段考詳解範圍：弧度量、週期性數學模型、指數函數及其圖形

建國中學 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 建國中學 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 建國中學 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要先估出 π 的平方夾在哪兩個特殊角之間，再用週期換回一圈之內；第 13 題一小時內時針與分針成直角有兩次，第二次容易漏掉；第 14 題的直線不過原點，要先用餘弦值的範圍把 x 框住，再分左右兩邊數交點；第 16 題換元之後，新變數的範圍要由 x 的範圍重新求，最大值出現在 x 等於負二而不是 x 等於一。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、作圖題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、填充題 6 題（每(小)題 4 分，共 44 分；第 5 題每格各 1 分）、計算題 6 題（每題 6 分，共 36 分）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題 5 分，共 10 分）

考慮

sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, sin 5, sin 1^{\circ}, sin 2^{\circ}, sin 3^{\circ}, sin 4^{\circ}, sin 5^{\circ}

這

10

個數，試問有幾個數是正實數？

(1) $2$ 個
(2) $4$ 個
(3) $6$ 個
(4) $8$ 個
(5) $10$ 個

a = sin (π^{2})

，試問下列哪一個選項是正確的？

(1) $a = - 1$
(2) $- 1 < a \leq - \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(4) $0 < a \leq \frac{1}{2}$
(5) $\frac{1}{2} < a \leq 1$

二、作圖題（每題 5 分，共 10 分）

利用

y = sin x

的圖形，畫出函數

y = sin x - 1

的圖形。

載入中...

利用

y = sin x

的圖形，畫出函數

y = sin 2 x

的圖形。

載入中...

三、填充題（每(小)題 4 分，共 44 分）

將度度量換算為弧度量，或將弧度量換算為度度量，並將答案填入下方的表格中。【此題每格各 1 分】（原卷是一張表格，四組對應如下）(1)

12 0^{\circ} =

____ 弳；(2)

- 30 0^{\circ} =

____ 弳；(3) ____ 度

= \frac{5}{4} π

弳；(4) ____ 度

= 3

弳。

已知扇形半徑

20

公分，周長

50

公分，求扇形的：(1) 圓心角，(2) 面積。

某學校舉辦抽獎活動，

1000

名學生分別領到編號

0001

到

1000

的對獎聯。首先，抽出一個不大於

40

的正整數，然後將此數字逐次加上

40

，但不可大於

1000

，這些號碼都可以獲得獎品。試問：假設抽出的正整數是

23

，則中獎號碼當中最大的是幾號？

定義函數

f (x) = 2 + 3 cos (4 x + 5)

，其中

x

為實數，試求

f (x)

的：(1) 週期，(2) 最大值，(3) 最小值。

試解下列方程式或不等式：(1)

4^{3 x + 5} = 8^{7 x + 9}

，(2)

9^{x} < (\frac{1}{3})^{x + 4}

。

放射性物質的質量變為原本的一半所需的時間，稱為該放射物的半衰期。設某種放射性物質現在的質量為

100

公克且半衰期為

20

年，試求：(1)

60

年後的質量。(2) 經過多少年以後，其質量會衰變到剩下

1.5625

公克？

四、計算題（每題 6 分，共 36 分）

設

0 \leq x < 2 π

，已知

sin x \geq - \frac{1}{2}

，試求實數

x

的最大可能範圍。

設

a = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}, b = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}, c = (\frac{1}{5})^{\frac{1}{5}}

，試比較

a, b, c

的大小。

考慮某天下午

1

點到下午

2

點之間，試問哪些時間點的時針和分針恰好會夾成直角？

求方程式

x - \frac{π}{2} = 6 cos x

的實根個數。

設

a, b, c, d

皆為實數，已知

f (x) = a sin (b x + c) + d

，其中

a > 0, b > 0, ∣ c ∣ \leq π

，而

A (\frac{11}{24} π, 5), B (\frac{17}{24} π, - 1)

是

y = f (x)

函數圖形中同一週期內的最高點及最低點，試求

a, b, c, d

之值。

設實數

x

滿足

- 2 \leq x \leq 1

，且函數

f (x) = 2 (4^{x} + 4^{- x}) - 3 (2^{x} + 2^{- x}) + 5

，試求

f (x)

的最大值及最小值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(3)

第 3 題把

y = sin x

的圖形往下平移

1

單位（圖見詳解）

第 4 題把

y = sin x

的圖形以

y

軸為基準，水平方向縮為

\frac{1}{2}

倍（圖見詳解）

第 5 題(1)

\frac{2}{3} π

　(2)

- \frac{5}{3} π

　(3)

225

　(4)

\frac{540}{π}

第 6 題(1)

\frac{1}{2}

弳　(2)

100

平方公分

第 7 題

983

號（編號

0983

）

第 8 題(1)

\frac{π}{2}

　(2)

5

　(3)

- 1

第 9 題(1)

x = - \frac{17}{15}

　(2)

x < - \frac{4}{3}

第 10 題(1)

12.5

公克　(2)

120

年

第 11 題

0 \leq x \leq \frac{7 π}{6}

或

\frac{11 π}{6} \leq x < 2 π

第 12 題

c > a > b

第 13 題下午

1

點

21 \frac{9}{11}

分與下午

1

點

54 \frac{6}{11}

分

第 14 題

5

個

第 15 題

a = 3

，

b = 4

，

c = \frac{2 π}{3}

，

d = 2

第 16 題最大值

\frac{195}{8}

，最小值

3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：弧度角的位置與正弦值的正負

第 1 題答案 (4)。沒有度的記號就是弧度。

π \approx 3.14

、

2 π \approx 6.28

：

1

、

2

、

3

都在

0

與

π

之間，正弦值為正；

4

、

5

在

π

與

2 π

之間，正弦值為負。

1^{\circ}

到

5^{\circ}

都是銳角，正弦值為正。所以正實數有

3 + 5 = 8

個。

3

弧度約

171. 9^{\circ}

，還沒超過

18 0^{\circ}

，

sin 3

是正的（約

0.141

）。

第 2 題答案 (3)。

π^{2} \approx 9.87

。

3 π \approx 9.42

，

3 π + \frac{π}{6} = \frac{19 π}{6} \approx 9.95

，所以

3 π < π^{2} < 3 π + \frac{π}{6}

。正弦函數的週期是

2 π

，

a = sin (π^{2}) = sin (π^{2} - 2 π)

，而

π < π^{2} - 2 π < π + \frac{π}{6} = \frac{7 π}{6}

。角從

π

增加到

\frac{3 π}{2}

時正弦值由

0

一路降到

- 1

，且

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

，因此

- \frac{1}{2} < a < 0

，落在選項 (3) 的範圍。

π^{2} - 3 π = π (π - 3) \approx 0.445

弧度，約

25. 5^{\circ}

，比

3 0^{\circ}

小；

a \approx - 0.430

。

弧度角先用

π \approx 3.14

找出它夾在哪兩個特殊角之間，超過一圈的先減掉

2 π

的整數倍。

02作圖第 3、4 題：正弦圖形的平移與伸縮

第 3 題

y = sin x - 1

是把

y = sin x

每一點的

y

坐標都減

1

，也就是整個圖形往下平移

1

單位，形狀與週期（

2 π

）都不變。幾個關鍵點：

(0, 0) \to (0, - 1)

；最高點

(\frac{π}{2}, 1) \to (\frac{π}{2}, 0)

；

(π, 0) \to (π, - 1)

；最低點

(\frac{3 π}{2}, - 1) \to (\frac{3 π}{2}, - 2)

。新圖形的最大值是

0

、最小值是

- 2

，在

x = \frac{π}{2}

、

\frac{π}{2} \pm 2 π

、… 與

x

軸相切。附圖的虛線是原來的

y = sin x

，實線是答案。

載入中...

圖形最高只到

x

軸，不會跑到

x

軸上方；

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，在方格上要對準這些位置。

第 4 題

y = sin 2 x

是把

y = sin x

的圖形以

y

軸為基準，水平方向縮為

\frac{1}{2}

倍：每一點的

x

坐標變成一半、

y

坐標不變。週期由

2 π

變成

π

，最大值

1

、最小值

- 1

不變。一個週期的關鍵點：

(0, 0)

、最高點

(\frac{π}{4}, 1)

、

(\frac{π}{2}, 0)

、最低點

(\frac{3 π}{4}, - 1)

、

(π, 0)

，再往左右每隔

π

重複。附圖的虛線是原來的

y = sin x

，實線是答案。

載入中...

是「縮」不是「伸」：原圖一個週期的寬度裡，新圖形要畫出兩個完整的波。

\frac{π}{4} \approx 0.79

、

π \approx 3.14

。

y = sin x + k

是上下平移，振幅與週期不變；

y = sin b x

（

b > 0

）是水平伸縮，週期變成

\frac{2 π}{b}

。

03填充第 5、6 題：度與弧度互換、扇形

第 5 題用

18 0^{\circ} = π

弳換算。(1)

12 0^{\circ} = 120 \times \frac{π}{180} = \frac{2}{3} π

弳。(2)

- 30 0^{\circ} = - 300 \times \frac{π}{180} = - \frac{5}{3} π

弳。(3)

\frac{5}{4} π

弳

= \frac{5}{4} \times 18 0^{\circ} = 22 5^{\circ}

。(4)

3

弳

= 3 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} = (\frac{540}{π})^{\circ}

，約

171. 9^{\circ}

。

第 (4) 格的

3

弳沒有

π

，是

3

弧度，不是

3 π

；換成度要除以

π

。負角換算後仍是負的。

第 6 題扇形的周長是兩條半徑加一段弧：弧長

s = 50 - 2 \times 20 = 10

（公分）。(1) 由

s = r θ

：

10 = 20 θ

，

θ = \frac{1}{2}

（弳）。(2) 面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} \times 20 \times 10 = 100

（平方公分）。

周長不是只有弧長，要先扣掉兩條半徑。圓心角

\frac{1}{2}

弳約

28. 6^{\circ}

。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弳；扇形用

s = r θ

、面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r s

。

04填充第 7、8 題：等間隔的號碼、餘弦型函數的週期與最大最小值

第 7 題中獎號碼是

23, 63, 103, \dots

，每次加

40

，第

k

次加完是

23 + 40 k

。要

23 + 40 k \leq 1000

，即

40 k \leq 977

，

k \leq 24.4 \dots

，

k

最大取

24

。最大的中獎號碼是

23 + 40 \times 24 = 983

號。

再加一次是

1023

，已經超過

1000

。也可以用

1000 = 40 \times 25

：每

40

號一組共

25

組，每組恰有一個中獎號碼，最後一組（

961

～

1000

）裡的是

960 + 23 = 983

。

第 8 題(1)

y = cos x

的週期是

2 π

，

x

的係數是

4

，圖形在水平方向縮為

\frac{1}{4}

倍，週期

= \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}

；左右平移與上下平移都不改變週期。(2)(3)

x

為任意實數時

- 1 \leq cos (4 x + 5) \leq 1

，乘以

3

再加

2

：

- 1 \leq f (x) \leq 5

，而且兩端都取得到。所以最大值

5

、最小值

- 1

。

括號裡的

+ 5

只讓圖形左右平移，不影響週期與最大最小值。

05填充第 9、10 題：指數方程式與不等式、半衰期

第 9 題(1) 兩邊都化成以

2

為底：

4^{3 x + 5} = 2^{2 (3 x + 5)} = 2^{6 x + 10}

，

8^{7 x + 9} = 2^{3 (7 x + 9)} = 2^{21 x + 27}

。底數相同，指數相等：

6 x + 10 = 21 x + 27

，

15 x = - 17

，

x = - \frac{17}{15}

。(2) 兩邊都化成以

3

為底：

9^{x} = 3^{2 x}

，

(\frac{1}{3})^{x + 4} = 3^{- (x + 4)}

。底數

3 > 1

，

y = 3^{x}

是遞增函數，所以

2 x < - x - 4

，

3 x < - 4

，

x < - \frac{4}{3}

。

第 (2) 小題若兩邊化成以

\frac{1}{3}

為底，因為底數小於

1

，比較指數時不等號要反向：

(\frac{1}{3})^{- 2 x} < (\frac{1}{3})^{x + 4}

得

- 2 x > x + 4

，結果相同。

第 10 題每經過

20

年質量變為原來的

\frac{1}{2}

，

t

年後的質量是

100 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{20}}

公克。(1)

60

年是

3

個半衰期：

100 \times (\frac{1}{2})^{3} = 12.5

（公克）。(2)

\frac{1.5625}{100} = 0.015625 = \frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^{6}

，所以經過了

6

個半衰期，

6 \times 20 = 120

（年）。

也可以一路減半來數：

100 \to 50 \to 25 \to 12.5 \to 6.25 \to 3.125 \to 1.5625

，共減半

6

次。

指數方程式與不等式先化成同底；底數大於

1

時不等號方向不變，介於

0

與

1

之間時要反向。

06計算第 11、12 題：正弦不等式、比較大小

第 11 題先找等號成立的位置。在

0 \leq x < 2 π

內，

sin x = - \frac{1}{2}

的角在第三、第四象限，參考角是

\frac{π}{6}

：

x = π + \frac{π}{6} = \frac{7 π}{6}

或

x = 2 π - \frac{π}{6} = \frac{11 π}{6}

。再看

y = sin x

的圖形與水平線

y = - \frac{1}{2}

：從

x = 0

到

\frac{7 π}{6}

，圖形在水平線上方（含端點）；從

\frac{7 π}{6}

到

\frac{11 π}{6}

之間，圖形在水平線下方；從

\frac{11 π}{6}

到

2 π

，圖形又回到水平線上方。所以

0 \leq x \leq \frac{7 π}{6}

或

\frac{11 π}{6} \leq x < 2 π

。

答案是兩段，不要漏掉靠近

2 π

的那一小段；不等式含等號，所以

\frac{7 π}{6}

與

\frac{11 π}{6}

都要包含，而

2 π

依題目的範圍不含。

第 12 題三個數都是正數，同時取

30

次方（

2

、

3

、

5

的最小公倍數）來比較：

a^{30} = (\frac{1}{2})^{15} = \frac{1}{32768}

，

b^{30} = (\frac{1}{3})^{10} = \frac{1}{59049}

，

c^{30} = (\frac{1}{5})^{6} = \frac{1}{15625}

。分子相同時分母越小數越大：

\frac{1}{15625} > \frac{1}{32768} > \frac{1}{59049}

，即

c^{30} > a^{30} > b^{30}

。正數的

30

次方越大，原數也越大，所以

c > a > b

。

三個數的底數與指數都不同，不能直接套用指數函數的遞增遞減來比；先把指數變成相同才能比。數值約為

a \approx 0.707

、

b \approx 0.693

、

c \approx 0.725

。

07計算第 13、14 題：時針與分針、用圖形數實根

第 13 題設時刻為下午

1

點

t

分（

0 \leq t \leq 60

），角度都從

12

的位置順時針量。分針每分鐘走

6^{\circ}

，位置是

6 t

度。時針每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

1

點整時在

3 0^{\circ}

，位置是

30 + 0.5 t

度。分針比時針多走的角度是

6 t - (30 + 0.5 t) = 5.5 t - 30

度，在這一小時內由

- 3 0^{\circ}

增加到

30 0^{\circ}

。兩針夾成直角就是這個角度差等於

9 0^{\circ}

或

27 0^{\circ}

（差

27 0^{\circ}

時，從另一側量是

9 0^{\circ}

；

- 9 0^{\circ}

在這一小時內不會出現）。

5.5 t - 30 = 90

得

t = \frac{240}{11} = 21 \frac{9}{11}

；

5.5 t - 30 = 270

得

t = \frac{600}{11} = 54 \frac{6}{11}

。兩個時刻是下午

1

點

21 \frac{9}{11}

分與下午

1

點

54 \frac{6}{11}

分。

用弧度寫也一樣：分針每分鐘轉

\frac{π}{30}

、時針每分鐘轉

\frac{π}{360}

，直角是

\frac{π}{2}

。一小時內成直角有兩次，第二次（分針超前

27 0^{\circ}

）容易漏掉。

第 14 題實根個數就是

y = 6 cos x

的圖形與直線

y = x - \frac{π}{2}

的交點個數。因為

- 6 \leq 6 cos x \leq 6

，交點只會出現在

- 6 \leq x - \frac{π}{2} \leq 6

，即

\frac{π}{2} - 6 \leq x \leq \frac{π}{2} + 6

，約

- 4.43 \leq x \leq 7.57

。①

x = \frac{π}{2}

：兩邊都是

0

，是一個根。②

\frac{π}{2} < x \leq 7.57

：直線的值為正，所以只看

cos x > 0

的地方，這一段裡只有

\frac{3 π}{2} < x \leq 7.57

（

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，而下一次變號在

\frac{5 π}{2} \approx 7.85

）。在

x = \frac{3 π}{2}

曲線高度

0

、直線高度

π

，曲線在下；在

x = 2 π

曲線高度

6

、直線高度

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，曲線在上；在

x = \frac{π}{2} + 6

直線高度

6

，曲線高度不到

6

（這裡不是曲線的最高點），曲線在下。曲線先升後降，上升時與直線交

1

點、下降時再交

1

點，共

2

個根。③

- 4.43 \leq x < \frac{π}{2}

：直線的值為負，只看

cos x < 0

的地方，即

- 4.43 \leq x < - \frac{π}{2}

。在

x = - \frac{π}{2}

曲線高度

0

、直線高度

- π

，曲線在上；在

x = - π

曲線高度

- 6

、直線高度

- \frac{3 π}{2} \approx - 4.71

，曲線在下；在

x = \frac{π}{2} - 6

直線高度

- 6

，曲線高度大於

- 6

，曲線在上。同樣交

2

點。合計

1 + 2 + 2 = 5

個實根。

兩個圖形都對稱於點

(\frac{π}{2}, 0)

，所以左右兩邊的交點個數相同，中間那個根只算一次。五個根約在

x \approx - 3.66, - 2.26, 1.57, 5.41, 6.80

。

一邊是正弦或餘弦、一邊是直線的方程式：先用函數值的範圍把

x

框住，再分段比較曲線與直線誰高誰低來數交點。

08計算第 15、16 題：由最高點與最低點決定正弦函數、換元求極值

第 15 題因為

a > 0

，最大值是

a + d

、最小值是

- a + d

：

a + d = 5

，

- a + d = - 1

，解得

a = 3

，

d = 2

。同一週期內最高點與最低點的

x

坐標相差半個週期：

\frac{17}{24} π - \frac{11}{24} π = \frac{π}{4}

，所以週期是

\frac{π}{2}

；由

\frac{2 π}{b} = \frac{π}{2}

（

b > 0

）得

b = 4

。最高點發生在

sin (b x + c) = 1

：

4 \times \frac{11}{24} π + c = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = \frac{π}{2} - \frac{11 π}{6} + 2 k π = - \frac{4 π}{3} + 2 k π

。要

∣ c ∣ \leq π

，只有

k = 1

合：

c = \frac{2 π}{3}

。檢查最低點：

4 \times \frac{17}{24} π + \frac{2 π}{3} = \frac{7 π}{2}

，

sin \frac{7 π}{2} = - 1

，

f = - 3 + 2 = - 1

，符合。所以

a = 3

，

b = 4

，

c = \frac{2 π}{3}

，

d = 2

。

最高點到最低點是半個週期，不是一個週期。

c

要用題目給的範圍

∣ c ∣ \leq π

篩選：

- \frac{4 π}{3}

超出範圍，加一圈

2 π

才是答案。

第 16 題令

t = 2^{x} + 2^{- x}

。

t^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{- x}

，所以

4^{x} + 4^{- x} = t^{2} - 2

，

f = 2 (t^{2} - 2) - 3 t + 5 = 2 t^{2} - 3 t + 1

。再求

t

的範圍：令

u = 2^{x}

，

- 2 \leq x \leq 1

時

\frac{1}{4} \leq u \leq 2

，

t = u + \frac{1}{u}

。由算幾不等式

u + \frac{1}{u} \geq 2 u \cdot \frac{1}{u} = 2

，等號在

u = 1

（

x = 0

）成立，所以

t

的最小值是

2

。又

t - 2 = u + \frac{1}{u} - 2 = \frac{( u - 1 ) ^{2}}{u}

，

u

離

1

越遠這個值越大（

u < 1

與

u > 1

兩側各自如此），所以

t

的最大值只會出現在兩端，比較兩端：

u = \frac{1}{4}

時

t = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}

，

u = 2

時

t = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

，所以

t

的最大值是

\frac{17}{4}

（

x = - 2

），即

2 \leq t \leq \frac{17}{4}

。

g (t) = 2 t^{2} - 3 t + 1 = 2 (t - \frac{3}{4})^{2} - \frac{1}{8}

的頂點在

t = \frac{3}{4}

，在

2 \leq t \leq \frac{17}{4}

這一段位於頂點右側，

g

隨

t

增加而增加。最小值

g (2) = 8 - 6 + 1 = 3

（

x = 0

時）；最大值

g (\frac{17}{4}) = 2 \times \frac{289}{16} - \frac{51}{4} + 1 = \frac{289 - 102 + 8}{8} = \frac{195}{8}

（

x = - 2

時）。

換元後

t

不能取到頂點

\frac{3}{4}

（

t

至少是

2

），最小值不是

- \frac{1}{8}

。最大值要比較

x = - 2

與

x = 1

兩端：

f (1) = \frac{17}{2} - \frac{15}{2} + 5 = 6

，比

f (- 2) = \frac{195}{8}

小。

看到

2^{x} + 2^{- x}

與

4^{x} + 4^{- x}

同時出現就令

t = 2^{x} + 2^{- x}

；換元之後一定要重新求新變數的範圍。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

建國中學 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要先估出 π 的平方夾在哪兩個特殊角之間，再用週期換回一圈之內；第 13 題一小時內時針與分針成直角有兩次，第二次容易漏掉；第 14 題的直線不過原點，要先用餘弦值的範圍把 x 框住，再分左右兩邊數交點；第 16 題換元之後，新變數的範圍要由 x 的範圍重新求，最大值出現在 x 等於負二而不是 x 等於一。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自建國中學 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：弧度量、週期性數學模型、指數函數及其圖形

建國中學 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、單選題（每題 5 分，共 10 分）

考慮

sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, sin 5, sin 1^{\circ}, sin 2^{\circ}, sin 3^{\circ}, sin 4^{\circ}, sin 5^{\circ}

這

10

個數，試問有幾個數是正實數？

(1) $2$ 個
(2) $4$ 個
(3) $6$ 個
(4) $8$ 個
(5) $10$ 個

a = sin (π^{2})

，試問下列哪一個選項是正確的？

(1) $a = - 1$
(2) $- 1 < a \leq - \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(4) $0 < a \leq \frac{1}{2}$
(5) $\frac{1}{2} < a \leq 1$

二、作圖題（每題 5 分，共 10 分）

利用

y = sin x

的圖形，畫出函數

y = sin x - 1

的圖形。

載入中...

利用

y = sin x

的圖形，畫出函數

y = sin 2 x

的圖形。

載入中...

三、填充題（每(小)題 4 分，共 44 分）

將度度量換算為弧度量，或將弧度量換算為度度量，並將答案填入下方的表格中。【此題每格各 1 分】（原卷是一張表格，四組對應如下）(1)

12 0^{\circ} =

____ 弳；(2)

- 30 0^{\circ} =

____ 弳；(3) ____ 度

= \frac{5}{4} π

弳；(4) ____ 度

= 3

弳。

已知扇形半徑

20

公分，周長

50

公分，求扇形的：(1) 圓心角，(2) 面積。

某學校舉辦抽獎活動，

1000

名學生分別領到編號

0001

到

1000

的對獎聯。首先，抽出一個不大於

40

的正整數，然後將此數字逐次加上

40

，但不可大於

1000

，這些號碼都可以獲得獎品。試問：假設抽出的正整數是

23

，則中獎號碼當中最大的是幾號？

定義函數

f (x) = 2 + 3 cos (4 x + 5)

，其中

x

為實數，試求

f (x)

的：(1) 週期，(2) 最大值，(3) 最小值。

試解下列方程式或不等式：(1)

4^{3 x + 5} = 8^{7 x + 9}

，(2)

9^{x} < (\frac{1}{3})^{x + 4}

。

放射性物質的質量變為原本的一半所需的時間，稱為該放射物的半衰期。設某種放射性物質現在的質量為

100

公克且半衰期為

20

年，試求：(1)

60

年後的質量。(2) 經過多少年以後，其質量會衰變到剩下

1.5625

公克？

四、計算題（每題 6 分，共 36 分）

設

0 \leq x < 2 π

，已知

sin x \geq - \frac{1}{2}

，試求實數

x

的最大可能範圍。

設

a = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}, b = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}, c = (\frac{1}{5})^{\frac{1}{5}}

，試比較

a, b, c

的大小。

考慮某天下午

1

點到下午

2

點之間，試問哪些時間點的時針和分針恰好會夾成直角？

求方程式

x - \frac{π}{2} = 6 cos x

的實根個數。

設

a, b, c, d

皆為實數，已知

f (x) = a sin (b x + c) + d

，其中

a > 0, b > 0, ∣ c ∣ \leq π

，而

A (\frac{11}{24} π, 5), B (\frac{17}{24} π, - 1)

是

y = f (x)

函數圖形中同一週期內的最高點及最低點，試求

a, b, c, d

之值。

設實數

x

滿足

- 2 \leq x \leq 1

，且函數

f (x) = 2 (4^{x} + 4^{- x}) - 3 (2^{x} + 2^{- x}) + 5

，試求

f (x)

的最大值及最小值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(3)

第 3 題把

y = sin x

的圖形往下平移

1

單位（圖見詳解）

第 4 題把

y = sin x

的圖形以

y

軸為基準，水平方向縮為

\frac{1}{2}

倍（圖見詳解）

第 5 題(1)

\frac{2}{3} π

　(2)

- \frac{5}{3} π

　(3)

225

　(4)

\frac{540}{π}

第 6 題(1)

\frac{1}{2}

弳　(2)

100

平方公分

第 7 題

983

號（編號

0983

）

第 8 題(1)

\frac{π}{2}

　(2)

5

　(3)

- 1

第 9 題(1)

x = - \frac{17}{15}

　(2)

x < - \frac{4}{3}

第 10 題(1)

12.5

公克　(2)

120

年

第 11 題

0 \leq x \leq \frac{7 π}{6}

或

\frac{11 π}{6} \leq x < 2 π

第 12 題

c > a > b

第 13 題下午

1

點

21 \frac{9}{11}

分與下午

1

點

54 \frac{6}{11}

分

第 14 題

5

個

第 15 題

a = 3

，

b = 4

，

c = \frac{2 π}{3}

，

d = 2

第 16 題最大值

\frac{195}{8}

，最小值

3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：弧度角的位置與正弦值的正負

第 1 題答案 (4)。沒有度的記號就是弧度。

π \approx 3.14

、

2 π \approx 6.28

：

1

、

2

、

3

都在

0

與

π

之間，正弦值為正；

4

、

5

在

π

與

2 π

之間，正弦值為負。

1^{\circ}

到

5^{\circ}

都是銳角，正弦值為正。所以正實數有

3 + 5 = 8

個。

3

弧度約

171. 9^{\circ}

，還沒超過

18 0^{\circ}

，

sin 3

是正的（約

0.141

）。

第 2 題答案 (3)。

π^{2} \approx 9.87

。

3 π \approx 9.42

，

3 π + \frac{π}{6} = \frac{19 π}{6} \approx 9.95

，所以

3 π < π^{2} < 3 π + \frac{π}{6}

。正弦函數的週期是

2 π

，

a = sin (π^{2}) = sin (π^{2} - 2 π)

，而

π < π^{2} - 2 π < π + \frac{π}{6} = \frac{7 π}{6}

。角從

π

增加到

\frac{3 π}{2}

時正弦值由

0

一路降到

- 1

，且

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

，因此

- \frac{1}{2} < a < 0

，落在選項 (3) 的範圍。

π^{2} - 3 π = π (π - 3) \approx 0.445

弧度，約

25. 5^{\circ}

，比

3 0^{\circ}

小；

a \approx - 0.430

。

弧度角先用

π \approx 3.14

找出它夾在哪兩個特殊角之間，超過一圈的先減掉

2 π

的整數倍。

02作圖第 3、4 題：正弦圖形的平移與伸縮

第 3 題

y = sin x - 1

是把

y = sin x

每一點的

y

坐標都減

1

，也就是整個圖形往下平移

1

單位，形狀與週期（

2 π

）都不變。幾個關鍵點：

(0, 0) \to (0, - 1)

；最高點

(\frac{π}{2}, 1) \to (\frac{π}{2}, 0)

；

(π, 0) \to (π, - 1)

；最低點

(\frac{3 π}{2}, - 1) \to (\frac{3 π}{2}, - 2)

。新圖形的最大值是

0

、最小值是

- 2

，在

x = \frac{π}{2}

、

\frac{π}{2} \pm 2 π

、… 與

x

軸相切。附圖的虛線是原來的

y = sin x

，實線是答案。

載入中...

圖形最高只到

x

軸，不會跑到

x

軸上方；

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，在方格上要對準這些位置。

第 4 題

y = sin 2 x

是把

y = sin x

的圖形以

y

軸為基準，水平方向縮為

\frac{1}{2}

倍：每一點的

x

坐標變成一半、

y

坐標不變。週期由

2 π

變成

π

，最大值

1

、最小值

- 1

不變。一個週期的關鍵點：

(0, 0)

、最高點

(\frac{π}{4}, 1)

、

(\frac{π}{2}, 0)

、最低點

(\frac{3 π}{4}, - 1)

、

(π, 0)

，再往左右每隔

π

重複。附圖的虛線是原來的

y = sin x

，實線是答案。

載入中...

是「縮」不是「伸」：原圖一個週期的寬度裡，新圖形要畫出兩個完整的波。

\frac{π}{4} \approx 0.79

、

π \approx 3.14

。

y = sin x + k

是上下平移，振幅與週期不變；

y = sin b x

（

b > 0

）是水平伸縮，週期變成

\frac{2 π}{b}

。

03填充第 5、6 題：度與弧度互換、扇形

第 5 題用

18 0^{\circ} = π

弳換算。(1)

12 0^{\circ} = 120 \times \frac{π}{180} = \frac{2}{3} π

弳。(2)

- 30 0^{\circ} = - 300 \times \frac{π}{180} = - \frac{5}{3} π

弳。(3)

\frac{5}{4} π

弳

= \frac{5}{4} \times 18 0^{\circ} = 22 5^{\circ}

。(4)

3

弳

= 3 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} = (\frac{540}{π})^{\circ}

，約

171. 9^{\circ}

。

第 (4) 格的

3

弳沒有

π

，是

3

弧度，不是

3 π

；換成度要除以

π

。負角換算後仍是負的。

第 6 題扇形的周長是兩條半徑加一段弧：弧長

s = 50 - 2 \times 20 = 10

（公分）。(1) 由

s = r θ

：

10 = 20 θ

，

θ = \frac{1}{2}

（弳）。(2) 面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} \times 20 \times 10 = 100

（平方公分）。

周長不是只有弧長，要先扣掉兩條半徑。圓心角

\frac{1}{2}

弳約

28. 6^{\circ}

。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弳；扇形用

s = r θ

、面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r s

。

04填充第 7、8 題：等間隔的號碼、餘弦型函數的週期與最大最小值

第 7 題中獎號碼是

23, 63, 103, \dots

，每次加

40

，第

k

次加完是

23 + 40 k

。要

23 + 40 k \leq 1000

，即

40 k \leq 977

，

k \leq 24.4 \dots

，

k

最大取

24

。最大的中獎號碼是

23 + 40 \times 24 = 983

號。

再加一次是

1023

，已經超過

1000

。也可以用

1000 = 40 \times 25

：每

40

號一組共

25

組，每組恰有一個中獎號碼，最後一組（

961

～

1000

）裡的是

960 + 23 = 983

。

第 8 題(1)

y = cos x

的週期是

2 π

，

x

的係數是

4

，圖形在水平方向縮為

\frac{1}{4}

倍，週期

= \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}

；左右平移與上下平移都不改變週期。(2)(3)

x

為任意實數時

- 1 \leq cos (4 x + 5) \leq 1

，乘以

3

再加

2

：

- 1 \leq f (x) \leq 5

，而且兩端都取得到。所以最大值

5

、最小值

- 1

。

括號裡的

+ 5

只讓圖形左右平移，不影響週期與最大最小值。

05填充第 9、10 題：指數方程式與不等式、半衰期

第 9 題(1) 兩邊都化成以

2

為底：

4^{3 x + 5} = 2^{2 (3 x + 5)} = 2^{6 x + 10}

，

8^{7 x + 9} = 2^{3 (7 x + 9)} = 2^{21 x + 27}

。底數相同，指數相等：

6 x + 10 = 21 x + 27

，

15 x = - 17

，

x = - \frac{17}{15}

。(2) 兩邊都化成以

3

為底：

9^{x} = 3^{2 x}

，

(\frac{1}{3})^{x + 4} = 3^{- (x + 4)}

。底數

3 > 1

，

y = 3^{x}

是遞增函數，所以

2 x < - x - 4

，

3 x < - 4

，

x < - \frac{4}{3}

。

第 (2) 小題若兩邊化成以

\frac{1}{3}

為底，因為底數小於

1

，比較指數時不等號要反向：

(\frac{1}{3})^{- 2 x} < (\frac{1}{3})^{x + 4}

得

- 2 x > x + 4

，結果相同。

第 10 題每經過

20

年質量變為原來的

\frac{1}{2}

，

t

年後的質量是

100 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{20}}

公克。(1)

60

年是

3

個半衰期：

100 \times (\frac{1}{2})^{3} = 12.5

（公克）。(2)

\frac{1.5625}{100} = 0.015625 = \frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^{6}

，所以經過了

6

個半衰期，

6 \times 20 = 120

（年）。

也可以一路減半來數：

100 \to 50 \to 25 \to 12.5 \to 6.25 \to 3.125 \to 1.5625

，共減半

6

次。

指數方程式與不等式先化成同底；底數大於

1

時不等號方向不變，介於

0

與

1

之間時要反向。

06計算第 11、12 題：正弦不等式、比較大小

第 11 題先找等號成立的位置。在

0 \leq x < 2 π

內，

sin x = - \frac{1}{2}

的角在第三、第四象限，參考角是

\frac{π}{6}

：

x = π + \frac{π}{6} = \frac{7 π}{6}

或

x = 2 π - \frac{π}{6} = \frac{11 π}{6}

。再看

y = sin x

的圖形與水平線

y = - \frac{1}{2}

：從

x = 0

到

\frac{7 π}{6}

，圖形在水平線上方（含端點）；從

\frac{7 π}{6}

到

\frac{11 π}{6}

之間，圖形在水平線下方；從

\frac{11 π}{6}

到

2 π

，圖形又回到水平線上方。所以

0 \leq x \leq \frac{7 π}{6}

或

\frac{11 π}{6} \leq x < 2 π

。

答案是兩段，不要漏掉靠近

2 π

的那一小段；不等式含等號，所以

\frac{7 π}{6}

與

\frac{11 π}{6}

都要包含，而

2 π

依題目的範圍不含。

第 12 題三個數都是正數，同時取

30

次方（

2

、

3

、

5

的最小公倍數）來比較：

a^{30} = (\frac{1}{2})^{15} = \frac{1}{32768}

，

b^{30} = (\frac{1}{3})^{10} = \frac{1}{59049}

，

c^{30} = (\frac{1}{5})^{6} = \frac{1}{15625}

。分子相同時分母越小數越大：

\frac{1}{15625} > \frac{1}{32768} > \frac{1}{59049}

，即

c^{30} > a^{30} > b^{30}

。正數的

30

次方越大，原數也越大，所以

c > a > b

。

三個數的底數與指數都不同，不能直接套用指數函數的遞增遞減來比；先把指數變成相同才能比。數值約為

a \approx 0.707

、

b \approx 0.693

、

c \approx 0.725

。

07計算第 13、14 題：時針與分針、用圖形數實根

第 13 題設時刻為下午

1

點

t

分（

0 \leq t \leq 60

），角度都從

12

的位置順時針量。分針每分鐘走

6^{\circ}

，位置是

6 t

度。時針每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

1

點整時在

3 0^{\circ}

，位置是

30 + 0.5 t

度。分針比時針多走的角度是

6 t - (30 + 0.5 t) = 5.5 t - 30

度，在這一小時內由

- 3 0^{\circ}

增加到

30 0^{\circ}

。兩針夾成直角就是這個角度差等於

9 0^{\circ}

或

27 0^{\circ}

（差

27 0^{\circ}

時，從另一側量是

9 0^{\circ}

；

- 9 0^{\circ}

在這一小時內不會出現）。

5.5 t - 30 = 90

得

t = \frac{240}{11} = 21 \frac{9}{11}

；

5.5 t - 30 = 270

得

t = \frac{600}{11} = 54 \frac{6}{11}

。兩個時刻是下午

1

點

21 \frac{9}{11}

分與下午

1

點

54 \frac{6}{11}

分。

用弧度寫也一樣：分針每分鐘轉

\frac{π}{30}

、時針每分鐘轉

\frac{π}{360}

，直角是

\frac{π}{2}

。一小時內成直角有兩次，第二次（分針超前

27 0^{\circ}

）容易漏掉。

第 14 題實根個數就是

y = 6 cos x

的圖形與直線

y = x - \frac{π}{2}

的交點個數。因為

- 6 \leq 6 cos x \leq 6

，交點只會出現在

- 6 \leq x - \frac{π}{2} \leq 6

，即

\frac{π}{2} - 6 \leq x \leq \frac{π}{2} + 6

，約

- 4.43 \leq x \leq 7.57

。①

x = \frac{π}{2}

：兩邊都是

0

，是一個根。②

\frac{π}{2} < x \leq 7.57

：直線的值為正，所以只看

cos x > 0

的地方，這一段裡只有

\frac{3 π}{2} < x \leq 7.57

（

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，而下一次變號在

\frac{5 π}{2} \approx 7.85

）。在

x = \frac{3 π}{2}

曲線高度

0

、直線高度

π

，曲線在下；在

x = 2 π

曲線高度

6

、直線高度

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，曲線在上；在

x = \frac{π}{2} + 6

直線高度

6

，曲線高度不到

6

（這裡不是曲線的最高點），曲線在下。曲線先升後降，上升時與直線交

1

點、下降時再交

1

點，共

2

個根。③

- 4.43 \leq x < \frac{π}{2}

：直線的值為負，只看

cos x < 0

的地方，即

- 4.43 \leq x < - \frac{π}{2}

。在

x = - \frac{π}{2}

曲線高度

0

、直線高度

- π

，曲線在上；在

x = - π

曲線高度

- 6

、直線高度

- \frac{3 π}{2} \approx - 4.71

，曲線在下；在

x = \frac{π}{2} - 6

直線高度

- 6

，曲線高度大於

- 6

，曲線在上。同樣交

2

點。合計

1 + 2 + 2 = 5

個實根。

兩個圖形都對稱於點

(\frac{π}{2}, 0)

，所以左右兩邊的交點個數相同，中間那個根只算一次。五個根約在

x \approx - 3.66, - 2.26, 1.57, 5.41, 6.80

。

一邊是正弦或餘弦、一邊是直線的方程式：先用函數值的範圍把

x

框住，再分段比較曲線與直線誰高誰低來數交點。

08計算第 15、16 題：由最高點與最低點決定正弦函數、換元求極值

第 15 題因為

a > 0

，最大值是

a + d

、最小值是

- a + d

：

a + d = 5

，

- a + d = - 1

，解得

a = 3

，

d = 2

。同一週期內最高點與最低點的

x

坐標相差半個週期：

\frac{17}{24} π - \frac{11}{24} π = \frac{π}{4}

，所以週期是

\frac{π}{2}

；由

\frac{2 π}{b} = \frac{π}{2}

（

b > 0

）得

b = 4

。最高點發生在

sin (b x + c) = 1

：

4 \times \frac{11}{24} π + c = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = \frac{π}{2} - \frac{11 π}{6} + 2 k π = - \frac{4 π}{3} + 2 k π

。要

∣ c ∣ \leq π

，只有

k = 1

合：

c = \frac{2 π}{3}

。檢查最低點：

4 \times \frac{17}{24} π + \frac{2 π}{3} = \frac{7 π}{2}

，

sin \frac{7 π}{2} = - 1

，

f = - 3 + 2 = - 1

，符合。所以

a = 3

，

b = 4

，

c = \frac{2 π}{3}

，

d = 2

。

最高點到最低點是半個週期，不是一個週期。

c

要用題目給的範圍

∣ c ∣ \leq π

篩選：

- \frac{4 π}{3}

超出範圍，加一圈

2 π

才是答案。

第 16 題令

t = 2^{x} + 2^{- x}

。

t^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{- x}

，所以

4^{x} + 4^{- x} = t^{2} - 2

，

f = 2 (t^{2} - 2) - 3 t + 5 = 2 t^{2} - 3 t + 1

。再求

t

的範圍：令

u = 2^{x}

，

- 2 \leq x \leq 1

時

\frac{1}{4} \leq u \leq 2

，

t = u + \frac{1}{u}

。由算幾不等式

u + \frac{1}{u} \geq 2 u \cdot \frac{1}{u} = 2

，等號在

u = 1

（

x = 0

）成立，所以

t

的最小值是

2

。又

t - 2 = u + \frac{1}{u} - 2 = \frac{( u - 1 ) ^{2}}{u}

，

u

離

1

越遠這個值越大（

u < 1

與

u > 1

兩側各自如此），所以

t

的最大值只會出現在兩端，比較兩端：

u = \frac{1}{4}

時

t = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}

，

u = 2

時

t = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

，所以

t

的最大值是

\frac{17}{4}

（

x = - 2

），即

2 \leq t \leq \frac{17}{4}

。

g (t) = 2 t^{2} - 3 t + 1 = 2 (t - \frac{3}{4})^{2} - \frac{1}{8}

的頂點在

t = \frac{3}{4}

，在

2 \leq t \leq \frac{17}{4}

這一段位於頂點右側，

g

隨

t

增加而增加。最小值

g (2) = 8 - 6 + 1 = 3

（

x = 0

時）；最大值

g (\frac{17}{4}) = 2 \times \frac{289}{16} - \frac{51}{4} + 1 = \frac{289 - 102 + 8}{8} = \frac{195}{8}

（

x = - 2

時）。

換元後

t

不能取到頂點

\frac{3}{4}

（

t

至少是

2

），最小值不是

- \frac{1}{8}

。最大值要比較

x = - 2

與

x = 1

兩端：

f (1) = \frac{17}{2} - \frac{15}{2} + 5 = 6

，比

f (- 2) = \frac{195}{8}

小。

看到

2^{x} + 2^{- x}

與

4^{x} + 4^{- x}

同時出現就令

t = 2^{x} + 2^{- x}

；換元之後一定要重新求新變數的範圍。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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建國中學 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1、2 題：弧度角的位置與正弦值的正負

02作圖第 3、4 題：正弦圖形的平移與伸縮

03填充第 5、6 題：度與弧度互換、扇形

04填充第 7、8 題：等間隔的號碼、餘弦型函數的週期與最大最小值

05填充第 9、10 題：指數方程式與不等式、半衰期

06計算第 11、12 題：正弦不等式、比較大小

07計算第 13、14 題：時針與分針、用圖形數實根

08計算第 15、16 題：由最高點與最低點決定正弦函數、換元求極值

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建國中學 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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