臺東高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

$\frac{1}{x}=x^{-1}$，由 $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$，$f^{\prime }(x)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$（$x\ne 0$）。

也可以用商的微分：${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{0\cdot x-1\cdot 1}{x^2}=-\frac{1}{x^2}$。

商的微分 ${\left(\frac{g}{h}\right)}^{\prime }=\frac{g^{\prime }h-g{h}^{\prime }}{h^2}$：

$$f^{\prime }(x)=\frac{2(x^2+3)-2x\cdot 2x}{(x^2+3{)}^2}=\frac{6-2x^2}{(x^2+3{)}^2}$$

$f^{\prime }(1)=\frac{6-2}{4^2}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。

積的微分 $(gh{)}^{\prime }=g^{\prime }h+g{h}^{\prime }$。令 $g(x)=x^2+x+1$，$h(x)=x^2-x+10$，則 $g^{\prime }(x)=2x+1$，$h^{\prime }(x)=2x-1$。

$g(1)=3$，$h(1)=10$，$g^{\prime }(1)=3$，$h^{\prime }(1)=1$，

$f^{\prime }(1)=g^{\prime }(1)h(1)+g(1)h^{\prime }(1)=3\cdot 10+3\cdot 1=33$。

令 $g(x)=\frac{(x-2)(x-3)(x-5)}{x-4}$，則 $f(x)=(x-1)g(x)$。

由積的微分，$f^{\prime }(x)=g(x)+(x-1)g^{\prime }(x)$，代 $x=1$ 時第二項的 $(x-1)$ 是 $0$，所以

$$f^{\prime }(1)=g(1)=\frac{(-1)(-2)(-4)}{-3}=\frac{-8}{-3}=\frac{8}{3}$$

$f^{\prime }(a)$ 是圖形在 $x=a$ 的切線斜率，先由圖形讀每一點的走勢。

$x=0$ 是圖形的最高點（極大點），$x=2$ 是圖形的最低點（極小點），在這兩點切線水平：$f^{\prime }(0)=f^{\prime }(2)=0$。

$x=-1$ 時圖形正在上升，切線斜率為正：$f^{\prime }(-1)>0$。

$x=1$ 在極大點與極小點之間，圖形正在下降，切線斜率為負：$f^{\prime }(1)<0$。

所以 $f^{\prime }(-1)>f^{\prime }(0)=f^{\prime }(2)>f^{\prime }(1)$。

導數的定義：$f^{\prime }(3)=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(3+k)-f(3)}{k}$。令 $k=-h$，$h\to 0$ 時 $k\to 0$：

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(3-h)-f(3)}{3h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot \frac{f(3-h)-f(3)}{-h}=-\frac{1}{3}{f}^{\prime }(3)$$

$=-\frac{1}{3}\times (-6)=2$。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。在 $-1\le x\le 3$ 遞減、在 $x\le -1$ 或 $x\ge 3$ 遞增，表示 $f^{\prime }(x)$ 在 $-1<x<3$ 為負、在 $x<-1$ 或 $x>3$ 為正，所以 $-1$ 與 $3$ 是 $f^{\prime }(x)=0$ 的兩根：

$$3x^2+2ax+b=3(x+1)(x-3)=3x^2-6x-9$$

比較係數：$2a=-6$，$b=-9$，得 $(a,b)=(-3,-9)$。

$f^{\prime \prime }(x)=6x-4$，往回找 $f^{\prime }(x)$：$(3x^2-4x{)}^{\prime }=6x-4$，所以 $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+c$（$c$ 為常數）。

$f^{\prime }(1)=3-4+c=2$，$c=3$，$f^{\prime }(x)=3x^2-4x+3$。

再往回：$(x^3-2x^2+3x{)}^{\prime }=3x^2-4x+3$，所以 $f(x)=x^3-2x^2+3x+d$。

$f(2)=8-8+6+d=-1$，$d=-7$。

$f(x)=x^3-2x^2+3x-7$。

從圖上看：每個角截去的四邊形，兩邊沿著原三角形的邊、兩邊垂直於原三角形的邊；把三條長方形摺起來當側面，中間的小正三角形當底。

設容器的高（截去部分垂直於邊的那段長）為 $x$ 公分。在頂點處，截去的四邊形被頂點到內側頂點的虛線分成兩個直角三角形，頂角各是 $30^{\circ }$，所以沿著邊截去的長是 $\frac{x}{\tan 30^{\circ }}=\sqrt{3}x$。

底面正三角形的邊長是 $6-2\sqrt{3}x$，需要 $0<x<\sqrt{3}$。

$$V(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}(6-2\sqrt{3}x{)}^2\cdot x=\sqrt{3}x(3-\sqrt{3}x{)}^2$$

$$V^{\prime }(x)=\sqrt{3}\left[(3-\sqrt{3}x{)}^2-2\sqrt{3}x(3-\sqrt{3}x)\right]=\sqrt{3}(3-\sqrt{3}x)(3-3\sqrt{3}x)$$

在 $0<x<\sqrt{3}$ 內，$V^{\prime }(x)=0$ 只有 $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$；$x<\frac{1}{\sqrt{3}}$ 時 $V^{\prime }>0$，$x>\frac{1}{\sqrt{3}}$ 時 $V^{\prime }<0$，所以 $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 時容積最大。

此時底邊長 $6-2=4$，最大容積 $V=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 16\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=4$（立方公分）。

與 $y=-9x+2$ 平行，切線斜率是 $-9$。

$f^{\prime }(x)=3x^2-12=-9$，$x^2=1$，$x=1$ 或 $x=-1$。

切點：$f(1)=1-12+3=-8$，$f(-1)=-1+12+3=14$。

兩條切線：過 $(1,-8)$ 得 $y=-9x+1$；過 $(-1,14)$ 得 $y=-9x+5$。

寫成 $9x+y-1=0$ 與 $9x+y-5=0$，兩平行線的距離

$$\frac{|-1-(-5)|}{\sqrt{9^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{82}}=\frac{2\sqrt{82}}{41}$$

$f^{\prime }(x)=6x^2+2ax+b$，$f^{\prime \prime }(x)=12x+2a$。

反曲點在 $x=-1$，所以 $f^{\prime \prime }(-1)=-12+2a=0$，$a=6$。

點 $(-1,2)$ 在圖形上：$f(-1)=-2+a-b=-2+6-b=2$，$b=2$。

$(a,b)=(6,2)$。

$f^{\prime }(x)=4x^3-12x=4x(x^2-3)=4x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$，臨界點 $x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3}$。

$f^{\prime }(x)$ 的正負：$x<-\sqrt{3}$ 為負，$-\sqrt{3}<x<0$ 為正，$0<x<\sqrt{3}$ 為負，$x>\sqrt{3}$ 為正。

所以 $x=0$ 處由增變減，是極大點，極大值 $f(0)=5$。

接上題，$x=\pm \sqrt{3}$ 處由減變增，都是極小點。

$f(\pm \sqrt{3})=9-18+5=-4$，極小值為 $-4$。

$f^{\prime }(x)=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)$，$x=-2$ 為極大點、$x=1$ 為極小點。

極大值 $f(-2)=-16+12+24+k=k+20$，極小值 $f(1)=2+3-12+k=k-7$。

三次函數的圖形與 $x$ 軸有三個交點，需要極大值在 $x$ 軸上方、極小值在 $x$ 軸下方：

$k+20>0$ 且 $k-7<0$，得 $-20<k<7$。

$f^{\prime }(x)=3x^2+6kx+3(k+2)=3\left[x^2+2kx+(k+2)\right]$。

三次函數有極值，需要 $f^{\prime }(x)=0$ 有兩個相異實根（$f^{\prime }$ 才會變號）：

判別式 $(2k{)}^2-4(k+2)>0$，$k^2-k-2>0$，$(k-2)(k+1)>0$，

得 $k>2$ 或 $k<-1$。

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=3$，分母趨近 $0$ 而極限存在，分子也必須趨近 $0$，所以 $f(1)=0$。

此時 $\frac{f(x)}{x-1}=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$，極限就是 $f^{\prime }(1)=3$。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$，再加上 $x=-2$ 處有極值，$f^{\prime }(-2)=0$：

$f^{\prime }(1)=3+2a+b=3$，即 $2a+b=0$；

$f^{\prime }(-2)=12-4a+b=0$，即 $-4a+b=-12$。

兩式相減 $6a=12$，$a=2$，$b=-4$。

$f(1)=1+a+b+c=1+2-4+c=0$，$c=1$。

$(a,b,c)=(2,-4,1)$。

${\overline{AP}}^2=(x-3{)}^2+(x^2-0{)}^2=x^4+x^2-6x+9$，令 $g(x)=x^4+x^2-6x+9$，$\overline{AP}$ 最小時 $g(x)$ 也最小。

$g^{\prime }(x)=4x^3+2x-6=2(2x^3+x-3)=2(x-1)(2x^2+2x+3)$。

$2x^2+2x+3$ 的判別式 $4-24<0$，恆為正，所以 $g^{\prime }(x)$ 與 $x-1$ 同號：$x<1$ 時 $g$ 遞減，$x>1$ 時 $g$ 遞增，$x=1$ 時 $g$ 最小。

$g(1)=1+1-6+9=5$，$\overline{AP}$ 的最小值為 $\sqrt{5}$，此時 $P(1,1)$。

答案 (1)(2)(3)。用導數的定義檢查 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(0)}{h}$ 是否存在，五個函數都有 $f(0)=0$。

(1) 正確。 $\frac{f_1(h)}{h}=\frac{h}{h+1}\to 0$，可微分，$f_1^{\prime }(0)=0$。

(2) 正確。 $\frac{f_2(h)}{h}=|h|\to 0$，左右都趨近 $0$，可微分，$f_2^{\prime }(0)=0$。

(3) 正確。 $|h{|}^3=h^2|h|$，$\frac{f_3(h)}{h}=h|h|\to 0$，可微分，$f_3^{\prime }(0)=0$。

(4) 錯誤。 $h$ 在 $0$ 附近時 $|h|<1$。$h>0$：$\frac{f_4(h)}{h}=\frac{1}{h-1}\to -1$；$h<0$：$|h|=-h$，$\frac{f_4(h)}{h}=\frac{-h}{h(-h-1)}=\frac{1}{h+1}\to 1$。左右極限不相等，不可微分（圖形在原點有尖角）。

(5) 錯誤。 $\frac{f_5(h)}{h}=[h]$。$0<h<1$ 時 $[h]=0$，右極限 $0$；$-1<h<0$ 時 $[h]=-1$，左極限 $-1$。不相等，不可微分。

答案 (1)(4)(5)。設三次函數 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$，$a\ne 0$。

(1) 正確。 $f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$ 是一次函數，只在 $x=-\frac{b}{3a}$ 等於 $0$，而且在這點兩側變號，所以圖形恰有一個反曲點。

(2) 錯誤。 反例 $f(x)=x^3$：$f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$，函數一路遞增，沒有極值。

(3) 錯誤。 反例 $f(x)=x^3+x$：$f^{\prime \prime }(x)=6x$，反曲點在 $(0,0)$，但 $f^{\prime }(0)=1\ne 0$。

(4) 正確。 $a>0$ 時 $x$ 愈大 $f(x)$ 愈大，沒有上限；$a<0$ 時 $x$ 往負的方向愈小 $f(x)$ 愈大，也沒有上限。所以定義在全體實數上的三次函數沒有最大值。

(5) 正確。 有極大點與極小點時，它們的 $x$ 坐標 $\alpha ,\beta$ 是 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=0$ 的兩根，$\alpha +\beta =-\frac{2b}{3a}$，中點是 $-\frac{b}{3a}$，正好是反曲點的 $x$ 坐標，三者成等差數列。

令 $f(x)=x^2-3$，是連續函數。

$f(1)=1-3=-2<0$，$f(2)=4-3=1>0$，由勘根定理，$f(x)=0$ 在 $1$ 與 $2$ 之間有實根；$x>0$ 時 $f$ 遞增，這個根就是正實根 $\sqrt{3}$。

所以 $n-1=1$，$n=2$。

牛頓法：在 $(a_0,f(a_0))$ 作 $y=f(x)$ 的切線，切線與 $x$ 軸的交點就是下一個近似值，

$$a_1=a_0-\frac{f(a_0)}{f^{\prime }(a_0)}$$

$f^{\prime }(x)=2x$，$a_0=2$，$f(2)=1$，$f^{\prime }(2)=4$：

$a_1=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$。

同樣的方法，以 $a_1=\frac{7}{4}$ 代入：

$f\left(\frac{7}{4}\right)=\frac{49}{16}-3=\frac{1}{16}$，$f^{\prime }\left(\frac{7}{4}\right)=\frac{7}{2}$。

$$a_2=\frac{7}{4}-\frac{1/16}{7/2}=\frac{7}{4}-\frac{1}{56}=\frac{98}{56}-\frac{1}{56}=\frac{97}{56}$$