段考詳解範圍：數與式、指數、常用對數

建國中學 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 建國中學 113 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 建國中學 113 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

最容易錯的是填充第 8 題（本頁第 16 題，獎品可以在乙的另一側，最遠是 9 公尺不是 3 公尺）、填充第 5 題（本頁第 13 題，ab 可以是負的，下界容易漏掉）、多選第 2 題的 (D)（本頁第 7 題，開根號前要確認兩邊不是負的），以及計算第 1 題（本頁第 17 題，要先把底數 2.72 換成 10 的 0.435 次方）。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、多選題 3 題（每題 7 分，共 21 分；錯一個得 5 分，錯兩個得 2 分，錯兩個以上或沒作答得 0 分）、填充題 8 題（每題 5 分，共 40 分）、計算證明題 2 題（共 14 分）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、單選題（每題 5 分，共 25 分）

2. \overline{6} - 1.5

表示成有理數為？

(A) $\frac{2}{3}$
(B) $\frac{5}{6}$
(C) $1$
(D) $\frac{7}{6}$
(E) $\frac{4}{3}$

數線上，已知兩點

A (- 3)

、

B (7)

，以及

\overline{A B}

上一點

P (x)

滿足

\overline{A P} : \overline{A B} = 3 : 5

，如此

x

等於？

(A) $3$
(B) $4$
(C) $5$
(D) $6$
(E) $7$

實數

a

、

b

滿足

- 3 \leq a \leq 5

，

1 \leq b \leq 2

，若

M

是

a - b

的最大值，

m

是

a - b

的最小值，則

M - m

為？

(A) $5$
(B) $6$
(C) $7$
(D) $8$
(E) $9$

a = 3^{\frac{3}{4}}

，

b = 4^{\frac{2}{3}}

，

c = 5^{\frac{1}{2}}

的大小為？

(A) $c > b > a$
(B) $b > a > c$
(C) $a > b > c$
(D) $c > a > b$
(E) $b > c > a$

最接近

lo g 12345

的整數為？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$
(E) $5$

二、多選題（每題 7 分，共 21 分）錯一個得 5 分，錯兩個得 2 分，錯兩個以上或沒作答得 0 分。〔原卷多選題另編第 1～3 題，即本頁第 6～8 題〕

a

為正實數，

a^{\frac{3}{4}}

等於？

(A) $(4 a)^{3}$
(B) $4 a a$
(C) $(- a)^{\frac{3}{4}} (- 1)^{\frac{3}{4}}$
(D) $(a)^{3}$
(E) $48 4 (\frac{a}{2})^{3}$

下列敘述哪些是正確的？

(A) $a$ 為正實數，無理數 $r = r_{0} . r_{1} r_{2} \dots$ 寫成十進位小數，則 $a^{r_{0}}$ ， $a^{r_{0} . r_{1}}$ ， $a^{r_{0} . r_{1} r_{2}}$ ，……會任意接近 $a^{r}$
(B) 任意數線上的點和原點的距離可以實數表示
(C) $a$ 、 $b$ 為實數，則 $\frac{a + b}{2} > \frac{3 a + b}{4}$
(D) $a$ 為實數，因為 $a (a + 2) = a^{2} + 2 a < a^{2} + 2 a + 1 = (a + 1)^{2}$ ，所以 $a (a + 2) < a + 1$
(E) $a$ 、 $b$ 為實數滿足 $a - b$ 為有理數， $ab$ 為無理數，則 $a$ 、 $b$ 皆為無理數

下列何者有實數解？

(A) $∣ x + 2∣ + ∣3 - x ∣ = 4$
(B) $∣ x + 2∣ + ∣3 - x ∣ = 8$
(C) $∣ x + 2∣ + ∣3 - x ∣ < 5$
(D) $∣ x + 2∣ - ∣3 - x ∣ = 32$
(E) $∣ x + 2∣ - ∣3 - x ∣ \leq - 33$

三、填充題（每題 5 分，共 40 分）〔原卷填充題另編第 1～8 題，即本頁第 9～16 題〕

已知

a

、

b

為實數，

9 a^{2} + 4 b^{2} - 12 a + 12 b

的最小值為 ____。

化簡

[(\frac{32}{243})^{\frac{3}{5}} + 82 \times 9^{- 2} - (- 11)^{0}]^{\frac{- 1}{2}}

得 ____。

實數

a

、

b

之間的關係為

2 a = 4 + 3 lo g b

，則當

b

變為

10

倍時，

a

增加 ____。

不等式

4 x - ∣5 - 3 x ∣ \geq 7

的解為 ____。

實數

a

、

b

有

3 a^{2} + 4 b^{2} = 8

，則

ab

的範圍為 ____。（化成最簡並用區間符號表示）。

化簡

36 + 635 - 19 - 260

可得 ____。

兩種菌類 A、B 製成一種新的保健食品，實驗發現 B 菌個數超過 A 菌個數的

5

倍時才有效果，已知 A 菌個數一天增加一倍，B 菌個數一天增加兩倍，如果開始培養時 A 菌個數是 B 菌個數的兩倍，則至少 ____ 天（取整數）效果才會出現。

一遊戲在筆直道路上進行，甲、乙兩人相距

10

公尺，一獎品位於道路上，與甲的距離為整數，遊戲開始甲、乙兩人以

2 : 1

的速率向獎品跑去，先到的人將獲得獎品，若最後由乙獲得，則開始時獎品與乙的最遠距離為 ____。

四、計算證明題（共 14 分）〔原卷另編第 1～2 題，即本頁第 17～18 題〕

若

p_{0}

為地表的大氣壓力，

p_{h}

為高度

h

（公尺）時的大氣壓力，兩者滿足

p_{h} = p_{0} \times 2.7 2^{\frac{- 9.81 h}{a}}

，

a

為常數，若

p_{0} = 1013

（百帕），

p_{1000} = 977

（百帕），

1 0^{0.435} = 2.72

，試將

a

表示成

\frac{- r}{lo g s}

，

r

為科學記號，

s = \frac{u}{v}

為最簡有理數（

r

、

s

各 4 分）。

兩個奇數三次方的和可以簡化成兩個奇數的積嗎？若可以請舉兩個例子（各 3 分），若不行請證明（6 分）。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(A)

第 3 題(E)

第 4 題(B)

第 5 題(D)

第 6 題(A)(B)(D)(E)

第 7 題(A)(B)(E)

第 8 題(B)(D)

第 9 題

- 13

第 10 題

\frac{9}{5}

第 11 題

\frac{3}{2}

第 12 題

x \geq 2

第 13 題

[- \frac{2 3}{3}, \frac{2 3}{3}]

第 14 題

21 + 2

第 15 題

6

第 16 題

9

（公尺）

第 17 題

r = 4.26735 \times 1 0^{3}

，

s = \frac{977}{1013}

第 18 題不行（兩個奇數的立方和是偶數，兩個奇數的積是奇數）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5（本頁第 1～5 題）

第 1 題答案 (D)。設

t = 0. \overline{6}

，則

10 t = 6. \overline{6}

，相減得

9 t = 6

，

t = \frac{2}{3}

，所以

2. \overline{6} = \frac{8}{3}

。

\frac{8}{3} - \frac{3}{2} = \frac{16 - 9}{6} = \frac{7}{6}

。

第 2 題答案 (A)。

\overline{A B} = 7 - (- 3) = 10

，

\overline{A P} = 10 \times \frac{3}{5} = 6

。

P

在線段

A B

上，從

A

往

B

走 6：

x = - 3 + 6 = 3

。

比的是

\overline{A P} : \overline{A B}

，不是

\overline{A P} : \overline{P B}

；若看成後者會算出

\frac{3}{4}

，選項裡沒有。

第 3 題答案 (E)。

1 \leq b \leq 2

得

- 2 \leq - b \leq - 1

，與

- 3 \leq a \leq 5

相加：

- 5 \leq a - b \leq 4

。最大值

M = 4

（

a = 5, b = 1

），最小值

m = - 5

（

a = - 3, b = 2

），

M - m = 9

。

不等式不能直接相減，要先把

b

的範圍變成

- b

的範圍再相加。

第 4 題答案 (B)。三個數都是正的，指數的分母是 4、3、2，一起取 12 次方：

a^{12} = 3^{9} = 19683

，

b^{12} = 4^{8} = 65536

，

c^{12} = 5^{6} = 15625

。所以

b^{12} > a^{12} > c^{12}

，即

b > a > c

。

第 5 題答案 (D)。

1 0^{4} = 10000 < 12345

，所以

lo g 12345 > 4

。又

1 0^{4.5} = 1 0^{4} \times 10 \approx 31623 > 12345

，所以

lo g 12345 < 4.5

。介於 4 和 4.5 之間，最接近的整數是 4。

要確認的是「比 4.5 小」，才能說比較靠近 4 而不是 5。

分數指數比大小：取分母的公倍數次方，變成整數再比。

02多選 1～3（本頁第 6～8 題）

第 6 題答案 (A)(B)(D)(E)。(A) ○：

(4 a)^{3} = (a^{\frac{1}{4}})^{3} = a^{\frac{3}{4}}

。(B) ○：

a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{4}}

。(C) ×：

a > 0

時

- a

與

- 1

都是負數，分數指數只對正的底數有定義，

(- a)^{\frac{3}{4}}

、

(- 1)^{\frac{3}{4}}

都沒有意義，不能套指數律。(D) ○：

(a)^{3} = a^{\frac{3}{2}}

，再開平方得

a^{\frac{3}{4}}

。(E) ○：

48 \cdot 4 \frac{a ^{3}}{8} = 4 8 \cdot \frac{a ^{3}}{8} = 4 a^{3} = a^{\frac{3}{4}}

。

第 7 題答案 (A)(B)(E)。(A) ○：這就是無理數指數的定義方式，用

r

的有限小數

r_{0}, r_{0} . r_{1}, r_{0} . r_{1} r_{2}, \dots

當指數，所得的值會越來越接近一個定數，把它記為

a^{r}

。(B) ○：數線上每一點都對應一個實數

x

，它和原點的距離是

∣ x ∣

，也是實數。(C) ×：兩邊同乘 4 得

2 a + 2 b > 3 a + b

，也就是

b > a

，只有

b > a

時才成立；反例

a = 1, b = 0

：

\frac{1}{2} > \frac{3}{4}

不成立。(D) ×：

a (a + 2) < (a + 1)^{2}

對所有實數都對，但開根號要兩邊都不是負的才能保持大小。反例

a = - 3

：

a (a + 2) = 3

，

a + 1 = - 2

，

3 < - 2

不成立；而且

- 2 < a < 0

時

a (a + 2) < 0

，根號沒有意義。(E) ○：假設

a

是有理數，則

b = a - (a - b)

是有理數減有理數，也是有理數，於是

ab

是有理數，與

ab

是無理數矛盾，所以

a

是無理數。同理假設

b

是有理數，

a = b + (a - b)

也是有理數，一樣矛盾，所以

b

也是無理數。

(E) 的例子：

a = 2 + 1, b = 2

，

a - b = 1

，

ab = 2 + 2

。

第 8 題答案 (B)(D)。

∣ x + 2∣

是

x

到

- 2

的距離，

∣3 - x ∣

是

x

到

3

的距離，兩點相距 5。距離和

∣ x + 2∣ + ∣3 - x ∣ \geq 5

（

x

在

- 2

與

3

之間時等於 5，往外走可以任意大）。距離差

∣ x + 2∣ - ∣3 - x ∣

介於

- 5

與

5

之間：

x \leq - 2

時是

- 5

，

- 2 \leq x \leq 3

時是

2 x - 1

（從

- 5

連續升到

5

），

x \geq 3

時是

5

。(A) ×：

4 < 5

。(B) ○：

8 \geq 5

，解為

x = - \frac{7}{2}

或

\frac{9}{2}

。(C) ×：和不會小於 5。(D) ○：

32 \approx 4.24

在

- 5

與

5

之間，

2 x - 1 = 32

得

x = \frac{1 + 3 2}{2}

。(E) ×：

- 33 \approx - 5.20 < - 5

，差不會比

- 5

小。

兩個絕對值相加看「距離和 ≥ 兩點距離」，相減看「距離差介於正負兩點距離之間」。

03填充 1～6（本頁第 9～14 題）

第 9 題分別配方：

9 a^{2} - 12 a = (3 a - 2)^{2} - 4

，

4 b^{2} + 12 b = (2 b + 3)^{2} - 9

。原式

= (3 a - 2)^{2} + (2 b + 3)^{2} - 13 \geq - 13

，等號在

a = \frac{2}{3}, b = - \frac{3}{2}

成立，最小值

- 13

。

第 10 題

\frac{32}{243} = (\frac{2}{3})^{5}

，所以

(\frac{32}{243})^{\frac{3}{5}} = (\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27} = \frac{24}{81}

；

82 \times 9^{- 2} = \frac{82}{81}

；

(- 11)^{0} = 1

。中括號內

= \frac{24 + 82 - 81}{81} = \frac{25}{81}

。

(\frac{25}{81})^{- \frac{1}{2}} = (\frac{81}{25})^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{5}

。

- (- 11)^{0}

是「減去

(- 11)^{0}

」，等於

- 1

，不是

+ 1

。

第 11 題設

lo g b = k

，也就是

b = 1 0^{k}

。

b

變成 10 倍：

10 b = 1 0^{k + 1}

，所以

lo g (10 b) = k + 1

，

lo g

值多 1。新的

a^{'}

滿足

2 a^{'} = 4 + 3 (k + 1) = 2 a + 3

，

a^{'} = a + \frac{3}{2}

，

a

增加

\frac{3}{2}

。

第 12 題分段。①

x \leq \frac{5}{3}

：

∣5 - 3 x ∣ = 5 - 3 x

，

4 x - 5 + 3 x \geq 7

，

x \geq \frac{12}{7}

；但

\frac{12}{7} \approx 1.71 > \frac{5}{3} \approx 1.67

，這一段沒有解。②

x > \frac{5}{3}

：

∣5 - 3 x ∣ = 3 x - 5

，

4 x - 3 x + 5 \geq 7

，

x \geq 2

，符合

x > \frac{5}{3}

。所以解為

x \geq 2

。

寫成區間是

[2, \infty)

。每一段解出來都要和該段的前提取交集。

第 13 題

3 a^{2} = (3 ∣ a ∣)^{2}

、

4 b^{2} = (2∣ b ∣)^{2}

都不是負的，用算幾不等式：

\frac{3 a ^{2} + 4 b ^{2}}{2} \geq 3 a^{2} \cdot 4 b^{2} = 23 ∣ ab ∣

，即

4 \geq 23 ∣ ab ∣

，

∣ ab ∣ \leq \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}

。等號在

3 a^{2} = 4 b^{2} = 4

：

a = \frac{2 3}{3}, b = 1

時

ab = \frac{2 3}{3}

；

a = \frac{2 3}{3}, b = - 1

時

ab = - \frac{2 3}{3}

。

a = 0

時

ab = 0

，

a

、

b

沿著條件連續變動時中間的值都取得到，所以範圍是

[- \frac{2 3}{3}, \frac{2 3}{3}]

。

ab

可以是負的，算幾要用在

∣ ab ∣

上，下界才不會漏掉。

第 14 題

635 = 2315

，找和 36、積 315 的兩數：21 與 15，所以

36 + 635 = 21 + 15

。

19 - 260

：和 19、積 60 的兩數是 15 與 4，

19 - 260 = 15 - 4 = 15 - 2

（大減小）。相減：

21 + 15 - 15 + 2 = 21 + 2

。

雙重根號先把裡面那個根號的係數變成 2，再找「和、積」；相減型記得寫成大減小。

04填充 7～8（本頁第 15～16 題）：把情境翻成式子

第 15 題設開始時 B 菌

n

個、A 菌

2 n

個。「增加一倍」是變成原來的 2 倍，「增加兩倍」是變成原來的 3 倍。

t

天後 A 菌

2 n \cdot 2^{t}

個、B 菌

n \cdot 3^{t}

個。要

n \cdot 3^{t} > 5 \cdot 2 n \cdot 2^{t}

，即

(\frac{3}{2})^{t} > 10

。

(\frac{3}{2})^{5} = \frac{243}{32} \approx 7.59

，

(\frac{3}{2})^{6} = \frac{729}{64} \approx 11.39

，所以至少 6 天。

若把「增加兩倍」當成變 2 倍，A、B 的比永遠不變，效果永遠不會出現，由此也可確認題意是變 3 倍。

第 16 題把甲放在數線的

0

、乙放在

10

，獎品在

p

。甲的速率是乙的 2 倍，乙先到的條件是

\frac{∣ p - 10∣}{1} < \frac{∣ p ∣}{2}

，即

2∣ p - 10∣ < ∣ p ∣

。獎品要離乙比較近，所以

p > 5

，

∣ p ∣ = p

（

p < 0

時獎品在甲的外側，離甲比較近、甲又比較快，乙不可能先到）。①

5 < p \leq 10

：

2 (10 - p) < p

，

p > \frac{20}{3}

。②

p > 10

：

2 (p - 10) < p

，

p < 20

。合起來

\frac{20}{3} < p < 20

。獎品與甲的距離

p

是整數，所以

p = 7, 8, \dots, 19

。與乙的距離

∣ p - 10∣

最大在

p = 19

，為

9

公尺。

獎品可以在乙的另一側（不在兩人之間）。

p = 20

時兩人同時到，不算乙獲得。若只考慮獎品在兩人之間，

p = 7, 8, 9

，最遠只有 3 公尺；題目問「最遠」且只說獎品位於道路上，所以兩側都要算。

05計算證明 1～2（本頁第 17～18 題）

第 17 題把

h = 1000

代入：

977 = 1013 \times 2.7 2^{\frac{- 9.81 \times 1000}{a}}

，所以

\frac{977}{1013} = 2.7 2^{\frac{- 9810}{a}}

。用

2.72 = 1 0^{0.435}

改寫底數：

\frac{977}{1013} = (1 0^{0.435})^{\frac{- 9810}{a}} = 1 0^{\frac{- 0.435 \times 9810}{a}} = 1 0^{\frac{- 4267.35}{a}}

。依

lo g

的定義（10 的幾次方）：

lo g \frac{977}{1013} = \frac{- 4267.35}{a}

，所以

a = \frac{- 4267.35}{lo g \frac{977}{1013}}

。因此

r = 4267.35 = 4.26735 \times 1 0^{3}

，

s = \frac{977}{1013}

。

977

與

1013

互質（兩個都是質數），

\frac{977}{1013}

已是最簡。

s < 1

所以

lo g s < 0

，

a

是正數，約

2.7 \times 1 0^{5}

。

第 18 題不行。設兩個奇數為

m

、

n

。奇數乘奇數還是奇數，所以

m^{3}

、

n^{3}

都是奇數；奇數加奇數是偶數，所以

m^{3} + n^{3}

是偶數。另一方面，任兩個奇數的積是奇數。偶數不可能等於奇數，所以兩個奇數的三次方和不可能寫成兩個奇數的積。

用式子寫：

m = 2 j + 1, n = 2 k + 1

，

(2 j + 1) (2 k + 1) = 2 (2 j k + j + k) + 1

是奇數；

m^{3} + n^{3} = (m + n) (m^{2} - mn + n^{2})

，其中

m + n = 2 (j + k + 1)

是偶數，所以立方和是偶數。

看到「底數不是 10 的指數式」又給了

1 0^{0.435} = 2.72

：先把底數換成 10，再用

lo g

的定義把指數拿下來。

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常見問題

建國中學 113 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

最容易錯的是填充第 8 題（本頁第 16 題，獎品可以在乙的另一側，最遠是 9 公尺不是 3 公尺）、填充第 5 題（本頁第 13 題，ab 可以是負的，下界容易漏掉）、多選第 2 題的 (D)（本頁第 7 題，開根號前要確認兩邊不是負的），以及計算第 1 題（本頁第 17 題，要先把底數 2.72 換成 10 的 0.435 次方）。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

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題目取自建國中學 113 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式、指數、常用對數

建國中學 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

一、單選題（每題 5 分，共 25 分）

2. \overline{6} - 1.5

表示成有理數為？

(A) $\frac{2}{3}$
(B) $\frac{5}{6}$
(C) $1$
(D) $\frac{7}{6}$
(E) $\frac{4}{3}$

數線上，已知兩點

A (- 3)

、

B (7)

，以及

\overline{A B}

上一點

P (x)

滿足

\overline{A P} : \overline{A B} = 3 : 5

，如此

x

等於？

(A) $3$
(B) $4$
(C) $5$
(D) $6$
(E) $7$

實數

a

、

b

滿足

- 3 \leq a \leq 5

，

1 \leq b \leq 2

，若

M

是

a - b

的最大值，

m

是

a - b

的最小值，則

M - m

為？

(A) $5$
(B) $6$
(C) $7$
(D) $8$
(E) $9$

a = 3^{\frac{3}{4}}

，

b = 4^{\frac{2}{3}}

，

c = 5^{\frac{1}{2}}

的大小為？

(A) $c > b > a$
(B) $b > a > c$
(C) $a > b > c$
(D) $c > a > b$
(E) $b > c > a$

最接近

lo g 12345

的整數為？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$
(E) $5$

二、多選題（每題 7 分，共 21 分）錯一個得 5 分，錯兩個得 2 分，錯兩個以上或沒作答得 0 分。〔原卷多選題另編第 1～3 題，即本頁第 6～8 題〕

a

為正實數，

a^{\frac{3}{4}}

等於？

(A) $(4 a)^{3}$
(B) $4 a a$
(C) $(- a)^{\frac{3}{4}} (- 1)^{\frac{3}{4}}$
(D) $(a)^{3}$
(E) $48 4 (\frac{a}{2})^{3}$

下列敘述哪些是正確的？

(A) $a$ 為正實數，無理數 $r = r_{0} . r_{1} r_{2} \dots$ 寫成十進位小數，則 $a^{r_{0}}$ ， $a^{r_{0} . r_{1}}$ ， $a^{r_{0} . r_{1} r_{2}}$ ，……會任意接近 $a^{r}$
(B) 任意數線上的點和原點的距離可以實數表示
(C) $a$ 、 $b$ 為實數，則 $\frac{a + b}{2} > \frac{3 a + b}{4}$
(D) $a$ 為實數，因為 $a (a + 2) = a^{2} + 2 a < a^{2} + 2 a + 1 = (a + 1)^{2}$ ，所以 $a (a + 2) < a + 1$
(E) $a$ 、 $b$ 為實數滿足 $a - b$ 為有理數， $ab$ 為無理數，則 $a$ 、 $b$ 皆為無理數

下列何者有實數解？

(A) $∣ x + 2∣ + ∣3 - x ∣ = 4$
(B) $∣ x + 2∣ + ∣3 - x ∣ = 8$
(C) $∣ x + 2∣ + ∣3 - x ∣ < 5$
(D) $∣ x + 2∣ - ∣3 - x ∣ = 32$
(E) $∣ x + 2∣ - ∣3 - x ∣ \leq - 33$

三、填充題（每題 5 分，共 40 分）〔原卷填充題另編第 1～8 題，即本頁第 9～16 題〕

已知

a

、

b

為實數，

9 a^{2} + 4 b^{2} - 12 a + 12 b

的最小值為 ____。

化簡

[(\frac{32}{243})^{\frac{3}{5}} + 82 \times 9^{- 2} - (- 11)^{0}]^{\frac{- 1}{2}}

得 ____。

實數

a

、

b

之間的關係為

2 a = 4 + 3 lo g b

，則當

b

變為

10

倍時，

a

增加 ____。

不等式

4 x - ∣5 - 3 x ∣ \geq 7

的解為 ____。

實數

a

、

b

有

3 a^{2} + 4 b^{2} = 8

，則

ab

的範圍為 ____。（化成最簡並用區間符號表示）。

化簡

36 + 635 - 19 - 260

可得 ____。

兩種菌類 A、B 製成一種新的保健食品，實驗發現 B 菌個數超過 A 菌個數的

5

一遊戲在筆直道路上進行，甲、乙兩人相距

10

公尺，一獎品位於道路上，與甲的距離為整數，遊戲開始甲、乙兩人以

2 : 1

的速率向獎品跑去，先到的人將獲得獎品，若最後由乙獲得，則開始時獎品與乙的最遠距離為 ____。

四、計算證明題（共 14 分）〔原卷另編第 1～2 題，即本頁第 17～18 題〕

若

p_{0}

為地表的大氣壓力，

p_{h}

為高度

h

（公尺）時的大氣壓力，兩者滿足

p_{h} = p_{0} \times 2.7 2^{\frac{- 9.81 h}{a}}

，

a

為常數，若

p_{0} = 1013

（百帕），

p_{1000} = 977

（百帕），

1 0^{0.435} = 2.72

，試將

a

表示成

\frac{- r}{lo g s}

，

r

為科學記號，

s = \frac{u}{v}

為最簡有理數（

r

、

s

各 4 分）。

兩個奇數三次方的和可以簡化成兩個奇數的積嗎？若可以請舉兩個例子（各 3 分），若不行請證明（6 分）。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(A)

第 3 題(E)

第 4 題(B)

第 5 題(D)

第 6 題(A)(B)(D)(E)

第 7 題(A)(B)(E)

第 8 題(B)(D)

第 9 題

- 13

第 10 題

\frac{9}{5}

第 11 題

\frac{3}{2}

第 12 題

x \geq 2

第 13 題

[- \frac{2 3}{3}, \frac{2 3}{3}]

第 14 題

21 + 2

第 15 題

6

第 16 題

9

（公尺）

第 17 題

r = 4.26735 \times 1 0^{3}

，

s = \frac{977}{1013}

第 18 題不行（兩個奇數的立方和是偶數，兩個奇數的積是奇數）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5（本頁第 1～5 題）

第 1 題答案 (D)。設

t = 0. \overline{6}

，則

10 t = 6. \overline{6}

，相減得

9 t = 6

，

t = \frac{2}{3}

，所以

2. \overline{6} = \frac{8}{3}

。

\frac{8}{3} - \frac{3}{2} = \frac{16 - 9}{6} = \frac{7}{6}

。

第 2 題答案 (A)。

\overline{A B} = 7 - (- 3) = 10

，

\overline{A P} = 10 \times \frac{3}{5} = 6

。

P

在線段

A B

上，從

A

往

B

走 6：

x = - 3 + 6 = 3

。

比的是

\overline{A P} : \overline{A B}

，不是

\overline{A P} : \overline{P B}

；若看成後者會算出

\frac{3}{4}

，選項裡沒有。

第 3 題答案 (E)。

1 \leq b \leq 2

得

- 2 \leq - b \leq - 1

，與

- 3 \leq a \leq 5

相加：

- 5 \leq a - b \leq 4

。最大值

M = 4

（

a = 5, b = 1

），最小值

m = - 5

（

a = - 3, b = 2

），

M - m = 9

。

不等式不能直接相減，要先把

b

的範圍變成

- b

的範圍再相加。

第 4 題答案 (B)。三個數都是正的，指數的分母是 4、3、2，一起取 12 次方：

a^{12} = 3^{9} = 19683

，

b^{12} = 4^{8} = 65536

，

c^{12} = 5^{6} = 15625

。所以

b^{12} > a^{12} > c^{12}

，即

b > a > c

。

第 5 題答案 (D)。

1 0^{4} = 10000 < 12345

，所以

lo g 12345 > 4

。又

1 0^{4.5} = 1 0^{4} \times 10 \approx 31623 > 12345

，所以

lo g 12345 < 4.5

。介於 4 和 4.5 之間，最接近的整數是 4。

要確認的是「比 4.5 小」，才能說比較靠近 4 而不是 5。

分數指數比大小：取分母的公倍數次方，變成整數再比。

02多選 1～3（本頁第 6～8 題）

第 6 題答案 (A)(B)(D)(E)。(A) ○：

(4 a)^{3} = (a^{\frac{1}{4}})^{3} = a^{\frac{3}{4}}

。(B) ○：

a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{4}}

。(C) ×：

a > 0

時

- a

與

- 1

都是負數，分數指數只對正的底數有定義，

(- a)^{\frac{3}{4}}

、

(- 1)^{\frac{3}{4}}

都沒有意義，不能套指數律。(D) ○：

(a)^{3} = a^{\frac{3}{2}}

，再開平方得

a^{\frac{3}{4}}

。(E) ○：

48 \cdot 4 \frac{a ^{3}}{8} = 4 8 \cdot \frac{a ^{3}}{8} = 4 a^{3} = a^{\frac{3}{4}}

。

第 7 題答案 (A)(B)(E)。(A) ○：這就是無理數指數的定義方式，用

r

的有限小數

r_{0}, r_{0} . r_{1}, r_{0} . r_{1} r_{2}, \dots

當指數，所得的值會越來越接近一個定數，把它記為

a^{r}

。(B) ○：數線上每一點都對應一個實數

x

，它和原點的距離是

∣ x ∣

，也是實數。(C) ×：兩邊同乘 4 得

2 a + 2 b > 3 a + b

，也就是

b > a

，只有

b > a

時才成立；反例

a = 1, b = 0

：

\frac{1}{2} > \frac{3}{4}

不成立。(D) ×：

a (a + 2) < (a + 1)^{2}

對所有實數都對，但開根號要兩邊都不是負的才能保持大小。反例

a = - 3

：

a (a + 2) = 3

，

a + 1 = - 2

，

3 < - 2

不成立；而且

- 2 < a < 0

時

a (a + 2) < 0

，根號沒有意義。(E) ○：假設

a

是有理數，則

b = a - (a - b)

是有理數減有理數，也是有理數，於是

ab

是有理數，與

ab

是無理數矛盾，所以

a

是無理數。同理假設

b

是有理數，

a = b + (a - b)

也是有理數，一樣矛盾，所以

b

也是無理數。

(E) 的例子：

a = 2 + 1, b = 2

，

a - b = 1

，

ab = 2 + 2

。

第 8 題答案 (B)(D)。

∣ x + 2∣

是

x

到

- 2

的距離，

∣3 - x ∣

是

x

到

3

的距離，兩點相距 5。距離和

∣ x + 2∣ + ∣3 - x ∣ \geq 5

（

x

在

- 2

與

3

之間時等於 5，往外走可以任意大）。距離差

∣ x + 2∣ - ∣3 - x ∣

介於

- 5

與

5

之間：

x \leq - 2

時是

- 5

，

- 2 \leq x \leq 3

時是

2 x - 1

（從

- 5

連續升到

5

），

x \geq 3

時是

5

。(A) ×：

4 < 5

。(B) ○：

8 \geq 5

，解為

x = - \frac{7}{2}

或

\frac{9}{2}

。(C) ×：和不會小於 5。(D) ○：

32 \approx 4.24

在

- 5

與

5

之間，

2 x - 1 = 32

得

x = \frac{1 + 3 2}{2}

。(E) ×：

- 33 \approx - 5.20 < - 5

，差不會比

- 5

小。

兩個絕對值相加看「距離和 ≥ 兩點距離」，相減看「距離差介於正負兩點距離之間」。

03填充 1～6（本頁第 9～14 題）

第 9 題分別配方：

9 a^{2} - 12 a = (3 a - 2)^{2} - 4

，

4 b^{2} + 12 b = (2 b + 3)^{2} - 9

。原式

= (3 a - 2)^{2} + (2 b + 3)^{2} - 13 \geq - 13

，等號在

a = \frac{2}{3}, b = - \frac{3}{2}

成立，最小值

- 13

。

第 10 題

\frac{32}{243} = (\frac{2}{3})^{5}

，所以

(\frac{32}{243})^{\frac{3}{5}} = (\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27} = \frac{24}{81}

；

82 \times 9^{- 2} = \frac{82}{81}

；

(- 11)^{0} = 1

。中括號內

= \frac{24 + 82 - 81}{81} = \frac{25}{81}

。

(\frac{25}{81})^{- \frac{1}{2}} = (\frac{81}{25})^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{5}

。

- (- 11)^{0}

是「減去

(- 11)^{0}

」，等於

- 1

，不是

+ 1

。

第 11 題設

lo g b = k

，也就是

b = 1 0^{k}

。

b

變成 10 倍：

10 b = 1 0^{k + 1}

，所以

lo g (10 b) = k + 1

，

lo g

值多 1。新的

a^{'}

滿足

2 a^{'} = 4 + 3 (k + 1) = 2 a + 3

，

a^{'} = a + \frac{3}{2}

，

a

增加

\frac{3}{2}

。

第 12 題分段。①

x \leq \frac{5}{3}

：

∣5 - 3 x ∣ = 5 - 3 x

，

4 x - 5 + 3 x \geq 7

，

x \geq \frac{12}{7}

；但

\frac{12}{7} \approx 1.71 > \frac{5}{3} \approx 1.67

，這一段沒有解。②

x > \frac{5}{3}

：

∣5 - 3 x ∣ = 3 x - 5

，

4 x - 3 x + 5 \geq 7

，

x \geq 2

，符合

x > \frac{5}{3}

。所以解為

x \geq 2

。

寫成區間是

[2, \infty)

。每一段解出來都要和該段的前提取交集。

第 13 題

3 a^{2} = (3 ∣ a ∣)^{2}

、

4 b^{2} = (2∣ b ∣)^{2}

都不是負的，用算幾不等式：

\frac{3 a ^{2} + 4 b ^{2}}{2} \geq 3 a^{2} \cdot 4 b^{2} = 23 ∣ ab ∣

，即

4 \geq 23 ∣ ab ∣

，

∣ ab ∣ \leq \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}

。等號在

3 a^{2} = 4 b^{2} = 4

：

a = \frac{2 3}{3}, b = 1

時

ab = \frac{2 3}{3}

；

a = \frac{2 3}{3}, b = - 1

時

ab = - \frac{2 3}{3}

。

a = 0

時

ab = 0

，

a

、

b

沿著條件連續變動時中間的值都取得到，所以範圍是

[- \frac{2 3}{3}, \frac{2 3}{3}]

。

ab

可以是負的，算幾要用在

∣ ab ∣

上，下界才不會漏掉。

第 14 題

635 = 2315

，找和 36、積 315 的兩數：21 與 15，所以

36 + 635 = 21 + 15

。

19 - 260

：和 19、積 60 的兩數是 15 與 4，

19 - 260 = 15 - 4 = 15 - 2

（大減小）。相減：

21 + 15 - 15 + 2 = 21 + 2

。

雙重根號先把裡面那個根號的係數變成 2，再找「和、積」；相減型記得寫成大減小。

04填充 7～8（本頁第 15～16 題）：把情境翻成式子

第 15 題設開始時 B 菌

n

個、A 菌

2 n

個。「增加一倍」是變成原來的 2 倍，「增加兩倍」是變成原來的 3 倍。

t

天後 A 菌

2 n \cdot 2^{t}

個、B 菌

n \cdot 3^{t}

個。要

n \cdot 3^{t} > 5 \cdot 2 n \cdot 2^{t}

，即

(\frac{3}{2})^{t} > 10

。

(\frac{3}{2})^{5} = \frac{243}{32} \approx 7.59

，

(\frac{3}{2})^{6} = \frac{729}{64} \approx 11.39

，所以至少 6 天。

若把「增加兩倍」當成變 2 倍，A、B 的比永遠不變，效果永遠不會出現，由此也可確認題意是變 3 倍。

第 16 題把甲放在數線的

0

、乙放在

10

，獎品在

p

。甲的速率是乙的 2 倍，乙先到的條件是

\frac{∣ p - 10∣}{1} < \frac{∣ p ∣}{2}

，即

2∣ p - 10∣ < ∣ p ∣

。獎品要離乙比較近，所以

p > 5

，

∣ p ∣ = p

（

p < 0

時獎品在甲的外側，離甲比較近、甲又比較快，乙不可能先到）。①

5 < p \leq 10

：

2 (10 - p) < p

，

p > \frac{20}{3}

。②

p > 10

：

2 (p - 10) < p

，

p < 20

。合起來

\frac{20}{3} < p < 20

。獎品與甲的距離

p

是整數，所以

p = 7, 8, \dots, 19

。與乙的距離

∣ p - 10∣

最大在

p = 19

，為

9

公尺。

獎品可以在乙的另一側（不在兩人之間）。

p = 20

時兩人同時到，不算乙獲得。若只考慮獎品在兩人之間，

p = 7, 8, 9

，最遠只有 3 公尺；題目問「最遠」且只說獎品位於道路上，所以兩側都要算。

05計算證明 1～2（本頁第 17～18 題）

第 17 題把

h = 1000

代入：

977 = 1013 \times 2.7 2^{\frac{- 9.81 \times 1000}{a}}

，所以

\frac{977}{1013} = 2.7 2^{\frac{- 9810}{a}}

。用

2.72 = 1 0^{0.435}

改寫底數：

\frac{977}{1013} = (1 0^{0.435})^{\frac{- 9810}{a}} = 1 0^{\frac{- 0.435 \times 9810}{a}} = 1 0^{\frac{- 4267.35}{a}}

。依

lo g

的定義（10 的幾次方）：

lo g \frac{977}{1013} = \frac{- 4267.35}{a}

，所以

a = \frac{- 4267.35}{lo g \frac{977}{1013}}

。因此

r = 4267.35 = 4.26735 \times 1 0^{3}

，

s = \frac{977}{1013}

。

977

與

1013

互質（兩個都是質數），

\frac{977}{1013}

已是最簡。

s < 1

所以

lo g s < 0

，

a

是正數，約

2.7 \times 1 0^{5}

。

第 18 題不行。設兩個奇數為

m

、

n

。奇數乘奇數還是奇數，所以

m^{3}

、

n^{3}

都是奇數；奇數加奇數是偶數，所以

m^{3} + n^{3}

是偶數。另一方面，任兩個奇數的積是奇數。偶數不可能等於奇數，所以兩個奇數的三次方和不可能寫成兩個奇數的積。

用式子寫：

m = 2 j + 1, n = 2 k + 1

，

(2 j + 1) (2 k + 1) = 2 (2 j k + j + k) + 1

是奇數；

m^{3} + n^{3} = (m + n) (m^{2} - mn + n^{2})

，其中

m + n = 2 (j + k + 1)

是偶數，所以立方和是偶數。

看到「底數不是 10 的指數式」又給了

1 0^{0.435} = 2.72

：先把底數換成 10，再用

lo g

的定義把指數拿下來。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

建國中學 113 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自建國中學 113 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

建國中學 113 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～5（本頁第 1～5 題）

02多選 1～3（本頁第 6～8 題）

03填充 1～6（本頁第 9～14 題）

04填充 7～8（本頁第 15～16 題）：把情境翻成式子

05計算證明 1～2（本頁第 17～18 題）

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我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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02多選 1～3（本頁第 6～8 題）

03填充 1～6（本頁第 9～14 題）

04填充 7～8（本頁第 15～16 題）：把情境翻成式子

05計算證明 1～2（本頁第 17～18 題）

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建國中學 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

建國中學 113 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

建國中學 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

建國中學 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

建國中學 113 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

建國中學 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？