段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

建國中學 115 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

本卷為建國中學高一普通班的第一次定期考試題。單一選擇題 3 題（每題 6 分，共 18 分）、多重選擇題 5 題（每題 8 分，共 40 分）、選填題 7 題（每題 6 分，共 42 分）。學校尚未公布答案，本頁答案為本站依題目計算。

第壹部分：單一選擇題（共 3 題，占 18 分）｜說明：第 1 題至第 3 題，每題均有 5 個選項，其中僅有 1 個為正確或最適當的答案。每題答對得 6 分；答錯、未作答或劃記多於 1 個選項者，該題以 0 分計算。

若不等式

∣ a x + 1∣ \leq b

的解

x

以區間符號表示為

[6, 7]

，則實數

a + b

的數值為下列哪一個選項？

(1) $\frac{11}{13}$
(2) $\frac{3}{13}$
(3) $\frac{- 1}{13}$
(4) $0$
(5) $\frac{9}{26}$

若

17

、

37

、

67

的小數部分分別為

a, b, c

，則此三數的大小關係為下列哪一個選項？

(1) $a > b > c$
(2) $b > a > c$
(3) $b > c > a$
(4) $c > b > a$
(5) $c > a > b$

下列五個實數中，數值最大的是哪一個選項？

(1) $\frac{1}{6} + \frac{1}{7}$
(2) $(\frac{1}{6} + \frac{1}{7})^{2}$
(3) $\frac{4}{6 + 7}$
(4) $\frac{7}{6} - \frac{6}{7}$
(5) $\frac{6}{67}$

第貳部分：多重選擇題（共 5 題，占 40 分）｜說明：第 4 題至第 8 題，每題均有 5 個選項，其中至少有 1 個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以 0 分計算。

設實數

a, b

滿足

lo g a = 0.67

、

1 0^{b} = 67

，請選出正確的選項。

(1) $0.67 = a^{10}$
(2) $a^{\frac{1}{67}} = 0. 1^{- 0.01}$
(3) $a > 3 1 0^{b}$
(4) $(lo g a)^{\frac{1}{b}} = 0.1$
(5) $a^{b} > 16$

已知實數

x

滿足

x - \frac{1}{x} = 5

，請選出正確的選項。

(1) $x = \frac{3 + 5}{2}$
(2) $x + \frac{1}{x} = 6$
(3) $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 7$
(4) $x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = 25$
(5) $x^{5} - \frac{1}{x ^{5}} = 555$

已知實數

a, b

滿足

6 < a < b < 7

，且

c = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{a + b}

、

d = \frac{2 ab}{a + b}

，請選出正確的選項。

(1) $c > d$
(2) $a < c < b$
(3) $c - a < b - c$
(4) $c - a < b - d$
(5) $\frac{a + b}{2} > c d$

請選出正確的選項。

(1) $(- 6)^{- 7} = \frac{1}{- 6 ^{7}}$
(2) $1 0^{6 l o g 7} = 7^{6 l o g 10}$
(3) $(6 + 7)^{3} - (6 - 7)^{3}$ 是有理數
(4) 若 $a + b$ 與 $a^{3} - b^{3}$ 皆為有理數，則 $ab$ 必為有理數
(5) 若 $a$ 、 $b$ 、 $a + b$ 、 $a - b$ 、 $ab$ 、 $\frac{a}{b}$ 皆為無理數，則 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ 有可能為有理數

已知實數

a, b

滿足

0 \leq a \leq 6

、

0 \leq b \leq 7

，且

t = ∣2 - a ∣ + ∣ a - b ∣ + ∣3 - b ∣

，請選出正確的選項。

(1) 由三角不等式 $∣2 - a ∣ + ∣ a - b ∣ + ∣3 - b ∣ \geq ∣2 - b ∣ + ∣3 - b ∣ \geq ∣5 - 2 b ∣$ ，故當 $b = \frac{5}{2}$ 時， $t$ 有最小值 $0$
(2) 當 $t = 1$ 時， $(a - 2) (3 - b)$ 的最大值為 $\frac{1}{4}$
(3) 由 $∣2 - a ∣ \leq 4$ 、 $∣ a - b ∣ \leq 7$ 、 $∣3 - b ∣ \leq 4$ ，可知 $t$ 的最大值為 $15$
(4) 當 $t$ 的最小值發生時，數對 $(a, b)$ 有無限多組解
(5) 當 $t$ 的最大值發生時，數對 $(a, b)$ 恰有一組解

第參部分：選填題（共 7 題，占 42 分）｜說明：第 9 題至第 15 題，每題答對得 6 分。每題有 n 個選項，須全部答對才給分，答錯不倒扣；考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

久留美以

30

萬日圓本金，使用

100

倍槓桿進行外匯保證金交易。她設定每次進場後，若匯率朝有利方向變動

1%

即獲利出場，並定義為一次「交易成功」；此時本金增加

100 \times 1%

，即變為原來的

2

倍。在不考慮其他成本的條件下，她至少需交易成功 ____ 次，本金才會超過

2, 000

萬日圓。

已知

lo g (\frac{1}{67})^{23} \approx - 41.9997

，則

6 7^{115}

為 ____ 位數。

將

\frac{16}{33} + \frac{13}{37}

表示為小數，則其小數點後第

67

位數為 ____。

已知

a, b

皆為正實數（其中

a \neq = 1

），並滿足

⎩ ⎨ ⎧ ab = a^{6 b} \frac{b}{a} = a b^{7}

，則

a

為 ____。

給定數線上兩點

A (16 - 67)

、

B (4 - 7)

，已知

P

點在

\overline{A B}

上，且滿足

\overline{A P} = 2 \overline{B P}

，則

P

點坐標為 ____。（須化為最簡根式）

已知

a, x

皆為正實數，並滿足

a^{3 x} = 2

，則

\frac{a ^{73 x} - a ^{- 64 x} - a ^{- 61 x} + a ^{70 x}}{a ^{76 x} - a ^{- 67 x} - a ^{- 58 x} + a ^{67 x}}

的值為 ____。（須化為最簡分數）

已知

a, b

皆為整數，並滿足

\frac{6}{a} - \frac{7}{b} = 1

，則

b

的最大值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(1)

第 4 題(2)(3)(5)

第 5 題(3)(5)

第 6 題(1)(2)(5)

第 7 題(1)(2)(5)

第 8 題(2)(4)

第 9 題

7

第 10 題

210

第 11 題

8

第 12 題

729

第 13 題

22 - 2

第 14 題

\frac{2}{3}

第 15 題

35

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單一選擇題：絕對值與根式比大小

第 1 題答案 (3)。解是一段長度不為 0 的閉區間，所以

b > 0

且

a \neq = 0

。

∣ a x + 1∣ \leq b

就是

- b \leq a x + 1 \leq b

，解的兩個端點正是

a x + 1

分別等於

b

與

- b

的地方，所以

6 a + 1

與

7 a + 1

一個是

b

、一個是

- b

。兩數相加為 0：

13 a + 2 = 0

，

a = - \frac{2}{13}

。此時

6 a + 1 = \frac{1}{13}

、

7 a + 1 = - \frac{1}{13}

，所以

b = \frac{1}{13}

。因此

a + b = - \frac{2}{13} + \frac{1}{13} = - \frac{1}{13}

。

驗算：

- \frac{2}{13} x + 1 \leq \frac{1}{13}

，兩邊乘 13 得

∣13 - 2 x ∣ \leq 1

，即

6 \leq x \leq 7

。

第 2 題答案 (5)。用平方夾出每個根號到小數點後兩位。

4.1 2^{2} = 16.9744

、

4.1 3^{2} = 17.0569

，所以

17 = 4.12 \dots

，

a

介於

0.12

與

0.13

之間。

6^{2} = 36

、

6. 1^{2} = 37.21

，所以

37 = 6.0 \dots

，

b < 0.1

。

8.1 8^{2} = 66.9124

、

8.1 9^{2} = 67.0761

，所以

67 = 8.18 \dots

，

c

介於

0.18

與

0.19

之間。因此

c > a > b

。

第 3 題答案 (1)。記

p = \frac{1}{6} + \frac{1}{7}

。 (2)：

p < \frac{2}{6} = \frac{4}{6} < 1

，所以

p^{2} < p

。 (4)：

\frac{7}{6} - \frac{6}{7} = (\frac{1}{6} + \frac{1}{7}) + (\frac{6}{6} - \frac{7}{7}) = p + (6 - 7)

，而

6 - 7 < 0

，所以比

p

小。 (5)：

p > \frac{2}{7} = \frac{4}{7}

，而

\frac{6}{67} = \frac{36}{67}

，又

\frac{4}{7} = \frac{268}{469} > \frac{252}{469} = \frac{36}{67}

，所以

p

比較大。 (3)：通分比較。

p = \frac{6 + 7}{42}

，所以

p - \frac{4}{6 + 7} = \frac{( 6 + 7 ) ^{2} - 4 42}{42 ( 6 + 7 )} = \frac{( 7 - 6 ) ^{2}}{42 ( 6 + 7 )} > 0

。所以最大的是 (1)。

(1) 約

0.7862

、(3) 約

0.7850

，只差約

0.001

，估算很容易看錯。(3) 比較小也可以用算幾不等式看：

(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (x + y) \geq 4

，

x \neq = y

時等號不成立。

兩個很接近的根式比大小，相減後把分子湊成完全平方，就能看出正負。

02多重選擇題：對數、乘法公式、平均數、有理數與絕對值

第 4 題答案 (2)(3)(5)。由定義

a = 1 0^{0.67}

，

b = lo g 67

。 (1) 錯誤。

a^{10} = 1 0^{6.7}

，不是

0.67

。 (2) 正確。

a^{\frac{1}{67}} = (1 0^{0.67})^{\frac{1}{67}} = 1 0^{0.01}

；

0. 1^{- 0.01} = (1 0^{- 1})^{- 0.01} = 1 0^{0.01}

，兩邊相等。 (3) 正確。

3 1 0^{b} = 1 0^{\frac{b}{3}}

。

b = lo g 67 < lo g 100 = 2

，所以

\frac{b}{3} < \frac{2}{3} < 0.67

。底數 10 大於 1，指數大的比較大，所以

a = 1 0^{0.67} > 1 0^{\frac{b}{3}}

。 (4) 錯誤。

lo g a = 0.67

。

b = lo g 67

介於 1 與 2 之間，所以

0 < \frac{1}{b} < 1

。底數

0.67

介於 0 與 1 之間，指數變小時值變大，所以

0.6 7^{\frac{1}{b}} > 0.6 7^{1} = 0.67 > 0.1

。 (5) 正確。

a^{b} = (1 0^{0.67})^{b} = (1 0^{b})^{0.67} = 6 7^{0.67}

。因為

67 > 64

且

0.67 > \frac{2}{3}

，所以

6 7^{0.67} > 6 4^{0.67} > 6 4^{\frac{2}{3}} = 16

。

(4) 的指數在卷面上較小，看起來是

\frac{1}{b}

；若讀成

\frac{1}{6}

，同樣是

0.67

的小於 1 的正次方，大於

0.67

，仍然錯誤。

第 5 題答案 (3)(5)。 (1) 錯誤。 兩邊乘

x

：

x^{2} - 5 x - 1 = 0

，

x = \frac{5 \pm 3}{2}

。

x = \frac{5 - 3}{2}

也滿足題意（這時

\frac{1}{x} = \frac{2}{5 - 3} = - \frac{5 + 3}{2}

，相減正好是

5

），所以

x

不一定是

\frac{3 + 5}{2}

。 (2) 錯誤。

(x + \frac{1}{x})^{2} = (x - \frac{1}{x})^{2} + 4 = 9

，所以

x + \frac{1}{x} = \pm 3

，不會是 6。 (3) 正確。

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x - \frac{1}{x})^{2} + 2 = 5 + 2 = 7

。 (4) 錯誤。 立方差：

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x}) (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}) = 5 \times 8 = 85

。 (5) 正確。

(x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) (x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}) = x^{5} - \frac{1}{x ^{5}} + (x - \frac{1}{x})

，所以

x^{5} - \frac{1}{x ^{5}} = 7 \times 85 - 5 = 555

。

第 6 題答案 (1)(2)(5)。先注意

c + d = \frac{a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{a + b} = a + b

。 (1) 正確。

c - d = \frac{a ^{2} - 2 ab + b ^{2}}{a + b} = \frac{( a - b ) ^{2}}{a + b} > 0

（

a \neq = b

）。 (2) 正確。

c - a = \frac{b ^{2} - ab}{a + b} = \frac{b ( b - a )}{a + b} > 0

；

b - c = \frac{ab - a ^{2}}{a + b} = \frac{a ( b - a )}{a + b} > 0

。 (3) 錯誤。 由 (2) 的兩式，

(c - a) - (b - c) = \frac{( b - a ) ^{2}}{a + b} > 0

，所以

c - a > b - c

。 (4) 錯誤。 由

c + d = a + b

得

c - a = b - d

，兩者相等，不是小於。 (5) 正確。

c, d

都是正數且

c \neq = d

，由算幾不等式

\frac{c + d}{2} > c d

，而

\frac{c + d}{2} = \frac{a + b}{2}

。

第 7 題答案 (1)(2)(5)。 (1) 正確。

(- 6)^{- 7} = \frac{1}{( - 6 ) ^{7}} = \frac{1}{- 6 ^{7}}

，因為奇數次方

(- 6)^{7} = - 6^{7}

。 (2) 正確。

6 lo g 7 = lo g (7)^{6} = lo g 343

，所以左邊

= 1 0^{l o g 343} = 343

；

6 lo g 10 = 6 \times \frac{1}{2} = 3

，右邊

= 7^{3} = 343

。兩邊相等。 (3) 錯誤。 立方差

u^{3} - v^{3} = (u - v) (u^{2} + uv + v^{2})

，取

u = 6 + 7

、

v = 6 - 7

：

u - v = 27

，

u^{2} + v^{2} = 2 (36 + 7) = 86

，

uv = 36 - 7 = 29

，所以結果是

27 \times 115 = 2307

，是無理數。 (4) 錯誤。 反例：

a = 34

、

b = - 34

。

a + b = 0

、

a^{3} - b^{3} = 4 + 4 = 8

都是有理數，但

ab = - 316 = - 232

是無理數。 (5) 正確。 舉一組例子：

a = 2 - 1

、

b = \frac{2}{2}

。

a + b = \frac{3 2}{2} - 1

、

a - b = \frac{2}{2} - 1

、

ab = 1 - \frac{2}{2}

、

\frac{a}{b} = 2 - 2

，連同

a, b

都是無理數；而

\frac{1}{a} = 2 + 1

、

\frac{1}{b} = 2

，

\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 1

是有理數。

第 8 題答案 (2)(4)。由三角不等式

∣ x ∣ + ∣ y ∣ + ∣ z ∣ \geq ∣ x + y + z ∣

，

t \geq ∣ (2 - a) + (a - b) + (b - 3) ∣ = 1

，等號成立當且僅當

2 - a

、

a - b

、

b - 3

同號；三者和是

- 1

，所以三者都小於或等於 0，即

2 \leq a \leq b \leq 3

。 (1) 錯誤。 由上，

t \geq 1

，最小值是 1 不是 0。選項的鏈只說明

t \geq ∣5 - 2 b ∣

；在

b = \frac{5}{2}

時

∣2 - b ∣ + ∣3 - b ∣ = 1

，第二個不等號取不到等號。 (2) 正確。

t = 1

時

2 \leq a \leq b \leq 3

。令

x = a - 2 \geq 0

、

y = 3 - b \geq 0

，則

x + y = 1 - (b - a) \leq 1

。由算幾不等式

x y \leq (\frac{x + y}{2})^{2} \leq \frac{1}{4}

，等號在

a = b = \frac{5}{2}

時成立，所以最大值為

\frac{1}{4}

。 (3) 錯誤。 三個上界不能同時達到。分兩種情形：若

a \geq b

，

t = (∣2 - a ∣ + a) + (∣3 - b ∣ - b)

；

a \geq 2

時

∣2 - a ∣ + a = 2 a - 2 \leq 10

，

a < 2

時為 2，所以

\leq 10

；

b \leq 3

時

∣3 - b ∣ - b = 3 - 2 b \leq 3

，

b > 3

時為

- 3

，所以

\leq 3

。得

t \leq 13

，等號只在

a = 6, b = 0

。若

a < b

，

t = (∣2 - a ∣ - a) + (∣3 - b ∣ + b)

；同理第一括號

\leq 2

（

a = 0

時）、第二括號

\leq 11

（

b = 7

時），

t \leq 13

，等號只在

a = 0, b = 7

。所以最大值是 13，不是 15。 (4) 正確。 最小值 1 發生在

2 \leq a \leq b \leq 3

，例如

a = b = k

（

2 \leq k \leq 3

）都可以，有無限多組。 (5) 錯誤。 由 (3)，最大值 13 發生在

(6, 0)

與

(0, 7)

兩組。

三角不等式求最小值時要檢查等號能否成立；求最大值時，各項的上界不一定能同時達到，要分段討論。

03選填第 9～11 題：倍增、位數、循環小數

第 9 題成功

n

次後本金為

30 \times 2^{n}

萬日圓。要

30 \times 2^{n} > 2000

，即

2^{n} > \frac{200}{3}

，約

66.7

。

2^{6} = 64

不夠（本金

1920

萬），

2^{7} = 128

夠（本金

3840

萬）。所以至少

7

次。

第 10 題

lo g (\frac{1}{67})^{23} = 23 lo g \frac{1}{67} = - 23 lo g 67

，所以

23 lo g 67 \approx 41.9997

。

lo g 6 7^{115} = 115 lo g 67 = 5 \times (23 lo g 67) \approx 5 \times 41.9997 = 209.9985

。因此

1 0^{209} < 6 7^{115} < 1 0^{210}

，

6 7^{115}

是

210

位數。

209.9985

很接近 210 但仍小於 210，所以首數是 209，位數是

209 + 1 = 210

。

第 11 題

\frac{16}{33} = \frac{48}{99} = 0. \overline{48}

，

\frac{13}{37} = \frac{351}{999} = 0. \overline{351}

。兩個循環節長 2 與 3，取 6 位為一組：

\frac{16}{33} = \frac{484848}{999999}

，

\frac{13}{37} = \frac{351351}{999999}

，相加得

\frac{836199}{999999} = 0. \overline{836199}

。

67 = 6 \times 11 + 1

，第 67 位是循環節的第 1 位，即

8

。

直接用通分也可以：

\frac{16}{33} + \frac{13}{37} = \frac{1021}{1221}

，而

1221 \times 819 = 999999

，

1021 \times 819 = 836199

。

兩個循環小數相加，先把循環節長度化成公倍數，再整組相加。

04選填第 12～15 題：指數、根式與整數解

第 12 題第二式兩邊乘

a

：

b = a^{2} b^{7}

，即

a^{2} b^{6} = 1

，

(a b^{3})^{2} = 1

。

a, b

為正，所以

a b^{3} = 1

，

a = b^{- 3}

。代入第一式：左邊

ab = b^{- 2}

，右邊

a^{6 b} = b^{- 18 b}

，所以

b^{- 2} = b^{- 18 b}

。若

b = 1

，則

a = 1

，不合；所以

b \neq = 1

；底數是不等於 1 的正數，兩個次方相等時指數相等：

- 2 = - 18 b

，

b = \frac{1}{9}

。因此

a = (\frac{1}{9})^{- 3} = 9^{3} = 729

。

驗算：

ab = 81

，

a^{6 b} = 72 9^{\frac{2}{3}} = 9^{2} = 81

；

\frac{b}{a} = \frac{1}{9 \times 729} = 9^{- 4}

，

a b^{7} = 9^{3} \times 9^{- 7} = 9^{- 4}

。

第 13 題

16 - 67 = 9 + 7 - 2 \times 37 = (3 - 7)^{2}

，而

3 > 7

，所以

A

的坐標是

3 - 7

。

4 - 7 = \frac{8 - 2 7}{2} = \frac{( 7 - 1 ) ^{2}}{2}

，所以

B

的坐標是

\frac{7 - 1}{2}

。

P

在

\overline{A B}

上且

\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 1

，由分點公式：

P = \frac{1 \times A + 2 \times B}{2 + 1} = \frac{( 3 - 7 ) + ( 7 - 1 )}{2 + 1} = \frac{2}{2 + 1} = 2 (2 - 1)

所以

P

點坐標為

22 - 2

。

近似值：

A \approx 0.354

、

B \approx 1.164

、

P \approx 0.828

，

P

確實在

A, B

之間。

第 14 題令

u = a^{x} > 0

，則

u^{3} = 2

。分子

u^{73} + u^{70} - u^{- 61} - u^{- 64} = u^{70} (u^{3} + 1) - u^{- 64} (u^{3} + 1) = (u^{3} + 1) (u^{70} - u^{- 64}) = (u^{3} + 1) u^{3} (u^{67} - u^{- 67})

。分母

u^{76} + u^{67} - u^{- 58} - u^{- 67} = u^{67} (u^{9} + 1) - u^{- 67} (u^{9} + 1) = (u^{9} + 1) (u^{67} - u^{- 67})

。

u \neq = 1

，所以

u^{67} - u^{- 67} \neq = 0

，可以約掉：

原式 = \frac{( u ^{3} + 1 ) u ^{3}}{u ^{9} + 1} = \frac{( 2 + 1 ) \times 2}{8 + 1} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

第 15 題

a, b

都不為 0。兩邊乘

ab

：

6 b - 7 a = ab

，移項

ab + 7 a - 6 b = 0

，加上

- 42

湊因式：

(a - 6) (b + 7) = - 42

。

a - 6

與

b + 7

都是整數，要

b

最大，就要

b + 7

最大，取

b + 7 = 42

、

a - 6 = - 1

，得

a = 5

、

b = 35

。檢查：

\frac{6}{5} - \frac{7}{35} = \frac{6}{5} - \frac{1}{5} = 1

。所以

b

的最大值為

35

。

\frac{m}{a} - \frac{n}{b} = 1

這類整數解，乘開後湊成「兩個整數相乘等於定數」，再看因數。

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