建國中學 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答 ×。若 $L_1$ 與 $L_2$ 對稱於 $L$，則 $L_1$ 與 $L$ 的交點（在 $L$ 上，對稱點是自己）也必須在 $L_2$ 上。

解 $L_1:x-1=3y$ 與 $L:y=x-1$：$y=3y$，$y=0$，$x=1$，交點 $(1,0)$。代入 $L_2$：$3\cdot 1-1=2\ne 0$，$(1,0)$ 不在 $L_2$ 上，所以兩直線不對稱於 $L$。

答 ×。題目的式子是 $L_1$、$L_2$ 的鈍交角平分線，銳交角平分線要取負號。

兩直線都過原點，$L_1$ 的斜率是 $3$，$L_2$ 的斜率是 $2$。兩直線在第一象限的部分是從原點出發、經過 $(1,2)$ 與 $(1,3)$ 的兩條射線，都在第一象限內，夾角小於 $90^{\circ }$，這就是銳交角。取點 $(2,5)$（與原點連線的斜率 $\frac{5}{2}$ 介於 $2$ 與 $3$ 之間），它在這個銳交角內部：$3x-y=1>0$，$2x-y=-1<0$，兩式異號。

所以銳交角內的點使 $3x-y$ 與 $2x-y$ 異號，銳交角平分線是

$$\frac{3x-y}{\sqrt{10}}=-\frac{2x-y}{\sqrt{5}}$$

而題目寫的同號式子是另一條（鈍交角）平分線。

答案 (1)。三邊所在直線：$\overleftrightarrow{AB}:y=0$；$\overleftrightarrow{BC}$ 過 $(0,0)$、$(2,-1)$：$x+2y=0$；$\overleftrightarrow{AC}$ 過 $(1,0)$、$(2,-1)$，斜率 $-1$：$x+y-1=0$。

內部的點與第三個頂點在同一側：$C$ 代入 $y$ 得 $-1<0$，所以 $y<0$；$A$ 代入 $x+2y$ 得 $1>0$，所以 $x+2y>0$；$B$ 代入 $x+y-1$ 得 $-1<0$，所以 $x+y-1<0$。合起來是選項 (1)。

答案 (2)。不等式中 $x$ 換成 $-x$、$y$ 換成 $-y$ 都不變，區域對兩軸對稱，先看第一象限（含兩軸正向）：$x^2+y^2\le x+y$，配方得 ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{1}{2}$，是圓心 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$、半徑 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 的圓盤落在第一象限的部分。

這個圓過 $(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$。$x$ 軸截出弦 $(0,0)$～$(1,0)$，弦長 $1$，圓心到兩端點的半徑互相垂直（$1^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$），所以被切掉的弓形面積是四分之一圓減去直角三角形：$\frac{1}{4}\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4}$。$y$ 軸切掉的弓形一樣大。

第一象限面積：$\frac{\pi }{2}-2\left(\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}$。四個象限共 $4\left(\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\right)=\pi +2$。

答案 (3)。圓心 $Q(2,-1)$，半徑 $\sqrt{6}$，$\overline{OQ}=\sqrt{5}<\sqrt{6}$，原點在圓內。

圓上的點 $P$ 到 $O$ 的距離，最小是 $\sqrt{6}-\sqrt{5}$（$P$ 在射線 $QO$ 方向上），最大是 $\sqrt{6}+\sqrt{5}$（$P$ 在反方向上）。$P$ 從最近點沿圓走到最遠點，$\overline{OP}$ 連續地變化；圓的上下兩半對直線 $OQ$ 對稱，所以介於最小與最大之間的每個距離各恰有兩個點。

$\sqrt{6}-\sqrt{5}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間；$\sqrt{6}+\sqrt{5}$ 介於 $2.4+2.2=4.6$ 與 $2.5+2.3=4.8$ 之間。所以整數距離是 $1,2,3,4$，共 $4\times 2=8$ 個點。

答案 (3)。圓心 $O(0,0)$ 到 $L$ 的距離 $\frac{|-20|}{\sqrt{3^2+4^2}}=4$，弦長 $\overline{AB}=2\sqrt{25-16}=6$。

$△ABP$ 面積為 $3$：$\frac{1}{2}\cdot 6\cdot h=3$，$P$ 到 $L$ 的距離 $h=1$。這樣的點在與 $L$ 平行、距離 $1$ 的兩條直線 $3x+4y=25$、$3x+4y=15$ 上。

$3x+4y=25$ 到圓心的距離 $5$ 等於半徑，相切，只有 $1$ 個點；$3x+4y=15$ 到圓心的距離 $3<5$，交於 $2$ 個點。共 $3$ 個。

答案 5。$M$、$N$ 在 $y$ 軸的兩側，先把 $M$ 對 $y$ 軸作對稱點 $M^{\prime }(2,1)$，$P$ 在 $y$ 軸上，所以 $\overline{PM}=\overline{P{M}^{\prime }}$。

$M^{\prime }$、$N$ 在 $y$ 軸同側，由三角形兩邊之差小於第三邊：$\left|\overline{P{M}^{\prime }}-\overline{PN}\right|\le \overline{M^{\prime }N}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，等號在 $P$、$M^{\prime }$、$N$ 共線且 $P$ 在線段 $\overline{M^{\prime }N}$ 外時成立。

直線 $M^{\prime }N$：$y-1=\frac{3}{4}(x-2)$，令 $x=0$ 得 $y=-\frac{1}{2}$，$P\left(0,-\frac{1}{2}\right)$ 在 $M^{\prime }$ 外側，等號成立。最大值為 $5$。

答案 2、3，即 $2x+3y=12$。設 $L$ 的 $x$ 截距 $a>0$、$y$ 截距 $b>0$，$L:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，過 $(3,2)$：$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1$。

由算幾不等式：$1=\frac{3}{a}+\frac{2}{b}\ge 2\sqrt{\frac{6}{ab}}$，得 $ab\ge 24$，面積 $\frac{1}{2}ab\ge 12$。等號在 $\frac{3}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{2}$，即 $a=6$、$b=4$ 時成立。

$L:\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$，乘 $12$ 得 $2x+3y=12$。

答案 13。$\sqrt{(t-11{)}^2+4(t-4{)}^2}=\sqrt{(t-11{)}^2+(2t-8{)}^2}$，所以原式是點 $P(t,2t)$ 到 $A(11,8)$ 與到 $B(3,1)$ 的距離和，$P$ 在直線 $y=2x$（即 $2x-y=0$）上。

$A$ 代入 $2x-y$ 得 $14>0$，$B$ 代入得 $5>0$，兩點在直線同側。作 $B$ 關於 $2x-y=0$ 的對稱點 $B^{\prime }$：設 $B^{\prime }(p,q)$，$\overline{B{B}^{\prime }}$ 的中點 $\left(\frac{p+3}{2},\frac{q+1}{2}\right)$ 在 $y=2x$ 上，且 $\overline{B{B}^{\prime }}$ 的斜率 $\frac{q-1}{p-3}=-\frac{1}{2}$，解得 $B^{\prime }(-1,3)$。

$\overline{PA}+\overline{PB}=\overline{PA}+\overline{P{B}^{\prime }}\ge \overline{A{B}^{\prime }}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，$A$、$B^{\prime }$ 在直線兩側，線段 $\overline{A{B}^{\prime }}$ 與直線相交，等號可以成立。最小值為 $13$。

答案 2、2、3，即 $x^2+y^2-2x-2y-3=0$。圓心到 $A$、$B$ 等距，在 $\overline{AB}$ 的中垂線上：$\overline{AB}$ 中點 $\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right)$、斜率 $-1$，中垂線為 $y=x$。

與 $2x+y-3=0$ 聯立：$3x=3$，圓心 $(1,1)$。半徑平方 $(2-1{)}^2+(3-1{)}^2=5$。

$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=5$ 展開：$x^2+y^2-2x-2y-3=0$。

答案 1、6、2，即 $x^2+y^2+x-6y-2=0$。圓 $C:(x-1{)}^2+y^2=1$，圓心 $O_1(1,0)$。

切線垂直過切點的半徑：$\angle PA{O}_1=\angle PB{O}_1=90^{\circ }$，所以 $A$、$B$ 都在以 $\overline{P{O}_1}$ 為直徑的圓上，這個圓就是過 $P$、$A$、$B$ 的圓。

以 $(-2,6)$、$(1,0)$ 為直徑兩端點的圓：$(x+2)(x-1)+(y-6)(y-0)=0$，展開得 $x^2+y^2+x-6y-2=0$。

答案 2、2、6，即 $x^2+y^2+2x+2y-6=0$。$\overline{PB}=2\overline{PA}$，兩邊平方：$(x+5{)}^2+(y+5{)}^2=4\left[(x+2{)}^2+(y+2{)}^2\right]$。

展開：$x^2+y^2+10x+10y+50=4x^2+4y^2+16x+16y+32$，整理得 $3x^2+3y^2+6x+6y-18=0$，除以 $3$：$x^2+y^2+2x+2y-6=0$。

答案 38，即 $38\pi$。兩直線 $x-y=1$、$x-y=5$ 平行。弦長相等，圓心到兩直線的距離相等，圓心在兩線正中間的直線 $x-y=3$ 上，距離為 $\frac{|3-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$。

半弦長 $6$，半徑平方 $r^2=6^2+(\sqrt{2}{)}^2=38$，面積 $38\pi$。

答案 $(m,n,k)=(-2,-7,-6)$。$P(2,1)$ 在 $L$ 上：$2+4+k=0$，$k=-6$。

圓心 $\left(-\frac{m}{2},-3\right)$。切線垂直過切點的半徑：$L$ 的斜率是 $-\frac{1}{4}$，所以圓心與 $P(2,1)$ 連線的斜率是 $4$：$\frac{1-(-3)}{2-\left(-\frac{m}{2}\right)}=4$，即 $2+\frac{m}{2}=1$，$m=-2$。

$P$ 在圓上：$4+1-2\cdot 2+6\cdot 1+n=0$，$n=-7$。

答案 7、3，即 $\frac{7}{3}$。$A$ 關於 $x$ 軸的對稱點 $A^{\prime }(-3,-4)$。光線在 $Q$ 反射後，反射光線落在直線 $A^{\prime }Q$ 上（從 $Q$ 往上的部分）。圓 $C$ 整個在 $x$ 軸上方，所以「反射光線與圓相交」等於「直線 $A^{\prime }Q$ 與圓相交」。

設 $Q(q,0)$，直線 $A^{\prime }Q$：$4x-(q+3)y-4q=0$（過 $(q,0)$ 與 $(-3,-4)$）。圓心 $(7,6)$ 到它的距離不超過半徑 $2$：

$$\frac{|28-6(q+3)-4q|}{\sqrt{16+(q+3{)}^2}}\le 2$$

即 $|10-10q|\le 2\sqrt{16+(q+3{)}^2}$，平方後 $25(1-q{)}^2\le 16+(q+3{)}^2$，整理得 $24q^2-56q\le 0$，$0\le q\le \frac{7}{3}$。

$Q$ 所在範圍的長度為 $\frac{7}{3}$。

答案 3、5，即 $\frac{3}{5}$。$b=\sqrt{1-a^2}$ 表示 $a^2+b^2=1$ 且 $b\ge 0$，點 $(a,b)$ 在單位圓的上半圓（含 $(\pm 1,0)$）上；點 $(c,d)$ 在直線 $3x-4y-6=0$ 上。所求是兩點距離的最小值。

原點到直線的距離 $\frac{6}{5}>1$，整個單位圓都在直線的同一側（與原點同側，代入 $3x-4y-6$ 為負）。上半圓上的點 $(a,b)$ 到直線的距離為

$$\frac{|3a-4b-6|}{5}=\frac{6-3a+4b}{5}$$

因為 $b\ge 0$、$a\le 1$，$6-3a+4b\ge 6-3=3$，等號在 $a=1$、$b=0$ 時成立。最小值為 $\frac{3}{5}$。