段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）

臺東高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺東高中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 27 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺東高中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要畫出正弦曲線與一條過原點的直線來數交點，原點那個根只算一次；第 21 題的不等式在 0 到 2π 之間有三段解，頭尾兩段很容易漏掉；第 22 題要由最低點的位置決定角度的平移量，不能只算振幅和週期；第 24 題要先看出折痕在半徑的一半高度，再用半圓減去兩個弓形；第 26 題重複掃過的部分是半個弓形，不是整個弓形。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 27 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 27 題，照原卷順序

單一選擇題 6 題（12 分）、多重選擇題 2 題（8 分）、填充題 16 格（依答對格數給分，滿分 73 分）、計算題 1 題分 3 小題（7 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、單一選擇題(每題 2 分，共 12 分，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確的選項)

若

sin 1 = a

，則下列敘述何者正確？

(1) $0 < a < \frac{1}{2}$
(2) $\frac{1}{2} < a < \frac{2}{2}$
(3) $\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}$
(4) $\frac{3}{2} < a < 1$
(5) $- \frac{2}{2} < a < - \frac{1}{2}$

下列哪一個三角函數值最大？

(1) $sin \frac{2 π}{3}$
(2) $cos \frac{π}{2}$
(3) $sin \frac{π}{6}$
(4) $cos 1$
(5) $sin 1$

將函數

y = sin x

的圖形由

y

軸左右往中央壓縮為

\frac{1}{2}

倍，再向左平移

\frac{π}{6}

個單位，所得新圖形的函數為何？

(1) $y = sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$
(2) $y = sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$
(3) $y = sin \frac{1}{2} (x + \frac{π}{6})$
(4) $y = sin 2 (x + \frac{π}{6})$
(5) $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$

方程式

π sin x = x

的實根個數為 ____ 個。

(1) $1$
(2) $3$
(3) $5$
(4) $7$
(5) $9$

右圖是下列哪一個函數的圖形？

(1) $y = - 3 sin \frac{1}{2} x$
(2) $y = 3 sin x$
(3) $y = - 3 sin x$
(4) $y = 3 sin 2 x$
(5) $y = - 3 sin 2 x$

載入中...

π^{2}

弳為第幾象限角？

(1) 一
(2) 二
(3) 三
(4) 四
(5) 剛好在軸上

二、多重選擇題(每題 4 分，共 8 分。全答對者，得 4 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者或多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算)（本頁第 7、8 題依序為原卷多重選擇第 1、2 題）

請問下列選項何者正確？

(1) $π^{\circ} < π$
(2) 單位圓中，圓心角 $1$ 弳的弧長為 $1$ 單位
(3) 單位圓中，圓心角 $1$ 弳的扇形面積為 $1$ 平方單位
(4) $sin (θ + \frac{π}{2}) = cos θ$
(5) $y = sin x$ 的圖形只有一條對稱軸

請問下列選項何者正確？

(1) 將 $y = sin x$ 的圖形以 $(π, 0)$ 為中心，旋轉 $18 0^{\circ}$ 後，可得到相同圖形
(2) $y = sin x$ 上移 $\frac{π}{3}$ 可得 $y = sin (x + \frac{π}{3})$
(3) $y = 3 sin x$ 與 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 有相同的週期
(4) $y = sin x$ 水平伸縮 $\frac{1}{3}$ 倍，可得函數 $y = sin \frac{1}{3} x$
(5) $y = sin 3 x$ 的振幅為 $3$

三、填充題：(共 73 分，配分如答案卷之表格)　答對格數 1～16 格依序得 10、20、28、36、40、45、50、54、58、60、62、64、66、68、70、73 分。（本頁第 9～24 題依序為原卷填充 1(1)、1(2)、2(1)、2(2)、3(1)、3(2)、4(1)、4(2)、5、6(1)、6(2)、7、8、9、10、11）

將下列各度數化為弳：(1)

6 0^{\circ} =

____（弳）

將下列各度數化為弳：(2)

11 0^{\circ} =

____（弳）

將下列各弳化為度數：(1)

π

（弳）

=

____ 度

將下列各弳化為度數：(2)

3

（弳）

=

____ 度

設一扇形的半徑為

5

，圓心角為

2

（弳），則此扇形 (1) 周長為 ____。

設一扇形的半徑為

5

，圓心角為

2

（弳），則此扇形 (2) 面積為 ____。

求下列各函數值：(1)

sin \frac{π}{6} =

____。

求下列各函數值：(2)

cos \frac{2 π}{3} =

____。

設

sin θ = - \frac{3}{5}

，且

θ

為第四象限角，試求

sin (π + θ) =

____。

試求函數

y = 2 sin (3 x + \frac{π}{4}) + 5

的 (1) 週期為 ____。

試求函數

y = 2 sin (3 x + \frac{π}{4}) + 5

的 (2) 振幅為 ____。

將正弦函數

y = sin x

圖形向右平移

\frac{π}{4}

單位，再向上平移

2

單位，得到函數為 ____。

在

0 \leq x \leq 2 π

範圍內，求不等式

- \frac{1}{2} \leq sin x \leq \frac{1}{2}

的解為 ____。

甲地在某一天從

6

至

14

點的溫度變化曲線如右圖，若此溫度變化曲線可表為

y = a sin (b x + c) + d

，其中

a > 0

，

b > 0

，

d > 0

，

0 < c < π

，該函數通過點

(6, 10)

及

(14, 30)

，則

(a, b, c, d)

為 ____。

載入中...

如圖，阿里山小火車模型採用傳統的輪軸推進器，火車頭的輪軸轉動如示意圖。設輪圈的半徑

50

公分，而輪軸轉動時，

A

，

B

兩點距離地面的高度

y

（公分）與時間

t

（秒）的關係式為

y = f (t) = a sin (b t + \frac{π}{2}) + c

，其中

a

，

b

，

c

為常數，且

a > 0

，

b > 0

，若輪軸轉動一圈的時間為

4

秒，則

(a, b, c) =

____。

載入中...

將半徑為

4

的半圓以附圖方式對折，使得折痕與直徑平行，且圓心

O

在

C D

上（依附圖與學校答案，指對折後的弧

C D

通過圓心

O

），試求斜線區域面積為 ____。

載入中...

四、計算題 (共 7 分，並請書寫計算過程，若只寫答案卻沒有計算過程，則不予計分)（本頁第 25～27 題依序為原卷計算第 1 題的 (1)、(2)、(3)，配分 2、4、1 分）

計算題第 1 題（第 25～27 題）　二種雨刷設計如下：甲方式：裝

1

支

2

英呎長的雨刷可完整擺動

180

度（如圖一）。乙方式：裝

2

支

2

英呎長的雨刷，因受限於電動馬達位置兩支雨刷需相距

1

英呎，且每支雨刷只能擺動

90

度（如圖二）。若在裝置

2

英呎的雨刷下，試求以下問題：

(1) 如圖一，單支雨刷設計時，雨刷所能掃過的面積幾平方英呎？（2 分）　

(A) 4 π (B) 4 (C) 2 π (D) 2 (E) π

載入中...

(2) 如圖二，兩支雨刷設計時，雨刷重複掃過部分的面積為 ____ 平方英呎，所能掃過的總面積為 ____ 平方英呎。（4 分）

載入中...

(3) 由 (1)、(2) 知，甲、乙哪種方式裝置所能掃過的面積較大？ ____（1 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(1)

第 3 題(4)

第 4 題(2)

第 5 題(5)

第 6 題(3)

第 7 題(1)(2)(4)

第 8 題(1)(3)

第 9 題

\frac{π}{3}

第 10 題

\frac{11}{18} π

第 11 題

180

第 12 題

\frac{540}{π}

第 13 題

20

第 14 題

25

第 15 題

\frac{1}{2}

第 16 題

- \frac{1}{2}

第 17 題

\frac{3}{5}

第 18 題

\frac{2}{3} π

第 19 題

2

第 20 題

y = sin (x - \frac{π}{4}) + 2

第 21 題

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

或

\frac{11 π}{6} \leq x \leq 2 π

第 22 題

(10, \frac{π}{8}, \frac{3 π}{4}, 20)

第 23 題

(50, \frac{π}{2}, 50)

第 24 題

83 - \frac{8}{3} π

第 25 題(C)

第 26 題重複掃過

\frac{2}{3} π - \frac{3}{2}

平方英呎；總面積

\frac{4}{3} π + \frac{3}{2}

平方英呎

第 27 題甲方式

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：弧度角的三角函數值

第 1 題答案 (3)。這裡的

1

是

1

弳。

\frac{π}{4} \approx 0.785

、

\frac{π}{3} \approx 1.047

，所以

\frac{π}{4} < 1 < \frac{π}{3}

。角從

0

增加到

\frac{π}{2}

時正弦值一路變大，因此

sin \frac{π}{4} < sin 1 < sin \frac{π}{3}

，即

\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}

。

1

弳約

57. 3^{\circ}

，介於

4 5^{\circ}

與

6 0^{\circ}

之間；沒有度的記號就是弳。

第 2 題答案 (1)。

sin \frac{2 π}{3} = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

；

cos \frac{π}{2} = 0

；

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

1

弳介於

\frac{π}{4}

與

\frac{π}{3}

之間，所以

sin 1 < sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，而

cos 1 < cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2} < \frac{3}{2}

。五個值中最大的是

sin \frac{2 π}{3}

。

五個值約為

0.866

、

0

、

0.5

、

0.540

、

0.841

；

sin 1

很接近但還是比

\frac{3}{2}

小。

弧度角先用

π \approx 3.14

找出它夾在哪兩個特殊角之間，再用正弦、餘弦的遞增遞減比大小。

02單選第 3～6 題：圖形的伸縮平移、數實根、讀圖、象限

第 3 題答案 (4)。以

y

軸為中心左右壓縮為

\frac{1}{2}

倍，是把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

。再向左平移

\frac{π}{6}

，是把

x

換成

x + \frac{π}{6}

，得

y = sin 2 (x + \frac{π}{6})

。

平移是對

x

本身做的，所以

\frac{π}{6}

要和

x

一起放在括號裡再乘以

2

；選項 (5) 的

sin (2 x + \frac{π}{6}) = sin 2 (x + \frac{π}{12})

只向左平移了

\frac{π}{12}

。

第 4 題答案 (2)。原式同除以

π

得

sin x = \frac{x}{π}

，實根個數就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{π}

的交點個數。正弦值在

- 1

與

1

之間，所以只需看

- π \leq x \leq π

。

x = 0

是一個根。在

0 < x \leq π

：

x = \frac{π}{2}

時曲線的高度是

1

、直線才

\frac{1}{2}

，曲線在直線上方；

x = π

時曲線的高度是

0

、直線是

1

，曲線在直線下方，所以中間交

1

點（曲線在這一段是向上凸的拱形，與過原點的直線除原點外只會再交一次）。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

1

個根。共

3

個。

直線在

x = π

時高度剛好是

1

，但那裡

sin π = 0

，所以

x = \pm π

不是根；超過

π

之後直線高度大於

1

，不會再有交點。

第 5 題答案 (5)。圖形最高到

3

、最低到

- 3

，振幅是

3

。圖形與

x

軸在

0

、

\frac{π}{2}

、

π

相交，相鄰兩個交點相隔半個週期，所以週期是

π

，函數是

y = 3 sin 2 x

或

y = - 3 sin 2 x

。圖形通過原點後先往下降，而

x

略大於

0

時

sin 2 x > 0

，所以係數是負的，

y = - 3 sin 2 x

。

振幅和週期只能決定到正負號之前，最後要看圖形通過原點後先升還是先降。

第 6 題答案 (3)。

π^{2} \approx 9.87

，減去一圈

2 π \approx 6.28

得

3.59

，兩者是同界角。

π \approx 3.14 < 3.59 < \frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以是第三象限角。

也可以不用小數：

π^{2} - 2 π = π (π - 2)

，而

1 < π - 2 < \frac{3}{2}

，所以

π < π (π - 2) < \frac{3 π}{2}

。

方程式一邊是正弦、一邊是直線時，畫兩個圖形數交點；先用正弦值的範圍把

x

的範圍框出來。

03多選第 1、2 題（第 7、8 題）：弧度的基本性質與正弦圖形

第 7 題答案 (1)(2)(4)。(1) 對：

π^{\circ}

大約是

3.1 4^{\circ}

，換成弳是

π \times \frac{π}{180} \approx 0.055

；右邊沒有度的記號，是

π

弳，也就是

18 0^{\circ}

，所以

π^{\circ} < π

。(2) 對：弧長

= r θ = 1 \times 1 = 1

。(3) 錯：扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 1^{2} \times 1 = \frac{1}{2}

。(4) 對：

\frac{π}{2}

弳就是

9 0^{\circ}

，這是高一廣義角學過的

sin (9 0^{\circ} + θ) = cos θ

：在單位圓上把角

θ

的終邊逆時針再轉

9 0^{\circ}

，點

(cos θ, sin θ)

轉到

(- sin θ, cos θ)

，新的

y

坐標

cos θ

就是

sin (θ + \frac{π}{2})

。(5) 錯：每一條通過最高點或最低點的鉛直線

x = \frac{π}{2}

、

x = \frac{3 π}{2}

、

x = - \frac{π}{2}

、

\dots

都是對稱軸，有無限多條。

(3) 的面積公式有

\frac{1}{2}

，不要和弧長公式混在一起。

第 8 題答案 (1)(3)。(1) 對：

y = sin x

的圖形對稱於它與

x

軸的每一個交點，

(π, 0)

是其中之一，繞它旋轉

18 0^{\circ}

後與原圖形重合。(2) 錯：上移

\frac{π}{3}

得到的是

y = sin x + \frac{π}{3}

；

y = sin (x + \frac{π}{3})

是向左平移

\frac{π}{3}

。(3) 對：上下伸縮與左右平移都不改變週期，兩者的週期都是

2 π

。(4) 錯：水平伸縮為

\frac{1}{3}

倍是把

x

換成

3 x

，得

y = sin 3 x

；

y = sin \frac{1}{3} x

是水平伸縮為

3

倍。(5) 錯：

y = sin 3 x

的最大值是

1

、最小值是

- 1

，振幅是

1

；

3

影響的是週期，週期為

\frac{2 π}{3}

。

寫在

x

旁邊的數管左右方向（平移、週期），寫在

sin

外面的數管上下方向（平移、振幅）。

04填充第 1～3 題（第 9～14 題）：度與弳互換、扇形的周長與面積

第 9 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

6 0^{\circ} = 60 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{3}

（弳）。

第 10 題

11 0^{\circ} = 110 \times \frac{π}{180} = \frac{11}{18} π

（弳）。

第 11 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，答案是

180

度。

第 12 題

1

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π}

，所以

3

弳

= 3 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} = \frac{540}{π}

度。

3

弳沒有

π

，換成度之後

π

留在分母，約

171. 9^{\circ}

。

第 13 題弧長

= r θ = 5 \times 2 = 10

。扇形的周長是弧長加上兩條半徑：

10 + 5 + 5 = 20

。

周長不是只有弧長，兩條半徑也要算。

第 14 題面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 5^{2} \times 2 = 25

。

度與弳互換只記

18 0^{\circ} = π

弳；扇形的弧長是

r θ

、面積是

\frac{1}{2} r^{2} θ

，

θ

要用弳。

05填充第 4、5 題（第 15～17 題）：弧度角的三角函數值

第 15 題

\frac{π}{6} = 3 0^{\circ}

，

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

第 16 題

\frac{2 π}{3} = 12 0^{\circ}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{3}

，餘弦為負：

cos \frac{2 π}{3} = - cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}

。

第 17 題角度加

π

（

18 0^{\circ}

）後，終邊轉到正對面，正弦值變號：

sin (π + θ) = - sin θ = - (- \frac{3}{5}) = \frac{3}{5}

。

這一題只用到

sin θ

的值；

θ

在第四象限，

π + θ

就在第二象限，正弦為正，與答案的正號相符。

06填充第 6～8 題（第 18～21 題）：週期、振幅、平移、正弦不等式

第 18 題

x

的係數是

3

，週期

= \frac{2 π}{3}

。裡面的

+ \frac{π}{4}

和外面的

+ 5

都只是平移，不影響週期。

第 19 題

- 1 \leq sin (3 x + \frac{π}{4}) \leq 1

，所以

3 \leq y \leq 7

。振幅

= \frac{7 - 3}{2} = 2

，就是

sin

前面的係數。

+ 5

是把圖形整個上移，最大值變成

7

，但振幅仍是

2

。

第 20 題向右平移

\frac{π}{4}

是把

x

換成

x - \frac{π}{4}

，得

y = sin (x - \frac{π}{4})

；再向上平移

2

是把函數值加

2

，得

y = sin (x - \frac{π}{4}) + 2

。

向右是減、向左是加，方向和直覺相反。

第 21 題在

0 \leq x \leq 2 π

畫出

y = sin x

的圖形，再畫水平線

y = \frac{1}{2}

與

y = - \frac{1}{2}

，要找曲線夾在兩條線之間（含線上）的部分。

sin x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

；

sin x = - \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

。曲線從

0

升到

\frac{1}{2}

（

x = \frac{π}{6}

）之後超出上面那條線，到

x = \frac{5 π}{6}

降回來，一路降到

- \frac{1}{2}

（

x = \frac{7 π}{6}

）之後落到下面那條線以下，到

x = \frac{11 π}{6}

才升回來。所以解是

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

或

\frac{11 π}{6} \leq x \leq 2 π

。

共三段。頭尾兩段（從

0

開始、到

2 π

結束）最容易漏掉；不等式有等號，端點都要包含。

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

、

b > 0

）：振幅是

a

、週期是

\frac{2 π}{b}

，

c

與

d

只管平移。

07填充第 9、10 題（第 22、23 題）：用正弦型函數描述溫度與輪圈上一點的高度

第 22 題由圖，這段曲線從最低點

(6, 10)

一路上升到最高點

(14, 30)

。最大值

a + d = 30

、最小值

- a + d = 10

，解得

a = 10

、

d = 20

。從最低點到相鄰的最高點是半個週期，所以週期

= 2 \times (14 - 6) = 16

，

\frac{2 π}{b} = 16

，

b = \frac{π}{8}

。

x = 6

時在最低點，所以

sin (\frac{π}{8} \times 6 + c) = - 1

，即

\frac{3 π}{4} + c = \frac{3 π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = \frac{3 π}{4} + 2 k π

；在

0 < c < π

的範圍內只有

c = \frac{3 π}{4}

。所以

(a, b, c, d) = (10, \frac{π}{8}, \frac{3 π}{4}, 20)

。

檢查：

x = 14

時

\frac{π}{8} \times 14 + \frac{3 π}{4} = \frac{5 π}{2}

，

sin \frac{5 π}{2} = 1

，

y = 10 + 20 = 30

，與圖相符。

第 23 題由圖，

A

、

B

在輪圈上，輪圈的半徑是

50

公分，輪圈貼著地面，所以輪心離地

50

公分。輪子轉動時，

A

、

B

最高在輪圈頂端，離地

100

公分；最低在輪圈底端，離地

0

公分。

y = a sin (b t + \frac{π}{2}) + c

的最大值是

a + c

、最小值是

- a + c

（

a > 0

），所以

a + c = 100

、

- a + c = 0

，得

a = 50

、

c = 50

。轉一圈

4

秒就是週期為

4

：

\frac{2 π}{b} = 4

，

b = \frac{π}{2}

。所以

(a, b, c) = (50, \frac{π}{2}, 50)

。

c

是輪心的高度、

a

是點到輪心的距離。式子裡的

\frac{π}{2}

表示

t = 0

時這個點在最高處。

週期性的模型先讀最大值與最小值求出振幅和上下平移量，再由週期求

b

，最後代一個已知點定出

c

。

08填充第 11 題（第 24 題）：半圓對折後的斜線面積

第 24 題對折後，原來在折痕

\overline{C D}

上方的弧落到下方並通過圓心

O

。弧的最高點到直徑的距離是半徑

4

，它折下來後落在

O

，所以折痕在兩者的正中間，

\overline{C D}

與直徑

\overline{A B}

的距離是

2

。設

\overline{C D}

的中點為

M

，則

\overline{O M} = 2

、

\overline{O C} = 4

，直角三角形

O M C

中

cos ∠ C O M = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

，

∠ C O M = \frac{π}{3}

，所以

∠ C O D = \frac{2 π}{3}

，

\overline{C M} = 23

，

\overline{C D} = 43

。折痕上方的弓形面積

=

扇形

O C D - △ O C D = \frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 43 \times 2 = \frac{16 π}{3} - 43

。折下來的部分與這個弓形全等，而且完全落在半圓內、折痕下方。斜線區域

=

半圓

-

折痕上方的弓形

-

折下來的弓形

= \frac{1}{2} \times π \times 4^{2} - 2 (\frac{16 π}{3} - 43) = 8 π - \frac{32 π}{3} + 83 = 83 - \frac{8}{3} π

。

原卷題幹印作「圓心

O

在

C D

上」，依附圖是指對折後的弧

C D

通過圓心

O

（

O

是直徑

\overline{A B}

的中點，不在折痕上）。答案約

5.48

。

對折前後的圖形全等，折痕在對應點的正中間；弓形面積等於扇形減三角形。

09計算題第 1 題（第 25～27 題）：兩種雨刷掃過的面積

第 25 題答案 (C)。雨刷長

2

英呎、擺動

18 0^{\circ} = π

弳，掃過的是半徑

2

、圓心角

π

的扇形（半圓）：面積

= \frac{1}{2} \times 2^{2} \times π = 2 π

平方英呎。

第 26 題設左邊雨刷的轉軸為

P

、右邊的為

Q

，

\overline{P Q} = 1

。每支雨刷從鉛直位置向左擺到水平，掃過半徑

2

、圓心角

\frac{π}{2}

的扇形，一個扇形的面積是

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{2} = π

，兩個合計

2 π

。左邊的扇形在過

P

的鉛直線左側。右邊的扇形伸到這條鉛直線左側的部分，是由這條鉛直線、地面那條水平線與右邊的弧圍成的；這一塊上的每一點到

Q

的距離不超過

2

，到

P

的距離更近，所以整塊都在左邊的扇形內，它就是重複掃過的部分。設右邊的弧與過

P

的鉛直線交於

T

：直角三角形

QP T

中

\overline{QP} = 1

、

\overline{QT} = 2

，所以

\overline{P T} = 2^{2} - 1^{2} = 3

，

cos ∠ P QT = \frac{1}{2}

，

∠ P QT = \frac{π}{3}

。重複部分

=

扇形（圓心

Q

、半徑

2

、圓心角

\frac{π}{3}

）

- △ QP T = \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = \frac{2}{3} π - \frac{3}{2}

（平方英呎）。掃過的總面積

=

兩個扇形的和

-

重複部分

= 2 π - (\frac{2}{3} π - \frac{3}{2}) = \frac{4}{3} π + \frac{3}{2}

（平方英呎）。

重複的部分只有鉛直線左側、水平線上方那一塊，是半個弓形；若用整個弓形

\frac{4}{3} π - 3

去扣就多扣了一倍。兩個值約為

1.23

與

5.05

。

第 27 題甲方式掃過

2 π

平方英呎，乙方式掃過

\frac{4}{3} π + \frac{3}{2}

平方英呎。兩者相減：

2 π - (\frac{4}{3} π + \frac{3}{2}) = \frac{2}{3} π - \frac{3}{2}

，這正是第 (2) 小題重複掃過的面積，是正的（約

2.09 - 0.87 = 1.23

）。所以

2 π > \frac{4}{3} π + \frac{3}{2}

，甲方式掃過的面積較大。

用近似值比：甲約

6.28

，乙約

4.19 + 0.87 = 5.05

。

兩塊區域合起來的面積等於各自面積的和減去重疊的部分；重疊部分用扇形減三角形來算。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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臺東高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要畫出正弦曲線與一條過原點的直線來數交點，原點那個根只算一次；第 21 題的不等式在 0 到 2π 之間有三段解，頭尾兩段很容易漏掉；第 22 題要由最低點的位置決定角度的平移量，不能只算振幅和週期；第 24 題要先看出折痕在半徑的一半高度，再用半圓減去兩個弓形；第 26 題重複掃過的部分是半個弓形，不是整個弓形。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自臺東高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

臺東高中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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03多選第 1、2 題（第 7、8 題）：弧度的基本性質與正弦圖形

04填充第 1～3 題（第 9～14 題）：度與弳互換、扇形的周長與面積

05填充第 4、5 題（第 15～17 題）：弧度角的三角函數值

06填充第 6～8 題（第 18～21 題）：週期、振幅、平移、正弦不等式

07填充第 9、10 題（第 22、23 題）：用正弦型函數描述溫度與輪圈上一點的高度

08填充第 11 題（第 24 題）：半圓對折後的斜線面積

09計算題第 1 題（第 25～27 題）：兩種雨刷掃過的面積

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臺東高中 113 上
高二第一次段考
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