段考詳解範圍：週期性數學模型（弧度量、正弦函數的圖形與週期）、對數

建國中學 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、多重選擇題 4 題（每題 8 分，共 32 分；答錯 1 個選項得 5 分，答錯 2 個選項得 2 分，答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答得零分）、填充題Ⅰ 7 題（每題 6 分，共 42 分）、填充題Ⅱ 1 題（8 分，兩小題各 4 分）、混合題 1 題（8 分，三小題依序 2 分、3 分、3 分）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題 5 分，共 10 分）

已知某個扇形的周長等於它所在圓的周長的

\frac{1}{3}

，那麼此扇形的圓心角為

(1) $\frac{2 π}{3} + 1$
(2) $\frac{2 π}{3} - 2$
(3) $π - 1$
(4) $\frac{π}{3} - 2$
(5) $\frac{2 π}{3}$

計算

(lo g_{2} 3 + lo g_{8} 27) (lo g_{3} 4 + lo g_{9} 4) =

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $6$
(5) $9$

二、多重選擇題（每題 8 分，共 32 分）｜說明：每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 5 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

請選出正確的選項。

(1) $sin (\frac{π}{2} + θ) = - cos θ$
(2) $sin \frac{3}{5} π > cos \frac{2}{5} π$
(3) $sin π > sin π^{\circ}$
(4) $cos π > cos π^{\circ}$
(5) $cos π > sin π^{\circ}$

關於函數

f (x) = 3 sin (2 x - \frac{π}{4}) - 1

的敘述，請選出正確的選項。

(1) 週期為 $4 π$
(2) 振幅為 $3$
(3) $f (x)$ 的值域為 $[- 4, 2]$
(4) 將 $y = 3 sin 2 x - 1$ 的圖形向右平移 $\frac{π}{4}$ 可得 $f (x) = 3 sin (2 x - \frac{π}{4}) - 1$
(5) 此函數的圖形對稱於直線 $x = \frac{3}{8} π$

如附圖為函數

y = 3 sin (a x - b)

的部分圖形，其中

a > 0

，

\frac{- π}{2} \leq b \leq \frac{2 π}{2}

，請選出正確的選項。

(1) $a = 3$
(2) $b = \frac{π}{6}$
(3) $C (\frac{5 π}{6}, 0)$
(4) $y$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(5) 其圖形可由 $y = 3 sin 3 x$ 往右平移 $\frac{π}{6}$ 單位而得

載入中...

已知

a, b, c

為大於

1

的實數，且

lo g_{c} a = 3

，

lo g_{a} b = 5

，請選出正確的選項。

(1) $a = 3^{c}$
(2) $lo g_{a} c = \frac{1}{3}$
(3) $lo g_{c} ab = 9$
(4) $\frac{b}{a} = c^{12}$
(5) $lo g_{c} b = 15$

三、填充題Ⅰ（每題 6 分，共 42 分）

已知

0 \leq x \leq 8 π

，若

sin x = \frac{2}{5}

，則方程式所有解的總和為 ____。

將

y = sin x

的圖形先水平伸縮為

\frac{1}{3}

倍，鉛直伸縮為

2

倍，再向左平移

6

單位，向上平移

2

單位，所得函數為

y = a sin (b x + c) + d

，其中

c, d

都是整數，

a > 0

，

b > 0

，求序組

(a, b, c, d) =

____。

方程式

\frac{x}{π} = 10 sin x

中，

x

的解共有 ____ 個。

已知

3^{a} = 8

，

4^{b} = c

，若

ab = 6

，則

c =

____。

a, b, c

為相異正實數，則

a^{l o g \frac{b}{c}} \cdot b^{l o g \frac{c}{a}} \cdot c^{l o g \frac{a}{b}} =

____。

病毒傳播速度隨著病毒的不斷演進，感染人數也在不斷刷新世界紀錄，不僅難以控制與預測，治癒效果也越來越差，甚至無藥可醫。面對難纏的病毒，唯有做好防疫，才能與看不見的敵人對抗。假設病毒一開始有

1

萬隻，每經過

1

天，病毒數變為

3

倍，經過一個月（

30

日），病毒數為

k

萬隻。試問：

k

為 ____ 位數；

k

的最高位數字為 ____。

如附圖，正方形

P QR S

內接於扇形

O A B

，若

\overline{O A} = 2

，

∠ A O B = \frac{π}{4}

，則斜線部分的面積為 ____（平方單位）。

載入中...

四、填充題Ⅱ（每題 8 分，共 8 分）

假設某種商品的廣告效應的模型可以用下述對數關係來表示：

N (x) = a + b lo g_{2} (x + 1)

，其中

N (x)

表銷售數量（單位：個），

x

為廣告費用（單位：萬元），

a, b

為常數。已知不花錢做廣告時，銷售量為

800

個；若廣告費用花

3

萬元，銷售量為

2000

個。(1) 試求數對

(a, b) =

____。（4 分）(2) 若希望銷售量達到

3200

個，試問至少需花費 ____ 萬元廣告費。（4 分）

五、混合題（每題 8 分，共 8 分）｜（原卷第 15 題的 (1)(2)(3) 三小題，本頁編為第 15～17 題）

混合題（原卷第 15 題）（第 15～17 題）　某人自行製作了函數圖形繪製機，操作方式是機器中放入紙條，接著將紙條由右端等速度拉出，則機器內部有一半徑為

2

的圓

O

，圓周上

P

點有一支墨水油筆會逆時針等速度在圓周上移動，如附圖。試回答以下問題：

(1) 下列哪一個可能是紙條拉出的部分圖形？ ____（單選題，2 分）（選項 (A)～(E) 是五個圖形，見附圖下半）

載入中...

(2) 在拉動過程中，他觀察到當

P

點又回到起點的位置，則紙條共拉出的長度為多少？（非選題，3 分）

(3) 若他將紙條上的圖形放在坐標平面上，下列哪些可能是其代表的函數？（多選題，3 分）　(A)

y = 2 sin \frac{x}{2}

　(B)

y = 4 sin \frac{x}{2}

　(C)

y = 2 sin (\frac{x}{2} + 1)

　(D)

y = 2 cos \frac{x}{2}

　(E)

y = - 2 sin \frac{x}{2}

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(2)

第 4 題(2)(3)(5)

第 5 題(1)(3)(4)(5)

第 6 題(2)(3)(4)(5)

第 7 題

28 π

第 8 題

(2, 3, 18, 2)

第 9 題

19

第 10 題

81

第 11 題

1

第 12 題

15

位數；最高位數字為

2

第 13 題

\frac{π}{2} - \frac{6}{5}

第 14 題(1)

(800, 600)

　(2)

15

第 15 題(B)

第 16 題

4 π

（以紙條拉出的速率與筆的速率相同計）

第 17 題(A)(C)(D)(E)（卷面沒有指定原點的位置，左右平移都算；見詳解）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：扇形的圓心角、對數的換底

第 1 題答案 (2)。設圓的半徑為

r

、扇形的圓心角為

θ

（弧度）。扇形的周長是兩條半徑加一段弧：

2 r + r θ

。圓的周長是

2 π r

，依題意

2 r + r θ = \frac{1}{3} \times 2 π r

，兩邊同除以

r

：

2 + θ = \frac{2 π}{3}

，所以

θ = \frac{2 π}{3} - 2

。

扇形的周長不是只有弧長；只算弧長會得到選項 (5) 的

\frac{2 π}{3}

。

\frac{2 π}{3} - 2 \approx 0.094

弧度，是一個很窄的扇形。

第 2 題答案 (4)。把底數化成相同：

lo g_{8} 27 = lo g_{2^{3}} 3^{3} = \frac{3 lo g 3}{3 lo g 2} = lo g_{2} 3

，所以第一個括號是

2 lo g_{2} 3

。

lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2

，

lo g_{9} 4 = lo g_{3^{2}} 2^{2} = \frac{2 lo g 2}{2 lo g 3} = lo g_{3} 2

，所以第二個括號是

3 lo g_{3} 2

。相乘：

2 lo g_{2} 3 \times 3 lo g_{3} 2 = 6 \times \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 3} = 6

。

lo g_{2} 3

與

lo g_{3} 2

互為倒數，相乘等於

1

。

底數與真數是同一個數的同次方時，

lo g_{a^{n}} b^{n} = lo g_{a} b

；看到

lo g_{a} b \times lo g_{b} a

就是

1

。

02多選第 3、4 題：弧度與度、正弦型函數的性質

第 3 題答案 (2)。沒有度的記號就是弧度：

π

弧度是

18 0^{\circ}

；

π^{\circ}

則大約是

3.1 4^{\circ}

，是一個很小的銳角，所以

sin π^{\circ}

是很小的正數（約

0.055

），

cos π^{\circ}

是很接近

1

的正數（約

0.998

）。(1) 錯：正確的關係是

sin (\frac{π}{2} + θ) = cos θ

；用

θ = 0

檢查，左邊是

sin \frac{π}{2} = 1

，右邊是

- cos 0 = - 1

，不相等。(2) 對：

\frac{3}{5} π = 10 8^{\circ}

，

sin 10 8^{\circ} = sin 7 2^{\circ}

；

\frac{2}{5} π = 7 2^{\circ}

，

cos 7 2^{\circ} = sin 1 8^{\circ}

。銳角越大正弦值越大，

sin 7 2^{\circ} > sin 1 8^{\circ}

。(3) 錯：

sin π = 0

，而

sin π^{\circ} > 0

，所以

sin π < sin π^{\circ}

。(4) 錯：

cos π = - 1

，而

cos π^{\circ} > 0

。(5) 錯：

cos π = - 1

，而

sin π^{\circ} > 0

。

選項 (3)(4)(5) 的左邊都是

18 0^{\circ}

的值（

0

或

- 1

），右邊都是大約

3^{\circ}

的值（正數），所以三個都不成立。

第 4 題答案 (2)(3)(5)。(1) 錯：

x

的係數是

2

，週期

= \frac{2 π}{2} = π

。(2) 對：

sin

前面的係數是

3

，振幅為

3

。(3) 對：

- 1 \leq sin (2 x - \frac{π}{4}) \leq 1

，乘以

3

再減

1

，得

- 4 \leq f (x) \leq 2

，兩端都取得到，值域為

[- 4, 2]

。(4) 錯：向右平移

\frac{π}{4}

是把

x

換成

x - \frac{π}{4}

，得到

y = 3 sin 2 (x - \frac{π}{4}) - 1 = 3 sin (2 x - \frac{π}{2}) - 1

，不是

f (x)

。因為

f (x) = 3 sin 2 (x - \frac{π}{8}) - 1

，應該是向右平移

\frac{π}{8}

。(5) 對：

x = \frac{3}{8} π

時

2 x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

，

f

取到最大值

2

，這是圖形的一個最高點。正弦型函數的圖形對稱於通過每個最高點（或最低點）的鉛直線，所以對稱於直線

x = \frac{3}{8} π

。

平移量要先把

x

的係數提出來再看：

2 x - \frac{π}{4} = 2 (x - \frac{π}{8})

。

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

，

b > 0

）：振幅

a

、週期

\frac{2 π}{b}

、值域

[d - a, d + a]

；左右平移量是

\frac{c}{b}

，不是

c

。

03多選第 5、6 題：由圖形決定正弦函數、對數律

第 5 題答案 (1)(3)(4)(5)。先讀圖：圖形由

y

軸上的

B

出發，

B

在下方那條水平虛線上，是最低點；之後在

x = \frac{π}{6}

由下往上通過

x

軸，在

x = \frac{π}{3}

到最高點，在

x = \frac{π}{2}

由上往下通過

x

軸。相鄰兩個零點

\frac{π}{6}

與

\frac{π}{2}

相差半個週期：

\frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，所以週期是

\frac{2 π}{3}

，(4) 對。由

\frac{2 π}{a} = \frac{2 π}{3}

（

a > 0

）得

a = 3

，(1) 對。再求

b

：

x = 0

時

y = - 3

，即

3 sin (- b) = - 3

，

sin b = 1

，

b = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數）；題目限制

- \frac{π}{2} \leq b \leq \frac{2 π}{2} = π

，只有

b = \frac{π}{2}

，(2) 錯。檢查：

y = 3 sin (3 x - \frac{π}{2})

在

x = \frac{π}{6}

是

3 sin 0 = 0

，在

x = \frac{π}{3}

是

3 sin \frac{π}{2} = 3

，與圖相符。 (3) 對：

C

是下一次由下往上通過

x

軸的點，與

\frac{π}{6}

相差一個週期，

\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = \frac{5 π}{6}

。 (5) 對：

3 sin (3 x - \frac{π}{2}) = 3 sin 3 (x - \frac{π}{6})

，是把

y = 3 sin 3 x

的

x

換成

x - \frac{π}{6}

，也就是往右平移

\frac{π}{6}

單位。

卷面

b

的上界印作

\frac{2 π}{2}

，就是

π

。若把

b

誤當成平移量會選到 (2)；平移量是

\frac{b}{a} = \frac{π}{6}

，

b

本身是

\frac{π}{2}

。

第 6 題答案 (2)(3)(4)(5)。由對數的定義：

lo g_{c} a = 3

即

a = c^{3}

；

lo g_{a} b = 5

即

b = a^{5} = (c^{3})^{5} = c^{15}

。(1) 錯：

a = c^{3}

，不是

3^{c}

（底數與指數的位置相反）。(2) 對：

lo g_{a} c = \frac{lo g c}{lo g a} = \frac{1}{lo g _{c} a} = \frac{1}{3}

。(3) 對：

ab = c^{3} \cdot c^{15} = c^{18}

，

ab = c^{9}

，所以

lo g_{c} ab = 9

。(4) 對：

\frac{b}{a} = \frac{c ^{15}}{c ^{3}} = c^{12}

。(5) 對：

b = c^{15}

，所以

lo g_{c} b = 15

。

選項 (1) 只有在個別的

c

才會成立（例如

c = 3

時

c^{3} = 3^{c} = 27

），由題目的條件推不出來，所以不選。

由圖形決定

y = a sin (b x + c) + d

：先用最高最低點定振幅與上下位置，再用相鄰零點或最高最低點的距離定週期，最後代一個已知點定

c

。

04填充第 7、8 題：正弦方程式的解的和、圖形的伸縮與平移

第 7 題先看一個週期

0 \leq x < 2 π

：

sin x = \frac{2}{5} > 0

，解在第一、第二象限。設第一象限的解是

α

，由

y = sin x

的圖形對稱於直線

x = \frac{π}{2}

，另一個解是

π - α

，兩個解的和是

π

。正弦函數的週期是

2 π

，所以之後每一個週期的兩個解都是前一個週期的兩個解各加

2 π

，和就多

4 π

。

0 \leq x \leq 8 π

4

個週期，

4

組解的和依序是

π, 5 π, 9 π, 13 π

，總和

= π + 5 π + 9 π + 13 π = 28 π

。

8

個解。端點

x = 0

與

x = 8 π

的正弦值是

0

，不是解。不必求出

α

是多少。

第 8 題依序做：① 水平伸縮為

\frac{1}{3}

倍：把

x

換成

3 x

，得

y = sin 3 x

。② 鉛直伸縮為

2

倍：

y = 2 sin 3 x

。③ 向左平移

6

單位：把

x

換成

x + 6

，得

y = 2 sin 3 (x + 6) = 2 sin (3 x + 18)

。④ 向上平移

2

單位：

y = 2 sin (3 x + 18) + 2

。所以

(a, b, c, d) = (2, 3, 18, 2)

。

向左平移

6

是把

x

整個換成

x + 6

，括號裡要乘上

3

，

c

是

18

不是

6

。

c

加上

2 π

的整數倍雖然是同一個函數，但那樣

c

就不是整數，所以

c

只能是

18

。

sin x = k

（

0 < k < 1

）在一個週期內的兩個解對稱於

x = \frac{π}{2}

，和是

π

；求總和用對稱性，不必解出角度。

05填充第 9、10 題：用圖形數解的個數、指數與對數互換

第 9 題解的個數就是

y = 10 sin x

的圖形與直線

y = \frac{x}{π}

的交點個數。因為

- 10 \leq 10 sin x \leq 10

，交點只會出現在

- 10 \leq \frac{x}{π} \leq 10

，即

- 10 π \leq x \leq 10 π

。①

x = 0

：兩邊都是

0

，是一個解。②

x > 0

：直線的值為正，只看

sin x > 0

的區間，在

0 < x \leq 10 π

內有五個波峰所在的區間：

(0, π)

、

(2 π, 3 π)

、

(4 π, 5 π)

、

(6 π, 7 π)

、

(8 π, 9 π)

。在

(0, π)

：兩個圖形都從原點出發，一開始曲線上升得比直線快（例如

x = \frac{π}{2}

時曲線高度

10

、直線高度

\frac{1}{2}

），到

x = π

曲線回到

0

、直線高度

1

，所以曲線由上方降到下方，交

1

點。在

(2 k π, 2 k π + π)

（

k = 1, 2, 3, 4

）：區間左端曲線高度

0

、直線高度

2 k

，曲線在下；波峰

x = 2 k π + \frac{π}{2}

處曲線高度

10

、直線高度

2 k + \frac{1}{2} \leq 8.5

，曲線在上；區間右端曲線又回到

0

，曲線在下。曲線上升時交

1

點、下降時再交

1

點，每個區間

2

點，共

8

點。所以正的解有

1 + 8 = 9

個。③

x < 0

：

y = 10 sin x

與

y = \frac{x}{π}

的圖形都對稱於原點，負的解也有

9

個。合計

9 + 1 + 9 = 19

個。

最後一個波峰在

x = 8.5 π

，直線高度

8.5

還低於

10

，所以還交得到；

x = 10 π

時直線高度

10

、曲線高度

0

，不是解。原點那個解只算一次。

第 10 題由

3^{a} = 8

，兩邊同取

b

次方：

3^{ab} = 8^{b}

。因為

ab = 6

，所以

8^{b} = 3^{6} = 729

。

8^{b} = (2^{3})^{b} = (2^{b})^{3}

，而

729 = 9^{3}

，所以

2^{b} = 9

。於是

c = 4^{b} = (2^{b})^{2} = 9^{2} = 81

。

用對數寫也一樣：

a = lo g_{3} 8 = 3 lo g_{3} 2

，

b = \frac{6}{a} = \frac{2}{lo g _{3} 2} = 2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 9

，

c = 4^{b} = (2^{b})^{2} = 81

。

一邊是正弦曲線、一邊是直線的方程式：先用正弦值的範圍把

x

框住，再一個波峰一個波峰比高低來數交點，並利用對稱性。

06填充第 11、12 題：取對數化簡、位數與最高位數字

第 11 題設所求為

M

（

M > 0

），兩邊取常用對數，並令

x = lo g a

，

y = lo g b

，

z = lo g c

：

lo g M = lo g \frac{b}{c} \cdot lo g a + lo g \frac{c}{a} \cdot lo g b + lo g \frac{a}{b} \cdot lo g c = (y - z) x + (z - x) y + (x - y) z

。展開：

x y - x z + y z - x y + x z - y z = 0

。所以

lo g M = 0

，

M = 1

。

用到

lo g p^{r} = r lo g p

與

lo g \frac{p}{q} = lo g p - lo g q

。結果與

a, b, c

的值無關。

第 12 題每天變為

3

倍，

30

天後是

1 \times 3^{30}

萬隻，所以

k = 3^{30}

。取常用對數，用

lo g 3 \approx 0.4771

：

lo g k = 30 lo g 3 \approx 30 \times 0.4771 = 14.313

，所以

k = 1 0^{14.313} = 1 0^{0.313} \times 1 0^{14}

。因為

1 \leq 1 0^{0.313} < 10

，

k

是

14 + 1 = 15

位數。最高位數字看

1 0^{0.313}

：

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

，而

0.3010 < 0.313 < 0.4771

，所以

2 < 1 0^{0.313} < 3

，最高位數字是

2

。

卷面沒有附對數值，這裡用課本常用的

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

。實際上

3^{30} = 205891132094649

，確實是

15

位數、最高位是

2

。題目問的是

k

，不是病毒的總隻數（

k

萬隻）。

正整數

N

的

lo g N

寫成「整數

n

加上介於

0

與

1

之間的小數」：位數是

n + 1

，最高位數字由小數部分落在哪兩個

lo g

值之間決定。

07填充第 13、14 題：扇形與內接正方形、對數模型

第 13 題設正方形邊長為

s

。

P, Q

在

\overline{O A}

上，

S

在

\overline{O B}

上，

R

在弧上。

△ O P S

中

∠ O P S

是直角、

∠ P O S = \frac{π}{4}

（即

4 5^{\circ}

），是等腰直角三角形，所以

\overline{O P} = \overline{P S} = s

，

\overline{O Q} = \overline{O P} + \overline{P Q} = 2 s

。

R

在弧上，

\overline{O R} = 2

；直角三角形

O QR

中

\overline{O Q}^{2} + \overline{QR}^{2} = \overline{O R}^{2}

：

(2 s)^{2} + s^{2} = 4

，

s^{2} = \frac{4}{5}

。扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

。斜線部分是扇形去掉

△ O P S

與正方形：

△ O P S

的面積

= \frac{1}{2} s^{2} = \frac{2}{5}

，正方形面積

= s^{2} = \frac{4}{5}

。所求

= \frac{π}{2} - \frac{2}{5} - \frac{4}{5} = \frac{π}{2} - \frac{6}{5}

。

只需要

s^{2}

，不必把

s = \frac{2}{5}

開出來。數值約

0.371

。

第 14 題(1) 不花錢做廣告是

x = 0

：

N (0) = a + b lo g_{2} 1 = a = 800

。

x = 3

：

N (3) = a + b lo g_{2} 4 = a + 2 b = 2000

，所以

2 b = 1200

，

b = 600

。

(a, b) = (800, 600)

。(2)

N (x) = 800 + 600 lo g_{2} (x + 1)

。要

N (x) \geq 3200

：

600 lo g_{2} (x + 1) \geq 2400

，

lo g_{2} (x + 1) \geq 4

，

x + 1 \geq 2^{4} = 16

，

x \geq 15

。所以至少需花費

15

萬元。

底數

2 > 1

，真數越大對數越大，所以由

lo g_{2} (x + 1) \geq 4

可以得到

x + 1 \geq 16

，不等號方向不變。

08混合題（原卷第 15 題）：圓周運動與正弦函數

第 15 題答案 (B)。依題目的設定，把機器看成：紙條每拉出一段，就記下筆當時的高度（筆其實同時也有左右的移動，嚴格說畫出來的不是完全的正弦曲線，但五個選項中仍只有 (B) 可能）。以通過圓心

O

的水平線為基準，

P

由圓的最右端出發逆時針轉了角度

θ

（弧度）時，筆的高度是

2 sin θ

。筆等速繞圈，

θ

隨時間均勻增加；紙條等速拉出，拉出的長度也隨時間均勻增加。所以紙條上的高度隨拉出長度的變化是正弦函數的圖形：在

- 2

與

2

之間平滑地上下起伏，是選項 (B) 的波浪線。(A) 的鋸齒線表示高度以固定的快慢升降，(C) 是一個個半圓，(D) 的高度會瞬間跳動，(E) 的高度不變，都不是。

等速繞圓時高度的變化並不均勻：經過最高點、最低點附近時高度變化慢，經過與圓心同高的位置時變化快，所以不是折線。

第 16 題

P

回到起點時，筆恰好繞了一圈，走過的路程是圓周長

2 π \times 2 = 4 π

。題目的選項（第 (3) 小題的週期都是

4 π

）是以紙條拉出的速率與筆在圓周上移動的速率相同來設計的，所以這段時間紙條拉出的長度也是

4 π

。

題幹只寫兩者都是等速度，沒有明寫兩個速率相同；這裡依第 (3) 小題選項的週期取兩者相同。此時筆轉過的角度

θ

與拉出長度

x

的關係是弧長

x = 2 θ

，即

θ = \frac{x}{2}

。

第 17 題答案 (A)(C)(D)(E)。由前兩小題，紙條上的圖形是振幅

2

（筆離基準線最遠

2

）、週期

4 π

（每拉出

4 π

重複一次）的正弦圖形。以拉出長度為

x

、轉過的角度為

\frac{x}{2}

，高度是

2 sin \frac{x}{2}

；把坐標原點放在圖形上不同的位置，圖形會左右平移，函數就寫成

y = 2 sin (\frac{x}{2} + k)

的樣子（

k

為常數）。(A) 可能：

k = 0

。(B) 不可能：振幅是

4

，但筆的高度最多只到

2

。(C) 可能：

k = 1

，振幅

2

、週期

4 π

。(D) 可能：

2 cos \frac{x}{2} = 2 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{2})

，即

k = \frac{π}{2}

（原點放在最高點的正下方）。(E) 可能：

- 2 sin \frac{x}{2} = 2 sin (\frac{x}{2} + π)

，即

k = π

。另外，紙條是往右拉出的，先畫的部分在右邊；照拉出來的樣子擺、把原點放在起點時，由左往右讀是時間倒著走，式子就是 (E)；把

x

定為已拉出的長度才是 (A)。兩種擺法都屬於「可能」，這也是 (A) 與 (E) 同時列在選項裡的原因。

五個選項的週期都是

\frac{2 π}{1/2} = 4 π

，差別只在振幅與左右位置；題目問的是「可能」，所以只要振幅與週期相符、差一個左右平移的都算。

半徑

r

的圓上等速繞行的點，高度隨轉角是

r sin θ

；轉一圈走的路程是

2 π r

，對應正弦圖形的一個週期。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

建國中學 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 112 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題把沒有度的記號的 π 與 π 度放在一起比，π 度只有大約三度，是很小的銳角；第 5 題要從圖上相鄰兩個零點讀出半個週期，再用圖形從最低點出發決定 b；第 9 題的直線很平，要一個一個波峰去數交點，原點那個解只算一次，最後一個波峰也還交得到；第 13 題要先由直角三角形求出正方形邊長的平方，再用扇形減去三角形與正方形。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自建國中學 112 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：週期性數學模型（弧度量、正弦函數的圖形與週期）、對數

建國中學 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

一、單選題（每題 5 分，共 10 分）

已知某個扇形的周長等於它所在圓的周長的

\frac{1}{3}

，那麼此扇形的圓心角為

(1) $\frac{2 π}{3} + 1$
(2) $\frac{2 π}{3} - 2$
(3) $π - 1$
(4) $\frac{π}{3} - 2$
(5) $\frac{2 π}{3}$

計算

(lo g_{2} 3 + lo g_{8} 27) (lo g_{3} 4 + lo g_{9} 4) =

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $6$
(5) $9$

請選出正確的選項。

(1) $sin (\frac{π}{2} + θ) = - cos θ$
(2) $sin \frac{3}{5} π > cos \frac{2}{5} π$
(3) $sin π > sin π^{\circ}$
(4) $cos π > cos π^{\circ}$
(5) $cos π > sin π^{\circ}$

關於函數

f (x) = 3 sin (2 x - \frac{π}{4}) - 1

的敘述，請選出正確的選項。

(1) 週期為 $4 π$
(2) 振幅為 $3$
(3) $f (x)$ 的值域為 $[- 4, 2]$
(4) 將 $y = 3 sin 2 x - 1$ 的圖形向右平移 $\frac{π}{4}$ 可得 $f (x) = 3 sin (2 x - \frac{π}{4}) - 1$
(5) 此函數的圖形對稱於直線 $x = \frac{3}{8} π$

如附圖為函數

y = 3 sin (a x - b)

的部分圖形，其中

a > 0

，

\frac{- π}{2} \leq b \leq \frac{2 π}{2}

，請選出正確的選項。

(1) $a = 3$
(2) $b = \frac{π}{6}$
(3) $C (\frac{5 π}{6}, 0)$
(4) $y$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(5) 其圖形可由 $y = 3 sin 3 x$ 往右平移 $\frac{π}{6}$ 單位而得

載入中...

已知

a, b, c

為大於

1

的實數，且

lo g_{c} a = 3

，

lo g_{a} b = 5

，請選出正確的選項。

(1) $a = 3^{c}$
(2) $lo g_{a} c = \frac{1}{3}$
(3) $lo g_{c} ab = 9$
(4) $\frac{b}{a} = c^{12}$
(5) $lo g_{c} b = 15$

三、填充題Ⅰ（每題 6 分，共 42 分）

已知

0 \leq x \leq 8 π

，若

sin x = \frac{2}{5}

，則方程式所有解的總和為 ____。

將

y = sin x

的圖形先水平伸縮為

\frac{1}{3}

倍，鉛直伸縮為

2

倍，再向左平移

6

單位，向上平移

2

單位，所得函數為

y = a sin (b x + c) + d

，其中

c, d

都是整數，

a > 0

，

b > 0

，求序組

(a, b, c, d) =

____。

方程式

\frac{x}{π} = 10 sin x

中，

x

的解共有 ____ 個。

已知

3^{a} = 8

，

4^{b} = c

，若

ab = 6

，則

c =

____。

a, b, c

為相異正實數，則

a^{l o g \frac{b}{c}} \cdot b^{l o g \frac{c}{a}} \cdot c^{l o g \frac{a}{b}} =

____。

1

萬隻，每經過

1

天，病毒數變為

3

倍，經過一個月（

30

日），病毒數為

k

萬隻。試問：

k

為 ____ 位數；

k

的最高位數字為 ____。

如附圖，正方形

P QR S

內接於扇形

O A B

，若

\overline{O A} = 2

，

∠ A O B = \frac{π}{4}

，則斜線部分的面積為 ____（平方單位）。

載入中...

四、填充題Ⅱ（每題 8 分，共 8 分）

假設某種商品的廣告效應的模型可以用下述對數關係來表示：

N (x) = a + b lo g_{2} (x + 1)

，其中

N (x)

表銷售數量（單位：個），

x

為廣告費用（單位：萬元），

a, b

為常數。已知不花錢做廣告時，銷售量為

800

個；若廣告費用花

3

萬元，銷售量為

2000

個。(1) 試求數對

(a, b) =

____。（4 分）(2) 若希望銷售量達到

3200

個，試問至少需花費 ____ 萬元廣告費。（4 分）

五、混合題（每題 8 分，共 8 分）｜（原卷第 15 題的 (1)(2)(3) 三小題，本頁編為第 15～17 題）

2

的圓

O

，圓周上

P

點有一支墨水油筆會逆時針等速度在圓周上移動，如附圖。試回答以下問題：

(1) 下列哪一個可能是紙條拉出的部分圖形？ ____（單選題，2 分）（選項 (A)～(E) 是五個圖形，見附圖下半）

載入中...

(2) 在拉動過程中，他觀察到當

P

點又回到起點的位置，則紙條共拉出的長度為多少？（非選題，3 分）

(3) 若他將紙條上的圖形放在坐標平面上，下列哪些可能是其代表的函數？（多選題，3 分）　(A)

y = 2 sin \frac{x}{2}

　(B)

y = 4 sin \frac{x}{2}

　(C)

y = 2 sin (\frac{x}{2} + 1)

　(D)

y = 2 cos \frac{x}{2}

　(E)

y = - 2 sin \frac{x}{2}

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(2)

第 4 題(2)(3)(5)

第 5 題(1)(3)(4)(5)

第 6 題(2)(3)(4)(5)

第 7 題

28 π

第 8 題

(2, 3, 18, 2)

第 9 題

19

第 10 題

81

第 11 題

1

第 12 題

15

位數；最高位數字為

2

第 13 題

\frac{π}{2} - \frac{6}{5}

第 14 題(1)

(800, 600)

　(2)

15

第 15 題(B)

第 16 題

4 π

（以紙條拉出的速率與筆的速率相同計）

第 17 題(A)(C)(D)(E)（卷面沒有指定原點的位置，左右平移都算；見詳解）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：扇形的圓心角、對數的換底

第 1 題答案 (2)。設圓的半徑為

r

、扇形的圓心角為

θ

（弧度）。扇形的周長是兩條半徑加一段弧：

2 r + r θ

。圓的周長是

2 π r

，依題意

2 r + r θ = \frac{1}{3} \times 2 π r

，兩邊同除以

r

：

2 + θ = \frac{2 π}{3}

，所以

θ = \frac{2 π}{3} - 2

。

扇形的周長不是只有弧長；只算弧長會得到選項 (5) 的

\frac{2 π}{3}

。

\frac{2 π}{3} - 2 \approx 0.094

弧度，是一個很窄的扇形。

第 2 題答案 (4)。把底數化成相同：

lo g_{8} 27 = lo g_{2^{3}} 3^{3} = \frac{3 lo g 3}{3 lo g 2} = lo g_{2} 3

，所以第一個括號是

2 lo g_{2} 3

。

lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2

，

lo g_{9} 4 = lo g_{3^{2}} 2^{2} = \frac{2 lo g 2}{2 lo g 3} = lo g_{3} 2

，所以第二個括號是

3 lo g_{3} 2

。相乘：

2 lo g_{2} 3 \times 3 lo g_{3} 2 = 6 \times \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 3} = 6

。

lo g_{2} 3

與

lo g_{3} 2

互為倒數，相乘等於

1

。

底數與真數是同一個數的同次方時，

lo g_{a^{n}} b^{n} = lo g_{a} b

；看到

lo g_{a} b \times lo g_{b} a

就是

1

。

02多選第 3、4 題：弧度與度、正弦型函數的性質

第 3 題答案 (2)。沒有度的記號就是弧度：

π

弧度是

18 0^{\circ}

；

π^{\circ}

則大約是

3.1 4^{\circ}

，是一個很小的銳角，所以

sin π^{\circ}

是很小的正數（約

0.055

），

cos π^{\circ}

是很接近

1

的正數（約

0.998

）。(1) 錯：正確的關係是

sin (\frac{π}{2} + θ) = cos θ

；用

θ = 0

檢查，左邊是

sin \frac{π}{2} = 1

，右邊是

- cos 0 = - 1

，不相等。(2) 對：

\frac{3}{5} π = 10 8^{\circ}

，

sin 10 8^{\circ} = sin 7 2^{\circ}

；

\frac{2}{5} π = 7 2^{\circ}

，

cos 7 2^{\circ} = sin 1 8^{\circ}

。銳角越大正弦值越大，

sin 7 2^{\circ} > sin 1 8^{\circ}

。(3) 錯：

sin π = 0

，而

sin π^{\circ} > 0

，所以

sin π < sin π^{\circ}

。(4) 錯：

cos π = - 1

，而

cos π^{\circ} > 0

。(5) 錯：

cos π = - 1

，而

sin π^{\circ} > 0

。

選項 (3)(4)(5) 的左邊都是

18 0^{\circ}

的值（

0

或

- 1

），右邊都是大約

3^{\circ}

的值（正數），所以三個都不成立。

第 4 題答案 (2)(3)(5)。(1) 錯：

x

的係數是

2

，週期

= \frac{2 π}{2} = π

。(2) 對：

sin

前面的係數是

3

，振幅為

3

。(3) 對：

- 1 \leq sin (2 x - \frac{π}{4}) \leq 1

，乘以

3

再減

1

，得

- 4 \leq f (x) \leq 2

，兩端都取得到，值域為

[- 4, 2]

。(4) 錯：向右平移

\frac{π}{4}

是把

x

換成

x - \frac{π}{4}

，得到

y = 3 sin 2 (x - \frac{π}{4}) - 1 = 3 sin (2 x - \frac{π}{2}) - 1

，不是

f (x)

。因為

f (x) = 3 sin 2 (x - \frac{π}{8}) - 1

，應該是向右平移

\frac{π}{8}

。(5) 對：

x = \frac{3}{8} π

時

2 x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

，

f

取到最大值

2

，這是圖形的一個最高點。正弦型函數的圖形對稱於通過每個最高點（或最低點）的鉛直線，所以對稱於直線

x = \frac{3}{8} π

。

平移量要先把

x

的係數提出來再看：

2 x - \frac{π}{4} = 2 (x - \frac{π}{8})

。

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

，

b > 0

）：振幅

a

、週期

\frac{2 π}{b}

、值域

[d - a, d + a]

；左右平移量是

\frac{c}{b}

，不是

c

。

03多選第 5、6 題：由圖形決定正弦函數、對數律

第 5 題答案 (1)(3)(4)(5)。先讀圖：圖形由

y

軸上的

B

出發，

B

在下方那條水平虛線上，是最低點；之後在

x = \frac{π}{6}

由下往上通過

x

軸，在

x = \frac{π}{3}

到最高點，在

x = \frac{π}{2}

由上往下通過

x

軸。相鄰兩個零點

\frac{π}{6}

與

\frac{π}{2}

相差半個週期：

\frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，所以週期是

\frac{2 π}{3}

，(4) 對。由

\frac{2 π}{a} = \frac{2 π}{3}

（

a > 0

）得

a = 3

，(1) 對。再求

b

：

x = 0

時

y = - 3

，即

3 sin (- b) = - 3

，

sin b = 1

，

b = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數）；題目限制

- \frac{π}{2} \leq b \leq \frac{2 π}{2} = π

，只有

b = \frac{π}{2}

，(2) 錯。檢查：

y = 3 sin (3 x - \frac{π}{2})

在

x = \frac{π}{6}

是

3 sin 0 = 0

，在

x = \frac{π}{3}

是

3 sin \frac{π}{2} = 3

，與圖相符。 (3) 對：

C

是下一次由下往上通過

x

軸的點，與

\frac{π}{6}

相差一個週期，

\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = \frac{5 π}{6}

。 (5) 對：

3 sin (3 x - \frac{π}{2}) = 3 sin 3 (x - \frac{π}{6})

，是把

y = 3 sin 3 x

的

x

換成

x - \frac{π}{6}

，也就是往右平移

\frac{π}{6}

單位。

卷面

b

的上界印作

\frac{2 π}{2}

，就是

π

。若把

b

誤當成平移量會選到 (2)；平移量是

\frac{b}{a} = \frac{π}{6}

，

b

本身是

\frac{π}{2}

。

第 6 題答案 (2)(3)(4)(5)。由對數的定義：

lo g_{c} a = 3

即

a = c^{3}

；

lo g_{a} b = 5

即

b = a^{5} = (c^{3})^{5} = c^{15}

。(1) 錯：

a = c^{3}

，不是

3^{c}

（底數與指數的位置相反）。(2) 對：

lo g_{a} c = \frac{lo g c}{lo g a} = \frac{1}{lo g _{c} a} = \frac{1}{3}

。(3) 對：

ab = c^{3} \cdot c^{15} = c^{18}

，

ab = c^{9}

，所以

lo g_{c} ab = 9

。(4) 對：

\frac{b}{a} = \frac{c ^{15}}{c ^{3}} = c^{12}

。(5) 對：

b = c^{15}

，所以

lo g_{c} b = 15

。

選項 (1) 只有在個別的

c

才會成立（例如

c = 3

時

c^{3} = 3^{c} = 27

），由題目的條件推不出來，所以不選。

由圖形決定

y = a sin (b x + c) + d

：先用最高最低點定振幅與上下位置，再用相鄰零點或最高最低點的距離定週期，最後代一個已知點定

c

。

04填充第 7、8 題：正弦方程式的解的和、圖形的伸縮與平移

第 7 題先看一個週期

0 \leq x < 2 π

：

sin x = \frac{2}{5} > 0

，解在第一、第二象限。設第一象限的解是

α

，由

y = sin x

的圖形對稱於直線

x = \frac{π}{2}

，另一個解是

π - α

，兩個解的和是

π

。正弦函數的週期是

2 π

，所以之後每一個週期的兩個解都是前一個週期的兩個解各加

2 π

，和就多

4 π

。

0 \leq x \leq 8 π

4

個週期，

4

組解的和依序是

π, 5 π, 9 π, 13 π

，總和

= π + 5 π + 9 π + 13 π = 28 π

。

8

個解。端點

x = 0

與

x = 8 π

的正弦值是

0

，不是解。不必求出

α

是多少。

第 8 題依序做：① 水平伸縮為

\frac{1}{3}

倍：把

x

換成

3 x

，得

y = sin 3 x

。② 鉛直伸縮為

2

倍：

y = 2 sin 3 x

。③ 向左平移

6

單位：把

x

換成

x + 6

，得

y = 2 sin 3 (x + 6) = 2 sin (3 x + 18)

。④ 向上平移

2

單位：

y = 2 sin (3 x + 18) + 2

。所以

(a, b, c, d) = (2, 3, 18, 2)

。

向左平移

6

是把

x

整個換成

x + 6

，括號裡要乘上

3

，

c

是

18

不是

6

。

c

加上

2 π

的整數倍雖然是同一個函數，但那樣

c

就不是整數，所以

c

只能是

18

。

sin x = k

（

0 < k < 1

）在一個週期內的兩個解對稱於

x = \frac{π}{2}

，和是

π

；求總和用對稱性，不必解出角度。

05填充第 9、10 題：用圖形數解的個數、指數與對數互換

第 9 題解的個數就是

y = 10 sin x

的圖形與直線

y = \frac{x}{π}

的交點個數。因為

- 10 \leq 10 sin x \leq 10

，交點只會出現在

- 10 \leq \frac{x}{π} \leq 10

，即

- 10 π \leq x \leq 10 π

。①

x = 0

：兩邊都是

0

，是一個解。②

x > 0

：直線的值為正，只看

sin x > 0

的區間，在

0 < x \leq 10 π

內有五個波峰所在的區間：

(0, π)

、

(2 π, 3 π)

、

(4 π, 5 π)

、

(6 π, 7 π)

、

(8 π, 9 π)

。在

(0, π)

：兩個圖形都從原點出發，一開始曲線上升得比直線快（例如

x = \frac{π}{2}

時曲線高度

10

、直線高度

\frac{1}{2}

），到

x = π

曲線回到

0

、直線高度

1

，所以曲線由上方降到下方，交

1

點。在

(2 k π, 2 k π + π)

（

k = 1, 2, 3, 4

）：區間左端曲線高度

0

、直線高度

2 k

，曲線在下；波峰

x = 2 k π + \frac{π}{2}

處曲線高度

10

、直線高度

2 k + \frac{1}{2} \leq 8.5

，曲線在上；區間右端曲線又回到

0

，曲線在下。曲線上升時交

1

點、下降時再交

1

點，每個區間

2

點，共

8

點。所以正的解有

1 + 8 = 9

個。③

x < 0

：

y = 10 sin x

與

y = \frac{x}{π}

的圖形都對稱於原點，負的解也有

9

個。合計

9 + 1 + 9 = 19

個。

最後一個波峰在

x = 8.5 π

，直線高度

8.5

還低於

10

，所以還交得到；

x = 10 π

時直線高度

10

、曲線高度

0

，不是解。原點那個解只算一次。

第 10 題由

3^{a} = 8

，兩邊同取

b

次方：

3^{ab} = 8^{b}

。因為

ab = 6

，所以

8^{b} = 3^{6} = 729

。

8^{b} = (2^{3})^{b} = (2^{b})^{3}

，而

729 = 9^{3}

，所以

2^{b} = 9

。於是

c = 4^{b} = (2^{b})^{2} = 9^{2} = 81

。

用對數寫也一樣：

a = lo g_{3} 8 = 3 lo g_{3} 2

，

b = \frac{6}{a} = \frac{2}{lo g _{3} 2} = 2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 9

，

c = 4^{b} = (2^{b})^{2} = 81

。

一邊是正弦曲線、一邊是直線的方程式：先用正弦值的範圍把

x

框住，再一個波峰一個波峰比高低來數交點，並利用對稱性。

06填充第 11、12 題：取對數化簡、位數與最高位數字

第 11 題設所求為

M

（

M > 0

），兩邊取常用對數，並令

x = lo g a

，

y = lo g b

，

z = lo g c

：

lo g M = lo g \frac{b}{c} \cdot lo g a + lo g \frac{c}{a} \cdot lo g b + lo g \frac{a}{b} \cdot lo g c = (y - z) x + (z - x) y + (x - y) z

。展開：

x y - x z + y z - x y + x z - y z = 0

。所以

lo g M = 0

，

M = 1

。

用到

lo g p^{r} = r lo g p

與

lo g \frac{p}{q} = lo g p - lo g q

。結果與

a, b, c

的值無關。

第 12 題每天變為

3

倍，

30

天後是

1 \times 3^{30}

萬隻，所以

k = 3^{30}

。取常用對數，用

lo g 3 \approx 0.4771

：

lo g k = 30 lo g 3 \approx 30 \times 0.4771 = 14.313

，所以

k = 1 0^{14.313} = 1 0^{0.313} \times 1 0^{14}

。因為

1 \leq 1 0^{0.313} < 10

，

k

是

14 + 1 = 15

位數。最高位數字看

1 0^{0.313}

：

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

，而

0.3010 < 0.313 < 0.4771

，所以

2 < 1 0^{0.313} < 3

，最高位數字是

2

。

卷面沒有附對數值，這裡用課本常用的

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

。實際上

3^{30} = 205891132094649

，確實是

15

位數、最高位是

2

。題目問的是

k

，不是病毒的總隻數（

k

萬隻）。

正整數

N

的

lo g N

寫成「整數

n

加上介於

0

與

1

之間的小數」：位數是

n + 1

，最高位數字由小數部分落在哪兩個

lo g

值之間決定。

07填充第 13、14 題：扇形與內接正方形、對數模型

第 13 題設正方形邊長為

s

。

P, Q

在

\overline{O A}

上，

S

在

\overline{O B}

上，

R

在弧上。

△ O P S

中

∠ O P S

是直角、

∠ P O S = \frac{π}{4}

（即

4 5^{\circ}

），是等腰直角三角形，所以

\overline{O P} = \overline{P S} = s

，

\overline{O Q} = \overline{O P} + \overline{P Q} = 2 s

。

R

在弧上，

\overline{O R} = 2

；直角三角形

O QR

中

\overline{O Q}^{2} + \overline{QR}^{2} = \overline{O R}^{2}

：

(2 s)^{2} + s^{2} = 4

，

s^{2} = \frac{4}{5}

。扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

。斜線部分是扇形去掉

△ O P S

與正方形：

△ O P S

的面積

= \frac{1}{2} s^{2} = \frac{2}{5}

，正方形面積

= s^{2} = \frac{4}{5}

。所求

= \frac{π}{2} - \frac{2}{5} - \frac{4}{5} = \frac{π}{2} - \frac{6}{5}

。

只需要

s^{2}

，不必把

s = \frac{2}{5}

開出來。數值約

0.371

。

第 14 題(1) 不花錢做廣告是

x = 0

：

N (0) = a + b lo g_{2} 1 = a = 800

。

x = 3

：

N (3) = a + b lo g_{2} 4 = a + 2 b = 2000

，所以

2 b = 1200

，

b = 600

。

(a, b) = (800, 600)

。(2)

N (x) = 800 + 600 lo g_{2} (x + 1)

。要

N (x) \geq 3200

：

600 lo g_{2} (x + 1) \geq 2400

，

lo g_{2} (x + 1) \geq 4

，

x + 1 \geq 2^{4} = 16

，

x \geq 15

。所以至少需花費

15

萬元。

底數

2 > 1

，真數越大對數越大，所以由

lo g_{2} (x + 1) \geq 4

可以得到

x + 1 \geq 16

，不等號方向不變。

08混合題（原卷第 15 題）：圓周運動與正弦函數

O

的水平線為基準，

P

由圓的最右端出發逆時針轉了角度

θ

（弧度）時，筆的高度是

2 sin θ

。筆等速繞圈，

θ

隨時間均勻增加；紙條等速拉出，拉出的長度也隨時間均勻增加。所以紙條上的高度隨拉出長度的變化是正弦函數的圖形：在

- 2

與

2

等速繞圓時高度的變化並不均勻：經過最高點、最低點附近時高度變化慢，經過與圓心同高的位置時變化快，所以不是折線。

第 16 題

P

回到起點時，筆恰好繞了一圈，走過的路程是圓周長

2 π \times 2 = 4 π

。題目的選項（第 (3) 小題的週期都是

4 π

）是以紙條拉出的速率與筆在圓周上移動的速率相同來設計的，所以這段時間紙條拉出的長度也是

4 π

。

題幹只寫兩者都是等速度，沒有明寫兩個速率相同；這裡依第 (3) 小題選項的週期取兩者相同。此時筆轉過的角度

θ

與拉出長度

x

的關係是弧長

x = 2 θ

，即

θ = \frac{x}{2}

。

第 17 題答案 (A)(C)(D)(E)。由前兩小題，紙條上的圖形是振幅

2

（筆離基準線最遠

2

）、週期

4 π

（每拉出

4 π

重複一次）的正弦圖形。以拉出長度為

x

、轉過的角度為

\frac{x}{2}

，高度是

2 sin \frac{x}{2}

；把坐標原點放在圖形上不同的位置，圖形會左右平移，函數就寫成

y = 2 sin (\frac{x}{2} + k)

的樣子（

k

為常數）。(A) 可能：

k = 0

。(B) 不可能：振幅是

4

，但筆的高度最多只到

2

。(C) 可能：

k = 1

，振幅

2

、週期

4 π

。(D) 可能：

2 cos \frac{x}{2} = 2 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{2})

，即

k = \frac{π}{2}

（原點放在最高點的正下方）。(E) 可能：

- 2 sin \frac{x}{2} = 2 sin (\frac{x}{2} + π)

，即

k = π

。另外，紙條是往右拉出的，先畫的部分在右邊；照拉出來的樣子擺、把原點放在起點時，由左往右讀是時間倒著走，式子就是 (E)；把

x

定為已拉出的長度才是 (A)。兩種擺法都屬於「可能」，這也是 (A) 與 (E) 同時列在選項裡的原因。

五個選項的週期都是

\frac{2 π}{1/2} = 4 π

，差別只在振幅與左右位置；題目問的是「可能」，所以只要振幅與週期相符、差一個左右平移的都算。

半徑

r

的圓上等速繞行的點，高度隨轉角是

r sin θ

；轉一圈走的路程是

2 π r

，對應正弦圖形的一個週期。

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03多選第 5、6 題：由圖形決定正弦函數、對數律

04填充第 7、8 題：正弦方程式的解的和、圖形的伸縮與平移

05填充第 9、10 題：用圖形數解的個數、指數與對數互換

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