段考詳解範圍：第二章按比例成長模型（指數與對數函數及其應用）

建國中學 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 建國中學 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 建國中學 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題第三個選項的橫坐標是乘上 log 2 而不是加上 log 2，代一個點就能看出不成立；第 5 題第五個選項要比較中點的函數值與兩端函數值的平均，對數函數圖形凹口向下，中點的值比較大；第 6 題對 y 軸對稱只把 x 換成負 x，前面不必再加負號；第 12 題每三個月為一期，期利率是年利率的四分之一，算出期數後還要換回年數。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 3 題（每題 6 分，共 18 分）、多重選擇題 3 題（每題 8 分，共 24 分；所有選項均答對得 8 分，答錯 1 個選項得 5 分，答錯 2 個選項得 2 分，答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答以零分計算）、填充題 4 題（每題 7 分，共 28 分）、簡答題 2 題（每題 4 分，共 8 分）、混合題組兩組（第 13～14 題共 10 分，第 15～17 題共 12 分）。第 13、15 題原卷選項代號為 (A)～(E)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題 6 分，共 18 分）

滿足

lo g_{3} (2 x - 7) \leq 2

的整數

x

有幾個？

(1) $4$ 個
(2) $5$ 個
(3) $6$ 個
(4) $7$ 個
(5) 無限多個

放射性物質的半衰期

T

定義為：每經過時間

T

，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質

A

，

B

，開始記錄時，容器中物質

A

的質量為物質

B

的兩倍，而

120

小時後，兩種物質的質量相同。已知物質

A

的半衰期

7.5

小時，請問物質

B

的半衰期為幾小時？

(1) $8$ 小時
(2) $10$ 小時
(3) $12$ 小時
(4) $15$ 小時
(5) $20$ 小時

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特（

W/m^{2}

）來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W/m^{2}

）。當測得的聲音強度為

I

（

W/m^{2}

）時，所產生的噪音分貝數

d

為

d (I) = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

。今有某機車製造公司聲稱研發新款電動機車的引擎產生的噪音強度只有一般機車的

\frac{1}{2}

，若該款電動機車與一般機車所產生的噪音分別為

a

，

b

分貝，則關於

a

，

b

的關係下列哪一選項正確？(單選)

(1) $b = 2 a$
(2) $b = 1 0^{2 a}$
(3) $b = 20 lo g a$
(4) $b = a + 10 lo g 2$
(5) $b = a + 2 lo g b$ 。

二、多重選擇題（每題 8 分，共 24 分）

y = 2^{x}

、

y = 5^{x}

、

y = 1 0^{x}

之圖形皆在附圖中，水平線

y = k

，

k > 1

分別交

Γ_{1}

、

Γ_{2}

、

Γ_{3}

於

A

、

B

、

C

三點，請選出正確的選項？

(1) $Γ_{1}$ 為 $y = 2^{x}$ 之圖形
(2) $C$ 點坐標為 $(\frac{l o g 2}{l o g k}, k)$
(3) 若點 $(r, s)$ 在 $Γ_{1}$ 上，則點 $(r \cdot lo g 2, 2 s)$ 在 $Γ_{1}$ 上
(4) 將 $Γ_{1}$ 做適當的伸縮可得 $Γ_{2}$ 及 $Γ_{3}$ 的圖形
(5) $1 0^{- 0.3} > 5^{- 0.3} > 2^{- 0.3}$

載入中...

某款遊戲中，將主角的攻擊力（

y

）與其生命值（

x

）設定成函數關係，其關係如下：

y = a \cdot lo g_{3} (x + b)

，

a

，

b \neq = 0

，其函數圖形如附圖，關於此遊戲的敘述，下列何者為真？

(1) $a > 0$
(2) $b > 0$
(3) $a \cdot b > 0$
(4) 當攻擊力要超過 $20$ 時，生命值至少要為 $245$
(5) 設 $x_{1} < x_{2}$ ，當生命值為 $x_{1}$ 時，其攻擊力為 $y_{1}$ ，生命值為 $x_{2}$ 時，攻擊力為 $y_{2}$ ，則生命值 $\frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ 時的攻擊力小於 $\frac{y _{1} + y _{2}}{2}$

載入中...

如附圖，

Γ_{1}

為

y = lo g_{a} x

的圖形，

Γ_{1}

與

Γ_{2}

對稱於

x

軸，

Γ_{1}

與

Γ_{3}

對稱於

y

軸，

Γ_{1}

與

Γ_{4}

對稱於直線

x - y = 0

，請選出正確的選項？

(1) $a > 1$
(2) $Γ_{2}$ 為 $y = - lo g_{a} x$ 的圖形
(3) $Γ_{3}$ 為 $y = - lo g_{a} (- x)$ 的圖形
(4) $Γ_{4}$ 為 $y = a^{- x}$ 的圖形
(5) 若 $Γ_{1}$ 與 $Γ_{4}$ 之交點為 $(m, n)$ ，則 $m - n = 0$

載入中...

三、填充題（每題 7 分，共 28 分）

求值：

4 lo g_{5} 5 - \frac{1}{3} lo g_{5} 2 + lo g_{125} 250 =

____ 。

已知坐標平面上三點

(2, lo g_{3} 2)

、

(6, lo g_{3} 6)

、

(18, lo g_{3} t)

在同一直線上，則

t =

____ 。

設

f (x) = \frac{2 ^{x} - 2 ^{- x}}{2 ^{x} + 2 ^{- x}}

，已知

f (a) = \frac{1}{3}

，

f (b) = \frac{1}{4}

，求

f (a + b)

之值

=

____ 。

方程式

lo g (1 0^{x} + 100) = \frac{x}{2} + 1 + lo g 2

的解為

x =

____ 。

四、簡答題（每題 4 分，共 8 分）第 11～12 題之答案請取整數。

金融學中常會提到「

72

法則」，它是指「年報酬率

r %

的投資商品，一年複利一次，約經過

\frac{72}{r}

年資產（本利和）將會達到原來的兩倍」。請以此規則計算，當銀行的年利率為

0.8%

時，若欲使本利和達到原來所存本金的兩倍，至少需要幾年？【 ____ 】

已知某銀行定期存款年利率為

0.8%

，約定每三個月為一期，以複利計算，若欲使本利和達到原來所存本金的兩倍，至少需要幾年？【 ____ 】（已知

lo g 1.002 \approx 0.00087

，

lo g 1.008 \approx 0.00346

，

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

五、混合題組（共 10 分）

第 13～14 題為題組（第 13～14 題）　研究人員發現某個特殊嚴重傳染性肺炎大流行時，在高峰期間染病確診人數每兩個月增加為

10

倍，以

y = f (t)

表示

t = 0

開始時，染病確診人數隨時間

t

變化的函數，其中

t

以月為單位（不考慮每月天數）。

假設該傳染性肺炎在流行高峰期間，初始染病確診人數為

30000

人。為了分析染病時間與染病確診人數的直線相關程度，而將其

y

坐標改成

lo g y

，請問將坐標軸改變後，

t

與

lo g y

的函數圖形為哪一條直線？（單選題

5

分）（選項 (A)～(E) 是五張圖，見附圖）

載入中...

承上題，假設有個國家人口約為

2500

萬人，若傳染率以及總人口數不變，且不採用任何醫療補救措施的情況下，請問最少經過 ____ 個月，該傳染性肺炎染病確診人數會達到該國的全國人口數？（取到整數位）（填充題，

5

分）（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

六、混合題組（共 12 分）

第 15～17 題為題組（第 15～17 題）　假設食物的保鮮時間和儲藏的溫度關係為指數函數，若牛奶放在

0^{\circ} C

的冰箱中，保鮮的時間為

192

小時，但是放在

2 5^{\circ} C

的桌上，則保鮮的時間為

40

小時。

若儲藏溫度為

x^{\circ} C

，保鮮時間

y

小時，試寫出兩者的函數關係？（單選題，

3

分） (A)

y = 192 (\frac{24}{5})^{\frac{x}{25}}

(B)

y = 192 (\frac{5}{24})^{\frac{x}{25}}

(C)

y = 192 (\frac{24}{5})^{\frac{x}{5}}

(D)

y = 192 (\frac{5}{24})^{\frac{x}{10}}

(E)

y = 192 (\frac{24}{5})^{\frac{x}{12}}

若某人放了一罐牛奶在戶外的車子內，在戶外曝曬下車內溫度高達

75

度，則牛奶保鮮的時間是 ____ 小時。（填充題，

4

分）

後來他又買了一瓶家庭號牛奶，希望可以喝

5

天，則他應該將牛奶儲存在幾度以下？（四捨五入至小數點後第

1

位）（非選擇題題，

5

分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(1)

第 3 題(4)

第 4 題(4)

第 5 題(1)(2)(3)

第 6 題(2)(5)

第 7 題

3

第 8 題

162

第 9 題

\frac{7}{13}

第 10 題

2

第 11 題

90

年

第 12 題

87

年

第 13 題(C)

第 14 題

6

第 15 題(B)

第 16 題

\frac{125}{72}

第 17 題

7. 5^{\circ} C

以下

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：對數不等式、半衰期、分貝

第 1 題真數要大於

0

：

2 x - 7 > 0

，

x > \frac{7}{2}

。又

2 = lo g_{3} 9

，底數

3 > 1

，不等號方向不變：

2 x - 7 \leq 9

，

x \leq 8

。合起來

\frac{7}{2} < x \leq 8

，整數

x = 4, 5, 6, 7, 8

，共

5

個，選 (2)。

容易忘記真數大於

0

的限制而選「無限多個」。

第 2 題設開始時

B

的質量為

m

，

A

為

2 m

。

120

小時是

A

的

\frac{120}{7.5} = 16

個半衰期，

A

剩

2 m \times (\frac{1}{2})^{16} = m \times (\frac{1}{2})^{15}

。設

B

的半衰期為

T

，

B

剩

m \times (\frac{1}{2})^{\frac{120}{T}}

。兩者相等：

\frac{120}{T} = 15

，

T = 8

小時，選 (1)。

A

一開始多一倍，所以

A

要比

B

多衰退一次（多一個半衰期），

B

在

120

小時內恰好經過

15

個半衰期。

第 3 題設一般機車的噪音強度為

I

，則

b = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

；電動機車的強度為

\frac{I}{2}

，

a = 10 lo g \frac{I}{2 I _{0}} = 10 (lo g \frac{I}{I _{0}} - lo g 2) = b - 10 lo g 2

。所以

b = a + 10 lo g 2

，選 (4)。

強度減半，分貝數只少

10 lo g 2 \approx 3

分貝，不是變成一半。

對數不等式先寫真數大於

0

；按比例衰退的問題，把經過的時間換成「幾個半衰期」再比較次方。

02多選第 4 題：不同底的指數函數圖形

第 4 題

在 $x > 0$ 時底數越大圖形越高、上升越快，所以 $Γ_{1}$ 、 $Γ_{2}$ 、 $Γ_{3}$ 依序是 $y = 1 0^{x}$ 、 $y = 5^{x}$ 、 $y = 2^{x}$ 。

(1) 錯誤。 $Γ_{1}$ 是 $y = 1 0^{x}$ 的圖形。

(2) 錯誤。 $C$ 在 $Γ_{3}$ ： $y = 2^{x}$ 上， $2^{x} = k$ ， $x = lo g_{2} k = \frac{l o g k}{l o g 2}$ ， $C$ 點坐標為 $(\frac{l o g k}{l o g 2}, k)$ ，選項把分子分母寫反了。

(3) 錯誤。 舉例： $(0, 1)$ 在 $Γ_{1}$ 上（ $r = 0$ ， $s = 1$ ），但 $(0 \cdot lo g 2, 2) = (0, 2)$ 不在 $Γ_{1}$ 上，因為 $1 0^{0} = 1 \neq = 2$ 。

(4) 正確。 $5 = 1 0^{l o g 5}$ ，所以 $5^{x} = 1 0^{x l o g 5}$ 。若 $(p, q)$ 在 $Γ_{1}$ 上（ $q = 1 0^{p}$ ），則 $5^{\frac{p}{l o g 5}} = 1 0^{p} = q$ ，即 $(\frac{p}{l o g 5}, q)$ 在 $Γ_{2}$ 上：把 $Γ_{1}$ 上每一點的 $x$ 坐標乘以 $\frac{1}{l o g 5}$ （ $y$ 坐標不變）就得到 $Γ_{2}$ 。同理把 $x$ 坐標乘以 $\frac{1}{l o g 2}$ 就得到 $Γ_{3}$ 。

(5) 錯誤。 $x = 0.3 > 0$ 時底數越大值越大： $1 0^{0.3} > 5^{0.3} > 2^{0.3} > 0$ ，取倒數大小反過來： $1 0^{- 0.3} < 5^{- 0.3} < 2^{- 0.3}$ 。

(3) 若改成

(r + lo g 2, 2 s)

才會在

Γ_{1}

上：

1 0^{r + l o g 2} = 2 \times 1 0^{r} = 2 s

。

不同底的指數函數可以互換底數：

a^{x} = 1 0^{x l o g a}

，圖形之間只差水平方向的伸縮。

03多選第 5、6 題：對數函數的圖形

第 5 題

圖形過 $(0, 0)$ ： $a lo g_{3} b = 0$ ，因為 $a \neq = 0$ ，得 $lo g_{3} b = 0$ ， $b = 1$ 。圖形過 $(2, 4)$ ： $a lo g_{3} 3 = 4$ ， $a = 4$ 。所以 $y = 4 lo g_{3} (x + 1)$ 。

(1) 正確。 $a = 4 > 0$ 。

(2) 正確。 $b = 1 > 0$ 。

(3) 正確。 $a \cdot b = 4 > 0$ 。

(4) 錯誤。 $4 lo g_{3} (x + 1) > 20$ ， $lo g_{3} (x + 1) > 5$ ，底數 $3 > 1$ ： $x + 1 > 3^{5} = 243$ ， $x > 242$ 。例如生命值 $243$ 時攻擊力已經是 $4 lo g_{3} 244 > 20$ ，不必到 $245$ 。

(5) 錯誤。 生命值 $\frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ 時攻擊力為 $4 lo g_{3} (\frac{x _{1} + x _{2}}{2} + 1) = 4 lo g_{3} \frac{( x _{1} + 1 ) + ( x _{2} + 1 )}{2}$ ；而 $\frac{y _{1} + y _{2}}{2} = \frac{4 l o g _{3} ( x _{1} + 1 ) + 4 l o g _{3} ( x _{2} + 1 )}{2} = 4 lo g_{3} (x_{1} + 1) (x_{2} + 1)$ 。由算幾不等式， $x_{1} \neq = x_{2}$ 時 $\frac{( x _{1} + 1 ) + ( x _{2} + 1 )}{2} > (x_{1} + 1) (x_{2} + 1)$ ，底數 $3 > 1$ ，所以中點的攻擊力大於 $\frac{y _{1} + y _{2}}{2}$ 。

(5) 就是圖形凹口向下的意思：曲線上兩點的連線段在曲線下方。卷面圖上的式子多印了一個

x

，與題幹的

y = a \cdot lo g_{3} (x + b)

不同，本站依題幹計算。

第 6 題

(1) 錯誤。 由圖， $Γ_{1}$ 由左往右下降， $y = lo g_{a} x$ 是遞減函數，所以 $0 < a < 1$ 。

(2) 正確。 對 $x$ 軸對稱：點 $(x, y)$ 換成 $(x, - y)$ ， $- y = lo g_{a} x$ ，即 $y = - lo g_{a} x$ 。

(3) 錯誤。 對 $y$ 軸對稱：把 $x$ 換成 $- x$ ， $Γ_{3}$ 為 $y = lo g_{a} (- x)$ 。例如 $Γ_{1}$ 過 $(a, 1)$ ， $Γ_{3}$ 過 $(- a, 1)$ ；但 $y = - lo g_{a} (- x)$ 在 $x = - a$ 的值是 $- 1$ ，不是 $1$ 。

(4) 錯誤。 對直線 $x - y = 0$ （即 $y = x$ ）對稱： $x$ 、 $y$ 互換， $x = lo g_{a} y$ ，即 $y = a^{x}$ 。例如 $Γ_{1}$ 過 $(a, 1)$ ， $Γ_{4}$ 就過 $(1, a)$ ；而 $y = a^{- x}$ 在 $x = 1$ 的值是 $\frac{1}{a} \neq = a$ （因為 $0 < a < 1$ ）。

(5) 正確。 $Γ_{1}$ 與 $Γ_{4}$ 對稱於直線 $y = x$ 。若交點 $(m, n)$ 不在 $y = x$ 上，它對 $y = x$ 的對稱點 $(n, m)$ 也同時在 $Γ_{4}$ 與 $Γ_{1}$ 上，會是另一個交點；但圖上 $Γ_{1}$ 與 $Γ_{4}$ 只有一個交點，所以交點在 $y = x$ 上， $m = n$ ， $m - n = 0$ 。

對稱的三種寫法：對

x

軸把

y

變號，對

y

軸把

x

變號，對

y = x

把

x

、

y

互換。本題沒有給

a

，(5) 要依附圖只有一個交點來判斷；

a

很小時兩圖形其實會有三個交點，例如

a = \frac{1}{16}

時，

(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})

、

(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})

都在

Γ_{1}

與

Γ_{4}

上，再加上

y = x

上的一個交點。

由圖形上的已知點列方程式求參數；判斷圖形的對稱，就看點的坐標怎麼變。

04填充第 7、8 題：對數律、三點共線

第 7 題

4 lo g_{5} 5 = 4 \times \frac{1}{2} = 2

。

lo g_{125} 250 = \frac{l o g _{5} 250}{l o g _{5} 125} = \frac{l o g _{5} ( 2 \times 5 ^{3} )}{3} = \frac{l o g _{5} 2 + 3}{3} = 1 + \frac{1}{3} lo g_{5} 2

。所以原式

= 2 - \frac{1}{3} lo g_{5} 2 + 1 + \frac{1}{3} lo g_{5} 2 = 3

。

lo g_{125} 250

換成以

5

為底後，含

lo g_{5} 2

的部分恰好與第二項相消。

第 8 題三點為

(2, lo g_{3} 2)

、

(6, lo g_{3} 2 + 1)

、

(18, lo g_{3} t)

。前兩點連線的斜率

= \frac{1}{6 - 2} = \frac{1}{4}

。第三點在同一直線上：

\frac{l o g _{3} t - ( l o g _{3} 2 + 1 )}{18 - 6} = \frac{1}{4}

，

lo g_{3} t = lo g_{3} 2 + 4 = lo g_{3} (2 \times 3^{4}) = lo g_{3} 162

，所以

t = 162

。

lo g_{3} 6 = lo g_{3} (2 \times 3) = lo g_{3} 2 + 1

，三點的

y

坐標都化成含

lo g_{3} 2

的形式就容易算斜率。

05填充第 9、10 題：指數式的代換、對數方程式

第 9 題分子分母同乘

2^{x}

：

f (x) = \frac{4 ^{x} - 1}{4 ^{x} + 1}

。由

f (a) = \frac{1}{3}

：

3 (4^{a} - 1) = 4^{a} + 1

，

4^{a} = 2

。由

f (b) = \frac{1}{4}

：

4 (4^{b} - 1) = 4^{b} + 1

，

4^{b} = \frac{5}{3}

。所以

4^{a + b} = 4^{a} \times 4^{b} = \frac{10}{3}

，

f (a + b) = \frac{\frac{10}{3} - 1}{\frac{10}{3} + 1} = \frac{7}{13}

。

先把

f (x)

化成只含

4^{x}

的式子，再用指數律

4^{a + b} = 4^{a} \cdot 4^{b}

。

第 10 題右邊

\frac{x}{2} + 1 + lo g 2 = lo g 1 0^{\frac{x}{2}} + lo g 10 + lo g 2 = lo g (20 \times 1 0^{\frac{x}{2}})

。令

u = 1 0^{\frac{x}{2}} > 0

，則

1 0^{x} = u^{2}

，原式化為

u^{2} + 100 = 20 u

，

(u - 10)^{2} = 0

，

u = 10

。所以

1 0^{\frac{x}{2}} = 10

，

x = 2

。

驗算：

lo g (100 + 100) = lo g 200 = 2 + lo g 2

，右邊

1 + 1 + lo g 2

，相等。

把常數也寫成對數（

1 = lo g 10

），整個式子化成

lo g () = lo g ()

再比較真數。

06簡答第 11、12 題：72 法則與按期複利

第 11 題年利率

0.8%

，

r = 0.8

，依

72

法則約經過

\frac{72}{0.8} = 90

年本利和達到兩倍。

72

法則是近似公式，利率越低越準。

第 12 題每三個月一期，一年

4

期，期利率為

\frac{0.8%}{4} = 0.2%

。設需

n

期：

(1.002)^{n} \geq 2

，兩邊取常用對數：

n lo g 1.002 \geq lo g 2

，

n \geq \frac{0.3010}{0.00087} \approx 345.98

，最少

346

期。

346

期

= \frac{346}{4} = 86.5

年，答案取整數，至少需要

87

年。

題目附的

lo g 1.008

是年利率一年一期時用的，這題每期利率是

0.2%

，要用

lo g 1.002

。

07混合題組第 13、14 題：確診人數的指數模型

第 13 題每兩個月增加為

10

倍，初始

30000

人：

y = 30000 \times 1 0^{\frac{t}{2}}

。取常用對數：

lo g y = lo g 30000 + \frac{t}{2} = \frac{1}{2} t + 4 + lo g 3 \approx \frac{1}{2} t + 4.4771

。所以

t

與

lo g y

的圖形是斜率為正的直線，與縱軸交在

4

與

5

之間（約

4.48

）。五張圖中 (A)、(D) 斜率為負；(B) 與縱軸交在

5

與

6

之間，(E) 交在

3

與

4

之間；只有 (C) 斜率為正、交在

4

與

5

之間，選 (C)。

指數函數

y = c \cdot b^{t}

取對數後

lo g y = lo g c + t lo g b

，是

t

的一次函數，所以畫在「

lo g y

對

t

」的坐標上是直線。

第 14 題

2500

萬

= 2.5 \times 1 0^{7}

。要

30000 \times 1 0^{\frac{t}{2}} \geq 2.5 \times 1 0^{7}

，即

1 0^{\frac{t}{2}} \geq \frac{2500}{3}

。取常用對數：

\frac{t}{2} \geq lo g 2500 - lo g 3

。

lo g 2500 = lo g \frac{1 0 ^{4}}{4} = 4 - 2 lo g 2 \approx 3.3980

，所以

\frac{t}{2} \geq 3.3980 - 0.4771 = 2.9209

，

t \geq 5.8418

，取到整數位，最少經過

6

個月。

檢查：

t = 5

時

30000 \times 1 0^{2.5} \approx 948

萬人，還不到

2500

萬；

t = 6

時

30000 \times 1 0^{3} = 3000

萬人，已超過。

08混合題組第 15～17 題：牛奶保鮮時間的指數模型

第 15 題設

y = c \cdot b^{x}

。

x = 0

時

y = 192

，得

c = 192

。

x = 25

時

y = 40

：

192 b^{25} = 40

，

b^{25} = \frac{40}{192} = \frac{5}{24}

，

b = (\frac{5}{24})^{\frac{1}{25}}

。所以

y = 192 (\frac{5}{24})^{\frac{x}{25}}

，選 (B)。

溫度越高保鮮越短，底數要小於

1

，(A)(C)(E) 一看就不對；(D) 代

x = 25

得不到

40

。

第 16 題

x = 75

：

y = 192 (\frac{5}{24})^{3} = 192 \times \frac{125}{13824} = \frac{125}{72}

小時。

\frac{125}{72} \approx 1.74

小時。溫度每升高

25

度，保鮮時間乘

\frac{5}{24}

，

75

度是乘三次。

第 17 題

$5$ 天 $= 120$ 小時。要 $192 (\frac{5}{24})^{\frac{x}{25}} \geq 120$ ，即 $(\frac{5}{24})^{\frac{x}{25}} \geq \frac{120}{192} = \frac{5}{8}$ 。

兩邊取常用對數： $\frac{x}{25} lo g \frac{5}{24} \geq lo g \frac{5}{8}$ 。

$lo g \frac{5}{8} = lo g \frac{10}{16} = 1 - 4 lo g 2 \approx - 0.2040$ ； $lo g \frac{5}{24} = lo g \frac{10}{48} = 1 - 4 lo g 2 - lo g 3 \approx - 0.6811$ 。

$lo g \frac{5}{24} < 0$ ，兩邊同除以負數，不等號反向： $\frac{x}{25} \leq \frac{- 0.2040}{- 0.6811} \approx 0.2995$ ， $x \leq 7.488$ 。

四捨五入至小數點後第 $1$ 位，應儲存在 $7. 5^{\circ} C$ 以下。

底數

\frac{5}{24}

小於

1

，指數函數遞減，所以「保鮮時間至少

120

小時」變成「溫度不超過某個值」。

lo g 2

、

lo g 3

用第

14

題附的近似值。

由兩組數據建立

y = c \cdot b^{x}

：

x = 0

決定

c

，另一組數據決定

b

；解指數不等式時取對數，除以負的對數值要把不等號反向。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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常見問題

建國中學 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題第三個選項的橫坐標是乘上 log 2 而不是加上 log 2，代一個點就能看出不成立；第 5 題第五個選項要比較中點的函數值與兩端函數值的平均，對數函數圖形凹口向下，中點的值比較大；第 6 題對 y 軸對稱只把 x 換成負 x，前面不必再加負號；第 12 題每三個月為一期，期利率是年利率的四分之一，算出期數後還要換回年數。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自建國中學 112 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

建國中學 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01單選第 1～3 題：對數不等式、半衰期、分貝

02多選第 4 題：不同底的指數函數圖形

03多選第 5、6 題：對數函數的圖形

04填充第 7、8 題：對數律、三點共線

05填充第 9、10 題：指數式的代換、對數方程式

06簡答第 11、12 題：72 法則與按期複利

07混合題組第 13、14 題：確診人數的指數模型

08混合題組第 15～17 題：牛奶保鮮時間的指數模型

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常見問題

建國中學 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

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建國中學 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

建國中學 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

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