段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數的圖形、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用）

臺東高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

多選題 4 題（20 分）、填充題 15 格（依答對格數給分，1～15 格依序得 8、16、24、30、36、42、46、50、54、58、62、64、66、68、70 分）、混合題 1 題分 3 小題（10 分，依答案卷配分 2、4、4 分）。本頁第 1～4 題為原卷多選 1～4，第 5～19 題依序為填充 1(1)、1(2)、1(3)、1(4)、2、3、4、5(1)、5(2)、6、7、8、9、10、11，第 20～22 題為混合題 (1)(2)(3)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題(每題5分，錯一個選項得3分，錯兩個選項得1分，錯三個或以上的選項得0分)

下列敘述何者正確？

(A) $1 0^{l o g 3} = 3$ 。
(B) $2^{l o g_{3} 2} = 2$ 。
(C) $lo g 2 + lo g 3 = lo g 5$ 。
(D) $lo g_{2} x$ 恆為正數。
(E) 若 $lo g_{2} x = y$ ，則 $x$ 恆為正數。

下列敘述何者正確？

(A) $a > 0$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，則 $a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$ 。
(B) $2^{\frac{1}{2}} > 2^{\frac{1}{3}} > 2^{\frac{1}{4}}$ 。
(C) $(0.2)^{\frac{1}{2}} < (0.2)^{\frac{1}{3}} < (0.2)^{\frac{1}{4}}$ 。
(D) 設 $f (x) = lo g_{a} x$ ， $f (x^{4}) = 4 f (x)$ 對任意實數恆成立。
(E) 設 $f (x) = lo g_{a} x$ ，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，則 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ 。

指數函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = c^{x}

與

y = 3^{x}

的圖形如下所示，且

y = c^{x}

與

y = 3^{x}

的圖形對稱於

y

軸。試選出正確的選項。

(A) $a > 3$
(B) $b > \frac{1}{3}$
(C) $c = \frac{1}{3}$
(D) $a c > 1$
(E) $0 < b c < \frac{1}{3}$

載入中...

函數

y = a lo g x

、

y = b lo g x

、

y = c lo g x

與

y = lo g x

的圖形如下所示，已知

y = b lo g x

與

y = lo g x

兩圖形對稱於

x

軸。試選出正確選項。

(A) $a > 1$
(B) $b = - 1$
(C) $ab < - 1$
(D) $a + c = 0$
(E) $c > - 1$

載入中...

二、填充題（共70分，配分如下表）

求下列各對數的值：(1)

lo g_{4} 16

求下列各對數的值：(2)

2 lo g 5 + lo g 28 - lo g 7

求下列各對數的值：(3)

lo g_{16} 8

求下列各對數的值：(4)

lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 13 \cdot lo g_{13} 32

方程式

lo g_{3} 7 (x + 2) = 3

，求

x

。

設

lo g (3 x - 6)

有意義，求實數

x

的範圍？

試比較下列各數的大小：

a = 2 lo g \frac{5}{3}

，

b = - lo g \frac{1}{8}

，

c = \frac{1}{2} lo g 7 + lo g 3

。

試解下列各不等式的解：(1)

lo g_{5} (x + 1) \leq 2

試解下列各不等式的解：(2)

(\frac{1}{4})^{3 x - 2} > 0.125

。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，試以

a

，

b

表示

lo g_{12} 72

。

目前國際使用“芮氏規模”來表示地震的強度，設

E (r)

為地震“芮氏規模

r

”的地震，其震央所釋放的能量（單位：爾格），

E (r)

與

r

的關係如下：

lo g E (r) = 11.8 + 1.5 r

，求“芮氏規模

5

”的地震，其震央所釋放的能量是“芮氏規模

3

”的地震震央所釋放能量之多少倍。

試問方程式

4 - 3^{x} - 3 x = 0

有多少個實根？

假設某城市的人口數逐年依固定比例

r

成長。已知此城市現在有

125

萬人，

10

年後有

150

萬人，那麼

30

年後，該城市人口會有多少萬人？

放射性物質質量變為原來的一半所需經過的時間，稱為該物質的半衰期。假設某放射性物質在兩年後剩

3200

克，而八年後剩

400

克，試問該放射性物質半衰期是多少年？

2024 年 10 月 21 日人類再次發現已知最大的質數！此次被發現的最大質數為：

2

的

136, 279, 841

次方減

1

，共有

x

位數。23 個世紀之前，歐幾里德就已經證明質數有無窮多個，所以大質數的追尋是人類永無止盡的功課，近年來都是由數論學者與電腦科學家合作進行。因為

2^{136279841} - 1 \approx 2^{136279841}

，又

2^{136279841} = (1 0^{l o g 2})^{136279841} \approx 1 0^{41024319.9453} = 1 0^{0.9453} \times 1 0^{41024319}

（卷面把指數

136279841

印在第二個等號的右上方，依前後文是

(1 0^{l o g 2})

的指數），依照上式運算結果，求

x

的值為？

三、混合題(非選擇題需詳列算式，否則不予計分，共 10 分，配分如答案卷所示)

混合題（第 20～22 題）　小凱是一位小資族，工作多年的他打算開始進行投資理財，某天他走進書店，發現排行榜第一名的理財書：「長期買進」，於是他買回家開始研讀，打算開啟自己的投資人生！

(1) 書中提到，「如果你對複利的算法不熟悉，72 法則是個簡單的試算法。將

72

除以年報酬率

r

，可以得出資產加倍需要幾年的時間。以股市年報酬

9%

計算，

72 \div 9 = 8

，也就是資產每八年會翻倍一次。」根據上述算式，市面上盛行的儲蓄型保險利率為

3%

，在此利率下，若不考慮其他因素，資產翻倍的時間為幾年？（單選題）

(A) $2.16$
(B) $3$
(C) $9$
(D) $12$
(E) $24$

(2) 看完書的小凱，相信「“現在”永遠是開始投資的最佳時刻」，於是他將手邊的

10

萬元作為初始資金投入股市，按照每

8

年資產會翻倍的報酬率，假設

f (x)

是小凱投資

x

年後的本利和，求

f (x)

。（非選擇題）

(3) 根據上述的結果，小凱經過

40

年的長期投資，假設每年的投資報酬率皆相等，不考慮其他因素，則初始資金會變成多少錢。（非選擇題）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(E)

第 2 題(B)(C)

第 3 題(B)(C)(E)

第 4 題(A)(B)(C)

第 5 題

2

第 6 題

2

第 7 題

\frac{3}{4}

第 8 題

5

第 9 題

x = \frac{13}{7}

第 10 題

x > 2

第 11 題

b > c > a

第 12 題

- 1 < x \leq 24

第 13 題

x < \frac{7}{6}

第 14 題

\frac{3 a + 2 b}{2 a + b}

第 15 題

1000

倍

第 16 題

1

個

第 17 題

216

萬人

第 18 題

2

年

第 19 題

41024320

第 20 題(E)

第 21 題

f (x) = 10 \times 2^{\frac{x}{8}}

（萬元）

第 22 題

320

萬元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題：對數的定義、指數與對數函數的遞增遞減

第 1 題

答案 (A)(E)。

(A) 正確。 由對數的定義， $lo g 3$ 就是「 $10$ 的幾次方等於 $3$ 」的那個次方，所以 $1 0^{l o g 3} = 3$ 。

(B) 錯誤。 $lo g_{3} 2$ 是「 $3$ 的幾次方等於 $2$ 」，因為 $1 < 2 < 3$ ，所以 $0 < lo g_{3} 2 < 1$ ，於是 $2^{l o g_{3} 2} < 2^{1} = 2$ ，不等於 $2$ 。

(D) 錯誤。 取 $x = \frac{1}{2}$ ， $lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1 < 0$ 。 $0 < x < 1$ 時 $lo g_{2} x$ 都是負的， $x = 1$ 時是 $0$ 。

(E) 正確。 $lo g_{2} x = y$ 等同於 $x = 2^{y}$ ，而 $2^{y}$ 對任何實數 $y$ 都大於 $0$ ；而且 $lo g_{2} x$ 要有意義，真數 $x$ 本來就必須大於 $0$ 。

對數的真數一定是正的，但對數值本身可以是正、負或

0

。

第 2 題

答案 (B)(C)。

(A) 錯誤。 沒有限定 $a > 1$ 。取 $a = \frac{1}{2}$ 、 $x_{1} = 1 < x_{2} = 2$ ： $a^{x_{1}} = \frac{1}{2}$ ， $a^{x_{2}} = \frac{1}{4}$ ，反而 $a^{x_{1}} > a^{x_{2}}$ ； $a = 1$ 時兩邊都是 $1$ ，也不成立。

(B) 正確。 底數 $2 > 1$ ， $y = 2^{x}$ 遞增； $\frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4}$ ，所以 $2^{\frac{1}{2}} > 2^{\frac{1}{3}} > 2^{\frac{1}{4}}$ 。

(C) 正確。 底數 $0 < 0.2 < 1$ ， $y = (0.2)^{x}$ 遞減； $\frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4}$ ，所以函數值的大小反過來， $(0.2)^{\frac{1}{2}} < (0.2)^{\frac{1}{3}} < (0.2)^{\frac{1}{4}}$ 。

(D) 錯誤。 取 $x = - 1$ ： $f (x^{4}) = lo g_{a} 1 = 0$ ，但 $f (- 1) = lo g_{a} (- 1)$ 沒有意義，等式不能對任意實數成立。只有 $x > 0$ 時才有 $lo g_{a} x^{4} = 4 lo g_{a} x$ 。

(E) 錯誤。 沒有限定 $a > 1$ 。取 $a = \frac{1}{2}$ 、 $x_{1} = 2 < x_{2} = 4$ ： $f (2) = - 1$ ， $f (4) = - 2$ ，反而 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ 。

指數函數與對數函數的遞增或遞減只看底數：底數大於

1

遞增，底數介於

0

與

1

之間遞減。

看到「恆成立」「對任意實數」的敘述，先檢查底數與真數的限制，常常一個反例就能判斷。

02多選第 3、4 題：由圖形比較底數與係數

第 3 題

答案 (B)(C)(E)。 $y = 3^{x}$ 與 $y = a^{x}$ 的圖形往右上升， $y = b^{x}$ 與 $y = c^{x}$ 往右下降，所以 $a > 1$ ， $0 < b < 1$ ， $0 < c < 1$ 。

$y = c^{x}$ 與 $y = 3^{x}$ 對稱於 $y$ 軸，代表 $c^{x} = 3^{- x} = (\frac{1}{3})^{x}$ ，所以 $c = \frac{1}{3}$ 。

在 $x = 1$ 處， $y = a^{x}$ 的圖形在 $y = 3^{x}$ 的下方，所以 $a < 3$ ，即 $1 < a < 3$ 。在 $x = - 1$ 處， $y = b^{x}$ 在 $y = c^{x}$ 的下方： $b^{- 1} < c^{- 1} = 3$ ，即 $\frac{1}{b} < 3$ ，所以 $b > \frac{1}{3}$ ，即 $\frac{1}{3} < b < 1$ 。

(A) 錯誤。 $1 < a < 3$ 。

(B) 正確。 $\frac{1}{3} < b < 1$ 。

(D) 錯誤。 $a c = \frac{a}{3}$ ，而 $a < 3$ ，所以 $a c < 1$ 。

(E) 正確。 $b c = \frac{b}{3}$ ， $\frac{1}{3} < b < 1$ ，所以 $\frac{1}{9} < b c < \frac{1}{3}$ ，當然 $0 < b c < \frac{1}{3}$ 。

底數大於

1

時，底數越大，在

y

軸右側越陡；底數小於

1

時，底數越小，在

y

軸左側越陡。

第 4 題

答案 (A)(B)(C)。取 $x = 10$ ， $lo g 10 = 1$ ，四條曲線在 $x = 10$ 的高度分別是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $1$ ，可以直接從圖形上下的順序比較係數。

$y = b lo g x$ 與 $y = lo g x$ 對稱於 $x$ 軸，所以 $b lo g x = - lo g x$ ， $b = - 1$ 。

在 $x > 1$ 的部分， $y = a lo g x$ 在 $y = lo g x$ 的上方，所以 $a > 1$ ； $y = c lo g x$ 在 $y = b lo g x$ 的下方，所以 $c < b = - 1$ 。

(A) 正確。 $a > 1$ 。

(B) 正確。 由對稱於 $x$ 軸得 $b = - 1$ 。

(D) 錯誤。 題目只告訴我們 $a > 1$ 、 $c < - 1$ ，沒有說 $y = a lo g x$ 與 $y = c lo g x$ 對稱於 $x$ 軸，無法確定 $a + c = 0$ （例如 $a = 2$ 、 $c = - 3$ 也符合圖形的順序）。

(E) 錯誤。 $c < - 1$ 。

由圖只能讀出曲線的上下順序，讀不出確切的數值；圖上看起來差不多對稱，不能當作已知條件。

比較

y = k lo g x

的係數時，代

x = 10

讓

lo g x = 1

，圖形的高低順序就是係數的大小順序。

03填充第 1 題（第 5～8 題）：求對數的值

第 5 題

4^{2} = 16

，所以

lo g_{4} 16 = 2

。

第 6 題

2 lo g 5 + lo g 28 - lo g 7 = lo g 5^{2} + lo g 28 - lo g 7 = lo g \frac{25 \times 28}{7} = lo g 100 = 2

。

第 7 題

16 = 2^{4}

、

8 = 2^{3}

。設

lo g_{16} 8 = t

，則

1 6^{t} = 8

，即

2^{4 t} = 2^{3}

，

4 t = 3

，

t = \frac{3}{4}

。

第 8 題

用換底公式，三個對數都寫成常用對數相除：

$lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 13 \cdot lo g_{13} 32 = \frac{lo g 7}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 13}{lo g 7} \cdot \frac{lo g 32}{lo g 13} = \frac{lo g 32}{lo g 2} = lo g_{2} 32 = 5$

前一個的真數是下一個的底數時，連乘會一路消去，只剩第一個底數與最後一個真數。

同底數就用對數律合併；底數與真數都是同一個數的次方時，設成次方再比較指數。

04填充第 2～4 題（第 9～11 題）：對數方程式、有意義的條件、比大小

第 9 題底數是

3

，真數是

7 (x + 2)

。由對數的定義，

7 (x + 2) = 3^{3} = 27

，所以

x + 2 = \frac{27}{7}

，

x = \frac{27}{7} - 2 = \frac{13}{7}

。代回檢查：

7 (x + 2) = 27 > 0

，真數為正，符合。

卷面只有

3

是下標，

7 (x + 2)

是整個真數。

第 10 題

lo g (3 x - 6)

有意義，真數必須大於

0

：

3 x - 6 > 0

，所以

x > 2

。

第 11 題

把三個數都化成一個常用對數：

$a = 2 lo g \frac{5}{3} = lo g \frac{25}{9}$ ；

$b = - lo g \frac{1}{8} = lo g 8$ ；

$c = \frac{1}{2} lo g 7 + lo g 3 = lo g 7 + lo g 3 = lo g (37) = lo g 63$ 。

比較真數： $\frac{25}{9} < 3$ ； $63 > 9 = 3$ ； $63 < 64 = 8$ 。所以 $\frac{25}{9} < 63 < 8$ 。 $y = lo g x$ 是遞增函數，真數越大對數越大，因此 $b > c > a$ 。

三個數約為

0.444

、

0.903

、

0.900

；

b

與

c

很接近，要用

63 < 64

才分得出來。

比較幾個對數的大小，先全部化成同底數的一個對數，再比較真數。

05填充第 5、6 題（第 12～14 題）：對數與指數不等式、換底公式

第 12 題真數要大於

0

：

x + 1 > 0

，即

x > - 1

。又

2 = lo g_{5} 25

，底數

5 > 1

，

y = lo g_{5} x

遞增，所以

lo g_{5} (x + 1) \leq lo g_{5} 25

等同於

x + 1 \leq 25

，即

x \leq 24

。兩個條件合起來：

- 1 < x \leq 24

。

只寫

x \leq 24

會漏掉真數的限制；例如

x = - 2

時

lo g_{5} (- 1)

沒有意義。

第 13 題化成以

2

為底：

\frac{1}{4} = 2^{- 2}

，

0.125 = \frac{1}{8} = 2^{- 3}

。原不等式變成

2^{- 2 (3 x - 2)} > 2^{- 3}

。底數

2 > 1

，指數函數遞增，所以

- 2 (3 x - 2) > - 3

，即

- 6 x + 4 > - 3

，

- 6 x > - 7

，

x < \frac{7}{6}

。

若保留

\frac{1}{4}

為底，

0.125 = (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}}

，底數小於

1

，不等號要反向：

3 x - 2 < \frac{3}{2}

，結果相同。

第 14 題用換底公式：

lo g_{12} 72 = \frac{lo g 72}{lo g 12}

。

72 = 2^{3} \times 3^{2}

，

lo g 72 = 3 lo g 2 + 2 lo g 3 = 3 a + 2 b

；

12 = 2^{2} \times 3

，

lo g 12 = 2 lo g 2 + lo g 3 = 2 a + b

。所以

lo g_{12} 72 = \frac{3 a + 2 b}{2 a + b}

。

解對數不等式，先寫真數大於

0

，再依底數大於或小於

1

決定不等號方向。

06填充第 7、8 題（第 15、16 題）：芮氏規模、用圖形數實根

第 15 題

lo g E (5) = 11.8 + 1.5 \times 5 = 19.3

，

lo g E (3) = 11.8 + 1.5 \times 3 = 16.3

。兩式相減：

lo g E (5) - lo g E (3) = 3

，即

lo g \frac{E ( 5 )}{E ( 3 )} = 3

，所以

\frac{E ( 5 )}{E ( 3 )} = 1 0^{3} = 1000

倍。

規模每多

1

，能量的常用對數多

1.5

，能量約變成

1 0^{1.5} \approx 31.6

倍；多

2

就是

1 0^{3}

倍。

第 16 題方程式改寫成

3^{x} = 4 - 3 x

，實根個數就是

y = 3^{x}

與直線

y = 4 - 3 x

的交點個數。

y = 3^{x}

的底數大於

1

，圖形一路上升；直線

y = 4 - 3 x

斜率為負，一路下降。一條一直上升、一條一直下降的圖形最多交一次。又

x = 0

時

3^{0} = 1 < 4

（曲線在直線下方），

x = 1

時

3^{1} = 3 > 1

（曲線在直線上方），兩者在

0

與

1

之間確實相交。所以恰有

1

個實根。

這個根不是整數，約為

0.65

；題目只問個數，不必求出來。

方程式無法直接解時，拆成兩個熟悉的圖形，看遞增遞減與幾個點的位置就能數出交點。

07填充第 9～11 題（第 17～19 題）：成長、半衰期、位數

第 17 題每年都乘上同一個倍數

1 + r

。

10

年後是

125 (1 + r)^{10} = 150

，所以

(1 + r)^{10} = \frac{150}{125} = \frac{6}{5}

。

30

年後是

125 (1 + r)^{30} = 125 [(1 + r)^{10}]^{3} = 125 \times (\frac{6}{5})^{3} = 125 \times \frac{216}{125} = 216

（萬人）。

每

10

年人口都變成

\frac{6}{5}

倍，

30

年是連乘三次，不是加三次

25

萬人。

第 18 題從第

2

年到第

8

年經過

6

年，質量由

3200

克變成

400

克，是原來的

\frac{400}{3200} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

，也就是減半了

3

次。

6

年減半

3

次，每減半一次需要

2

年，所以半衰期是

2

年。

第 19 題題目已算出

2^{136279841} \approx 1 0^{0.9453} \times 1 0^{41024319}

。因為

0 < 0.9453 < 1

，所以

1 < 1 0^{0.9453} < 10

，這個數是「

1

到

10

之間的數」乘以

1 0^{41024319}

，整數部分有

41024319 + 1 = 41024320

位。

2^{136279841}

的質因數只有

2

，沒有因數

5

，不會是

10

的次方（末位不是

0

），減去

1

不會讓位數變少，所以

x = 41024320

。

位數是指數的整數部分再加

1

；

1 0^{41024319}

本身就有

41024320

位。

按比例變化的問題先找出「每隔一段時間乘上幾倍」；求位數就看常用對數的整數部分再加

1

。

08混合題（第 20～22 題）：72 法則與指數成長模型

第 20 題答案 (E)。依 72 法則，翻倍需要的年數約為

72 \div

年報酬率（以百分比的數字計）。利率

3%

：

72 \div 3 = 24

年。

用對數驗證：

(1.03)^{24} \approx 2.03

，確實約翻倍。

第 21 題

初始資金 $10$ 萬元，每 $8$ 年翻倍一次。 $x$ 年共翻倍 $\frac{x}{8}$ 次，所以本利和為

$f (x) = 10 \times 2^{\frac{x}{8}} （萬元）$

檢查： $f (0) = 10$ ， $f (8) = 20$ ， $f (16) = 40$ ，每 $8$ 年翻倍。

若以元為單位，則寫成

f (x) = 100000 \times 2^{\frac{x}{8}}

（元），兩者相同。

第 22 題代入

x = 40

：

f (40) = 10 \times 2^{\frac{40}{8}} = 10 \times 2^{5} = 10 \times 32 = 320

（萬元）。

40

年翻倍

5

次，初始資金變成

320

萬元。

「每

T

年變成

k

倍」的模型寫成

f (x) = f (0) \cdot k^{\frac{x}{T}}

。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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上傳考卷

常見問題

臺東高中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺東高中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題的 (A) 與 (E) 都沒有限定底數大於 1，(D) 沒有限定 x 為正，三個都要舉反例；第 4 題的 (D) 只看圖形無法確定兩個係數互為相反數；第 9 題的底數只有 3，要先把真數 7(x+2) 整個看成一個數；第 12 題解對數不等式時要記得真數必須大於 0；第 19 題要看出 10 的 0.9453 次方介於 1 與 10 之間，位數是 41024319 再加 1。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自臺東高中 113 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數的圖形、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用）

臺東高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

一、多選題(每題5分，錯一個選項得3分，錯兩個選項得1分，錯三個或以上的選項得0分)

下列敘述何者正確？

(A) $1 0^{l o g 3} = 3$ 。
(B) $2^{l o g_{3} 2} = 2$ 。
(C) $lo g 2 + lo g 3 = lo g 5$ 。
(D) $lo g_{2} x$ 恆為正數。
(E) 若 $lo g_{2} x = y$ ，則 $x$ 恆為正數。

下列敘述何者正確？

(A) $a > 0$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，則 $a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$ 。
(B) $2^{\frac{1}{2}} > 2^{\frac{1}{3}} > 2^{\frac{1}{4}}$ 。
(C) $(0.2)^{\frac{1}{2}} < (0.2)^{\frac{1}{3}} < (0.2)^{\frac{1}{4}}$ 。
(D) 設 $f (x) = lo g_{a} x$ ， $f (x^{4}) = 4 f (x)$ 對任意實數恆成立。
(E) 設 $f (x) = lo g_{a} x$ ，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，則 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ 。

指數函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = c^{x}

與

y = 3^{x}

的圖形如下所示，且

y = c^{x}

與

y = 3^{x}

的圖形對稱於

y

軸。試選出正確的選項。

(A) $a > 3$
(B) $b > \frac{1}{3}$
(C) $c = \frac{1}{3}$
(D) $a c > 1$
(E) $0 < b c < \frac{1}{3}$

載入中...

函數

y = a lo g x

、

y = b lo g x

、

y = c lo g x

與

y = lo g x

的圖形如下所示，已知

y = b lo g x

與

y = lo g x

兩圖形對稱於

x

軸。試選出正確選項。

(A) $a > 1$
(B) $b = - 1$
(C) $ab < - 1$
(D) $a + c = 0$
(E) $c > - 1$

載入中...

二、填充題（共70分，配分如下表）

求下列各對數的值：(1)

lo g_{4} 16

求下列各對數的值：(2)

2 lo g 5 + lo g 28 - lo g 7

求下列各對數的值：(3)

lo g_{16} 8

求下列各對數的值：(4)

lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 13 \cdot lo g_{13} 32

方程式

lo g_{3} 7 (x + 2) = 3

，求

x

。

設

lo g (3 x - 6)

有意義，求實數

x

的範圍？

試比較下列各數的大小：

a = 2 lo g \frac{5}{3}

，

b = - lo g \frac{1}{8}

，

c = \frac{1}{2} lo g 7 + lo g 3

。

試解下列各不等式的解：(1)

lo g_{5} (x + 1) \leq 2

試解下列各不等式的解：(2)

(\frac{1}{4})^{3 x - 2} > 0.125

。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，試以

a

，

b

表示

lo g_{12} 72

。

目前國際使用“芮氏規模”來表示地震的強度，設

E (r)

為地震“芮氏規模

r

”的地震，其震央所釋放的能量（單位：爾格），

E (r)

與

r

的關係如下：

lo g E (r) = 11.8 + 1.5 r

，求“芮氏規模

5

”的地震，其震央所釋放的能量是“芮氏規模

3

”的地震震央所釋放能量之多少倍。

試問方程式

4 - 3^{x} - 3 x = 0

有多少個實根？

假設某城市的人口數逐年依固定比例

r

成長。已知此城市現在有

125

萬人，

10

年後有

150

萬人，那麼

30

年後，該城市人口會有多少萬人？

放射性物質質量變為原來的一半所需經過的時間，稱為該物質的半衰期。假設某放射性物質在兩年後剩

3200

克，而八年後剩

400

克，試問該放射性物質半衰期是多少年？

2024 年 10 月 21 日人類再次發現已知最大的質數！此次被發現的最大質數為：

2

的

136, 279, 841

次方減

1

，共有

x

2^{136279841} - 1 \approx 2^{136279841}

，又

2^{136279841} = (1 0^{l o g 2})^{136279841} \approx 1 0^{41024319.9453} = 1 0^{0.9453} \times 1 0^{41024319}

（卷面把指數

136279841

印在第二個等號的右上方，依前後文是

(1 0^{l o g 2})

的指數），依照上式運算結果，求

x

的值為？

三、混合題(非選擇題需詳列算式，否則不予計分，共 10 分，配分如答案卷所示)

(1) 書中提到，「如果你對複利的算法不熟悉，72 法則是個簡單的試算法。將

72

除以年報酬率

r

，可以得出資產加倍需要幾年的時間。以股市年報酬

9%

計算，

72 \div 9 = 8

，也就是資產每八年會翻倍一次。」根據上述算式，市面上盛行的儲蓄型保險利率為

3%

，在此利率下，若不考慮其他因素，資產翻倍的時間為幾年？（單選題）

(A) $2.16$
(B) $3$
(C) $9$
(D) $12$
(E) $24$

(2) 看完書的小凱，相信「“現在”永遠是開始投資的最佳時刻」，於是他將手邊的

10

萬元作為初始資金投入股市，按照每

8

年資產會翻倍的報酬率，假設

f (x)

是小凱投資

x

年後的本利和，求

f (x)

。（非選擇題）

(3) 根據上述的結果，小凱經過

40

年的長期投資，假設每年的投資報酬率皆相等，不考慮其他因素，則初始資金會變成多少錢。（非選擇題）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(E)

第 2 題(B)(C)

第 3 題(B)(C)(E)

第 4 題(A)(B)(C)

第 5 題

2

第 6 題

2

第 7 題

\frac{3}{4}

第 8 題

5

第 9 題

x = \frac{13}{7}

第 10 題

x > 2

第 11 題

b > c > a

第 12 題

- 1 < x \leq 24

第 13 題

x < \frac{7}{6}

第 14 題

\frac{3 a + 2 b}{2 a + b}

第 15 題

1000

倍

第 16 題

1

個

第 17 題

216

萬人

第 18 題

2

年

第 19 題

41024320

第 20 題(E)

第 21 題

f (x) = 10 \times 2^{\frac{x}{8}}

（萬元）

第 22 題

320

萬元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題：對數的定義、指數與對數函數的遞增遞減

第 1 題

答案 (A)(E)。

(A) 正確。 由對數的定義， $lo g 3$ 就是「 $10$ 的幾次方等於 $3$ 」的那個次方，所以 $1 0^{l o g 3} = 3$ 。

(B) 錯誤。 $lo g_{3} 2$ 是「 $3$ 的幾次方等於 $2$ 」，因為 $1 < 2 < 3$ ，所以 $0 < lo g_{3} 2 < 1$ ，於是 $2^{l o g_{3} 2} < 2^{1} = 2$ ，不等於 $2$ 。

(D) 錯誤。 取 $x = \frac{1}{2}$ ， $lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1 < 0$ 。 $0 < x < 1$ 時 $lo g_{2} x$ 都是負的， $x = 1$ 時是 $0$ 。

(E) 正確。 $lo g_{2} x = y$ 等同於 $x = 2^{y}$ ，而 $2^{y}$ 對任何實數 $y$ 都大於 $0$ ；而且 $lo g_{2} x$ 要有意義，真數 $x$ 本來就必須大於 $0$ 。

對數的真數一定是正的，但對數值本身可以是正、負或

0

。

第 2 題

答案 (B)(C)。

(B) 正確。 底數 $2 > 1$ ， $y = 2^{x}$ 遞增； $\frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4}$ ，所以 $2^{\frac{1}{2}} > 2^{\frac{1}{3}} > 2^{\frac{1}{4}}$ 。

(E) 錯誤。 沒有限定 $a > 1$ 。取 $a = \frac{1}{2}$ 、 $x_{1} = 2 < x_{2} = 4$ ： $f (2) = - 1$ ， $f (4) = - 2$ ，反而 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ 。

指數函數與對數函數的遞增或遞減只看底數：底數大於

1

遞增，底數介於

0

與

1

之間遞減。

看到「恆成立」「對任意實數」的敘述，先檢查底數與真數的限制，常常一個反例就能判斷。

02多選第 3、4 題：由圖形比較底數與係數

第 3 題

答案 (B)(C)(E)。 $y = 3^{x}$ 與 $y = a^{x}$ 的圖形往右上升， $y = b^{x}$ 與 $y = c^{x}$ 往右下降，所以 $a > 1$ ， $0 < b < 1$ ， $0 < c < 1$ 。

$y = c^{x}$ 與 $y = 3^{x}$ 對稱於 $y$ 軸，代表 $c^{x} = 3^{- x} = (\frac{1}{3})^{x}$ ，所以 $c = \frac{1}{3}$ 。

(A) 錯誤。 $1 < a < 3$ 。

(B) 正確。 $\frac{1}{3} < b < 1$ 。

(D) 錯誤。 $a c = \frac{a}{3}$ ，而 $a < 3$ ，所以 $a c < 1$ 。

(E) 正確。 $b c = \frac{b}{3}$ ， $\frac{1}{3} < b < 1$ ，所以 $\frac{1}{9} < b c < \frac{1}{3}$ ，當然 $0 < b c < \frac{1}{3}$ 。

底數大於

1

時，底數越大，在

y

軸右側越陡；底數小於

1

時，底數越小，在

y

軸左側越陡。

第 4 題

答案 (A)(B)(C)。取 $x = 10$ ， $lo g 10 = 1$ ，四條曲線在 $x = 10$ 的高度分別是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $1$ ，可以直接從圖形上下的順序比較係數。

$y = b lo g x$ 與 $y = lo g x$ 對稱於 $x$ 軸，所以 $b lo g x = - lo g x$ ， $b = - 1$ 。

在 $x > 1$ 的部分， $y = a lo g x$ 在 $y = lo g x$ 的上方，所以 $a > 1$ ； $y = c lo g x$ 在 $y = b lo g x$ 的下方，所以 $c < b = - 1$ 。

(A) 正確。 $a > 1$ 。

(B) 正確。 由對稱於 $x$ 軸得 $b = - 1$ 。

(E) 錯誤。 $c < - 1$ 。

由圖只能讀出曲線的上下順序，讀不出確切的數值；圖上看起來差不多對稱，不能當作已知條件。

比較

y = k lo g x

的係數時，代

x = 10

讓

lo g x = 1

，圖形的高低順序就是係數的大小順序。

03填充第 1 題（第 5～8 題）：求對數的值

第 5 題

4^{2} = 16

，所以

lo g_{4} 16 = 2

。

第 6 題

2 lo g 5 + lo g 28 - lo g 7 = lo g 5^{2} + lo g 28 - lo g 7 = lo g \frac{25 \times 28}{7} = lo g 100 = 2

。

第 7 題

16 = 2^{4}

、

8 = 2^{3}

。設

lo g_{16} 8 = t

，則

1 6^{t} = 8

，即

2^{4 t} = 2^{3}

，

4 t = 3

，

t = \frac{3}{4}

。

第 8 題

用換底公式，三個對數都寫成常用對數相除：

$lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 13 \cdot lo g_{13} 32 = \frac{lo g 7}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 13}{lo g 7} \cdot \frac{lo g 32}{lo g 13} = \frac{lo g 32}{lo g 2} = lo g_{2} 32 = 5$

前一個的真數是下一個的底數時，連乘會一路消去，只剩第一個底數與最後一個真數。

同底數就用對數律合併；底數與真數都是同一個數的次方時，設成次方再比較指數。

04填充第 2～4 題（第 9～11 題）：對數方程式、有意義的條件、比大小

第 9 題底數是

3

，真數是

7 (x + 2)

。由對數的定義，

7 (x + 2) = 3^{3} = 27

，所以

x + 2 = \frac{27}{7}

，

x = \frac{27}{7} - 2 = \frac{13}{7}

。代回檢查：

7 (x + 2) = 27 > 0

，真數為正，符合。

卷面只有

3

是下標，

7 (x + 2)

是整個真數。

第 10 題

lo g (3 x - 6)

有意義，真數必須大於

0

：

3 x - 6 > 0

，所以

x > 2

。

第 11 題

把三個數都化成一個常用對數：

$a = 2 lo g \frac{5}{3} = lo g \frac{25}{9}$ ；

$b = - lo g \frac{1}{8} = lo g 8$ ；

$c = \frac{1}{2} lo g 7 + lo g 3 = lo g 7 + lo g 3 = lo g (37) = lo g 63$ 。

比較真數： $\frac{25}{9} < 3$ ； $63 > 9 = 3$ ； $63 < 64 = 8$ 。所以 $\frac{25}{9} < 63 < 8$ 。 $y = lo g x$ 是遞增函數，真數越大對數越大，因此 $b > c > a$ 。

三個數約為

0.444

、

0.903

、

0.900

；

b

與

c

很接近，要用

63 < 64

才分得出來。

比較幾個對數的大小，先全部化成同底數的一個對數，再比較真數。

05填充第 5、6 題（第 12～14 題）：對數與指數不等式、換底公式

第 12 題真數要大於

0

：

x + 1 > 0

，即

x > - 1

。又

2 = lo g_{5} 25

，底數

5 > 1

，

y = lo g_{5} x

遞增，所以

lo g_{5} (x + 1) \leq lo g_{5} 25

等同於

x + 1 \leq 25

，即

x \leq 24

。兩個條件合起來：

- 1 < x \leq 24

。

只寫

x \leq 24

會漏掉真數的限制；例如

x = - 2

時

lo g_{5} (- 1)

沒有意義。

第 13 題化成以

2

為底：

\frac{1}{4} = 2^{- 2}

，

0.125 = \frac{1}{8} = 2^{- 3}

。原不等式變成

2^{- 2 (3 x - 2)} > 2^{- 3}

。底數

2 > 1

，指數函數遞增，所以

- 2 (3 x - 2) > - 3

，即

- 6 x + 4 > - 3

，

- 6 x > - 7

，

x < \frac{7}{6}

。

若保留

\frac{1}{4}

為底，

0.125 = (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}}

，底數小於

1

，不等號要反向：

3 x - 2 < \frac{3}{2}

，結果相同。

第 14 題用換底公式：

lo g_{12} 72 = \frac{lo g 72}{lo g 12}

。

72 = 2^{3} \times 3^{2}

，

lo g 72 = 3 lo g 2 + 2 lo g 3 = 3 a + 2 b

；

12 = 2^{2} \times 3

，

lo g 12 = 2 lo g 2 + lo g 3 = 2 a + b

。所以

lo g_{12} 72 = \frac{3 a + 2 b}{2 a + b}

。

解對數不等式，先寫真數大於

0

，再依底數大於或小於

1

決定不等號方向。

06填充第 7、8 題（第 15、16 題）：芮氏規模、用圖形數實根

第 15 題

lo g E (5) = 11.8 + 1.5 \times 5 = 19.3

，

lo g E (3) = 11.8 + 1.5 \times 3 = 16.3

。兩式相減：

lo g E (5) - lo g E (3) = 3

，即

lo g \frac{E ( 5 )}{E ( 3 )} = 3

，所以

\frac{E ( 5 )}{E ( 3 )} = 1 0^{3} = 1000

倍。

規模每多

1

，能量的常用對數多

1.5

，能量約變成

1 0^{1.5} \approx 31.6

倍；多

2

就是

1 0^{3}

倍。

第 16 題方程式改寫成

3^{x} = 4 - 3 x

，實根個數就是

y = 3^{x}

與直線

y = 4 - 3 x

的交點個數。

y = 3^{x}

的底數大於

1

，圖形一路上升；直線

y = 4 - 3 x

斜率為負，一路下降。一條一直上升、一條一直下降的圖形最多交一次。又

x = 0

時

3^{0} = 1 < 4

（曲線在直線下方），

x = 1

時

3^{1} = 3 > 1

（曲線在直線上方），兩者在

0

與

1

之間確實相交。所以恰有

1

個實根。

這個根不是整數，約為

0.65

；題目只問個數，不必求出來。

方程式無法直接解時，拆成兩個熟悉的圖形，看遞增遞減與幾個點的位置就能數出交點。

07填充第 9～11 題（第 17～19 題）：成長、半衰期、位數

第 17 題每年都乘上同一個倍數

1 + r

。

10

年後是

125 (1 + r)^{10} = 150

，所以

(1 + r)^{10} = \frac{150}{125} = \frac{6}{5}

。

30

年後是

125 (1 + r)^{30} = 125 [(1 + r)^{10}]^{3} = 125 \times (\frac{6}{5})^{3} = 125 \times \frac{216}{125} = 216

（萬人）。

每

10

年人口都變成

\frac{6}{5}

倍，

30

年是連乘三次，不是加三次

25

萬人。

第 18 題從第

2

年到第

8

年經過

6

年，質量由

3200

克變成

400

克，是原來的

\frac{400}{3200} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

，也就是減半了

3

次。

6

年減半

3

次，每減半一次需要

2

年，所以半衰期是

2

年。

第 19 題題目已算出

2^{136279841} \approx 1 0^{0.9453} \times 1 0^{41024319}

。因為

0 < 0.9453 < 1

，所以

1 < 1 0^{0.9453} < 10

，這個數是「

1

到

10

之間的數」乘以

1 0^{41024319}

，整數部分有

41024319 + 1 = 41024320

位。

2^{136279841}

的質因數只有

2

，沒有因數

5

，不會是

10

的次方（末位不是

0

），減去

1

不會讓位數變少，所以

x = 41024320

。

位數是指數的整數部分再加

1

；

1 0^{41024319}

本身就有

41024320

位。

按比例變化的問題先找出「每隔一段時間乘上幾倍」；求位數就看常用對數的整數部分再加

1

。

08混合題（第 20～22 題）：72 法則與指數成長模型

第 20 題答案 (E)。依 72 法則，翻倍需要的年數約為

72 \div

年報酬率（以百分比的數字計）。利率

3%

：

72 \div 3 = 24

年。

用對數驗證：

(1.03)^{24} \approx 2.03

，確實約翻倍。

第 21 題

初始資金 $10$ 萬元，每 $8$ 年翻倍一次。 $x$ 年共翻倍 $\frac{x}{8}$ 次，所以本利和為

$f (x) = 10 \times 2^{\frac{x}{8}} （萬元）$

檢查： $f (0) = 10$ ， $f (8) = 20$ ， $f (16) = 40$ ，每 $8$ 年翻倍。

若以元為單位，則寫成

f (x) = 100000 \times 2^{\frac{x}{8}}

（元），兩者相同。

第 22 題代入

x = 40

：

f (40) = 10 \times 2^{\frac{40}{8}} = 10 \times 2^{5} = 10 \times 32 = 320

（萬元）。

40

年翻倍

5

次，初始資金變成

320

萬元。

「每

T

年變成

k

倍」的模型寫成

f (x) = f (0) \cdot k^{\frac{x}{T}}

。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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上傳考卷

常見問題

臺東高中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺東高中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自臺東高中 113 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

臺東高中 113 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 22 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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每一題，錯在哪一步

01多選第 1、2 題：對數的定義、指數與對數函數的遞增遞減

02多選第 3、4 題：由圖形比較底數與係數

03填充第 1 題（第 5～8 題）：求對數的值

04填充第 2～4 題（第 9～11 題）：對數方程式、有意義的條件、比大小

05填充第 5、6 題（第 12～14 題）：對數與指數不等式、換底公式

06填充第 7、8 題（第 15、16 題）：芮氏規模、用圖形數實根

07填充第 9～11 題（第 17～19 題）：成長、半衰期、位數

08混合題（第 20～22 題）：72 法則與指數成長模型

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臺東高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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