01 · 試題原卷 18 題，照原卷順序
多選題 3 題（每題 8 分，共 24 分；每題至少有一個選項是正確，全部答對得 8 分，只錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上或未作答者不給分）、選填題 9 題（每題 6 分，共 54 分）、計算證明題 2 題（共 22 分；第 1 題四小題各 3 分，第 2 題第 (1) 小題 4 分、第 (2) 小題 6 分）；滿分 100 分。原卷各大題各自從第 1 題編號，本頁連續編為第 1～18 題（選填題 1～9 為第 4～12 題、計算證明題第 1 題 (1)～(4) 為第 13～16 題、第 2 題 (1)(2) 為第 17、18 題）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。
一、多選題（每題 8 分，共 24 分）
1
下列哪些函數在 x=2 處可微分？- (1) f(x)=∣x−2∣。
- (2) f(x)=[(x−2)2]，其中 [ ] 表高斯符號。
- (3) f(x)=(x−2)×∣x−2∣。
- (4) f(x)=∣x2+x−6∣=∣(x−2)(x+3)∣。
- (5) f(x)={x2+2，x≥2x2+x，x<2。
2
已知 f(x) 為一個實係數多項式函數，請選出正確的選項。- (1) 若 f(x) 在 x=c 處有極值，則 f′(c)=0。
- (2) 若 f′(c)=0 且 f′′(c)=0，則 f(x) 在 x=c 處有極值。
- (3) 若點 (c,f(c)) 為函數圖形 y=f(x) 的反曲點，則 f′′(c)=0。
- (4) 若 f′(c)=f′′(c)=0，則 f(c) 不是極值。
- (5) 若 f(x) 在區間 (a,b) 內為嚴格遞增函數，則區間 (a,b) 中的任意實數 x，恆有 f′(x)>0。
3
已知 f(x)=a(x−3)3+b(x−3)2+c(x−3)+d 為一個實係數三次函數，請選出正確的選項。- (1) 若 f′′(t)=0，則 y=f(x) 的反曲點為 (t,f(t))。
- (2) 若 b=0，則函數圖形 y=f(x) 的反曲點為 (3,d)。
- (3) 若 A、B、C 為函數圖形 y=f(x) 上相異三點滿足 B 為 A 和 C 的中點，則 y=f(x) 的反曲點為點 B。
- (4) 若 b=0 且 ac>0，則 f(x) 為嚴格遞增函數。
- (5) y=f(x) 在 x=3 處的一次近似為 y=f′(3)(x−3)+d。
二、選填題（每題 6 分，共 54 分）
4
設函數 f(x)=(x−2)(x−3)(x−1)(x−4)，則 f′(5)= ____（原卷的答案格是一個分數，分子一格、分母兩格）。
5
設函數 g(x)=(x2+2x−9)5，則 g(x) 在 x=2 處的導數為 ____。
6
設函數 f(x)=x3−8x+4，則過點 P(1,1) 的切線方程式為 y= ____ x+ ____。
7
設 f(x),g(x) 皆為首項係數為 1 的二次函數，且 x→2limx−2f(x)−3=5，x→2limx−2g(x)−5=3。令 F(x)=f(x)g(x)，則 F′(2)= ____。
8
給定實數 a、b，設函數 f(x)={x2+x，x≥2ax+b[x2]，x<2，其中 [x2] 表示不大於 x2 的最大整數。若 f(x) 在 x=2 處可微分，則數對 (a,b)= ____。
9
設實係數二次函數 f(x)=ax2+bx+c，且圖形 y=f(x) 在 x=3 處的切線為 y=6x−26。令 g(x)=(x−1)f(x)。若 g(x) 在 x=1 處有極值，則 (a,b,c)= ____。
10
設函數 f(x)=2x3 與 g(x)=6x+k 兩圖形有三個相異交點 (x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3) 滿足 x1x2x3<0，則實數 k 的範圍為 ____ <k< ____。
11
已知四次函數 f(x) 有兩個反曲點 (2,4)，(−1,85)，且 y=f(x) 在 x=−1 處的切線與 x 軸平行，則 f(1)= ____。
12
建國油行預計生產一瓶容器為圓柱形（含蓋子）的沙拉油，容量為 4 公升。為了使該容器的生產成本最低（即表面積最小），則此圓柱形容器的底部圓形的半徑為 ____ 3π____ 公分。（註：1L=1000ml=1000 立方公分） 三、計算證明題（佔 22 分）
計算證明題 1（第 13～16 題） 設函數 f(x)=x4−18x2，請回答下列問題。（原卷計算證明題 1 的 (1)～(4)，本頁第 13～16 題）
13
(1) 討論函數 f(x) 的遞增、遞減區域。（3 分）
14
(2) 試求函數 f(x) 的所有極值發生的點坐標。（3 分）
15
(3) 討論函數 f(x) 的凹向性。（3 分）
16
(4) 試求函數 f(x) 的所有反曲點。（3 分）
計算證明題 2（第 17～18 題） 設 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)，試求（原卷計算證明題 2 的 (1)(2)，本頁第 17、18 題）
第 1 題(2)(3)
第 2 題(1)(2)(3)
第 3 題(1)(2)(3)(5)
第 4 題185
第 5 題30
第 6 題y=−5x+6
第 7 題34
第 8 題(5,−34)
第 9 題(5,−24,19)
第 10 題−4<k<0
第 11 題53
第 13 題在 (−∞,−3] 與 [0,3] 遞減，在 [−3,0] 與 [3,∞) 遞增
第 14 題極大值在 (0,0)；極小值在 (−3,−81)、(3,−81)
第 15 題在 x<−3 與 x>3 凹向上，在 −3<x<3 凹向下 第 17 題120
第 18 題548
03 · 勾錯題號勾出錯的題號，看錯在哪幾章
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01多選題第 1 題：在一點可不可以微分
1 想法判斷在 x=2 可不可以微分，看 x=2 附近的函數長什麼樣子，再比較左導數 h→0−limhf(2+h)−f(2) 與右導數 h→0+limhf(2+h)−f(2) 是否存在且相等。
1 (1)錯誤。h∣h∣ 在 h→0+ 時是 1，在 h→0− 時是 −1，左右導數不相等，圖形在 (2,0) 是尖角。
1 (2)正確。當 ∣x−2∣<1 時 0≤(x−2)2<1，所以 f(x)=0。f 在 x=2 附近是常數函數，可微分且 f′(2)=0。
1 (3)正確。hf(2+h)−f(2)=hh∣h∣=∣h∣→0，左右導數都是 0，f′(2)=0。
1 (4)錯誤。x 在 2 附近時 x+3 接近 5、是正的，f(x)=(x+3)∣x−2∣。hf(2+h)−f(2)=(5+h)h∣h∣，右極限 5、左極限 −5，不相等。
1 (5)錯誤。兩段在 x=2 的值都是 6，函數連續；但右導數是 x2+2 的導數 2x 在 x=2 的值 4，左導數是 x2+x 的導數 2x+1 在 x=2 的值 5，不相等。
連續不一定可微分；分段函數在接點要先接得起來，再比左右導數。
02多選題第 2 題：極值、反曲點與遞增的觀念
2 (1)正確。多項式函數處處可微分，在 x=c 有極值時，c 左右兩側的差商一側 ≥0、一側 ≤0，極限 f′(c) 只能是 0。
2 (2)正確。這就是二階導數判別法：f′(c)=0 且 f′′(c)>0 時 f 在 x=c 有極小值；f′′(c)<0 時有極大值。
2 (3)正確。多項式函數的 f′′(x) 也是多項式、處處連續。反曲點是凹向改變的點，f′′ 在 c 的兩側異號，連續函數由正變負（或由負變正）在 c 的值只能是 0。
2 (4)錯誤。反例：f(x)=x4，f′(0)=f′′(0)=0，但 f(x)≥0=f(0)，f(0) 是極小值。
2 (5)錯誤。反例：f(x)=x3 在 (−1,1) 內嚴格遞增，但 f′(0)=0，不是恆大於 0。
f′(c)=0 只是有極值的必要條件；「導數大於 0」可以推出遞增，反過來不成立。
03多選題第 3 題：三次函數的反曲點與一次近似
3 準備f(x) 是三次函數，所以 a=0。
f′(x)=3a(x−3)2+2b(x−3)+c,f′′(x)=6a(x−3)+2b
f′′(x) 是一次函數，只有一個零點，而且在零點兩側異號。所以三次函數的圖形恰有一個反曲點，橫坐標就是 f′′(x)=0 的那個 x。
3 (1)正確。f′′(t)=0 的 t 只有一個，f′′ 在 t 兩側異號，圖形在 (t,f(t)) 凹向改變，就是反曲點。
3 (2)正確。b=0 時 f′′(x)=6a(x−3)，零點 x=3，f(3)=d，反曲點為 (3,d)。
3 (3)正確。設反曲點橫坐標為 p，把 f(x) 改寫成以 x−p 展開：反曲點處 f′′(p)=0，所以 (x−p)2 項係數為 0，
f(x)=a(x−p)3+q(x−p)+r
設 A、B、C 的橫坐標為 m−h、m、m+h（h=0；三點相異，且中點的橫坐標是兩端的平均）。令 s=m−p，
2f(m−h)+f(m+h)=a(s3+3sh2)+qs+r,f(m)=as3+qs+r
B 是中點，縱坐標也要相等，得 3ash2=0；a=0、h=0，只能 s=0，即 m=p，B 就是反曲點。
反過來，三次函數的圖形對稱於反曲點，所以過反曲點的直線若與圖形另交兩點，反曲點正好是這兩點的中點。
3 (4)錯誤。b=0 時 f′(x)=3a(x−3)2+c。若 a<0、c<0（例如 a=c=−1），ac>0，但 f′(x)=−3(x−3)2−1<0，f 是嚴格遞減函數。
3 (5)正確。y=f(x) 在 x=3 處的一次近似就是那一點的切線 y=f(3)+f′(3)(x−3)，而 f(3)=d，所以是 y=f′(3)(x−3)+d。
三次函數的反曲點由 f′′(x)=0 唯一決定，圖形對稱於反曲點；寫成 x−3 的展開式時，係數直接讀出 f(3)、f′(3)、f′′(3)。
04選填題 1～5（第 4～8 題）
第 4 題令 u=x2−5x，分子 (x−1)(x−4)=u+4，分母 (x−2)(x−3)=u+6，
f(x)=u+6u+4=1−x2−5x+62
f′(x)=(x2−5x+6)22(2x−5)
x=5 時 x2−5x+6=6，f′(5)=362×5=185。
也可以直接用商的微分：分子 x2−5x+4、分母 x2−5x+6 的導數都是 2x−5，
f′(x)=(x2−5x+6)2(2x−5)(x2−5x+6)−(x2−5x+4)(2x−5)
化簡後結果相同。
第 5 題由合成函數的微分，g′(x)=5(x2+2x−9)4⋅(2x+2)。x=2 時 x2+2x−9=−1，g′(2)=5×1×6=30。
第 6 題f(1)=1−8+4=−3=1，點 P 不在曲線上，要先設切點。設切點 (t,t3−8t+4)，f′(t)=3t2−8，切線
y=(3t2−8)(x−t)+t3−8t+4
過 P(1,1)：1=(3t2−8)(1−t)+t3−8t+4，整理得 2t3−3t2+5=0，即 (t+1)(2t2−5t+5)=0。2t2−5t+5=0 的判別式 25−40<0，沒有實根，所以只有 t=−1。
切點 (−1,11)，斜率 f′(−1)=−5，切線 y−11=−5(x+1)，即 y=−5x+6。
第 7 題分母 x−2→0 而極限存在，分子也要趨近 0：f(2)=3。此時
x→2limx−2f(x)−f(2)=f′(2)=5
同理 g(2)=5、g′(2)=3。由乘積的微分，
F′(2)=f′(2)g(2)+f(2)g′(2)=5×5+3×3=34
「首項係數為 1 的二次函數」說明兩函數都是多項式、處處可微分，但用不到它的具體係數。
第 8 題x 比 2 小一點時（3<x<2），3<x2<4，[x2]=3，這一段 f(x)=ax+3b。
可微分必連續：f(2)=4+2=6，左極限 2a+3b，所以 2a+3b=6。
左導數是 ax+3b 的斜率 a，右導數是 x2+x 的導數 2x+1 在 x=2 的值 5，所以 a=5，代回 3b=6−10=−4，b=−34。
(a,b)=(5,−34)。
[x2] 在 x=2 左側取 3，不是 4；在 x=2 的值 f(2) 用的是 x≥2 那一段。
x→alimx−af(x)−k=m 一次給兩件事：f(a)=k、f′(a)=m；過曲線外一點的切線一定要先設切點。
05選填題 6～9（第 9～12 題）
第 9 題切線 y=6x−26 在 x=3 的值是 −8，所以 f(3)=9a+3b+c=−8，f′(3)=6a+b=6。
g′(x)=f(x)+(x−1)f′(x)。g 在 x=1 有極值且可微分，g′(1)=f(1)=0，即 a+b+c=0。
f(3)−f(1)：8a+2b=−8，4a+b=−4；與 6a+b=6 相減，2a=10，a=5，b=−24，c=19。
檢查：f(x)=5x2−24x+19=(x−1)(5x−19)，g(x)=(x−1)2(5x−19)。x 在 1 附近 (x−1)2≥0、5x−19<0，g(x)≤0=g(1)，g(1) 確實是極大值。所以 (a,b,c)=(5,−24,19)。
第 10 題交點的橫坐標是 2x3=6x+k 的實根，即 2x3−6x−k=0。由根與係數的關係，x1x2x3=2k，條件 x1x2x3<0 即 k<0。
令 h(x)=2x3−6x，三個相異實根即水平線 y=k 與 y=h(x) 有三個交點。h′(x)=6x2−6=6(x+1)(x−1)，極大值 h(−1)=4，極小值 h(1)=−4，所以 −4<k<4。
合起來 −4<k<0。
第 11 題四次函數的 f′′(x) 是二次式，兩個反曲點的橫坐標 2、−1 是它的兩根：f′′(x)=p(x−2)(x+1)=p(x2−x−2)，p=0。
f′(x)=p(3x3−2x2−2x)+q,f(x)=p(12x4−6x3−x2)+qx+r
在 x=−1 的切線與 x 軸平行：f′(−1)=67p+q=0。
f(2)=−4p+2q+r=4，f(−1)=−43p−q+r=85。後兩式相減：−413p+3q=−81；代 q=−67p：−427p=−81，p=12，q=−14，r=4+48+28=80。
f(x)=x4−2x3−12x2−14x+80，f(1)=1−2−12−14+80=53。
驗算：f(2)=16−16−48−28+80=4，f(−1)=1+2−12+14+80=85，f′(x)=4x3−6x2−24x−14，f′(−1)=−4−6+24−14=0。
第 12 題4 公升 =4000 立方公分。設底半徑 r、高 h，πr2h=4000，h=πr24000。含上蓋與瓶底兩個圓面的表面積
S(r)=2πr2+2πrh=2πr2+r8000,r>0
S′(r)=4πr−r28000=r24π(r3−π2000)
S′(r)=0 得 r3=π2000。r 比它小時 S′(r)<0、比它大時 S′(r)>0，所以此時 S 最小，
r=3π2000=103π2 公分
此時 h=πr24000=πr34000r=20004000r=2r，高等於底面直徑。
有極值的點導數為 0；三次方程式的根數看水平線夾在兩個極值之間；應用題先寫出單一變數的函數與範圍，再看導數的正負。
06計算證明題 1（第 13～16 題）：四次函數的圖形性質
第 13 題f′(x)=4x3−36x=4x(x+3)(x−3)。
xf′(x)x<−3−−3<x<0+0<x<3−x>3+
所以 f(x) 在 (−∞,−3] 與 [0,3] 遞減，在 [−3,0] 與 [3,∞) 遞增。
區間端點寫開區間也可以，例如 (−∞,−3)、(0,3) 遞減。
第 14 題由上題的正負表，f′ 在 x=−3 與 x=3 由負變正，是極小；在 x=0 由正變負，是極大。
f(±3)=81−162=−81，f(0)=0。極大值發生在 (0,0)；極小值發生在 (−3,−81) 與 (3,−81)。
第 15 題f′′(x)=12x2−36=12(x2−3)=12(x+3)(x−3)。
x<−3 或 x>3 時 f′′(x)>0，圖形凹向上；−3<x<3 時 f′′(x)<0，圖形凹向下。
第 16 題由上題，f′′ 在 x=−3 與 x=3 兩側異號，凹向改變，都是反曲點。
f(±3)=9−54=−45，反曲點為 (−3,−45) 與 (3,−45)。
一階導數的正負管遞增遞減與極值，二階導數的正負管凹向與反曲點；兩張正負表各做一次。
07計算證明題 2（第 17、18 題）：連乘積在一個根的導數
第 17 題令 P(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)，則 f(x)=(x−6)P(x)。
f′(x)=P(x)+(x−6)P′(x)
代 x=6，後一項為 0：f′(6)=P(6)=5×4×3×2×1=120。
第 18 題再微分一次：
f′′(x)=2P′(x)+(x−6)P′′(x)
所以 f′′(6)=2P′(6)。P(x) 是五個一次式的乘積，由乘積的微分，P′(x) 是「每次拿掉一個因式、其餘四個相乘」的五項和。代 x=6，五個因式的值是 5,4,3,2,1，乘積 120：
P′(6)=5120+4120+3120+2120+1120=24+30+40+60+120=274
f′′(6)=2×274=548。
常見錯誤是把 f′′(6) 寫成 P′(6)，漏了係數 2：(x−6)P(x) 微分兩次，P′(x) 出現兩次。
在根 x=a 處求導數，把 (x−a) 單獨拉出來；含 (x−a) 的項代進去就消失。
同一次段考的其他學校
同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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上傳考卷常見問題
建國中學 112 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
建國中學 112 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？
第 3 題的第三個選項要證明中點只能是反曲點，第四個選項的 a、c 可以同為負；第 6 題的點不在曲線上，要先設切點；第 8 題高斯符號在 x 等於 2 左側取 3 不是 4；第 18 題容易漏掉係數二；第 2 題的嚴格遞增不代表導數處處大於零。詳解逐題寫在本頁。
我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？
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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。
題目取自建國中學 112 學年度上學期 高三第二次段考 數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。