段考詳解範圍：第二章微分（2-1 微分與切線、2-2 導函數與函數圖形）

建國中學 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

填充題 12 小題（每(小)題 5 分，共 60 分）、計算題 4 小題（每(小)題 10 分，共 40 分），合計 100 分。原卷大題號 1～9，多題分小題：本頁第 1～12 題為填充題 1～7 的各小題，第 13 題為計算題 8，第 14～16 題為計算題 9 的 (1)～(3)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、填充題（每(小)題 5 分，共 60 分）

卷面第 1 題（第 1～2 題）　設

f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1

，試求：

(1)

f^{'} (0)

(2)

f^{'} (4)

卷面第 2 題（第 3～4 題）　設

f (x) = x^{2} + 2 x + 3

且

y = f (x)

的函數圖形如下圖，已知

A (1, 6)

和

B (- 2, 3)

是

y = f (x)

函數圖形上的兩個點，而直線

L : y = 4 x + 2

和直線

M : y = - 2 x - 1

分別是

y = f (x)

函數圖形上以

A

點和

B

點為切點的切線，試求：

(1)

f^{'} (1)

載入中...

(2)

f^{'} (- 2)

卷面第 3 題（第 5～6 題）　設

f (x) = x^{5} + 4 x^{3} + 2 x

，試求：

(1)

f (x)

的一階導函數

f^{'} (x)

(2)

f (x)

的二階導函數

f^{''} (x)

。

4. 設

f (x) = x^{2} + 6 x - 3

，點

A (1, 4)

為

y = f (x)

函數圖形上的一點，試求以

A

點為切點的切線方程式。

5. 設

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

，點

B (0, - 7)

是坐標平面上的一點，試求過

B

點的切線方程式。(有兩解)

卷面第 6 題（第 9～10 題）　設

f (x)

為四次多項式，而

y = f (x)

的函數圖形如下圖，已知此函數圖形上只有三個點擁有水平切線，就是下圖中的

A, B, C

三點，而這三個點的

x

坐標分別為

1, 2, 4

，考慮以下的五個區間

I_{1} = (0, 1), I_{2} = (1, 2), I_{3} = (2, 3), I_{4} = (3, 4), I_{5} = (4, 5)

，試問：

(1) 函數

f (x)

在上述五個區間的哪些區間為嚴格遞增？

載入中...

(2) 函數

f (x)

在上述五個區間的哪些區間為凹口向上？

卷面第 7 題（第 11～12 題）　設三次函數

f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 7

，考慮以下四個的區間

I_{1} = (- 7, - 5), I_{2} = (- 5, - 2), I_{3} = (- 2, 1), I_{4} = (1, 3)

，試問：

(1) 函數

f (x)

在上述四個區間的哪些區間為嚴格遞增？

(2) 函數

f (x)

在上述四個區間的哪些區間為凹口向上？

二、計算題（每(小)題 10 分，共 40 分）

8. 設

f (x)

為三次多項式，而函數

y = f (x)

的函數圖形如下圖，其中圖形上四個點的坐標分別為

A (- 10, 35), B (- 3, - 2), C (9, 30), D (15, - 10)

，圖形上以

B

點和

C

點為切點的切線皆為水平線，現將此函數的定義域設定為閉區間

[- 10, 15]

，試求此函數的極值與發生極值時的

x

值。

載入中...

卷面第 9 題（第 14～16 題）　設三次函數

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1

，試回答下列各小題：

(1) 試求此函數圖形的反曲點。

(2) 試求此函數的極值與發生極值時的

x

值。

(3) 試描繪

y = f (x)

的函數圖形。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

2

第 2 題

26

第 3 題

4

第 4 題

- 2

第 5 題

f^{'} (x) = 5 x^{4} + 12 x^{2} + 2

第 6 題

f^{''} (x) = 20 x^{3} + 24 x

第 7 題

y = 8 x - 4

第 8 題

y = 6 x - 7

或

y = - 2 x - 7

第 9 題

I_{2}

、

I_{5}

第 10 題

I_{1}

、

I_{5}

第 11 題

I_{1}

、

I_{4}

第 12 題

I_{3}

、

I_{4}

第 13 題極大值

30

（

x = 9

）、極小值

- 2

（

x = - 3

）；在

[- 10, 15]

上的最大值

35

（

x = - 10

）、最小值

- 10

（

x = 15

）（依題目所給坐標）

第 14 題

(1, - 1)

第 15 題極大值

1

（

x = 0

）、極小值

- 3

（

x = 2

）

第 16 題圖形見詳解（過極大點

(0, 1)

、反曲點

(1, - 1)

、極小點

(2, - 3)

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01填充第 1～2 題（第 1～4 題）：導數值與切線斜率

第 1 題逐項微分：

f^{'} (x) = 6 x + 2

，所以

f^{'} (0) = 6 \times 0 + 2 = 2

。

第 2 題同上，

f^{'} (4) = 6 \times 4 + 2 = 26

。

第 3 題函數在

x = 1

的導數，就是圖形在點

A (1, 6)

的切線斜率。以

A

為切點的切線是

L : y = 4 x + 2

，斜率為

4

，所以

f^{'} (1) = 4

。

直接微分驗算：

f^{'} (x) = 2 x + 2

，

f^{'} (1) = 4

，與切線斜率相同。

第 4 題以

B (- 2, 3)

為切點的切線是

M : y = - 2 x - 1

，斜率為

- 2

，所以

f^{'} (- 2) = - 2

。

驗算：

f^{'} (- 2) = 2 \times (- 2) + 2 = - 2

。

切線的斜率就是切點的導數，兩者可以互相換算。

02填充第 3～5 題（第 5～8 題）：導函數、二階導函數與切線方程式

第 5 題用

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

逐項微分：

(x^{5})^{'} = 5 x^{4}

，

(4 x^{3})^{'} = 12 x^{2}

，

(2 x)^{'} = 2

，所以

f^{'} (x) = 5 x^{4} + 12 x^{2} + 2

。

第 6 題把

f^{'} (x) = 5 x^{4} + 12 x^{2} + 2

再微分一次：

f^{''} (x) = 20 x^{3} + 24 x

。

第 7 題先確認

A

在圖形上：

f (1) = 1 + 6 - 3 = 4

。

f^{'} (x) = 2 x + 6

，切線斜率

f^{'} (1) = 8

。切線為

y - 4 = 8 (x - 1)

，即

y = 8 x - 4

。

第 8 題

$f (0) = - 3 \neq = - 7$ ，所以 $B$ 不在圖形上，要先設切點。設切點為 $(t, t^{2} + 2 t - 3)$ ，切線斜率 $f^{'} (t) = 2 t + 2$ ，切線為

$y - (t^{2} + 2 t - 3) = (2 t + 2) (x - t)$

切線通過 $B (0, - 7)$ ，代入 $x = 0$ 、 $y = - 7$ ： $- 7 - (t^{2} + 2 t - 3) = (2 t + 2) (- t)$ ，即 $- t^{2} - 2 t - 4 = - 2 t^{2} - 2 t$ ，整理得 $t^{2} = 4$ ， $t = 2$ 或 $t = - 2$ 。

$t = 2$ ：切點 $(2, 5)$ ，斜率 $6$ ，切線 $y = 6 x - 7$ 。

$t = - 2$ ：切點 $(- 2, - 3)$ ，斜率 $- 2$ ，切線 $y = - 2 x - 7$ 。

「過」一點的切線，那一點不一定是切點；先設切點、寫出切線，再把已知點代入解切點。

以某點為切點：直接算那一點的導數；過曲線外一點：設切點

t

，用「切線通過已知點」解

t

。

03填充第 6～7 題（第 9～12 題）：由導函數判斷增減與凹口方向

第 9 題

$f (x)$ 是四次多項式， $f^{'} (x)$ 是三次多項式。圖形在 $x = 1, 2, 4$ 有水平切線，表示 $f^{'} (1) = f^{'} (2) = f^{'} (4) = 0$ ，三次多項式最多三個根，所以

$f^{'} (x) = k (x - 1) (x - 2) (x - 4)$

其中 $k$ 是不為 $0$ 的常數。由圖形， $x$ 很大時圖形往上升，所以 $k > 0$ 。看正負：

$x f^{'} (x) x < 1 - 1 < x < 2 + 2 < x < 4 - x > 4 +$

$f^{'} (x) > 0$ 的區間上 $f (x)$ 嚴格遞增，所以五個區間中嚴格遞增的是 $I_{2} = (1, 2)$ 與 $I_{5} = (4, 5)$ 。

也可以直接看圖：

A

到

B

往上、

C

以後往上；

I_{3}

、

I_{4}

在

B

與

C

之間，是遞減。

第 10 題

展開 $(x - 1) (x - 2) (x - 4) = x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ ，所以 $f^{'} (x) = k (x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8)$ ， $f^{''} (x) = k (3 x^{2} - 14 x + 14)$ 。解 $3 x^{2} - 14 x + 14 = 0$ ：

$x = \frac{14 \pm 196 - 168}{6} = \frac{7 \pm 7}{3}$

因為 $k > 0$ ， $f^{''} (x) > 0$ （凹口向上）恰在 $x < \frac{7 - 7}{3}$ 或 $x > \frac{7 + 7}{3}$ 。由 $2 < 7 < 3$ 得

$\frac{4}{3} < \frac{7 - 7}{3} < \frac{5}{3}, 3 < \frac{7 + 7}{3} < \frac{10}{3}$

所以凹口向上的範圍包含整個 $I_{1} = (0, 1)$ 與整個 $I_{5} = (4, 5)$ ； $I_{2}$ 只有前段、 $I_{4}$ 只有後段凹口向上， $I_{3} = (2, 3)$ 整段凹口向下。答案是 $I_{1}$ 、 $I_{5}$ 。

兩個反曲點約在

x \approx 1.45

與

x \approx 3.22

。

I_{2}

與

I_{4}

各有一部分凹口向下，整個區間不是凹口向上，所以不算。

第 11 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 12 x - 15 = 3 (x^{2} + 4 x - 5) = 3 (x + 5) (x - 1)$ 。

$x f^{'} (x) x < - 5 + - 5 < x < 1 - x > 1 +$

$f (x)$ 在 $x < - 5$ 與 $x > 1$ 時嚴格遞增。四個區間中整個落在裡面的是 $I_{1} = (- 7, - 5)$ 與 $I_{4} = (1, 3)$ ； $I_{2}$ 、 $I_{3}$ 都在 $(- 5, 1)$ 內，是嚴格遞減。

第 12 題

f^{''} (x) = 6 x + 12 = 6 (x + 2)

，當

x > - 2

時

f^{''} (x) > 0

，圖形凹口向上；

x < - 2

時凹口向下。四個區間中在

x > - 2

的是

I_{3} = (- 2, 1)

與

I_{4} = (1, 3)

。

反曲點在

x = - 2

，正好是

I_{2}

與

I_{3}

的分界。

f^{'} (x)

的正負決定增減，

f^{''} (x)

的正負決定凹口方向；問「哪些區間」時，要整個區間都符合才算。

04計算第 8 題（第 13 題）：閉區間上的極值

第 13 題

找水平切點。 $f (x)$ 是三次多項式， $f^{'} (x)$ 是二次多項式，最多兩個根。以 $B$ 、 $C$ 為切點的切線是水平線，所以 $f^{'} (- 3) = f^{'} (9) = 0$ ， $f^{'} (x) = 0$ 只有 $x = - 3$ 與 $x = 9$ 。

判斷極大極小。 由圖形， $f (x)$ 在 $- 10 < x < - 3$ 遞減、在 $- 3 < x < 9$ 遞增、在 $9 < x < 15$ 遞減（即 $f^{'} (x)$ 依序為負、正、負）。所以 $f^{'} (x)$ 在 $x = - 3$ 由負變正， $f (- 3) = - 2$ 是極小值；在 $x = 9$ 由正變負， $f (9) = 30$ 是極大值。

比較端點。 定義域是閉區間 $[- 10, 15]$ ，最大值與最小值要從極值與兩端點的函數值中比較： $f (- 10) = 35$ 、 $f (- 3) = - 2$ 、 $f (9) = 30$ 、 $f (15) = - 10$ 。最大的是 $35$ ，最小的是 $- 10$ 。

所以極大值為 $30$ （ $x = 9$ ），極小值為 $- 2$ （ $x = - 3$ ）；在 $[- 10, 15]$ 上的最大值（絕對極大值）為 $35$ （ $x = - 10$ ），最小值（絕對極小值）為 $- 10$ （ $x = 15$ ）。

載入中...

題目給的坐標與「三次函數在

B

、

C

有水平切線」互相矛盾：由

f^{'} (- 3) = f^{'} (9) = 0

、

f (- 3) = - 2

、

f (9) = 30

可以唯一定出

f (x) = - \frac{1}{27} x^{3} + \frac{1}{3} x^{2} + 3 x + 3

，此時

f (- 10) = \frac{1171}{27}

、

f (15) = - 2

，

A

、

D

的縱坐標都對不上（若照這個函數算，最大值是

\frac{1171}{27}

（

x = - 10

），最小值是

- 2

（

x = - 3

與

x = 15

））。推測命題用意是用給定的四點比較大小，本頁照題目給的坐標作答。圖為示意，未照比例。

閉區間上的最大值與最小值，要把極值和兩個端點的函數值放在一起比較；端點的值可能比極值更大或更小。

05計算第 9 題（第 14～16 題）：反曲點、極值與描圖

第 14 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x

，

f^{''} (x) = 6 x - 6 = 6 (x - 1)

。

x < 1

時

f^{''} (x) < 0

，圖形凹口向下；

x > 1

時

f^{''} (x) > 0

，凹口向上。凹口方向在

x = 1

改變，

f (1) = 1 - 3 + 1 = - 1

，所以反曲點是

(1, - 1)

。

第 15 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ ， $f^{'} (x) = 0$ 時 $x = 0$ 或 $x = 2$ 。

$x f^{'} (x) x < 0 + 0 < x < 2 - x > 2 +$

$f^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 由正變負，極大值 $f (0) = 1$ ；在 $x = 2$ 由負變正，極小值 $f (2) = 8 - 12 + 1 = - 3$ 。

第 16 題

把前兩小題的結果整理成表：

$x f^{'} (x) f (x) x < 0 + ↗ 001 0 < x < 2 - ↘ 20 - 3 x > 2 + ↗$

$x < 1$ 凹口向下、 $x > 1$ 凹口向上，反曲點 $(1, - 1)$ ；又 $f (0) = 1$ ，圖形與 $y$ 軸交於 $(0, 1)$ 。描出極大點 $(0, 1)$ 、反曲點 $(1, - 1)$ 、極小點 $(2, - 3)$ ，依增減與凹口方向連成平滑曲線，圖形如下圖。

載入中...

三次函數的圖形對稱於反曲點：

(0, 1)

與

(2, - 3)

的中點正是

(1, - 1)

，可以用來檢查描點。又

f (- 1) = - 3

、

f (3) = 1

，可多描兩點幫助畫出兩端。

描三次函數的圖：用

f^{'} (x)

找增減與極值，用

f^{''} (x)

找凹口方向與反曲點，再把這些點連起來。

同一次段考的其他學校

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常見問題

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本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 112 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 5 題的點不在曲線上，要先設切點再代入，兩條切線都要寫；填充第 6 題要由三個水平切點寫出導函數，再由二階導函數找出兩個反曲點的位置，只有一部分凹口向上的區間不算；計算第 8 題定義域是閉區間，最大值與最小值要把兩個端點一起比較。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自建國中學 112 學年度上學期高三第二次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、填充題（每(小)題 5 分，共 60 分）

卷面第 1 題（第 1～2 題）　設

f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1

，試求：

(1)

f^{'} (0)

(2)

f^{'} (4)

卷面第 2 題（第 3～4 題）　設

f (x) = x^{2} + 2 x + 3

且

y = f (x)

的函數圖形如下圖，已知

A (1, 6)

和

B (- 2, 3)

是

y = f (x)

函數圖形上的兩個點，而直線

L : y = 4 x + 2

和直線

M : y = - 2 x - 1

分別是

y = f (x)

函數圖形上以

A

點和

B

點為切點的切線，試求：

(1)

f^{'} (1)

載入中...

(2)

f^{'} (- 2)

卷面第 3 題（第 5～6 題）　設

f (x) = x^{5} + 4 x^{3} + 2 x

，試求：

(1)

f (x)

的一階導函數

f^{'} (x)

(2)

f (x)

的二階導函數

f^{''} (x)

。

4. 設

f (x) = x^{2} + 6 x - 3

，點

A (1, 4)

為

y = f (x)

函數圖形上的一點，試求以

A

點為切點的切線方程式。

5. 設

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

，點

B (0, - 7)

是坐標平面上的一點，試求過

B

點的切線方程式。(有兩解)

卷面第 6 題（第 9～10 題）　設

f (x)

為四次多項式，而

y = f (x)

的函數圖形如下圖，已知此函數圖形上只有三個點擁有水平切線，就是下圖中的

A, B, C

三點，而這三個點的

x

坐標分別為

1, 2, 4

，考慮以下的五個區間

I_{1} = (0, 1), I_{2} = (1, 2), I_{3} = (2, 3), I_{4} = (3, 4), I_{5} = (4, 5)

，試問：

(1) 函數

f (x)

在上述五個區間的哪些區間為嚴格遞增？

載入中...

(2) 函數

f (x)

在上述五個區間的哪些區間為凹口向上？

卷面第 7 題（第 11～12 題）　設三次函數

f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 7

，考慮以下四個的區間

I_{1} = (- 7, - 5), I_{2} = (- 5, - 2), I_{3} = (- 2, 1), I_{4} = (1, 3)

，試問：

(1) 函數

f (x)

在上述四個區間的哪些區間為嚴格遞增？

(2) 函數

f (x)

在上述四個區間的哪些區間為凹口向上？

二、計算題（每(小)題 10 分，共 40 分）

8. 設

f (x)

為三次多項式，而函數

y = f (x)

的函數圖形如下圖，其中圖形上四個點的坐標分別為

A (- 10, 35), B (- 3, - 2), C (9, 30), D (15, - 10)

，圖形上以

B

點和

C

點為切點的切線皆為水平線，現將此函數的定義域設定為閉區間

[- 10, 15]

，試求此函數的極值與發生極值時的

x

值。

載入中...

卷面第 9 題（第 14～16 題）　設三次函數

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1

，試回答下列各小題：

(1) 試求此函數圖形的反曲點。

(2) 試求此函數的極值與發生極值時的

x

值。

(3) 試描繪

y = f (x)

的函數圖形。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

2

第 2 題

26

第 3 題

4

第 4 題

- 2

第 5 題

f^{'} (x) = 5 x^{4} + 12 x^{2} + 2

第 6 題

f^{''} (x) = 20 x^{3} + 24 x

第 7 題

y = 8 x - 4

第 8 題

y = 6 x - 7

或

y = - 2 x - 7

第 9 題

I_{2}

、

I_{5}

第 10 題

I_{1}

、

I_{5}

第 11 題

I_{1}

、

I_{4}

第 12 題

I_{3}

、

I_{4}

第 13 題極大值

30

（

x = 9

）、極小值

- 2

（

x = - 3

）；在

[- 10, 15]

上的最大值

35

（

x = - 10

）、最小值

- 10

（

x = 15

）（依題目所給坐標）

第 14 題

(1, - 1)

第 15 題極大值

1

（

x = 0

）、極小值

- 3

（

x = 2

）

第 16 題圖形見詳解（過極大點

(0, 1)

、反曲點

(1, - 1)

、極小點

(2, - 3)

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充第 1～2 題（第 1～4 題）：導數值與切線斜率

第 1 題逐項微分：

f^{'} (x) = 6 x + 2

，所以

f^{'} (0) = 6 \times 0 + 2 = 2

。

第 2 題同上，

f^{'} (4) = 6 \times 4 + 2 = 26

。

第 3 題函數在

x = 1

的導數，就是圖形在點

A (1, 6)

的切線斜率。以

A

為切點的切線是

L : y = 4 x + 2

，斜率為

4

，所以

f^{'} (1) = 4

。

直接微分驗算：

f^{'} (x) = 2 x + 2

，

f^{'} (1) = 4

，與切線斜率相同。

第 4 題以

B (- 2, 3)

為切點的切線是

M : y = - 2 x - 1

，斜率為

- 2

，所以

f^{'} (- 2) = - 2

。

驗算：

f^{'} (- 2) = 2 \times (- 2) + 2 = - 2

。

切線的斜率就是切點的導數，兩者可以互相換算。

02填充第 3～5 題（第 5～8 題）：導函數、二階導函數與切線方程式

第 5 題用

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

逐項微分：

(x^{5})^{'} = 5 x^{4}

，

(4 x^{3})^{'} = 12 x^{2}

，

(2 x)^{'} = 2

，所以

f^{'} (x) = 5 x^{4} + 12 x^{2} + 2

。

第 6 題把

f^{'} (x) = 5 x^{4} + 12 x^{2} + 2

再微分一次：

f^{''} (x) = 20 x^{3} + 24 x

。

第 7 題先確認

A

在圖形上：

f (1) = 1 + 6 - 3 = 4

。

f^{'} (x) = 2 x + 6

，切線斜率

f^{'} (1) = 8

。切線為

y - 4 = 8 (x - 1)

，即

y = 8 x - 4

。

第 8 題

$f (0) = - 3 \neq = - 7$ ，所以 $B$ 不在圖形上，要先設切點。設切點為 $(t, t^{2} + 2 t - 3)$ ，切線斜率 $f^{'} (t) = 2 t + 2$ ，切線為

$y - (t^{2} + 2 t - 3) = (2 t + 2) (x - t)$

$t = 2$ ：切點 $(2, 5)$ ，斜率 $6$ ，切線 $y = 6 x - 7$ 。

$t = - 2$ ：切點 $(- 2, - 3)$ ，斜率 $- 2$ ，切線 $y = - 2 x - 7$ 。

「過」一點的切線，那一點不一定是切點；先設切點、寫出切線，再把已知點代入解切點。

以某點為切點：直接算那一點的導數；過曲線外一點：設切點

t

，用「切線通過已知點」解

t

。

03填充第 6～7 題（第 9～12 題）：由導函數判斷增減與凹口方向

第 9 題

$f (x)$ 是四次多項式， $f^{'} (x)$ 是三次多項式。圖形在 $x = 1, 2, 4$ 有水平切線，表示 $f^{'} (1) = f^{'} (2) = f^{'} (4) = 0$ ，三次多項式最多三個根，所以

$f^{'} (x) = k (x - 1) (x - 2) (x - 4)$

其中 $k$ 是不為 $0$ 的常數。由圖形， $x$ 很大時圖形往上升，所以 $k > 0$ 。看正負：

$x f^{'} (x) x < 1 - 1 < x < 2 + 2 < x < 4 - x > 4 +$

$f^{'} (x) > 0$ 的區間上 $f (x)$ 嚴格遞增，所以五個區間中嚴格遞增的是 $I_{2} = (1, 2)$ 與 $I_{5} = (4, 5)$ 。

也可以直接看圖：

A

到

B

往上、

C

以後往上；

I_{3}

、

I_{4}

在

B

與

C

之間，是遞減。

第 10 題

展開 $(x - 1) (x - 2) (x - 4) = x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8$ ，所以 $f^{'} (x) = k (x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8)$ ， $f^{''} (x) = k (3 x^{2} - 14 x + 14)$ 。解 $3 x^{2} - 14 x + 14 = 0$ ：

$x = \frac{14 \pm 196 - 168}{6} = \frac{7 \pm 7}{3}$

因為 $k > 0$ ， $f^{''} (x) > 0$ （凹口向上）恰在 $x < \frac{7 - 7}{3}$ 或 $x > \frac{7 + 7}{3}$ 。由 $2 < 7 < 3$ 得

$\frac{4}{3} < \frac{7 - 7}{3} < \frac{5}{3}, 3 < \frac{7 + 7}{3} < \frac{10}{3}$

兩個反曲點約在

x \approx 1.45

與

x \approx 3.22

。

I_{2}

與

I_{4}

各有一部分凹口向下，整個區間不是凹口向上，所以不算。

第 11 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 12 x - 15 = 3 (x^{2} + 4 x - 5) = 3 (x + 5) (x - 1)$ 。

$x f^{'} (x) x < - 5 + - 5 < x < 1 - x > 1 +$

第 12 題

f^{''} (x) = 6 x + 12 = 6 (x + 2)

，當

x > - 2

時

f^{''} (x) > 0

，圖形凹口向上；

x < - 2

時凹口向下。四個區間中在

x > - 2

的是

I_{3} = (- 2, 1)

與

I_{4} = (1, 3)

。

反曲點在

x = - 2

，正好是

I_{2}

與

I_{3}

的分界。

f^{'} (x)

的正負決定增減，

f^{''} (x)

的正負決定凹口方向；問「哪些區間」時，要整個區間都符合才算。

04計算第 8 題（第 13 題）：閉區間上的極值

第 13 題

載入中...

題目給的坐標與「三次函數在

B

、

C

有水平切線」互相矛盾：由

f^{'} (- 3) = f^{'} (9) = 0

、

f (- 3) = - 2

、

f (9) = 30

可以唯一定出

f (x) = - \frac{1}{27} x^{3} + \frac{1}{3} x^{2} + 3 x + 3

，此時

f (- 10) = \frac{1171}{27}

、

f (15) = - 2

，

A

、

D

的縱坐標都對不上（若照這個函數算，最大值是

\frac{1171}{27}

（

x = - 10

），最小值是

- 2

（

x = - 3

與

x = 15

））。推測命題用意是用給定的四點比較大小，本頁照題目給的坐標作答。圖為示意，未照比例。

閉區間上的最大值與最小值，要把極值和兩個端點的函數值放在一起比較；端點的值可能比極值更大或更小。

05計算第 9 題（第 14～16 題）：反曲點、極值與描圖

第 14 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x

，

f^{''} (x) = 6 x - 6 = 6 (x - 1)

。

x < 1

時

f^{''} (x) < 0

，圖形凹口向下；

x > 1

時

f^{''} (x) > 0

，凹口向上。凹口方向在

x = 1

改變，

f (1) = 1 - 3 + 1 = - 1

，所以反曲點是

(1, - 1)

。

第 15 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ ， $f^{'} (x) = 0$ 時 $x = 0$ 或 $x = 2$ 。

$x f^{'} (x) x < 0 + 0 < x < 2 - x > 2 +$

$f^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 由正變負，極大值 $f (0) = 1$ ；在 $x = 2$ 由負變正，極小值 $f (2) = 8 - 12 + 1 = - 3$ 。

第 16 題

把前兩小題的結果整理成表：

$x f^{'} (x) f (x) x < 0 + ↗ 001 0 < x < 2 - ↘ 20 - 3 x > 2 + ↗$

載入中...

三次函數的圖形對稱於反曲點：

(0, 1)

與

(2, - 3)

的中點正是

(1, - 1)

，可以用來檢查描點。又

f (- 1) = - 3

、

f (3) = 1

，可多描兩點幫助畫出兩端。

描三次函數的圖：用

f^{'} (x)

找增減與極值，用

f^{''} (x)

找凹口方向與反曲點，再把這些點連起來。

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