段考詳解範圍：指數與對數函數（對數律與換底、指數與對數函數的圖形、指對數方程式與不等式、常用對數的應用）

建國中學 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 建國中學 113 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 建國中學 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要逐一判斷實根個數，第一、二個選項其實都有三個根；第 1 題第四、五個選項要連定義域一起比；第 11 題底數小於一時不等號要反向，還要記得真數條件給的上界；第 13 題把兩個式子相減就能消去未知數。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多重選擇題 3 題，每題 8 分（答錯 1 個選項得 5 分、答錯 2 個得 2 分、答錯多於 2 個或未作答 0 分）；填充題 10 題，每題 6 分；混合題 2 個題組共 16 分（第 14 題 3 分、第 15 題兩格全對 5 分、第 16 題 2 分、第 17 題每格 3 分）；共 100 分。卷頭給 log 2≈0.3010、log 3≈0.4771、log 7≈0.8451。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多重選擇題(每題 8 分，共 24 分)

關於下列選項中的敘述，請選出正確的選項。

(1) 將 $y = 2^{x}$ 的圖形向右平移 $3$ 個單位後，可以得到 $y = 8 \times 2^{x}$ 的圖形。
(2) 將 $y = lo g_{2} x$ 的圖形向上平移 $2$ 個單位後，可以得到 $y = lo g_{2} (4 x)$ 的圖形。
(3) 將 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形以 $y$ 軸為基準線沿水平方向左右伸縮 $2$ 倍，可以得到 $y = (\frac{2}{2})^{x}$ 的圖形。
(4) 將 $y = lo g_{2} x$ 的圖形以 $x$ 軸為基準線沿鉛直方向上下伸縮 $2$ 倍，可以得到 $y = lo g_{2} x^{2}$ 的圖形。
(5) 將 $y = 2^{∣ x ∣}$ 的圖形對直線 $y = x$ 作對稱，可以得到 $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ 的圖形。

請選出方程式恰有兩相異實根的選項。

(1) $2^{- x} = x^{2}$
(2) $sin x = lo g x$
(3) $x^{2} - lo g_{2} x = 2$
(4) $2^{\frac{x}{2}} = 2 lo g_{2} x$
(5) $2^{x} + 2^{- x} = 2^{∣ x ∣}$

考慮坐標平面上滿足

5^{x} = (\frac{1}{4})^{y}

的點

P (x, y)

，關於下列選項中的敘述，請選出正確的選項。

(1) $P$ 點可能是 $(lo g_{5} 4, - 1)$ 。
(2) 將 $P$ 點向右移動 $lo g 4$ 單位，再向下移動 $lo g 5$ 單位所得到的點 $Q$ 仍滿足 $5^{x} = (\frac{1}{4})^{y}$ 。
(3) 若 $P (x, y)$ 不是原點，則會滿足 $\frac{y}{x} > - 1$ 。
(4) 若 $P (x, y)$ 不是原點，則會滿足 $\frac{x}{x - 2 y} = lo g 4$ 。
(5) 所有可能的 $P (x, y)$ 構成的圖形會對稱於原點。

二、填充題(每題 6 分，共 60 分)

3 lo g \frac{7}{5} - lo g 343 - \frac{6}{5} lo g 32

的值為 ____。

(lo g_{3} 21) (lo g_{7} 21) - (lo g_{3} 7 + lo g_{7} 3)

的值為 ____。

4^{l o g_{2} 3 \times l o g_{3} 4 \times l o g_{4} 5 \times l o g_{5} 6 \times l o g_{6} 7 \times l o g_{7} 8 \times l o g_{8} 9}

的值為 ____。

設函數

f (x) = \frac{5 ^{x + 1}}{5 - 5 ^{x}}

，其中

x \neq = \frac{1}{2}

，則

f (\frac{1}{113}) + f (\frac{2}{113}) + f (\frac{3}{113}) + \dots + f (\frac{112}{113}) =

____。

已知兩函數

y = \frac{3 ^{x} + 3 ^{- x}}{4}

與

y = \frac{k}{3 ^{x} + 3 ^{- x}}

的圖形交於兩點

A, B

，若

\overline{A B} = 2

，則實數

k

的值為 ____。（答案形式：分數 ○○／○）

設

a, b, c

為正整數，若

\frac{a}{lo g _{4} 2024} + \frac{b}{lo g _{11} 2024} + \frac{c}{lo g _{23} 2024} = 4

，則數組

(a, b, c) =

____。

設

a > b > 0

，且滿足

(lo g_{3} a) (lo g_{3} b) = - 2

與

ab = 81

，則

lo g_{a} b

的值為 ____。（答案形式：○○＋○√○）

不等式

2 lo g_{\frac{1}{9}} (\frac{17}{2} - 2 x) > lo g_{\frac{1}{3}} (x - 3) - 1

的解為 ____。（答案形式：左端為分數 ○／○，右端為分數 ○○／○）

設函數

f (x) = (4 x)^{1 + \frac{1}{4} l o g_{2} x}

，若

f (x)

在

x = α

時有最小值

m

，則實數對

(α, m) =

____。（答案形式：

α

為分數 ○／○；

m

為分數，分子是 ○ 的四次方根、分母是 ○）

設實數

x > 1

，且滿足

lo g_{2} (lo g_{8} x) + lo g_{4} (lo g_{2} 2 x) + lo g_{8} (lo g_{4} 3 x) = - lo g_{4} 3

，則

lo g_{2} (lo g_{4} x) + lo g_{4} (lo g_{8} 2 x) + lo g_{8} (lo g_{2} 3 x)

的值為 ____。（答案形式：分數 ○○／○）

三、混合題(共 16 分)

14～15 題題組（第 14～15 題）　已知一空曠地區離地高度分別為

z_{1}

公尺與

z_{2}

公尺時，平均風速之間的關係為

v (z_{2}) = v (z_{1}) \cdot \frac{lo g ( z _{2} ) + k}{lo g ( z _{1} ) + k}

，其中

v (h)

表該地區離地高度

h

公尺時的平均風速（單位：km/hr），

k

為常數。

一電力公司為評估某陸域風力發電之效益，在該地區離地高度

4

公尺與離地高度

10

公尺處各設置一風速計，測得平均風速分別為

25

km/hr 與

30

km/hr，則

k

的值為 ____。(請選出最接近的選項，單選題，3 分)

(1) $1.1$
(2) $1.2$
(3) $1.3$
(4) $1.4$
(5) $1.5$

該地區離地高度為

70

公尺時的平均風速

v (70)

為 ____ km/hr（無條件進位到整數）。若此處的平均風速超過

40

km/hr，則適合風力發電；反之，則不適合。請問此處是否適合風力發電？____。(回答：是，請填 1；不是，請填 2。) (此題 5 分，兩格答案均答對才有 5 分)

16～17 題題組（第 16～17 題）　評估病毒傳播模式有以下兩個重要指標，簡述定義如下： (一)世代間隔（Serial interval，以

S

表示）：從第一波感染到第二波感染出現的時間。 (二)基本再生數（Basic Reproduction Number，以

R_{0}

表示）：一個個案在整個患病的病程中平均可以傳給幾個人的指標。若

R_{0} > 1

，則感染個數呈指數性成長，每經過 1 次世代間隔（

S

）後，新感染人數將變為

R_{0}

倍。

若病毒

A

的世代間隔

(S) = 6

天，基本再生數

(R_{0}) = 4

，則經過

30

天後新感染人數將變為 ____ 倍。(單選題，2 分)

(1) $24$ 倍
(2) $625$ 倍
(3) $1024$ 倍
(4) $1296$ 倍
(5) $4096$ 倍

R_{0}

能決定疫情指數成長的程度，但不是常數，在疫情爆發時，適當的介入可以使

R_{0}

下降，例如：隔離治療、環境消毒、個人防護具等。而

R_{t}

值（Effective reproductive number）全名為「有效再生數」，能估算在一定時間內傳染數量的變化，即加上時間考量，進一步觀察隨著時間變化的

R_{0}

值，其評估公式如下：

lo g_{2} \frac{N ( t )}{N ( 0 )} = (R_{t} - 1) \frac{t}{S}

其中

S

：世代間隔，

N (t)

：在

t

時間點下的患病個案總數。

時間 t 天 總感染數 N (t) 人 0252010160159602038402511520

某地發現病毒

X

後，地方政府隨即進行了三級警戒，已知病毒

X

的世代間隔

(S) = 5

天且感染人數如上表。則第 15 天的

R_{t}

值為 ____，第 20 天的

R_{t}

值為 ____。(四捨五入到小數點後第二位) (每格 3 分，共 6 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(3)

第 2 題(3)(4)

第 3 題(1)(2)(5)

第 4 題

- 3

第 5 題

2

第 6 題

81

第 7 題

- 280

第 8 題

\frac{25}{9}

第 9 題

(6, 4, 4)

第 10 題

- 5 + 26

第 11 題

\frac{7}{2} < x < \frac{17}{4}

第 12 題

(\frac{1}{8}, \frac{4 8}{2})

第 13 題

- \frac{2}{3}

第 14 題(4)

第 15 題

41

；適合，填

1

第 16 題(3)

第 17 題第 15 天

3.97

，第 20 天

3.73

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～3 題：指數與對數函數的圖形

第 1 題

答案 (2)(3)。

(1) 錯誤。 向右平移 $3$ 是把 $x$ 換成 $x - 3$ ： $y = 2^{x - 3} = \frac{1}{8} \times 2^{x}$ ，不是 $8 \times 2^{x}$ （ $8 \times 2^{x} = 2^{x + 3}$ 是向左平移 $3$ ）。

(2) 正確。 向上平移 $2$ 得 $y = lo g_{2} x + 2 = lo g_{2} x + lo g_{2} 4 = lo g_{2} (4 x)$ 。

(3) 正確。 水平伸縮 $2$ 倍是把 $x$ 換成 $\frac{x}{2}$ ： $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{2}} = ((\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}})^{x} = (\frac{1}{2})^{x} = (\frac{2}{2})^{x}$ 。

(4) 錯誤。 鉛直伸縮 $2$ 倍得 $y = 2 lo g_{2} x$ ，定義域是 $x > 0$ ；而 $y = lo g_{2} x^{2}$ 的定義域是 $x \neq = 0$ ，在 $x < 0$ 也有圖形（例如點 $(- 2, 2)$ ），兩個圖形不同。

(5) 錯誤。 $y = 2^{∣ x ∣}$ 對 $y = x$ 對稱，是把 $x$ 、 $y$ 互換： $x = 2^{∣ y ∣}$ ，也就是 $x \geq 1$ 且 $y = \pm lo g_{2} x$ 。例如 $(2, - 1)$ 在這個圖形上，卻不在 $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ 上；反過來 $(\frac{1}{2}, 1)$ 在 $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ 上，卻不滿足 $x \geq 1$ 。

伸縮或對稱之後一定要連定義域一起比：

2 lo g_{2} x

與

lo g_{2} x^{2}

只在

x > 0

時相等。

第 2 題

答案 (3)(4)。

(1) 錯誤。 $x = - 2$ 時兩邊都是 $4$ ， $x = - 4$ 時兩邊都是 $16$ ，已經有兩個負根； $x > 0$ 時左邊 $2^{- x}$ 遞減、右邊 $x^{2}$ 遞增， $x = 0$ 時左邊 $1 > 0$ 、 $x = 1$ 時左邊 $\frac{1}{2} < 1$ ，在 $0$ 與 $1$ 之間還有一個根。至少三個實根，不是恰好兩個。

(2) 錯誤。 只要看 $0 < x \leq 10$ （ $x > 10$ 時 $lo g x > 1 \geq sin x$ ）。用 $y = sin x$ 與 $y = lo g x$ 的圖形比高低： $x = \frac{π}{2}$ 時 $sin x = 1 > lo g \frac{π}{2}$ （因為 $\frac{π}{2} < 2$ ， $lo g \frac{π}{2} < lo g 2 < 1$ ）； $x = π$ 時 $sin x = 0 < lo g π$ ； $x = 2 π$ 時 $sin x = 0 < lo g 2 π$ ； $x = \frac{5 π}{2}$ 時 $sin x = 1 > lo g \frac{5 π}{2}$ （因為 $\frac{5 π}{2} < 8$ ， $lo g \frac{5 π}{2} < lo g 8 \approx 0.903$ ）； $x = 3 π$ 時 $sin x = 0 < lo g 3 π$ 。高低交換了三次，至少有三個實根。

(3) 正確。 改寫成 $x^{2} - 2 = lo g_{2} x$ ，看拋物線 $y = x^{2} - 2$ 與 $y = lo g_{2} x$ 的交點。 $x = \frac{1}{4}$ ： $- \frac{31}{16} > - 2$ ； $x = \frac{1}{2}$ ： $- \frac{7}{4} < - 1$ ； $x = 1$ ： $- 1 < 0$ ； $x = 2$ ： $2 > 1$ 。高低交換兩次，至少兩個交點。拋物線凹口向上， $y = lo g_{2} x$ 的圖形凹口向下，兩者最多兩個交點，所以恰有兩個實根。

(4) 正確。 $x = 2$ ：左邊 $2^{1} = 2$ ，右邊 $2 lo g_{2} 2 = 2$ ； $x = 4$ ：左邊 $2^{2} = 4$ ，右邊 $2 lo g_{2} 4 = 4$ 。 $y = 2^{\frac{x}{2}}$ 的圖形凹口向上， $y = 2 lo g_{2} x$ 的圖形凹口向下，最多兩個交點，所以恰有 $x = 2, 4$ 兩個實根。

(5) 錯誤。 $x \geq 0$ 時方程式變成 $2^{x} + 2^{- x} = 2^{x}$ ，即 $2^{- x} = 0$ ，不可能； $x < 0$ 時變成 $2^{x} + 2^{- x} = 2^{- x}$ ，即 $2^{x} = 0$ ，也不可能。沒有實根。

說「不是恰好兩個」只要找到第三個根就夠；說「恰好兩個」則要再說明不會更多，常用一個凹口向上、一個凹口向下的圖形最多兩個交點。

第 3 題

答案 (1)(2)(5)。兩邊取常用對數： $x lo g 5 = y lo g \frac{1}{4} = - y lo g 4$ ，即 $(lo g 5) x + (lo g 4) y = 0$ 。所有的 $P$ 構成一條過原點的直線，斜率 $- \frac{l o g 5}{l o g 4}$ 。

(1) 正確。 $x = lo g_{5} 4 = \frac{l o g 4}{l o g 5}$ ，代入 $(lo g 5) \cdot \frac{l o g 4}{l o g 5} + (lo g 4) (- 1) = 0$ ，成立。

(2) 正確。 $Q (x + lo g 4, y - lo g 5)$ 代入： $(lo g 5) (x + lo g 4) + (lo g 4) (y - lo g 5) = (lo g 5) x + (lo g 4) y = 0$ ，成立。（移動的方向 $(lo g 4, - lo g 5)$ 正是這條直線的方向。）

(3) 錯誤。 $\frac{y}{x} = - \frac{l o g 5}{l o g 4} = - lo g_{4} 5$ ，而 $lo g_{4} 5 > lo g_{4} 4 = 1$ ，所以 $\frac{y}{x} < - 1$ 。

(4) 錯誤。 $y = - \frac{l o g 5}{l o g 4} x = - \frac{l o g 5}{2 l o g 2} x$ ， $x - 2 y = x (1 + \frac{l o g 5}{l o g 2}) = x \cdot \frac{l o g 2 + l o g 5}{l o g 2} = \frac{x}{l o g 2}$ ，所以 $\frac{x}{x - 2 y} = lo g 2$ ，不是 $lo g 4$ 。

(5) 正確。 若 $(x, y)$ 滿足 $(lo g 5) x + (lo g 4) y = 0$ ，則 $(- x, - y)$ 也滿足，圖形對稱於原點。

5^{x} = (\frac{1}{4})^{y}

兩邊取對數就變成一次方程式，圖形是過原點的直線，而不是曲線。

平移、伸縮、對稱都是對

x

或

y

做代換；數實根個數時，先找出確定的根或高低交換的位置，再用凹口方向說明不會更多。

02第 4、5、6、9、10、13 題：對數律與換底公式

第 4 題

3 lo g \frac{7}{5} = 3 lo g 7 - 3 lo g 5

，

lo g 343 = lo g 7^{3} = 3 lo g 7

，

\frac{6}{5} lo g 32 = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{2} lo g 2 = 3 lo g 2

。原式

= 3 lo g 7 - 3 lo g 5 - 3 lo g 7 - 3 lo g 2 = - 3 (lo g 5 + lo g 2) = - 3 lo g 10 = - 3

。

第 5 題令

a = lo g_{3} 7

，則

lo g_{7} 3 = \frac{1}{a}

。

lo g_{3} 21 = lo g_{3} 3 + lo g_{3} 7 = 1 + a

，

lo g_{7} 21 = lo g_{7} 7 + lo g_{7} 3 = 1 + \frac{1}{a}

。

(1 + a) (1 + \frac{1}{a}) = 1 + \frac{1}{a} + a + 1 = 2 + a + \frac{1}{a}

，減去

a + \frac{1}{a}

，得

2

。

第 6 題由換底公式，每一項都寫成

\frac{l o g ( n + 1 )}{l o g n}

，連乘時前後相消：

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 4 \times \dots \times lo g_{8} 9 = \frac{l o g 3}{l o g 2} \cdot \frac{l o g 4}{l o g 3} \dots \frac{l o g 9}{l o g 8} = \frac{l o g 9}{l o g 2} = lo g_{2} 9

。所以原式

= 4^{l o g_{2} 9} = (2^{l o g_{2} 9})^{2} = 9^{2} = 81

。

第 9 題

\frac{1}{l o g _{4} 2024} = lo g_{2024} 4

，同理另外兩項。條件變成

a lo g_{2024} 4 + b lo g_{2024} 11 + c lo g_{2024} 23 = 4

，即

lo g_{2024} (4^{a} \cdot 1 1^{b} \cdot 2 3^{c}) = 4

，所以

4^{a} \cdot 1 1^{b} \cdot 2 3^{c} = 202 4^{4}

。

2024 = 2^{3} \times 11 \times 23

，

202 4^{4} = 2^{12} \times 1 1^{4} \times 2 3^{4}

，而

4^{a} = 2^{2 a}

。由質因數分解唯一，

2 a = 12

、

b = 4

、

c = 4

，即

(a, b, c) = (6, 4, 4)

。

第 10 題令

p = lo g_{3} a

、

q = lo g_{3} b

。

ab = 81

給出

p + q = lo g_{3} 81 = 4

，又

pq = - 2

，所以

p

、

q

是

t^{2} - 4 t - 2 = 0

的兩根：

t = 2 \pm 6

。

a > b

且底數

3 > 1

，所以

p > q

：

p = 2 + 6

、

q = 2 - 6

。

lo g_{a} b = \frac{l o g _{3} b}{l o g _{3} a} = \frac{2 - 6}{2 + 6} = \frac{( 2 - 6 ) ^{2}}{( 2 + 6 ) ( 2 - 6 )} = \frac{10 - 4 6}{- 2} = - 5 + 26

。

- 5 + 26 \approx - 0.10

，是負的：因為

b = 3^{2 - 6} < 1 < a

。

第 13 題

令 $t = lo g_{2} x$ ， $x > 1$ 所以 $t > 0$ 。用換底把每個括號都寫成 $t$ 的式子： $lo g_{8} x = \frac{t}{3}$ 、 $lo g_{4} x = \frac{t}{2}$ ； $lo g_{2} 2 x = 1 + t$ 、 $lo g_{8} 2 x = \frac{1 + t}{3}$ ； $lo g_{2} 3 x = lo g_{2} 3 + t$ ，記為 $s$ ，則 $lo g_{4} 3 x = \frac{s}{2}$ 。

所求減去已知的左邊： $lo g_{2} \frac{t}{2} - lo g_{2} \frac{t}{3} = lo g_{2} \frac{3}{2}$ ； $lo g_{4} \frac{1 + t}{3} - lo g_{4} (1 + t) = - lo g_{4} 3$ ； $lo g_{8} s - lo g_{8} \frac{s}{2} = lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}$ 。

所以所求 $= - lo g_{4} 3 + lo g_{2} \frac{3}{2} - lo g_{4} 3 + \frac{1}{3}$ 。其中 $lo g_{2} \frac{3}{2} = lo g_{2} 3 - 1$ ， $2 lo g_{4} 3 = lo g_{2} 3$ ，得所求 $= lo g_{2} 3 - 1 - lo g_{2} 3 + \frac{1}{3} = - \frac{2}{3}$ 。

不必解出

x

：兩個式子每一項只差一個常數倍，相減後

t

全部消掉。已知的左邊隨

t

增加而增加，由很小的負數一路增大，所以確實有一個

x > 1

滿足條件。

對數連乘先換底相消；看到

\frac{1}{l o g _{a} b}

就翻成

lo g_{b} a

；兩個長得很像的對數式，相減往往比解方程式快。

03第 7、8、11、12 題：代換、不等式與極值

第 7 題

觀察 $f (x) + f (1 - x)$ 。令 $u = 5^{x}$ ，則 $5^{1 - x} = \frac{5}{u}$ 。 $f (x) = \frac{5 u}{5 - u}$ ； $f (1 - x) = \frac{5 \cdot \frac{5}{u}}{5 - \frac{5}{u}} = \frac{25}{5 u - 5} = \frac{25}{5 ( u - 5 )} = \frac{- 5 5}{5 - u}$ 。相加： $f (x) + f (1 - x) = \frac{5 u - 5 5}{5 - u} = - 5$ 。

$\frac{1}{113}$ 與 $\frac{112}{113}$ 、 $\frac{2}{113}$ 與 $\frac{111}{113}$ 、……兩兩相加為 $1$ ，共 $56$ 對（中間沒有落單的 $\frac{1}{2}$ ），總和 $= 56 \times (- 5) = - 280$ 。

題目要求

x \neq = \frac{1}{2}

，正是分母

5 - 5^{x} = 0

的地方；

112

是偶數，所以配對時不會碰到

\frac{1}{2}

。

第 8 題令

u = 3^{x} + 3^{- x}

，由算幾不等式

u \geq 2

。交點滿足

\frac{u}{4} = \frac{k}{u}

，

u^{2} = 4 k

。兩個交點的

u

值相同，所以

y = \frac{u}{4}

也相同，

\overline{A B}

是水平線段；又

3^{x} + 3^{- x}

把

x

換成

- x

不變，兩交點的

x

坐標是

\pm x_{0}

（

x_{0} > 0

）。

\overline{A B} = 2 x_{0} = 2

，

x_{0} = 1

，

u = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}

。

k = \frac{u ^{2}}{4} = \frac{100}{36} = \frac{25}{9}

。

第 11 題

真數條件： $\frac{17}{2} - 2 x > 0$ 且 $x - 3 > 0$ ，即 $3 < x < \frac{17}{4}$ 。

換成同底： $2 lo g_{\frac{1}{9}} (\frac{17}{2} - 2 x) = 2 \cdot \frac{l o g _{\frac{1}{3}} ( \frac{17}{2} - 2 x )}{l o g _{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}} = lo g_{\frac{1}{3}} (\frac{17}{2} - 2 x)$ ； $- 1 = lo g_{\frac{1}{3}} 3$ ，所以右邊 $= lo g_{\frac{1}{3}} (3 (x - 3))$ 。

不等式變成 $lo g_{\frac{1}{3}} (\frac{17}{2} - 2 x) > lo g_{\frac{1}{3}} (3 x - 9)$ 。底數 $\frac{1}{3} < 1$ ，對數函數遞減，不等號反向： $\frac{17}{2} - 2 x < 3 x - 9$ ， $5 x > \frac{35}{2}$ ， $x > \frac{7}{2}$ 。與真數條件取交集： $\frac{7}{2} < x < \frac{17}{4}$ 。

lo g_{\frac{1}{9}}

的

2

倍恰好等於

lo g_{\frac{1}{3}}

；底數小於

1

時去掉對數不等號要反向，最後別忘了真數條件給的上界

\frac{17}{4}

。

第 12 題

x > 0

。兩邊取以

2

為底的對數，令

L = lo g_{2} x

：

lo g_{2} f (x) = (1 + \frac{L}{4}) lo g_{2} (4 x) = (1 + \frac{L}{4}) (2 + L) = \frac{( L + 4 ) ( L + 2 )}{4} = \frac{( L + 3 ) ^{2} - 1}{4}

。這是

L

的二次函數，

L = - 3

時最小，值為

- \frac{1}{4}

。

y = 2^{u}

遞增，所以

lo g_{2} f

最小時

f

也最小：

α = 2^{- 3} = \frac{1}{8}

，

m = 2^{- \frac{1}{4}} = \frac{1}{4 2} = \frac{4 8}{4 16} = \frac{4 8}{2}

。

答案格的形式是「四次方根除以整數」，要把

2^{- \frac{1}{4}}

的分母有理化成

\frac{4 8}{2}

。

看到

a^{x}

與

a^{- x}

一起出現就整體代換；對數不等式先寫真數條件，再看底數決定不等號方向；指數上有對數，取對數後常常變成二次函數。

04第 14～17 題：混合題（風速與疫情模型）

第 14 題答案 (4)。取

z_{1} = 4

、

z_{2} = 10

：

30 = 25 \cdot \frac{l o g 10 + k}{l o g 4 + k}

，

\frac{6}{5} = \frac{1 + k}{l o g 4 + k}

。

lo g 4 = 2 lo g 2 \approx 0.6020

，

6 (0.6020 + k) = 5 (1 + k)

，

3.612 + 6 k = 5 + 5 k

，

k \approx 1.388

，最接近

1.4

。

第 15 題取

z_{1} = 10

、

z_{2} = 70

：

v (70) = 30 \cdot \frac{l o g 70 + k}{1 + k}

，

lo g 70 = lo g 7 + 1 \approx 1.8451

。用

k \approx 1.388

：

v (70) \approx 30 \times \frac{3.2331}{2.388} \approx 40.62

；若用選項的

k = 1.4

：

30 \times \frac{3.2451}{2.4} \approx 40.56

。兩種算法都介於

40

與

41

之間，無條件進位得

41

km/hr。超過

40

km/hr，適合風力發電，第二格填

1

。

無條件進位前的值只比

40

多一點點，但仍大於

40

，所以判斷是「適合」。

第 16 題答案 (3)。

30

天經過

\frac{30}{6} = 5

次世代間隔，每次變為

4

倍，共變為

4^{5} = 1024

倍。

第 17 題

$S = 5$ 、 $N (0) = 2$ 。

第 15 天： $\frac{N ( 15 )}{N ( 0 )} = \frac{960}{2} = 480$ ， $lo g_{2} 480 = (R_{t} - 1) \cdot \frac{15}{5} = 3 (R_{t} - 1)$ 。 $lo g 480 = lo g (2^{5} \times 3 \times 5) = 4 lo g 2 + lo g 3 + 1 \approx 2.6811$ ， $lo g_{2} 480 = \frac{2.6811}{0.3010} \approx 8.907$ 。 $R_{t} - 1 \approx 2.969$ ， $R_{t} \approx 3.97$ 。

第 20 天： $\frac{N ( 20 )}{N ( 0 )} = \frac{3840}{2} = 1920$ ， $lo g_{2} 1920 = 4 (R_{t} - 1)$ 。 $1920 = 2^{7} \times 15$ ， $lo g_{2} 1920 = 7 + lo g_{2} 15 = 7 + \frac{l o g 3 + 1 - l o g 2}{l o g 2} \approx 7 + \frac{1.1761}{0.3010} \approx 10.907$ 。 $R_{t} - 1 \approx 2.727$ ， $R_{t} \approx 3.73$ 。

N (t)

是到第

t

天的總數，要和第

0

天的

2

人相比，不是和前一格相比。

應用題先把公式中「誰是已知、誰是未知」對好再代數字；用給定的

lo g 2

、

lo g 3

、

lo g 7

計算時，先把真數分解成這幾個質數與

10

的乘積。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要逐一判斷實根個數，第一、二個選項其實都有三個根；第 1 題第四、五個選項要連定義域一起比；第 11 題底數小於一時不等號要反向，還要記得真數條件給的上界；第 13 題把兩個式子相減就能消去未知數。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自建國中學 113 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

建國中學 113 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01第 1～3 題：指數與對數函數的圖形

02第 4、5、6、9、10、13 題：對數律與換底公式

03第 7、8、11、12 題：代換、不等式與極值

04第 14～17 題：混合題（風速與疫情模型）

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建國中學 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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