段考詳解範圍：數列與函數的極限（數列與 Σ、數列的極限、無窮等比級數與循環小數、函數與奇偶性、函數的極限、連續函數與勘根定理）

臺東高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

填充題 18 格（依答對格數給分，滿分 82 分）、多選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、混合題 1 題分 3 小題（共 8 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、填充題(20 格，共 82 分，配分如表格)　答對格數 1～18 格依序得 8、16、24、32、40、46、52、56、60、63、66、68、71、73、75、77、80、82 分。（卷面標題印 20 格，格號與配分表都只到 18 格；本頁第 1～18 題依序為原卷填充格 (1)～(18)）

寫出數列

⟨ 2 n + 3 ⟩

的第

6

項 ____。

已知等比數列

⟨ \frac{1}{3 ^{n}} ⟩

，此數列從第 ____ 項開始，其值會小於

\frac{1}{1000}

。

試展開

k = 1 \sum 5 \frac{k}{k ^{2} + 1}

____。

已知

k = 1 \sum 7 a_{k} = 55

，

k = 1 \sum 7 b_{k} = 66

，求

k = 1 \sum 7 (2 a_{k} - 3 b_{k} + 4) =

____。

試求無窮等比級數

\frac{2}{5} + (\frac{2}{5})^{2} + (\frac{2}{5})^{3} + \dots\dots + (\frac{2}{5})^{n} + \dots\dots

的和 ____。

填充第 6 題（第 6～7 題）　試將下列循環小數化為有理數：

(1)

2. \overline{54} =

____。

(2)

0.4 \overline{6} =

____。

填充第 7 題（第 8～9 題）　寫出函數

y = x^{2}

的定義域 ____ 與值域 ____。

y = x^{2}

的定義域（第一個空格）。

y = x^{2}

的值域（第二個空格）。

已知函數

f (x)

、

g (x)

、

h (x)

，其中

f (x) = 3 x - 1

，

g (x) = x^{2} + 5

，且

f (h (2)) = g (3)

，試求

h (2) =

____。

填充第 9 題（第 11～12 題）　試判斷下列函數的奇偶性（填奇函數或偶函數）

(1)

f (x) = ∣ x ∣

。____ 函數。

(2)

g (x) = \frac{1}{x}

。____ 函數。

填充第 10 題（第 13～15 題）　函數

f (x)

的圖形如右圖，試求下列各極限。（圖在本頁第 13 題）

(1)

x \to - 1 lim f (x) =

____。

載入中...

(2)

x \to 4 lim f (x) =

____。

(3)

x \to 6 lim f (x) =

____。

填充第 11 題（第 16～17 題）　試計算下列各極限。

(1)

x \to 2 lim ((2 x + 1) (x^{2} - x - 1)) =

____。

(2)

x \to 3 lim (\frac{3}{x - 3} - \frac{x + 9}{( x - 3 ) ( x + 1 )}) =

____。

已知方程式

x^{3} - 2 x^{2} + a x - 1 = 0

在

0

與

1

之間有奇數個實根，試求

a

的範圍為 ____。

二、多選題（每一題全對得 5 分，只錯一個選項得 3 分，只錯二個選項得 1 分，錯三個選項或三個選項以上或沒作答得 0 分，共 10 分。）（本頁第 19、20 題依序為原卷多選第 1、2 題）

在下列四個

y = f (x)

的函數圖形中，哪些選項的

x \to a lim f (x)

存在？

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)

載入中...

下列各無窮數列中，哪些是收斂數列？

(A) $⟨ (- \frac{1}{3})^{n} ⟩$
(B) $⟨ \frac{( - 1 ) ^{n}}{3} ⟩$
(C) $⟨ \frac{2 ^{n + 1}}{3 ^{n}} ⟩$
(D) $⟨ \frac{5 ^{n + 1}}{3 ^{2 n}} ⟩$
(E) $⟨ \frac{2 ^{n} + 4 ^{n}}{3 ^{n}} ⟩$

三、混合題(每小題 2 分，共 8 分)（本頁第 21～23 題依序為原卷混合題的 (1)、(2)、(3)）

混合題（第 21～23 題）　如圖，以

3 : 4

在大正方形的各邊做內分點，連接各分點得第二個正方形；再以相同比例內分第二個正方形各邊，連接各分點得第三個正方形，重複以上步驟如此繼續下去，可得無窮多個正方形。設最大的正方形邊長為

1

，並令

a_{n}

代表由外往內數的第

n

個正方形的面積（即

a_{1} = 1

）。

(1) 求

a_{2} =

____，

a_{3} =

____。

載入中...

(2) 求

a_{n}

的一般式。

(3) 求所有正方形面積的總和。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

15

第 2 題

7

第 3 題

\frac{1}{2} + \frac{2}{5} + \frac{3}{10} + \frac{4}{17} + \frac{5}{26}

第 4 題

- 60

第 5 題

\frac{2}{3}

第 6 題

\frac{28}{11}

第 7 題

\frac{7}{15}

第 8 題

{x ∣ x 為實數}

第 9 題

{y ∣ y 為實數, y \geq 0}

第 10 題

5

第 11 題偶

第 12 題奇

第 13 題不存在

第 14 題

2

第 15 題

1

第 16 題

5

第 17 題

\frac{1}{2}

第 18 題

a > 2

第 19 題(A)(B)(D)

第 20 題(A)(C)(D)

第 21 題

a_{2} = \frac{25}{49}

，

a_{3} = \frac{625}{2401}

第 22 題

a_{n} = (\frac{25}{49})^{n - 1}

第 23 題

\frac{49}{24}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題（填充 1～4）：數列的項與 Σ

第 1 題一般項是

a_{n} = 2 n + 3

，把

n = 6

代入：

a_{6} = 2 \times 6 + 3 = 15

。

第 2 題第

n

項是

\frac{1}{3 ^{n}}

。

\frac{1}{3 ^{n}} < \frac{1}{1000}

就是

3^{n} > 1000

。逐項算：

3^{5} = 243

，

3^{6} = 729

，

3^{7} = 2187

。

3^{6}

還不到

1000

，

3^{7}

才超過，而且之後每一項都更小，所以從第

7

項開始。

第

6

項是

\frac{1}{729}

，比

\frac{1}{1000}

大，還不算。

第 3 題把

k = 1, 2, 3, 4, 5

依序代入

\frac{k}{k ^{2} + 1}

再相加：

\frac{1}{1 + 1} + \frac{2}{4 + 1} + \frac{3}{9 + 1} + \frac{4}{16 + 1} + \frac{5}{25 + 1} = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} + \frac{3}{10} + \frac{4}{17} + \frac{5}{26}

。

題目只要求展開，寫到這裡即可；第三項寫成

\frac{3}{10}

，不必通分求和。

第 4 題用 Σ 的運算性質拆開：

k = 1 \sum 7 (2 a_{k} - 3 b_{k} + 4) = 2 k = 1 \sum 7 a_{k} - 3 k = 1 \sum 7 b_{k} + k = 1 \sum 7 4

。常數

4

加了

7

次是

28

，所以原式

= 2 \times 55 - 3 \times 66 + 28 = 110 - 198 + 28 = - 60

。

k = 1 \sum 7 4

是

7

個

4

相加，等於

28

，不是

4

。

Σ 可以對加減與常數倍拆開；常數項要乘上項數。

02第 5～7 題（填充 5、6）：無窮等比級數與循環小數

第 5 題首項

a = \frac{2}{5}

，公比

r = \frac{2}{5}

，

∣ r ∣ < 1

，級數收斂。和為

\frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3}

。

第 6 題循環節是

54

：

2. \overline{54} = 2 + 0.54 + 0.0054 + 0.000054 + \dots

。後面是首項

0.54

、公比

0.01

的無窮等比級數，和為

\frac{0.54}{1 - 0.01} = \frac{54}{99} = \frac{6}{11}

。所以

2. \overline{54} = 2 + \frac{6}{11} = \frac{28}{11}

。

第 7 題只有

6

在循環：

0.4 \overline{6} = 0.4 + 0.06 + 0.006 + 0.0006 + \dots

。後面是首項

0.06

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.06}{1 - 0.1} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}

。所以

0.4 \overline{6} = \frac{2}{5} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} + \frac{1}{15} = \frac{7}{15}

。

若把循環節看成

46

，會得到

\frac{46}{99}

，那是

0. \overline{46}

，與本題不同。

無窮等比級數在公比的絕對值小於 1 時，和等於「首項除以（1 減公比）」；循環小數先分出不循環的部分，再把循環的部分寫成等比級數。

03第 8～12 題（填充 7～9）：函數的定義域、值域、函數值與奇偶性

第 8 題

x^{2}

對任何實數

x

都能計算，所以定義域是全體實數，寫成

{x ∣ x 為實數}

。

第 9 題實數的平方不會是負數，所以

y = x^{2} \geq 0

；反過來，任何

y \geq 0

都可以取

x = y

得到

x^{2} = y

。所以值域是

{y ∣ y 為實數, y \geq 0}

。

值域要兩個方向都確認：函數值都不小於

0

，而且不小於

0

的數每一個都取得到。

第 10 題先算右邊：

g (3) = 3^{2} + 5 = 14

。左邊把

h (2)

當成一個數代入

f

：

f (h (2)) = 3 h (2) - 1

。所以

3 h (2) - 1 = 14

，

h (2) = 5

。

不需要知道

h (x)

的式子，只要把

h (2)

看成一個未知數。

第 11 題

f (- x) = ∣ - x ∣ = ∣ x ∣ = f (x)

，對所有實數

x

都成立，所以是偶函數（圖形對稱於

y

軸）。

第 12 題定義域是

x \neq = 0

的實數，對稱於原點。

g (- x) = \frac{1}{- x} = - \frac{1}{x} = - g (x)

，所以是奇函數（圖形對稱於原點）。

判斷奇偶性就是把 x 換成 −x：結果不變是偶函數，結果差一個負號是奇函數。

04第 13～15 題（填充 10）：由圖形求極限

第 13 題看

x

從兩邊靠近

- 1

時圖形的高度。從左邊靠近時，圖形是高度

2

的水平線（到空心點

(- 1, 2)

），左極限是

2

；從右邊靠近時，圖形往實心點

(- 1, 1)

靠近，右極限是

1

。左極限與右極限不相等，所以極限不存在。

第 14 題

x

從左邊、右邊靠近

4

時，圖形都往空心點

(4, 2)

靠近，左極限與右極限都是

2

，所以極限是

2

。

實心點

(4, 3)

表示

f (4) = 3

，但極限只看

x

靠近

4

時的趨勢，與

f (4)

的值無關。

第 15 題

x

從左邊靠近

6

時，圖形上升到

(6, 1)

；從右邊靠近時，圖形是高度

1

的水平線。左、右極限都是

1

，所以極限是

1

。

極限存在的條件是左極限等於右極限；空心點、實心點只決定該點的函數值，不影響極限。

05第 16～18 題（填充 11、12）：極限的計算與勘根定理

第 16 題多項式函數的極限直接代入：

x = 2

時

2 x + 1 = 5

，

x^{2} - x - 1 = 4 - 2 - 1 = 1

，所以極限是

5 \times 1 = 5

。

第 17 題兩項各自在

x \to 3

時分母都趨近

0

，不能分開算，先通分：

\frac{3}{x - 3} - \frac{x + 9}{( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{3 ( x + 1 ) - ( x + 9 )}{( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{2 x - 6}{( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{2 ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 1 )}

。

x \to 3

時

x \neq = 3

，約去

x - 3

得

\frac{2}{x + 1}

，極限是

\frac{2}{3 + 1} = \frac{1}{2}

。

第 18 題令

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + a x - 1

，它是多項式函數，處處連續。

f (0) = - 1 < 0

，

f (1) = 1 - 2 + a - 1 = a - 2

。若

a > 2

，則

f (1) > 0

，

f (0)

與

f (1)

異號，由勘根定理，方程式在

0

與

1

之間至少有一個實根；圖形從

x

軸下方走到

x

軸上方，穿過

x

軸的次數是奇數，所以有奇數個實根（重根照重數計算）。若

a \leq 2

，當

0 < x < 1

時

a x \leq 2 x

，所以

f (x) \leq x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 1 = (x - 1) (x^{2} - x + 1)

；其中

x - 1 < 0

，而

x^{2} - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0

，所以

f (x) < 0

，在

0

與

1

之間沒有實根，不合。因此

a > 2

。

a = 2

時

f (1) = 0

，根是

x = 1

，不在

0

與

1

之間，所以不含等號。

連續函數在區間兩端的函數值異號時，區間內有奇數個實根（重根照重數算）；用這個條件列出係數的不等式。

06第 19、20 題（多選 1、2）：極限是否存在、數列是否收斂

第 19 題答案 (A)(B)(D)。(A) 圖形在

x = a

處是一個尖點，沒有斷開，左右兩邊都往同一個點靠近，極限存在。(B) 圖形在

x = a

處是空心點，上方另有一個實心點；

x

從兩邊靠近

a

時都往空心點靠近，極限存在（極限值是空心點的高度，不是實心點的高度）。(C) 左邊往空心點靠近，右邊往較高的實心點靠近，左極限與右極限不相等，極限不存在。(D) 圖形是兩段階梯，但

a

落在上面那一段水平線段的中間，不在斷開的位置；

x

靠近

a

時函數值都是同一個數，極限存在。

(D) 要看清楚

a

的位置：斷開處在

a

的左邊，

a

的附近只有一段水平線。

第 20 題答案 (A)(C)(D)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

在

- 1 < r \leq 1

時收斂。(A) 公比

- \frac{1}{3}

，絕對值小於

1

，收斂到

0

。(B) 各項是

- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \dots

，在兩個數之間來回，不收斂。(C)

\frac{2 ^{n + 1}}{3 ^{n}} = 2 (\frac{2}{3})^{n}

，公比

\frac{2}{3}

，收斂到

0

。(D)

\frac{5 ^{n + 1}}{3 ^{2 n}} = 5 (\frac{5}{9})^{n}

，公比

\frac{5}{9}

，收斂到

0

。(E)

\frac{2 ^{n} + 4 ^{n}}{3 ^{n}} = (\frac{2}{3})^{n} + (\frac{4}{3})^{n}

，前項趨近

0

，後項公比

\frac{4}{3} > 1

愈來愈大，不收斂。

(D) 的分母

3^{2 n} = 9^{n}

，所以公比是

\frac{5}{9}

而不是

\frac{5}{3}

。

07第 21～23 題（混合題）：內分點連成的正方形

第 21 題大正方形邊長

1

，各邊被分成

\frac{3}{7}

與

\frac{4}{7}

兩段。第二個正方形的每一邊，都是角落那個直角三角形的斜邊，兩股長

\frac{3}{7}

與

\frac{4}{7}

，所以邊長的平方是

(\frac{3}{7})^{2} + (\frac{4}{7})^{2} = \frac{25}{49}

，即

a_{2} = \frac{25}{49}

。第三個正方形是用同樣的比例從第二個正方形做出來的，面積又是第二個的

\frac{25}{49}

倍：

a_{3} = \frac{25}{49} \times \frac{25}{49} = \frac{625}{2401}

。

正方形的面積就是邊長的平方，所以不必開根號求邊長

\frac{5}{7}

。

第 22 題每做一次，新正方形的邊長都是前一個的

\frac{5}{7}

倍（兩股是前一個邊長的

\frac{3}{7}

與

\frac{4}{7}

），面積是前一個的

\frac{25}{49}

倍。所以

⟨ a_{n} ⟩

是首項

1

、公比

\frac{25}{49}

的等比數列，

a_{n} = (\frac{25}{49})^{n - 1}

。

第 23 題面積總和是首項

1

、公比

\frac{25}{49}

的無窮等比級數，公比的絕對值小於

1

，收斂。和為

\frac{1}{1 - \frac{25}{49}} = \frac{1}{\frac{24}{49}} = \frac{49}{24}

。

重複同一個作圖步驟時，相鄰兩個圖形的面積比固定，面積就成等比數列；總和用無窮等比級數的公式。

同一次段考的其他學校

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第 2 題問的是從第幾項開始，要找 3 的幾次方第一次超過 1000；第 7 題的循環節只有 6，前面的 4 不循環；第 13 題左右兩邊各自靠近不同的高度，極限不存在；第 18 題除了用勘根定理找出範圍，還要說明其他的 a 在 0 與 1 之間沒有實根；第 19 題的選項 (B) 與 (D) 極限都存在，極限與該點的函數值、有沒有定義無關。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：數列與函數的極限（數列與 Σ、數列的極限、無窮等比級數與循環小數、函數與奇偶性、函數的極限、連續函數與勘根定理）

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

寫出數列

⟨ 2 n + 3 ⟩

的第

6

項 ____。

已知等比數列

⟨ \frac{1}{3 ^{n}} ⟩

，此數列從第 ____ 項開始，其值會小於

\frac{1}{1000}

。

試展開

k = 1 \sum 5 \frac{k}{k ^{2} + 1}

____。

已知

k = 1 \sum 7 a_{k} = 55

，

k = 1 \sum 7 b_{k} = 66

，求

k = 1 \sum 7 (2 a_{k} - 3 b_{k} + 4) =

____。

試求無窮等比級數

\frac{2}{5} + (\frac{2}{5})^{2} + (\frac{2}{5})^{3} + \dots\dots + (\frac{2}{5})^{n} + \dots\dots

的和 ____。

填充第 6 題（第 6～7 題）　試將下列循環小數化為有理數：

(1)

2. \overline{54} =

____。

(2)

0.4 \overline{6} =

____。

填充第 7 題（第 8～9 題）　寫出函數

y = x^{2}

的定義域 ____ 與值域 ____。

y = x^{2}

的定義域（第一個空格）。

y = x^{2}

的值域（第二個空格）。

已知函數

f (x)

、

g (x)

、

h (x)

，其中

f (x) = 3 x - 1

，

g (x) = x^{2} + 5

，且

f (h (2)) = g (3)

，試求

h (2) =

____。

填充第 9 題（第 11～12 題）　試判斷下列函數的奇偶性（填奇函數或偶函數）

(1)

f (x) = ∣ x ∣

。____ 函數。

(2)

g (x) = \frac{1}{x}

。____ 函數。

填充第 10 題（第 13～15 題）　函數

f (x)

的圖形如右圖，試求下列各極限。（圖在本頁第 13 題）

(1)

x \to - 1 lim f (x) =

____。

載入中...

(2)

x \to 4 lim f (x) =

____。

(3)

x \to 6 lim f (x) =

____。

填充第 11 題（第 16～17 題）　試計算下列各極限。

(1)

x \to 2 lim ((2 x + 1) (x^{2} - x - 1)) =

____。

(2)

x \to 3 lim (\frac{3}{x - 3} - \frac{x + 9}{( x - 3 ) ( x + 1 )}) =

____。

已知方程式

x^{3} - 2 x^{2} + a x - 1 = 0

在

0

與

1

之間有奇數個實根，試求

a

的範圍為 ____。

在下列四個

y = f (x)

的函數圖形中，哪些選項的

x \to a lim f (x)

存在？

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)

載入中...

下列各無窮數列中，哪些是收斂數列？

(A) $⟨ (- \frac{1}{3})^{n} ⟩$
(B) $⟨ \frac{( - 1 ) ^{n}}{3} ⟩$
(C) $⟨ \frac{2 ^{n + 1}}{3 ^{n}} ⟩$
(D) $⟨ \frac{5 ^{n + 1}}{3 ^{2 n}} ⟩$
(E) $⟨ \frac{2 ^{n} + 4 ^{n}}{3 ^{n}} ⟩$

三、混合題(每小題 2 分，共 8 分)（本頁第 21～23 題依序為原卷混合題的 (1)、(2)、(3)）

混合題（第 21～23 題）　如圖，以

3 : 4

1

，並令

a_{n}

代表由外往內數的第

n

個正方形的面積（即

a_{1} = 1

）。

(1) 求

a_{2} =

____，

a_{3} =

____。

載入中...

(2) 求

a_{n}

的一般式。

(3) 求所有正方形面積的總和。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

15

第 2 題

7

第 3 題

\frac{1}{2} + \frac{2}{5} + \frac{3}{10} + \frac{4}{17} + \frac{5}{26}

第 4 題

- 60

第 5 題

\frac{2}{3}

第 6 題

\frac{28}{11}

第 7 題

\frac{7}{15}

第 8 題

{x ∣ x 為實數}

第 9 題

{y ∣ y 為實數, y \geq 0}

第 10 題

5

第 11 題偶

第 12 題奇

第 13 題不存在

第 14 題

2

第 15 題

1

第 16 題

5

第 17 題

\frac{1}{2}

第 18 題

a > 2

第 19 題(A)(B)(D)

第 20 題(A)(C)(D)

第 21 題

a_{2} = \frac{25}{49}

，

a_{3} = \frac{625}{2401}

第 22 題

a_{n} = (\frac{25}{49})^{n - 1}

第 23 題

\frac{49}{24}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題（填充 1～4）：數列的項與 Σ

第 1 題一般項是

a_{n} = 2 n + 3

，把

n = 6

代入：

a_{6} = 2 \times 6 + 3 = 15

。

第 2 題第

n

項是

\frac{1}{3 ^{n}}

。

\frac{1}{3 ^{n}} < \frac{1}{1000}

就是

3^{n} > 1000

。逐項算：

3^{5} = 243

，

3^{6} = 729

，

3^{7} = 2187

。

3^{6}

還不到

1000

，

3^{7}

才超過，而且之後每一項都更小，所以從第

7

項開始。

第

6

項是

\frac{1}{729}

，比

\frac{1}{1000}

大，還不算。

第 3 題把

k = 1, 2, 3, 4, 5

依序代入

\frac{k}{k ^{2} + 1}

再相加：

\frac{1}{1 + 1} + \frac{2}{4 + 1} + \frac{3}{9 + 1} + \frac{4}{16 + 1} + \frac{5}{25 + 1} = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} + \frac{3}{10} + \frac{4}{17} + \frac{5}{26}

。

題目只要求展開，寫到這裡即可；第三項寫成

\frac{3}{10}

，不必通分求和。

第 4 題用 Σ 的運算性質拆開：

k = 1 \sum 7 (2 a_{k} - 3 b_{k} + 4) = 2 k = 1 \sum 7 a_{k} - 3 k = 1 \sum 7 b_{k} + k = 1 \sum 7 4

。常數

4

加了

7

次是

28

，所以原式

= 2 \times 55 - 3 \times 66 + 28 = 110 - 198 + 28 = - 60

。

k = 1 \sum 7 4

是

7

個

4

相加，等於

28

，不是

4

。

Σ 可以對加減與常數倍拆開；常數項要乘上項數。

02第 5～7 題（填充 5、6）：無窮等比級數與循環小數

第 5 題首項

a = \frac{2}{5}

，公比

r = \frac{2}{5}

，

∣ r ∣ < 1

，級數收斂。和為

\frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3}

。

第 6 題循環節是

54

：

2. \overline{54} = 2 + 0.54 + 0.0054 + 0.000054 + \dots

。後面是首項

0.54

、公比

0.01

的無窮等比級數，和為

\frac{0.54}{1 - 0.01} = \frac{54}{99} = \frac{6}{11}

。所以

2. \overline{54} = 2 + \frac{6}{11} = \frac{28}{11}

。

第 7 題只有

6

在循環：

0.4 \overline{6} = 0.4 + 0.06 + 0.006 + 0.0006 + \dots

。後面是首項

0.06

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.06}{1 - 0.1} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}

。所以

0.4 \overline{6} = \frac{2}{5} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} + \frac{1}{15} = \frac{7}{15}

。

若把循環節看成

46

，會得到

\frac{46}{99}

，那是

0. \overline{46}

，與本題不同。

無窮等比級數在公比的絕對值小於 1 時，和等於「首項除以（1 減公比）」；循環小數先分出不循環的部分，再把循環的部分寫成等比級數。

03第 8～12 題（填充 7～9）：函數的定義域、值域、函數值與奇偶性

第 8 題

x^{2}

對任何實數

x

都能計算，所以定義域是全體實數，寫成

{x ∣ x 為實數}

。

第 9 題實數的平方不會是負數，所以

y = x^{2} \geq 0

；反過來，任何

y \geq 0

都可以取

x = y

得到

x^{2} = y

。所以值域是

{y ∣ y 為實數, y \geq 0}

。

值域要兩個方向都確認：函數值都不小於

0

，而且不小於

0

的數每一個都取得到。

第 10 題先算右邊：

g (3) = 3^{2} + 5 = 14

。左邊把

h (2)

當成一個數代入

f

：

f (h (2)) = 3 h (2) - 1

。所以

3 h (2) - 1 = 14

，

h (2) = 5

。

不需要知道

h (x)

的式子，只要把

h (2)

看成一個未知數。

第 11 題

f (- x) = ∣ - x ∣ = ∣ x ∣ = f (x)

，對所有實數

x

都成立，所以是偶函數（圖形對稱於

y

軸）。

第 12 題定義域是

x \neq = 0

的實數，對稱於原點。

g (- x) = \frac{1}{- x} = - \frac{1}{x} = - g (x)

，所以是奇函數（圖形對稱於原點）。

判斷奇偶性就是把 x 換成 −x：結果不變是偶函數，結果差一個負號是奇函數。

04第 13～15 題（填充 10）：由圖形求極限

第 13 題看

x

從兩邊靠近

- 1

時圖形的高度。從左邊靠近時，圖形是高度

2

的水平線（到空心點

(- 1, 2)

），左極限是

2

；從右邊靠近時，圖形往實心點

(- 1, 1)

靠近，右極限是

1

。左極限與右極限不相等，所以極限不存在。

第 14 題

x

從左邊、右邊靠近

4

時，圖形都往空心點

(4, 2)

靠近，左極限與右極限都是

2

，所以極限是

2

。

實心點

(4, 3)

表示

f (4) = 3

，但極限只看

x

靠近

4

時的趨勢，與

f (4)

的值無關。

第 15 題

x

從左邊靠近

6

時，圖形上升到

(6, 1)

；從右邊靠近時，圖形是高度

1

的水平線。左、右極限都是

1

，所以極限是

1

。

極限存在的條件是左極限等於右極限；空心點、實心點只決定該點的函數值，不影響極限。

05第 16～18 題（填充 11、12）：極限的計算與勘根定理

第 16 題多項式函數的極限直接代入：

x = 2

時

2 x + 1 = 5

，

x^{2} - x - 1 = 4 - 2 - 1 = 1

，所以極限是

5 \times 1 = 5

。

第 17 題兩項各自在

x \to 3

時分母都趨近

0

，不能分開算，先通分：

\frac{3}{x - 3} - \frac{x + 9}{( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{3 ( x + 1 ) - ( x + 9 )}{( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{2 x - 6}{( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{2 ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 1 )}

。

x \to 3

時

x \neq = 3

，約去

x - 3

得

\frac{2}{x + 1}

，極限是

\frac{2}{3 + 1} = \frac{1}{2}

。

第 18 題令

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + a x - 1

，它是多項式函數，處處連續。

f (0) = - 1 < 0

，

f (1) = 1 - 2 + a - 1 = a - 2

。若

a > 2

，則

f (1) > 0

，

f (0)

與

f (1)

異號，由勘根定理，方程式在

0

與

1

之間至少有一個實根；圖形從

x

軸下方走到

x

軸上方，穿過

x

軸的次數是奇數，所以有奇數個實根（重根照重數計算）。若

a \leq 2

，當

0 < x < 1

時

a x \leq 2 x

，所以

f (x) \leq x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 1 = (x - 1) (x^{2} - x + 1)

；其中

x - 1 < 0

，而

x^{2} - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0

，所以

f (x) < 0

，在

0

與

1

之間沒有實根，不合。因此

a > 2

。

a = 2

時

f (1) = 0

，根是

x = 1

，不在

0

與

1

之間，所以不含等號。

連續函數在區間兩端的函數值異號時，區間內有奇數個實根（重根照重數算）；用這個條件列出係數的不等式。

06第 19、20 題（多選 1、2）：極限是否存在、數列是否收斂

第 19 題答案 (A)(B)(D)。(A) 圖形在

x = a

處是一個尖點，沒有斷開，左右兩邊都往同一個點靠近，極限存在。(B) 圖形在

x = a

處是空心點，上方另有一個實心點；

x

從兩邊靠近

a

a

落在上面那一段水平線段的中間，不在斷開的位置；

x

靠近

a

時函數值都是同一個數，極限存在。

(D) 要看清楚

a

的位置：斷開處在

a

的左邊，

a

的附近只有一段水平線。

第 20 題答案 (A)(C)(D)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

在

- 1 < r \leq 1

時收斂。(A) 公比

- \frac{1}{3}

，絕對值小於

1

，收斂到

0

。(B) 各項是

- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \dots

，在兩個數之間來回，不收斂。(C)

\frac{2 ^{n + 1}}{3 ^{n}} = 2 (\frac{2}{3})^{n}

，公比

\frac{2}{3}

，收斂到

0

。(D)

\frac{5 ^{n + 1}}{3 ^{2 n}} = 5 (\frac{5}{9})^{n}

，公比

\frac{5}{9}

，收斂到

0

。(E)

\frac{2 ^{n} + 4 ^{n}}{3 ^{n}} = (\frac{2}{3})^{n} + (\frac{4}{3})^{n}

，前項趨近

0

，後項公比

\frac{4}{3} > 1

愈來愈大，不收斂。

(D) 的分母

3^{2 n} = 9^{n}

，所以公比是

\frac{5}{9}

而不是

\frac{5}{3}

。

07第 21～23 題（混合題）：內分點連成的正方形

第 21 題大正方形邊長

1

，各邊被分成

\frac{3}{7}

與

\frac{4}{7}

兩段。第二個正方形的每一邊，都是角落那個直角三角形的斜邊，兩股長

\frac{3}{7}

與

\frac{4}{7}

，所以邊長的平方是

(\frac{3}{7})^{2} + (\frac{4}{7})^{2} = \frac{25}{49}

，即

a_{2} = \frac{25}{49}

。第三個正方形是用同樣的比例從第二個正方形做出來的，面積又是第二個的

\frac{25}{49}

倍：

a_{3} = \frac{25}{49} \times \frac{25}{49} = \frac{625}{2401}

。

正方形的面積就是邊長的平方，所以不必開根號求邊長

\frac{5}{7}

。

第 22 題每做一次，新正方形的邊長都是前一個的

\frac{5}{7}

倍（兩股是前一個邊長的

\frac{3}{7}

與

\frac{4}{7}

），面積是前一個的

\frac{25}{49}

倍。所以

⟨ a_{n} ⟩

是首項

1

、公比

\frac{25}{49}

的等比數列，

a_{n} = (\frac{25}{49})^{n - 1}

。

第 23 題面積總和是首項

1

、公比

\frac{25}{49}

的無窮等比級數，公比的絕對值小於

1

，收斂。和為

\frac{1}{1 - \frac{25}{49}} = \frac{1}{\frac{24}{49}} = \frac{49}{24}

。

重複同一個作圖步驟時，相鄰兩個圖形的面積比固定，面積就成等比數列；總和用無窮等比級數的公式。

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本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

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題目取自臺東高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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06第 19、20 題（多選 1、2）：極限是否存在、數列是否收斂

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