段考詳解範圍：對數、對數函數與圖形、指數與對數函數的應用

建國中學 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 建國中學 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題第 2 小題底數要大於零又不等於一，二不能取；第 5 題第 4 小題底數零點二小於一，去掉對數時不等號要反向，而且真數要大於零；第 7 題第 2 小題底數小於一的對數函數圖形也是凹口向上；第 13 題在零與一之間還有一個交點，容易只找到二這一個根。詳解逐題寫在本頁。

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

填充題 7 題共 15 小題（每(小)題 4 分，共 60 分）、配合題 1 題（4 分）、計算題 6 題（每題 6 分，共 36 分）。卷頭附參考數值 log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、填充題（每(小)題 4 分，共 60 分）

已知

lo g x = 2 + lo g 1.357

，試求正實數

x

的值。

(1) 已知

a = lo g 2, b = lo g 3

，試用

a, b

表示

lo g_{5} 12

。 (2) 已知

c = lo g_{2} 3, d = lo g_{3} 7

，試用

c, d

表示

lo g_{18} 63

。

(1) 若對數

lo g_{(x + 2)} (3 x^{2} + 7 x - 6)

有意義，試求實數

x

的最大可能範圍。 (2) 設

a

為實數，若對於任何實數

x

而言，對數

lo g_{(3 - a)} (x^{2} + 2 x + a)

恆有意義，試求實數

a

的最大可能範圍。

試化簡下列各式的值： (1)

lo g_{3} \frac{5}{4} + 2 lo g_{3} 2 - lo g_{3} 45

(2)

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 4 \times lo g_{4} 5 \times lo g_{5} 6 \times lo g_{6} 7 \times lo g_{7} 8

試解下列方程式或不等式： (1)

lo g_{10} (x + 1) + lo g_{10} (x - 2) = 1

(2)

lo g_{3} (x + 4) = lo g_{9} (x + 6)

(3)

2 + lo g_{2} (x + 6) < lo g_{2} (x^{2} - 2 x + 8)

(4)

lo g_{2} (lo g_{0.2} x) \geq 1

(1) 已知芮氏地震規模

m

和地震釋放出的能量

r

焦耳的關係是

lo g r = 4.8 + 1.5 m

，試問芮氏規模

8

的地震所釋放出的能量是芮氏規模

6

的地震所釋放出的能量的多少倍？ (2) 設

n

為正整數，若年利率為

12.5%

，依複利計算，試問至少要

n

年才可以使得本利和超過本金的

3

倍？

用代號甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛分別表示各函數，詳如下表，試回答下列各小題。

代號 函數 代號 函數 甲 y = 2^{x} 戊 y = lo g_{2} x 乙 y = 3^{x} 己 y = lo g_{3} x 丙 y = (\frac{1}{2})^{x} 庚 y = lo g_{\frac{1}{2}} x 丁 y = (\frac{1}{3})^{x} 辛 y = lo g_{\frac{1}{3}} x

(1) 哪些函數是嚴格遞增函數，試以代號表示。 (2) 哪些函數的圖形是凹口向上，試以代號表示。

二、配合題（每題 4 分，共 4 分）

連連看：試用線段將下列各函數及其圖形連接起來。

y = lo g_{2} x

y = 2^{x}

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

（原卷三張圖由左而右排列、沒有編號；本站重畫時依序加註圖一、圖二、圖三。）

載入中...

三、計算題（每題 6 分，共 36 分）

設

a, b, c

皆為正整數且滿足

a lo g_{60} 2 + b lo g_{60} 3 + c lo g_{60} 5 = 7

，試求

a, b, c

的值。

設

a = lo g_{12} 3

，試以

a

表示

lo g_{2} 3

。

試求方程式

x^{1 + l o g_{2} x} = 4 x^{2}

的根。

設

x, y

皆為正實數且滿足

lo g_{2} x + lo g_{2} y = 3

，試求

4 x + 5 y

的最小值。

試求方程式

∣ lo g_{2} x ∣ + x = 3

有幾個實根？

試求滿足不等式

(\frac{5}{2})^{n} > 2000

的最小正整數

n

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

x = 135.7

第 2 題(1)

\frac{2 a + b}{1 - a}

　(2)

\frac{2 c + c d}{1 + 2 c}

第 3 題(1)

x > \frac{2}{3}

　(2)

1 < a < 3

且

a \neq = 2

第 4 題(1)

- 2

　(2)

3

第 5 題(1)

x = 4

　(2)

x = - 2

　(3)

- 6 < x < - 2

或

x > 8

　(4)

0 < x \leq \frac{1}{25}

第 6 題(1)

1000

倍　(2)

n = 10

第 7 題(1) 甲、乙、戊、己　(2) 甲、乙、丙、丁、庚、辛

第 8 題

y = lo g_{2} x

連圖二；

y = 2^{x}

連圖一；

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

連圖三

第 9 題

a = 14

，

b = 7

，

c = 7

第 10 題

lo g_{2} 3 = \frac{2 a}{1 - a}

第 11 題

x = 4

或

x = \frac{1}{2}

第 12 題

810

第 13 題

2

個

第 14 題

n = 9

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充第 1、2 題：對數律與換底公式

第 1 題

2 = lo g 100

，所以

lo g x = lo g 100 + lo g 1.357 = lo g (100 \times 1.357) = lo g 135.7

。常用對數函數是一對一的，得

x = 135.7

。

也可以想成：常用對數加

2

，真數就乘

1 0^{2}

，小數點往右移兩位。

第 2 題

(1) 換成常用對數： $lo g_{5} 12 = \frac{lo g 12}{lo g 5}$ 。 $lo g 12 = lo g (2^{2} \times 3) = 2 a + b$ ； $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - a$ 。所以 $lo g_{5} 12 = \frac{2 a + b}{1 - a}$ 。

(2) 換成以 $2$ 為底： $lo g_{2} 3 = c$ ， $lo g_{2} 7 = lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 7 = c d$ 。 $lo g_{2} 63 = lo g_{2} (3^{2} \times 7) = 2 c + c d$ ， $lo g_{2} 18 = lo g_{2} (2 \times 3^{2}) = 1 + 2 c$ 。所以 $lo g_{18} 63 = \frac{lo g _{2} 63}{lo g _{2} 18} = \frac{2 c + c d}{1 + 2 c}$ 。

(1) 的

lo g 5

沒有直接給，要用

5 = \frac{10}{2}

轉成

1 - a

。(2) 的關鍵是

lo g_{2} 7 = lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 7

（換底的連鎖）。

用已知的對數表示其他對數：先把真數做質因數分解，再用換底公式換到題目給的底。

02填充第 3、4 題：對數有意義的條件、化簡

第 3 題

(1) 底數要大於 $0$ 且不等於 $1$ ： $x + 2 > 0$ 且 $x + 2 \neq = 1$ ，即 $x > - 2$ 且 $x \neq = - 1$ 。真數要大於 $0$ ： $3 x^{2} + 7 x - 6 = (3 x - 2) (x + 3) > 0$ ，得 $x > \frac{2}{3}$ 或 $x < - 3$ 。兩個條件同時成立： $x > \frac{2}{3}$ （這時 $x \neq = - 1$ 自動成立）。

(2) 底數： $3 - a > 0$ 且 $3 - a \neq = 1$ ，即 $a < 3$ 且 $a \neq = 2$ 。真數對任何實數 $x$ 都要大於 $0$ ： $x^{2} + 2 x + a > 0$ 恆成立，首項係數為正，只要判別式小於 $0$ ： $4 - 4 a < 0$ ， $a > 1$ 。兩者合起來： $1 < a < 3$ 且 $a \neq = 2$ 。

(2) 若判別式等於

0

（

a = 1

），

x = - 1

時真數為

0

，對數沒有意義，所以

a = 1

不可以。底數

3 - a = 1

也不行，

a = 2

要挖掉。

第 4 題

(1) 用對數律合併： $lo g_{3} \frac{5}{4} + lo g_{3} 2^{2} - lo g_{3} 45 = lo g_{3} (\frac{5}{4} \times 4 \div 45) = lo g_{3} \frac{5}{45} = lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$ 。

(2) 每個因子用換底公式寫成常用對數： $\frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 4}{lo g 3} \times \frac{lo g 5}{lo g 4} \times \frac{lo g 6}{lo g 5} \times \frac{lo g 7}{lo g 6} \times \frac{lo g 8}{lo g 7}$ ，中間的分子分母兩兩相消，剩 $\frac{lo g 8}{lo g 2} = lo g_{2} 8 = 3$ 。

(1) 的

2 lo g_{3} 2

要先變成

lo g_{3} 4

才能和別的項合併。

03填充第 5 題：對數方程式與對數不等式

第 5 題

(1) 真數要正： $x + 1 > 0$ 且 $x - 2 > 0$ ，即 $x > 2$ 。合併： $lo g_{10} (x + 1) (x - 2) = 1$ ， $(x + 1) (x - 2) = 10$ ， $x^{2} - x - 12 = 0$ ， $(x - 4) (x + 3) = 0$ ， $x = 4$ 或 $- 3$ ； $- 3$ 不合， $x = 4$ 。

(2) 真數要正： $x > - 4$ 。 $lo g_{9} (x + 6) = \frac{lo g _{3} ( x + 6 )}{lo g _{3} 9} = \frac{1}{2} lo g_{3} (x + 6)$ ，原式兩邊乘 $2$ ： $lo g_{3} (x + 4)^{2} = lo g_{3} (x + 6)$ ， $(x + 4)^{2} = x + 6$ ， $x^{2} + 7 x + 10 = 0$ ， $(x + 2) (x + 5) = 0$ ， $x = - 2$ 或 $- 5$ ； $- 5$ 不合， $x = - 2$ 。

(3) 真數要正： $x + 6 > 0$ ，即 $x > - 6$ ； $x^{2} - 2 x + 8 = (x - 1)^{2} + 7$ 恆正。左邊 $2 + lo g_{2} (x + 6) = lo g_{2} 4 (x + 6)$ ，底數 $2 > 1$ ，不等號方向不變： $4 x + 24 < x^{2} - 2 x + 8$ ， $x^{2} - 6 x - 16 > 0$ ， $(x - 8) (x + 2) > 0$ ， $x > 8$ 或 $x < - 2$ 。再配合 $x > - 6$ ： $- 6 < x < - 2$ 或 $x > 8$ 。

(4) $1 = lo g_{2} 2$ ，底數 $2 > 1$ ： $lo g_{0.2} x \geq 2$ 。又 $2 = lo g_{0.2} 0.04$ ，底數 $0.2$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = lo g_{0.2} x$ 是遞減函數，不等號要反向： $x \leq 0.04$ 。再加上真數 $x > 0$ ，得 $0 < x \leq \frac{1}{25}$ 。

(4) 外層的真數

lo g_{0.2} x

也要大於

0

，這已經包含在

lo g_{0.2} x \geq 2

裡。驗算：

x = 0.04

時

lo g_{0.2} 0.04 = 2

，

lo g_{2} 2 = 1

，等號成立。

解對數方程式與不等式：先列出所有真數、底數的限制，化成同底後再比較真數；底數小於

1

時不等號反向，最後和限制取交集。

04填充第 6 題：地震規模與複利

第 6 題

(1) 設規模 $8$ 、 $6$ 的能量分別是 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ ： $lo g r_{1} = 4.8 + 1.5 \times 8 = 16.8$ ， $lo g r_{2} = 4.8 + 1.5 \times 6 = 13.8$ 。 $lo g \frac{r _{1}}{r _{2}} = 16.8 - 13.8 = 3$ ，所以 $\frac{r _{1}}{r _{2}} = 1 0^{3} = 1000$ 倍。

(2) 本金 $P$ ， $n$ 年後本利和是 $P (1.125)^{n} = P (\frac{9}{8})^{n}$ 。要 $(\frac{9}{8})^{n} > 3$ ，兩邊取常用對數： $n lo g \frac{9}{8} > lo g 3$ 。 $lo g \frac{9}{8} = 2 lo g 3 - 3 lo g 2 \approx 0.9542 - 0.9030 = 0.0512$ ，所以 $n > \frac{0.4771}{0.0512} \approx 9.32$ ，最小的正整數 $n = 10$ 。

(1) 規模每多

1

，能量乘

1 0^{1.5}

（約

31.6

倍）；多

2

就是

1 0^{3}

倍。(2) 直接算：

(\frac{9}{8})^{9} \approx 2.887

還不到

3

，

(\frac{9}{8})^{10} \approx 3.247

才超過。

05填充第 7 題、配合第 8 題：指數與對數函數的圖形

第 7 題

(1) 指數函數 $y = a^{x}$ 與對數函數 $y = lo g_{a} x$ ：底數 $a > 1$ 時嚴格遞增， $0 < a < 1$ 時嚴格遞減。底數大於 $1$ 的是甲（ $2$ ）、乙（ $3$ ）、戊（ $2$ ）、己（ $3$ ），所以嚴格遞增的是甲、乙、戊、己。

(2) 指數函數的圖形不論底數大於 $1$ 或小於 $1$ ，都是凹口向上：甲、乙、丙、丁。對數函數 $y = lo g_{a} x$ 在 $a > 1$ 時凹口向下（戊、己）。而 $lo g_{\frac{1}{2}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{2}} = - lo g_{2} x$ ，庚的圖形是戊的圖形對 $x$ 軸的鏡射，凹口方向跟著翻轉成向上；同理辛 $= - lo g_{3} x$ 也凹口向上。所以凹口向上的是甲、乙、丙、丁、庚、辛。

凹口向上的意思是：圖形上任取兩點連成線段，兩點之間的曲線都在線段下方。例如庚：

x = 1

、

x = 4

對應

(1, 0)

、

(4, - 2)

，中點

(\frac{5}{2}, - 1)

；而

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{5}{2} \approx - 1.32

，比

- 1

低，曲線在線段下方。

第 8 題看兩個特徵：通過哪個定點、遞增或遞減。

y = 2^{x}

通過

(0, 1)

、遞增，而且圖形整個在

x

軸上方，對應圖一。

y = lo g_{2} x

通過

(1, 0)

、遞增，只在

x > 0

有圖形，對應圖二。

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

通過

(1, 0)

、遞減（底數小於

1

），對應圖三。

圖二與圖三都通過

(1, 0)

，要靠遞增或遞減來分。也可以代點檢查：圖一過

(1, 2)

、圖二過

(2, 1)

、圖三過

(2, - 1)

。

底數決定遞增或遞減；指數函數都凹口向上，對數函數底數大於

1

凹口向下、介於

0

與

1

之間凹口向上。

06計算第 9、10 題：對數律、換底公式

第 9 題左邊用對數律合併：

lo g_{60} 2^{a} + lo g_{60} 3^{b} + lo g_{60} 5^{c} = lo g_{60} (2^{a} 3^{b} 5^{c}) = 7

，所以

2^{a} 3^{b} 5^{c} = 6 0^{7}

。而

60 = 2^{2} \times 3 \times 5

，

6 0^{7} = 2^{14} \times 3^{7} \times 5^{7}

。由質因數分解的唯一性，

a = 14

，

b = 7

，

c = 7

。

a, b, c

是正整數，才能用質因數分解唯一來比較次方。

第 10 題令

t = lo g_{2} 3

。換成以

2

為底：

a = lo g_{12} 3 = \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 12} = \frac{t}{lo g _{2} ( 2 ^{2} \times 3 )} = \frac{t}{2 + t}

。去分母：

a (2 + t) = t

，

2 a = t - a t = t (1 - a)

。因為

0 < a < 1

，

1 - a \neq = 0

，所以

t = \frac{2 a}{1 - a}

，即

lo g_{2} 3 = \frac{2 a}{1 - a}

。

驗算：

lo g_{2} 3 \approx 1.585

，

a = \frac{1.585}{3.585} \approx 0.442

，

\frac{2 \times 0.442}{1 - 0.442} \approx 1.585

。

07計算第 11、12 題：取對數解方程式、對數條件與算幾不等式

第 11 題

lo g_{2} x

要有意義，

x > 0

，兩邊都是正數，可以兩邊取以

2

為底的對數：

(1 + lo g_{2} x) lo g_{2} x = lo g_{2} 4 + 2 lo g_{2} x = 2 + 2 lo g_{2} x

。令

u = lo g_{2} x

：

u^{2} + u = 2 + 2 u

，

u^{2} - u - 2 = 0

，

(u - 2) (u + 1) = 0

，

u = 2

或

u = - 1

。所以

x = 2^{2} = 4

或

x = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

。檢查：

x = 4

時左邊

4^{3} = 64

，右邊

4 \times 16 = 64

；

x = \frac{1}{2}

時左邊

(\frac{1}{2})^{0} = 1

，右邊

4 \times \frac{1}{4} = 1

，兩根都合。

左邊是

x

的

(1 + lo g_{2} x)

次方，取對數後指數變成係數：

lo g_{2} x^{1 + l o g_{2} x} = (1 + lo g_{2} x) lo g_{2} x

。

第 12 題

lo g_{2} x + lo g_{2} y = lo g_{2} x y = 3

，所以

x y = 8

。

x, y

為正數，

4 x

、

5 y

都是正數，由算幾不等式：

\frac{4 x + 5 y}{2} \geq 4 x \cdot 5 y = 20 x y = 160 = 410

，所以

4 x + 5 y \geq 810

。等號成立在

4 x = 5 y

：配合

x y = 8

，

x \cdot \frac{4}{5} x = 8

，

x^{2} = 10

，

x = 10

，

y = \frac{4 10}{5}

，都是正數，等號取得到。最小值為

810

。

810 \approx 25.30

。一定要檢查等號取得到，才能說最小值就是

810

。

未知數同時出現在底數與指數上時，兩邊取對數把指數拉下來，再換元成二次方程式。

08計算第 13、14 題：用圖形數實根、取常用對數解不等式

第 13 題

方程式改寫成 $∣ lo g_{2} x ∣ = 3 - x$ （ $x > 0$ ），實根個數就是 $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ 與直線 $y = 3 - x$ 的交點個數。

① $x \geq 1$ ： $∣ lo g_{2} x ∣ = lo g_{2} x$ ，曲線遞增、直線遞減，最多交一點； $x = 2$ 時兩邊都是 $1$ ，所以恰有一根 $x = 2$ 。

② $0 < x < 1$ ： $∣ lo g_{2} x ∣ = - lo g_{2} x = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 。在 $x = \frac{1}{8}$ 曲線高度 $3$ ，直線高度 $\frac{23}{8}$ ，曲線在上；在 $x = \frac{1}{4}$ 曲線高度 $2$ ，直線高度 $\frac{11}{4}$ ，曲線在下，所以在 $\frac{1}{8}$ 與 $\frac{1}{4}$ 之間至少交一點。在 $\frac{1}{4} \leq x < 1$ ，曲線高度 $- lo g_{2} x \leq 2$ ，直線高度 $3 - x > 2$ ，曲線在直線下方，沒有交點。在 $0 < x < \frac{1}{4}$ ： $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 凹口向上，與直線最多交兩點；若交兩點，第二個交點右邊曲線會回到直線上方，但 $x = \frac{1}{4}$ 時曲線在直線下方，矛盾。所以這一段恰有一個交點（在 $\frac{1}{8}$ 與 $\frac{1}{4}$ 之間）。

合計 $2$ 個實根。

0 < x < 1

那個根約在

x \approx 0.137

，不容易直接看出，要靠代點比較高低才找得到。

第 14 題兩邊都是正數，取常用對數：

n lo g \frac{5}{2} > lo g 2000

。

lo g \frac{5}{2} = lo g 5 - lo g 2 = (1 - lo g 2) - lo g 2 = 1 - 2 lo g 2 \approx 0.3980

；

lo g 2000 = 3 + lo g 2 \approx 3.3010

。所以

n > \frac{3.3010}{0.3980} \approx 8.29

，最小的正整數

n = 9

。

直接算檢查：

(\frac{5}{2})^{8} \approx 1525.9

還不到

2000

，

(\frac{5}{2})^{9} \approx 3814.7

超過

2000

。

含絕對值的對數方程式，以

x = 1

為界分兩段去掉絕對值，再分段比較曲線與直線的高低數交點。

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建國中學 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題第 2 小題底數要大於零又不等於一，二不能取；第 5 題第 4 小題底數零點二小於一，去掉對數時不等號要反向，而且真數要大於零；第 7 題第 2 小題底數小於一的對數函數圖形也是凹口向上；第 13 題在零與一之間還有一個交點，容易只找到二這一個根。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自建國中學 113 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：對數、對數函數與圖形、指數與對數函數的應用

建國中學 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

一、填充題（每(小)題 4 分，共 60 分）

已知

lo g x = 2 + lo g 1.357

，試求正實數

x

的值。

(1) 已知

a = lo g 2, b = lo g 3

，試用

a, b

表示

lo g_{5} 12

。 (2) 已知

c = lo g_{2} 3, d = lo g_{3} 7

，試用

c, d

表示

lo g_{18} 63

。

(1) 若對數

lo g_{(x + 2)} (3 x^{2} + 7 x - 6)

有意義，試求實數

x

的最大可能範圍。 (2) 設

a

為實數，若對於任何實數

x

而言，對數

lo g_{(3 - a)} (x^{2} + 2 x + a)

恆有意義，試求實數

a

的最大可能範圍。

試化簡下列各式的值： (1)

lo g_{3} \frac{5}{4} + 2 lo g_{3} 2 - lo g_{3} 45

(2)

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 4 \times lo g_{4} 5 \times lo g_{5} 6 \times lo g_{6} 7 \times lo g_{7} 8

試解下列方程式或不等式： (1)

lo g_{10} (x + 1) + lo g_{10} (x - 2) = 1

(2)

lo g_{3} (x + 4) = lo g_{9} (x + 6)

(3)

2 + lo g_{2} (x + 6) < lo g_{2} (x^{2} - 2 x + 8)

(4)

lo g_{2} (lo g_{0.2} x) \geq 1

(1) 已知芮氏地震規模

m

和地震釋放出的能量

r

焦耳的關係是

lo g r = 4.8 + 1.5 m

，試問芮氏規模

8

的地震所釋放出的能量是芮氏規模

6

的地震所釋放出的能量的多少倍？ (2) 設

n

為正整數，若年利率為

12.5%

，依複利計算，試問至少要

n

年才可以使得本利和超過本金的

3

倍？

用代號甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛分別表示各函數，詳如下表，試回答下列各小題。

代號 函數 代號 函數 甲 y = 2^{x} 戊 y = lo g_{2} x 乙 y = 3^{x} 己 y = lo g_{3} x 丙 y = (\frac{1}{2})^{x} 庚 y = lo g_{\frac{1}{2}} x 丁 y = (\frac{1}{3})^{x} 辛 y = lo g_{\frac{1}{3}} x

(1) 哪些函數是嚴格遞增函數，試以代號表示。 (2) 哪些函數的圖形是凹口向上，試以代號表示。

二、配合題（每題 4 分，共 4 分）

連連看：試用線段將下列各函數及其圖形連接起來。

y = lo g_{2} x

y = 2^{x}

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

（原卷三張圖由左而右排列、沒有編號；本站重畫時依序加註圖一、圖二、圖三。）

載入中...

三、計算題（每題 6 分，共 36 分）

設

a, b, c

皆為正整數且滿足

a lo g_{60} 2 + b lo g_{60} 3 + c lo g_{60} 5 = 7

，試求

a, b, c

的值。

設

a = lo g_{12} 3

，試以

a

表示

lo g_{2} 3

。

試求方程式

x^{1 + l o g_{2} x} = 4 x^{2}

的根。

設

x, y

皆為正實數且滿足

lo g_{2} x + lo g_{2} y = 3

，試求

4 x + 5 y

的最小值。

試求方程式

∣ lo g_{2} x ∣ + x = 3

有幾個實根？

試求滿足不等式

(\frac{5}{2})^{n} > 2000

的最小正整數

n

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

x = 135.7

第 2 題(1)

\frac{2 a + b}{1 - a}

　(2)

\frac{2 c + c d}{1 + 2 c}

第 3 題(1)

x > \frac{2}{3}

　(2)

1 < a < 3

且

a \neq = 2

第 4 題(1)

- 2

　(2)

3

第 5 題(1)

x = 4

　(2)

x = - 2

　(3)

- 6 < x < - 2

或

x > 8

　(4)

0 < x \leq \frac{1}{25}

第 6 題(1)

1000

倍　(2)

n = 10

第 7 題(1) 甲、乙、戊、己　(2) 甲、乙、丙、丁、庚、辛

第 8 題

y = lo g_{2} x

連圖二；

y = 2^{x}

連圖一；

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

連圖三

第 9 題

a = 14

，

b = 7

，

c = 7

第 10 題

lo g_{2} 3 = \frac{2 a}{1 - a}

第 11 題

x = 4

或

x = \frac{1}{2}

第 12 題

810

第 13 題

2

個

第 14 題

n = 9

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充第 1、2 題：對數律與換底公式

第 1 題

2 = lo g 100

，所以

lo g x = lo g 100 + lo g 1.357 = lo g (100 \times 1.357) = lo g 135.7

。常用對數函數是一對一的，得

x = 135.7

。

也可以想成：常用對數加

2

，真數就乘

1 0^{2}

，小數點往右移兩位。

第 2 題

(1) 的

lo g 5

沒有直接給，要用

5 = \frac{10}{2}

轉成

1 - a

。(2) 的關鍵是

lo g_{2} 7 = lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 7

（換底的連鎖）。

用已知的對數表示其他對數：先把真數做質因數分解，再用換底公式換到題目給的底。

02填充第 3、4 題：對數有意義的條件、化簡

第 3 題

(2) 若判別式等於

0

（

a = 1

），

x = - 1

時真數為

0

，對數沒有意義，所以

a = 1

不可以。底數

3 - a = 1

也不行，

a = 2

要挖掉。

第 4 題

(1) 用對數律合併： $lo g_{3} \frac{5}{4} + lo g_{3} 2^{2} - lo g_{3} 45 = lo g_{3} (\frac{5}{4} \times 4 \div 45) = lo g_{3} \frac{5}{45} = lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$ 。

(1) 的

2 lo g_{3} 2

要先變成

lo g_{3} 4

才能和別的項合併。

03填充第 5 題：對數方程式與對數不等式

第 5 題

(4) 外層的真數

lo g_{0.2} x

也要大於

0

，這已經包含在

lo g_{0.2} x \geq 2

裡。驗算：

x = 0.04

時

lo g_{0.2} 0.04 = 2

，

lo g_{2} 2 = 1

，等號成立。

解對數方程式與不等式：先列出所有真數、底數的限制，化成同底後再比較真數；底數小於

1

時不等號反向，最後和限制取交集。

04填充第 6 題：地震規模與複利

第 6 題

(1) 規模每多

1

，能量乘

1 0^{1.5}

（約

31.6

倍）；多

2

就是

1 0^{3}

倍。(2) 直接算：

(\frac{9}{8})^{9} \approx 2.887

還不到

3

，

(\frac{9}{8})^{10} \approx 3.247

才超過。

05填充第 7 題、配合第 8 題：指數與對數函數的圖形

第 7 題

凹口向上的意思是：圖形上任取兩點連成線段，兩點之間的曲線都在線段下方。例如庚：

x = 1

、

x = 4

對應

(1, 0)

、

(4, - 2)

，中點

(\frac{5}{2}, - 1)

；而

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{5}{2} \approx - 1.32

，比

- 1

低，曲線在線段下方。

第 8 題看兩個特徵：通過哪個定點、遞增或遞減。

y = 2^{x}

通過

(0, 1)

、遞增，而且圖形整個在

x

軸上方，對應圖一。

y = lo g_{2} x

通過

(1, 0)

、遞增，只在

x > 0

有圖形，對應圖二。

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

通過

(1, 0)

、遞減（底數小於

1

），對應圖三。

圖二與圖三都通過

(1, 0)

，要靠遞增或遞減來分。也可以代點檢查：圖一過

(1, 2)

、圖二過

(2, 1)

、圖三過

(2, - 1)

。

底數決定遞增或遞減；指數函數都凹口向上，對數函數底數大於

1

凹口向下、介於

0

與

1

之間凹口向上。

06計算第 9、10 題：對數律、換底公式

第 9 題左邊用對數律合併：

lo g_{60} 2^{a} + lo g_{60} 3^{b} + lo g_{60} 5^{c} = lo g_{60} (2^{a} 3^{b} 5^{c}) = 7

，所以

2^{a} 3^{b} 5^{c} = 6 0^{7}

。而

60 = 2^{2} \times 3 \times 5

，

6 0^{7} = 2^{14} \times 3^{7} \times 5^{7}

。由質因數分解的唯一性，

a = 14

，

b = 7

，

c = 7

。

a, b, c

是正整數，才能用質因數分解唯一來比較次方。

第 10 題令

t = lo g_{2} 3

。換成以

2

為底：

a = lo g_{12} 3 = \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 12} = \frac{t}{lo g _{2} ( 2 ^{2} \times 3 )} = \frac{t}{2 + t}

。去分母：

a (2 + t) = t

，

2 a = t - a t = t (1 - a)

。因為

0 < a < 1

，

1 - a \neq = 0

，所以

t = \frac{2 a}{1 - a}

，即

lo g_{2} 3 = \frac{2 a}{1 - a}

。

驗算：

lo g_{2} 3 \approx 1.585

，

a = \frac{1.585}{3.585} \approx 0.442

，

\frac{2 \times 0.442}{1 - 0.442} \approx 1.585

。

07計算第 11、12 題：取對數解方程式、對數條件與算幾不等式

第 11 題

lo g_{2} x

要有意義，

x > 0

，兩邊都是正數，可以兩邊取以

2

為底的對數：

(1 + lo g_{2} x) lo g_{2} x = lo g_{2} 4 + 2 lo g_{2} x = 2 + 2 lo g_{2} x

。令

u = lo g_{2} x

：

u^{2} + u = 2 + 2 u

，

u^{2} - u - 2 = 0

，

(u - 2) (u + 1) = 0

，

u = 2

或

u = - 1

。所以

x = 2^{2} = 4

或

x = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

。檢查：

x = 4

時左邊

4^{3} = 64

，右邊

4 \times 16 = 64

；

x = \frac{1}{2}

時左邊

(\frac{1}{2})^{0} = 1

，右邊

4 \times \frac{1}{4} = 1

，兩根都合。

左邊是

x

的

(1 + lo g_{2} x)

次方，取對數後指數變成係數：

lo g_{2} x^{1 + l o g_{2} x} = (1 + lo g_{2} x) lo g_{2} x

。

第 12 題

lo g_{2} x + lo g_{2} y = lo g_{2} x y = 3

，所以

x y = 8

。

x, y

為正數，

4 x

、

5 y

都是正數，由算幾不等式：

\frac{4 x + 5 y}{2} \geq 4 x \cdot 5 y = 20 x y = 160 = 410

，所以

4 x + 5 y \geq 810

。等號成立在

4 x = 5 y

：配合

x y = 8

，

x \cdot \frac{4}{5} x = 8

，

x^{2} = 10

，

x = 10

，

y = \frac{4 10}{5}

，都是正數，等號取得到。最小值為

810

。

810 \approx 25.30

。一定要檢查等號取得到，才能說最小值就是

810

。

未知數同時出現在底數與指數上時，兩邊取對數把指數拉下來，再換元成二次方程式。

08計算第 13、14 題：用圖形數實根、取常用對數解不等式

第 13 題

方程式改寫成 $∣ lo g_{2} x ∣ = 3 - x$ （ $x > 0$ ），實根個數就是 $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ 與直線 $y = 3 - x$ 的交點個數。

① $x \geq 1$ ： $∣ lo g_{2} x ∣ = lo g_{2} x$ ，曲線遞增、直線遞減，最多交一點； $x = 2$ 時兩邊都是 $1$ ，所以恰有一根 $x = 2$ 。

合計 $2$ 個實根。

0 < x < 1

那個根約在

x \approx 0.137

，不容易直接看出，要靠代點比較高低才找得到。

第 14 題兩邊都是正數，取常用對數：

n lo g \frac{5}{2} > lo g 2000

。

lo g \frac{5}{2} = lo g 5 - lo g 2 = (1 - lo g 2) - lo g 2 = 1 - 2 lo g 2 \approx 0.3980

；

lo g 2000 = 3 + lo g 2 \approx 3.3010

。所以

n > \frac{3.3010}{0.3980} \approx 8.29

，最小的正整數

n = 9

。

直接算檢查：

(\frac{5}{2})^{8} \approx 1525.9

還不到

2000

，

(\frac{5}{2})^{9} \approx 3814.7

超過

2000

。

含絕對值的對數方程式，以

x = 1

為界分兩段去掉絕對值，再分段比較曲線與直線的高低數交點。

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