = f ( 1 ) ( 1 , 0 ) x x f ( 1 ) > 0 錯誤。 9 a + 3 b + c = f ( 3 ) x = 3 x x f ( 3 ) < 0
這題的關鍵是 (D)：( 1 , 0 ) x x a + b + c 9 a + 3 b + c f ( 1 ) f ( 3 )
第 4 題 答案 (B)(E) 。逐項看二次式的判別式與開口。
(A) 錯誤。 x 2 + 4 x − 3 x 0 x = 1 1 + 4 − 3 = 2 > 0 正確。 x 2 + x + 1 = ( x + 2 1 ) 2 + 4 3 ≥ 4 3 0 錯誤。 − x 2 + 6 x − 9 = − ( x − 3 ) 2 x = 3 0 ≥ 0 x = 3 錯誤。 兩邊乘 − 1 2 x 2 + x − 3 < 0 ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) < 0 − 2 3 < x < 1 正確。 乘 − 1 x 2 − 2 x + 3 ≤ 0 x 2 − 2 x + 3 = ( x − 1 ) 2 + 2 ≥ 2
(C) 和 (E) 很像，差別在配方後的常數：(C) 是 − ( x − 3 ) 2 0 ≥ 0 − ( x − 1 ) 2 − 2 − 2 0
a + b + c f ( 1 ) c f ( 0 )
03 填充 1～4（第 5～9 題）：次數、係數和、除法原理、連續綜合除法第 5 題 要成為二次多項式，x 4 x 3 0 a − 3 = 0 2 a + b = 0 a = 3 b = − 6 f ( x ) = − x 2 − 6 x + 3 − 1 = 0 ( a , b ) = ( 3 , − 6 )
第 6 題 各項係數之和等於把 x = 1 f ( 1 ) = ( 2 × 1 − 1 ) 3 = 1 3 = 1
不必展開。展開後是 8 x 3 − 12 x 2 + 6 x − 1 8 − 12 + 6 − 1 = 1
第 7 題 由除法原理，設 f ( x ) = ( x 2 − 2 x − 2 ) Q ( x ) + 2 x + 6 2 x 2 − 4 x − 4 = 2 ( x 2 − 2 x − 2 ) f ( x ) = ( 2 x 2 − 4 x − 4 ) ⋅ 2 Q ( x ) + 2 x + 6 2 x + 6 2 x 2 − 4 x − 4
除式乘上一個非零常數，商式會跟著變（這裡變成 2 Q ( x )
第 8 題 把 x 3 − 3 x − 4 x − 2 d c b a x 3 + 0 x 2 − 3 x − 4 x − 2 x 2 + 2 x + 1 − 2 d = − 2 x 2 + 2 x + 1 x − 2 x + 4 9 c = 9 x + 4 x − 2 1 6 b = 6 a = 1 ( a , b , c , d ) = ( 1 , 6 , 9 , − 2 )
檢查：a 1 d = f ( 2 ) = 8 − 6 − 4 = − 2
第 9 題 由上一格，f ( x ) = ( x − 2 ) 3 + 6 ( x − 2 ) 2 + 9 ( x − 2 ) − 2 x = 2 + 3 x − 2 = 3 f ( 2 + 3 ) = ( 3 ) 3 + 6 ( 3 ) 2 + 9 3 − 2 = 3 3 + 18 + 9 3 − 2 = 16 + 12 3 寫成
x − 2 的次方後，代入
2 + 3 只要算
3 的次方，比直接代入原式簡單。
係數和代 1 0 h + x − h
04 填充 5～9（第 10～15 題）：餘式定理、函數值、平移、由根設式、收入的最大值第 10 題 由餘式定理，以 x + 1 f ( − 1 ) ( − 1 ) 3 + 6 ( − 1 ) 2 + 2 ( − 1 ) − 7 = − 1 + 6 − 2 − 7 = − 4
第 11 題 用綜合除法以 x + 6 1 , 7 , 9 , 27 , 62 − 6 1 7 − 6 = 1 9 − 6 = 3 27 − 18 = 9 62 − 54 = 8 f ( − 6 ) = 8
直接代入也可以：1296 − 1512 + 324 − 162 + 62 = 8
第 12 題 f ( 2 ) = 2 2 + 2 × 2 + 3 = 4 + 4 + 3 = 11
第 13 題 向右平移 2 x x − 2 3 3 y = ( x − 2 ) 2 + 2 ( x − 2 ) + 3 + 3 = x 2 − 4 x + 4 + 2 x − 4 + 6 = x 2 − 2 x + 6
也可以用頂點檢查：f ( x ) = ( x + 1 ) 2 + 2 ( − 1 , 2 ) ( 1 , 5 ) x 2 − 2 x + 6 = ( x − 1 ) 2 + 5 ( 1 , 5 )
第 14 題 f ( 1 ) = f ( 2 ) = 0 x − 1 x − 2 f ( x ) f ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( p x + q ) x = 0 ( − 1 ) ( − 2 ) q = 2 q = 10 q = 5 x = 3 2 × 1 × ( 3 p + 5 ) = 16 3 p + 5 = 8 p = 1 f ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x + 5 ) = x 3 + 2 x 2 − 13 x + 10
第 15 題 設降價 5 k 100 − 5 k 1000 + 100 k ( 100 − 5 k ) ( 1000 + 100 k ) = 500 ( 20 − k ) ( 10 + k ) = 500 ( − k 2 + 10 k + 200 ) = − 500 ( k − 5 ) 2 + 112500 k = 5 112500 100 − 25 = 75 ( a , b ) = ( 75 , 112500 )
驗算：定價 75 1000 + 500 = 1500 75 × 1500 = 112500 a 1000 + 20 ( 100 − a ) = 3000 − 20 a a ( 3000 − 20 a ) a = 75
應用題的二次函數：先把收入寫成一個變數的二次式，配方找頂點，最後回頭換成題目問的量（定價、收入）。
05 填充 10（第 16～17 題）：三次函數的對稱中心與一次近似第 16 題 把 f ( x ) x + 2 x + 2 x − 3 × 2 12 = − 2 f ( x ) = 2 ( x + 2 ) 3 + 0 ⋅ ( x + 2 ) 2 + 3 ( x + 2 ) + 6 2 ( x + 2 ) 3 = 2 x 3 + 12 x 2 + 24 x + 16 3 x + 6 + 6 2 x 3 + 12 x 2 + 27 x + 28 ( x + 2 ) 2 0 y = 2 x 3 + 3 x ( − 2 , f ( − 2 )) = ( − 2 , 6 )
f ( − 2 ) = − 16 + 48 − 54 + 28 = 6 a x 3 + b x 2 + c x + d x − 3 a b
第 17 題 由上一格 f ( x ) = 2 ( x + 2 ) 3 + 3 ( x + 2 ) + 6 x − 2 x + 2 ( x + 2 ) 3 x + 2 y = 3 ( x + 2 ) + 6 = 3 x + 12
一次近似是在 x + 2
三次函數寫成 a ( x − h ) 3 + p ( x − h ) + k ( h , k ) y = p ( x − h ) + k x = h
06 填充 11～13（第 18～20 題）：多項式不等式第 18 題 用長除法：f ( x ) ÷ ( x 2 + 5 x + 4 ) x 2 + 4 x + 3 0 f ( x ) = ( x 2 + 5 x + 4 ) ( x 2 + 4 x + 3 ) = ( x + 1 ) ( x + 4 ) ( x + 1 ) ( x + 3 ) = ( x + 1 ) 2 ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 1 ) 2 ≥ 0 ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) ≥ 0 x ≤ − 4 x ≥ − 3 f ( x ) ≥ 0 x = − 1 f ( x ) = 0 − 1 x ≥ − 3 x ≥ − 3 x ≤ − 4
− 4 < x < − 3 ( x + 3 ) ( x + 4 ) < 0 ( x + 1 ) 2 > 0 f ( x ) < 0
第 19 題 x 2 + p x + ( p + 3 ) 1 > 0 x 0 x 0 p 2 − 4 ( p + 3 ) < 0 ⇒ p 2 − 4 p − 12 < 0 ⇒ ( p − 6 ) ( p + 2 ) < 0 − 2 < p < 6
判別式等於 0 p = − 2 6 x 0 0
第 20 題 x 2 − x + 4 = ( x − 2 1 ) 2 + 4 15 > 0 ( x + 3 ) 2 ≥ 0 0 0 x = − 3 ( x + 3 ) 2 > 0 ( x − 2 ) 5 x − 2 ( x − 2 ) ( x − 4 ) > 0 , x = − 3 x > 4 x < 2 x = − 3 x > 4 x < 2 x = − 3 x < − 3 − 3 < x < 2 x > 4
學校答案卷這一格印作「x > 4 x < 2 x = 3 3 x < 2 x > 4 ( x + 3 ) 2 = 0 x = − 3 x = − 3 0 0 x = − 3
高次不等式先把恆正的因式約掉；偶次方的因式不改變正負，但要把讓它等於 0
07 計算題（第 21 題）：對稱中心為原點的三次函數第 21 題 領導係數為 1 f ( x ) = x 3 + p x p f ( x + 2 ) = ( x + 2 ) 3 + p ( x + 2 ) = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 + p x + 2 p f ( x ) = f ( x + 2 ) x 3 + p x = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 + p x + 2 p ⇒ 6 x 2 + 12 x + 8 + 2 p = 0 ⇒ 3 x 2 + 6 x + ( p + 4 ) = 0 0 36 − 12 ( p + 4 ) = 0 ⇒ p = − 1 f ( x ) = x 3 − x
驗算：f ( x ) = x 3 − x 3 x 2 + 6 x + 3 = 3 ( x + 1 ) 2 = 0 x = − 1 ( − 1 , f ( − 1 )) = ( − 1 , 0 ) y = f ( x + 2 ) f ( 1 ) = 0 0 0
對稱中心為原點的三次函數一定是 a x 3 + p x x 2
同一次段考的其他學校 同樣是高一第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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上傳考卷 常見問題 臺東高中 113 上 高一第二次段考數學的答案在哪裡？ 本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
臺東高中 113 上 高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？ 多選第 1 題（本頁第 3 題）要看清楚標出的點不在拋物線上，a+b+c 是正的；單選第 1 題（本頁第 1 題）最低溫在離頂點較遠的端點 t=10，不在 t=1；填充第 13 題（本頁第 20 題）要記得挖掉 x=−3；計算題（本頁第 21 題）交於一點要用判別式等於 0。詳解逐題寫在本頁。
我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？ 可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。
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題目取自臺東高中 113 學年度上學期 高一第二次段考 數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。