段考詳解範圍：第二章指對數函數及其圖形（對數律與換底、常用對數、指數與對數函數的圖形、指對數方程式與不等式、複利與分期償還）

建國中學 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 建國中學 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 建國中學 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要逐一判斷實根個數，第三個選項在零與一之間還藏著一個根；第 4 題第一個選項的最小值發生在三的 x 次方等於九，不是 x 等於九；第 12 題底數小於一時不等號要反向，還要和真數條件取交集；第 13 題要看出兩個方程式的根互相對應，不必求出各自的值。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 3 題，每題 5 分；多重選擇題 5 題，每題 8 分（答錯 1 個選項得 5 分、答錯 2 個得 2 分、答錯多於 2 個或未作答 0 分）；填充題 5 題，每格 7 分；計算題共 10 分（(1) 4 分、(2) 6 分）；共 100 分。本頁第 1～3 題是原卷單選題 1～3，第 4～8 題是多重選擇題 1～5，第 9～13 題是填充題 1～5，第 14、15 題是計算題 (1)(2)。卷頭給 log 2≈0.3010、log 3≈0.4771、log 7≈0.8451。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題(每題 5 分，共 15 分)

已知

lo g_{3} x = 21

，

lo g_{9} y = 10

，則

lo g_{3} (x + 2 y)

的值最接近下列哪一個選項？

(A) $20.4$
(B) $20.7$
(C) $21.1$
(D) $21.5$
(E) $21.9$

函數

f (x) = ∣ lo g_{2} (x - 1) ∣

在下列哪個區間是遞增的?

(A) $(- \infty, 1)$
(B) $(0, 1)$
(C) $(1, 2)$
(D) $(1, 5)$
(E) $(2, 5)$

設

a = 7^{l o g_{2} 3.4}

，

b = 7^{l o g_{4} 3.6}

，

c = (\frac{1}{7})^{l o g_{3} 0.3}

，則下列選項何者正確？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > c > a$
(D) $b > a > c$
(E) $c > a > b$

二、多重選擇題(每題8分，共40分)

已知函數

f (x) = 9^{x} - 2 \cdot 3^{x + 2} + 90

，

x \leq 3

，則下列哪些選項是正確的？

(A) 當 $x = 9$ 時， $f (x)$ 有最小值
(B) 當 $x = 2$ 時， $f (x)$ 有最大值
(C) $f (x)$ 有最小值 $9$
(D) $f (x)$ 有最大值 $333$
(E) $f (x)$ 沒有最大值

判斷下列各式，試選出正確的選項。

(A) $7^{l o g_{7} 3} = lo g_{7} 7^{3} = 3$
(B) $lo g_{3} (3^{5} + 3^{7}) = lo g 3^{12} = 12$
(C) $3^{\frac{1}{l o g 3}} = 10$
(D) $lo g_{(- 3)} (- 3)^{112} = 112$
(E) $lo g_{3} (lo g_{7} 8) + 3 lo g_{27} (lo g_{2} 7) = 1$

下列哪些函數滿足：當

x_{1}

、

x_{2}

在定義域中，

f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) \leq \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}

皆成立？

(A) $y = 2^{x}$
(B) $f (x) = x^{3}$
(C) $y = lo g_{2} x$ 　 $(x > 0)$
(D) $y = f (x) = lo g_{\frac{1}{2}} x$
(E) $f (x) = {x 2 x x < 0 x \geq 0$

下列各方程式中，請選出恰有

2

個實根的選項。

(A) $2^{x} - x = 0$
(B) $lo g_{3} x = (x - 2) (x - 4)$
(C) $∣ lo g_{2} x ∣ + x = 3$
(D) $3^{∣ x ∣} + x^{2} = 2$
(E) $lo g_{0.5} x = x^{3}$

設

a, b

為正整數，

a^{10}

是

42

位數，

(\frac{1}{b})^{20}

是純小數且小數點後第

86

位開始出現不為

0

的數字，則下列哪些選項是正確的？

(A) $a$ 是 $5$ 位數
(B) $a$ 的最高位數字是 $1$
(C) $\frac{1}{b}$ 在小數點後第 $5$ 位開始出現不為 $0$ 的數字
(D) $\frac{1}{b}$ 在小數點後第一個不為 $0$ 的數字是 $5$
(E) $ab$ 是 $9$ 位數

三、填充題（共5題，每格7分，共35分）

放射性物質質量變為原來的一半所需經過的時間，稱為該物質的半衰期。今已知某放射性物質」在兩年後剩下

320

克，而

14

年後剩下

80

克。試問該放射性物質從

128

克減少到

4

克，需經過 ____ 年。

已知

8^{x + 1} - 4^{x + \frac{3}{2}} + 2^{x + 1} (1 - 2^{x}) < 0

，則實數

x

的範圍為 ____。

實數

x, y

滿足

x \geq \frac{1}{10}

，

y \geq \frac{1}{10}

，

x^{2} y = 10

，令

X = lo g x

，

Y = lo g y

，若在

x y

坐標下（本站補註：依題意應為

X Y

坐標），滿足條件的

x^{2} y = 10

圖形為一線段，則此線段的長度為 ____。

求不等式

lo g_{0.09} (3 - x) \leq lo g_{0.3} (2 x - 3)

之解

x

的範圍為 ____。

若

α

滿足

2 x + 2^{x} = 5

，

β

滿足

2 x + 2 lo g_{2} (x - 1) = 5

，則

α + β =

____。

四、計算題(共10分，請列出計算過程，無計算過程者不計分)

(1) 某銀行提供小中的公司員工長期優惠存款，固定年利率為

3.6%

，且以每個月複利計息一次計算，若小中年初存入

100

萬元，試求

10

年後小中的存款約為多少元? (

1.00 3^{60} \approx 1.2

) (

4%

)

(2) 小建因為買車於年初向銀行貸款

100

萬元，銀行以年利率

3.6%

，每月複利計息一次計算，約定從次月初開始每月償還相同金額，分

10

年還清，試求小建每月月初需償還的金額為多少元? (四捨五入到整數位，

1.00 3^{60} \approx 1.2

) (

6%

)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(E)

第 3 題(B)

第 4 題(C)(D)

第 5 題(A)(C)(E)

第 6 題(A)(D)(E)

第 7 題(B)(C)(D)

第 8 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 9 題

30

第 10 題

- 2 < x < 0

第 11 題

25

第 12 題

\frac{3}{2} < x \leq 2

第 13 題

\frac{7}{2}

第 14 題約

1440000

元（

144

萬元）

第 15 題

9818

元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～3 題：單選題

第 1 題

答案 (D)。 $x = 3^{21}$ ； $y = 9^{10} = 3^{20}$ 。

$x + 2 y = 3^{21} + 2 \cdot 3^{20} = 3^{20} (3 + 2) = 5 \cdot 3^{20}$ ，所以 $lo g_{3} (x + 2 y) = 20 + lo g_{3} 5$ 。

換底： $lo g_{3} 5 = \frac{l o g 5}{l o g 3} = \frac{1 - l o g 2}{l o g 3} \approx \frac{0.6990}{0.4771} \approx 1.465$ ，得 $lo g_{3} (x + 2 y) \approx 21.465$ ，最接近 $21.5$ 。

lo g_{9} y = 10

是

y = 9^{10}

，換成底數

3

是

3^{20}

，不是

3^{10}

。

第 2 題

答案 (E)。定義域 $x - 1 > 0$ ，即 $x > 1$ 。

當 $x \geq 2$ 時 $x - 1 \geq 1$ ， $lo g_{2} (x - 1) \geq 0$ ， $f (x) = lo g_{2} (x - 1)$ ，隨 $x$ 增加而增加。

當 $1 < x < 2$ 時 $0 < x - 1 < 1$ ， $lo g_{2} (x - 1) < 0$ ， $f (x) = - lo g_{2} (x - 1)$ ，隨 $x$ 增加而減少。

(A)(B) 不在定義域內；(C) 在 $(1, 2)$ 上遞減；(D) $(1, 5)$ 先減後增；只有 (E) $(2, 5)$ 是遞增區間。

加了絕對值，圖形在

x

軸下方的部分翻上來，

x = 2

是轉折點。

第 3 題

答案 (B)。三個數都化成底數 $7$ ： $c = (7^{- 1})^{l o g_{3} 0.3} = 7^{- l o g_{3} 0.3} = 7^{l o g_{3} \frac{10}{3}}$ 。底數 $7 > 1$ ，只要比較指數 $lo g_{2} 3.4$ 、 $lo g_{4} 3.6$ 、 $lo g_{3} \frac{10}{3}$ 。

$lo g_{2} 3.4$ ： $3.4 > 22 \approx 2.83$ ，所以 $lo g_{2} 3.4 > lo g_{2} 22 = 1.5$ 。

$lo g_{3} \frac{10}{3}$ ： $3 < \frac{10}{3} < 33 \approx 5.20$ ，所以 $1 < lo g_{3} \frac{10}{3} < 1.5$ 。

$lo g_{4} 3.6$ ： $3.6 < 4$ ，所以 $lo g_{4} 3.6 < 1$ 。

指數由大到小是 $a$ 、 $c$ 、 $b$ 的指數，故 $a > c > b$ 。

(\frac{1}{7})^{l o g_{3} 0.3}

的指數

lo g_{3} 0.3

是負的，翻成底數

7

後指數變成正的

lo g_{3} \frac{10}{3}

。

比較大小先化成同一個底數，再用

1

、

1.5

這類好算的分界點把指數夾開。

02第 4～8 題：多重選擇題

第 4 題

答案 (C)(D)。令 $t = 3^{x}$ ， $9^{x} = t^{2}$ ， $2 \cdot 3^{x + 2} = 18 t$ ，所以 $f (x) = t^{2} - 18 t + 90 = (t - 9)^{2} + 9$ 。 $x \leq 3$ 時 $0 < t \leq 27$ 。

$t = 9$ （即 $x = 2$ ）時有最小值 $9$ ；在 $0 < t \leq 27$ 上，離 $9$ 最遠的是 $t = 27$ （ $x = 3$ ），此時 $(27 - 9)^{2} + 9 = 333$ ； $t$ 接近 $0$ 時 $f (x)$ 接近 $90$ ，小於 $333$ 。所以最大值是 $333$ 。

(A) 錯誤。 最小值發生在 $3^{x} = 9$ ，即 $x = 2$ ，不是 $x = 9$ ；而且 $x = 9$ 不滿足 $x \leq 3$ 。若題意是「當 $3^{x} = 9$ 時」，則 (A) 正確。

(B) 錯誤。 $x = 2$ 時是最小值。

(D) 正確。 $x = 3$ 時有最大值 $333$ 。

(E) 錯誤。 因為 $x \leq 3$ 讓 $t$ 有上界 $27$ ，所以有最大值。

代換後要把

t

的範圍一起換過來：

x \leq 3

對應

0 < t \leq 27

。

第 5 題

答案 (A)(C)(E)。

(A) 正確。 $7^{l o g_{7} 3} = 3$ ， $lo g_{7} 7^{3} = 3 lo g_{7} 7 = 3$ ，兩邊都等於 $3$ 。

(B) 錯誤。 $3^{5} + 3^{7} = 3^{5} (1 + 9) = 10 \cdot 3^{5}$ ，所以 $lo g_{3} (3^{5} + 3^{7}) = 5 + lo g_{3} 10$ ，不是 $12$ ；對數律是把真數的乘積拆成和，真數的和不能拆。

(C) 正確。 $\frac{1}{l o g 3} = \frac{1}{l o g _{10} 3} = lo g_{3} 10$ ，所以 $3^{\frac{1}{l o g 3}} = 3^{l o g_{3} 10} = 10$ 。

(D) 錯誤。 對數的底數必須大於 $0$ 且不等於 $1$ ， $lo g_{(- 3)}$ 沒有意義。

(E) 正確。 $lo g_{27} N = \frac{l o g _{3} N}{l o g _{3} 27} = \frac{1}{3} lo g_{3} N$ ，所以 $3 lo g_{27} (lo g_{2} 7) = lo g_{3} (lo g_{2} 7)$ 。原式 $= lo g_{3} [(lo g_{7} 8) (lo g_{2} 7)] = lo g_{3} (\frac{l o g 8}{l o g 7} \cdot \frac{l o g 7}{l o g 2}) = lo g_{3} (lo g_{2} 8) = lo g_{3} 3 = 1$ 。

\frac{1}{l o g _{a} b} = lo g_{b} a

，這個倒數關係在 (C)(E) 都用到。

第 6 題

答案 (A)(D)(E)。題目的不等式說：兩點連線的中點，不會低於圖形上對應的點。

(A) 正確。 由算幾不等式， $\frac{2 ^{x_{1}} + 2 ^{x_{2}}}{2} \geq 2^{x_{1}} \cdot 2^{x_{2}} = 2^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}$ 。

(B) 錯誤。 取 $x_{1} = - 2$ 、 $x_{2} = 0$ ： $f (- 1) = - 1$ ， $\frac{f ( - 2 ) + f ( 0 )}{2} = \frac{- 8 + 0}{2} = - 4$ ， $- 1 \leq - 4$ 不成立。

(C) 錯誤。 取 $x_{1} = 1$ 、 $x_{2} = 3$ ： $f (2) = lo g_{2} 2 = 1$ ， $\frac{l o g _{2} 1 + l o g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3 < lo g_{2} 2 = 1$ ，不等式反過來了。

(D) 正確。 $\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} = \frac{1}{2} lo g_{\frac{1}{2}} (x_{1} x_{2}) = lo g_{\frac{1}{2}} x_{1} x_{2}$ 。由算幾不等式 $x_{1} x_{2} \leq \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ ，而底數 $\frac{1}{2} < 1$ ，真數越大值越小，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{x _{1} + x _{2}}{2} \leq lo g_{\frac{1}{2}} x_{1} x_{2}$ ，即不等式成立。

(E) 正確。 這個函數可寫成 $f (x) = \frac{3 x + ∣ x ∣}{2}$ （ $x < 0$ 時 $\frac{3 x - x}{2} = x$ ， $x \geq 0$ 時 $\frac{3 x + x}{2} = 2 x$ ）。代入後 $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) = \frac{3 ( x _{1} + x _{2} )}{4} + \frac{∣ x _{1} + x _{2} ∣}{4}$ ， $\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} = \frac{3 ( x _{1} + x _{2} )}{4} + \frac{∣ x _{1} ∣ + ∣ x _{2} ∣}{4}$ ，由三角不等式 $∣ x_{1} + x_{2} ∣ \leq ∣ x_{1} ∣ + ∣ x_{2} ∣$ ，不等式成立。

凹口向上的圖形（

y = 2^{x}

、

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

）滿足這個不等式；凹口向下的

y = lo g_{2} x

剛好相反。

第 7 題

答案 (B)(C)(D)。

(A) 錯誤。 $x \leq 0$ 時 $2^{x} > 0 \geq x$ ； $0 < x \leq 1$ 時 $2^{x} > 1 \geq x$ ； $x > 1$ 時，設 $n < x \leq n + 1$ （ $n$ 為正整數），則 $2^{x} > 2^{n} \geq n + 1 \geq x$ 。所以 $2^{x} > x$ 恆成立，沒有實根。

(B) 正確。 比較 $y = lo g_{3} x$ 與拋物線 $y = (x - 2) (x - 4)$ 。 $0 < x \leq 1$ 時 $lo g_{3} x \leq 0 < (x - 2) (x - 4)$ ； $2 \leq x \leq 4$ 時 $(x - 2) (x - 4) \leq 0 < lo g_{3} x$ 。 $x = 1$ 時拋物線較高（ $3 > 0$ ）， $x = 2$ 時對數較高； $x = 4$ 時對數較高（ $lo g_{3} 4 > 0$ ）， $x = 5$ 時拋物線較高（ $3 > lo g_{3} 5$ ，因為 $lo g_{3} 5 < lo g_{3} 9 = 2$ ）。所以在 $(1, 2)$ 、 $(4, 5)$ 各至少一根。拋物線凹口向上、 $y = lo g_{3} x$ 的圖形凹口向下，兩者最多兩個交點，恰有兩個實根。

(C) 正確。 $x \geq 1$ 時方程式為 $lo g_{2} x = 3 - x$ ，左邊遞增、右邊遞減，最多一根，而 $x = 2$ 時 $1 = 1$ ，恰一根。 $0 < x < 1$ 時為 $lo g_{\frac{1}{2}} x = 3 - x$ ： $x = \frac{1}{8}$ 時 $3 > \frac{23}{8}$ ， $x = 1$ 時 $0 < 2$ ，在 $(\frac{1}{8}, 1)$ 有一根。又 $x = 8$ 時 $lo g_{\frac{1}{2}} 8 = - 3 > - 5$ ，所以 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 與直線 $y = 3 - x$ 在 $(1, 8)$ 還有一個交點；凹口向上的 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 與直線最多兩個交點，所以在 $(0, 1)$ 恰一根。全部恰有兩個實根。

(D) 正確。 改寫成 $3^{∣ x ∣} = 2 - x^{2}$ ，兩邊都是偶函數。 $x \geq 0$ 時左邊遞增、右邊遞減，最多一根； $x = 0$ 時 $1 < 2$ ， $x = 1$ 時 $3 > 1$ ，在 $(0, 1)$ 恰一根。由對稱，負的也恰一根，共兩個實根。

(E) 錯誤。 $x > 0$ 時 $lo g_{0.5} x$ 遞減、 $x^{3}$ 遞增，最多一個交點； $x = \frac{1}{2}$ 時 $1 > \frac{1}{8}$ ， $x = 1$ 時 $0 < 1$ ，恰有一個實根，不是兩個。

「恰有兩個」要同時說明找得到兩個、而且不會更多；一增一減最多一個交點，一個凹口向上、一個凹口向下最多兩個交點。

第 8 題

答案 (A)(B)(C)(D)(E)。

$a^{10}$ 是 $42$ 位數： $41 \leq 10 lo g a < 42$ ，即 $4.1 \leq lo g a < 4.2$ 。

$(\frac{1}{b})^{20}$ 在小數點後第 $86$ 位開始出現不為 $0$ 的數字： $- 86 \leq - 20 lo g b < - 85$ ，即 $4.25 < lo g b \leq 4.3$ ，也就是 $- 4.3 \leq lo g \frac{1}{b} < - 4.25$ 。

(A) 正確。 $lo g a$ 的首數是 $4$ ， $a$ 是 $5$ 位數。

(B) 正確。 $lo g a$ 的尾數在 $0.1$ 與 $0.2$ 之間，介於 $lo g 1 = 0$ 與 $lo g 2 \approx 0.3010$ 之間，最高位數字是 $1$ 。

(D) 正確。 $lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990$ ， $lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781$ ，尾數 $m$ 滿足 $lo g 5 < m < lo g 6$ ，第一個不為 $0$ 的數字是 $5$ 。

(E) 正確。 $lo g (ab) = lo g a + lo g b$ ， $8.35 < lo g (ab) < 8.5$ ，首數是 $8$ ， $ab$ 是 $9$ 位數。

這樣的正整數確實存在，例如

a

介於

1 0^{4.1} \approx 12589

與

1 0^{4.2} \approx 15849

之間，

b

介於

1 0^{4.25} \approx 17783

與

1 0^{4.3} \approx 19953

之間。

位數看首數、最高位數字看尾數；小數點後第

k

位開始不為

0

，對應首數是

- k

。

03第 9～13 題：填充題

第 9 題

從第 $2$ 年到第 $14$ 年共 $12$ 年，質量由 $320$ 克變成 $80$ 克，是 $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}$ ，經過兩個半衰期，所以半衰期是 $6$ 年。

由 $128$ 克減少到 $4$ 克是 $\frac{4}{128} = \frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^{5}$ ，經過 $5$ 個半衰期，需 $5 \times 6 = 30$ 年。

第 10 題

令 $t = 2^{x}$ （ $t > 0$ ）。 $8^{x + 1} = 8 \cdot 2^{3 x} = 8 t^{3}$ ， $4^{x + \frac{3}{2}} = 4^{x} \cdot 4^{\frac{3}{2}} = 8 t^{2}$ ， $2^{x + 1} (1 - 2^{x}) = 2 t (1 - t) = 2 t - 2 t^{2}$ 。

不等式變成 $8 t^{3} - 8 t^{2} + 2 t - 2 t^{2} < 0$ ，即 $2 t (4 t^{2} - 5 t + 1) < 0$ ， $2 t (4 t - 1) (t - 1) < 0$ 。因為 $t > 0$ ，只要 $(4 t - 1) (t - 1) < 0$ ，得 $\frac{1}{4} < t < 1$ 。

$\frac{1}{4} < 2^{x} < 1 = 2^{0}$ ，底數 $2 > 1$ ，所以 $- 2 < x < 0$ 。

第 11 題

題目說的線段是在 $X Y$ 坐標平面上（卷面印作 $x y$ ，但在 $x y$ 坐標中 $x^{2} y = 10$ 是一條曲線，不是線段）。

$x^{2} y = 10$ 兩邊取常用對數： $2 lo g x + lo g y = 1$ ，即 $2 X + Y = 1$ ，是一條直線。

$x \geq \frac{1}{10}$ 給出 $X \geq - 1$ ； $y \geq \frac{1}{10}$ 給出 $Y = 1 - 2 X \geq - 1$ ，即 $X \leq 1$ 。所以 $- 1 \leq X \leq 1$ ，兩端點為 $(- 1, 3)$ 與 $(1, - 1)$ 。

長度 $= (1 - (- 1))^{2} + (- 1 - 3)^{2} = 4 + 16 = 20 = 25$ 。

第 12 題

真數條件： $3 - x > 0$ 且 $2 x - 3 > 0$ ，得 $\frac{3}{2} < x < 3$ 。

$0.09 = 0. 3^{2}$ ，所以 $lo g_{0.09} (3 - x) = \frac{1}{2} lo g_{0.3} (3 - x) = lo g_{0.3} 3 - x$ 。不等式變成 $lo g_{0.3} 3 - x \leq lo g_{0.3} (2 x - 3)$ 。

底數 $0.3 < 1$ ，真數越大值越小，不等號反向： $3 - x \geq 2 x - 3$ 。兩邊都是正數，平方得 $3 - x \geq 4 x^{2} - 12 x + 9$ ，即 $4 x^{2} - 11 x + 6 \leq 0$ ， $(4 x - 3) (x - 2) \leq 0$ ， $\frac{3}{4} \leq x \leq 2$ 。

與真數條件取交集： $\frac{3}{2} < x \leq 2$ 。

底數小於

1

時不等號要反向；最後一定要和真數條件取交集。

第 13 題

$α$ 滿足 $2 α + 2^{α} = 5$ 。

看 $β$ 的方程式：令 $s = lo g_{2} (β - 1)$ ，則 $β - 1 = 2^{s}$ ， $β = 1 + 2^{s}$ 。代入 $2 β + 2 s = 5$ ： $2 + 2 \cdot 2^{s} + 2 s = 5$ ，即 $2^{s + 1} + 2 (s + 1) = 5$ 。

所以 $s + 1$ 也滿足 $2 x + 2^{x} = 5$ 。函數 $2 x + 2^{x}$ 隨 $x$ 增加而增加，這個方程式只有一個根，因此 $s + 1 = α$ ，即 $lo g_{2} (β - 1) = α - 1$ ， $β - 1 = 2^{α - 1} = \frac{2 ^{α}}{2}$ 。

又 $2^{α} = 5 - 2 α$ ，所以 $β = 1 + \frac{5 - 2 α}{2} = \frac{7}{2} - α$ ， $α + β = \frac{7}{2}$ 。

關鍵是令

s = lo g_{2} (β - 1)

，把對數方程式改寫成與

α

同一個指數方程式；不必求出

α

、

β

的值。

指數不等式整體代換成多項式；對數不等式先寫真數條件、再看底數決定方向；指數與對數的方程式常可透過代換互相轉換。

04第 14、15 題：計算題（複利與分期償還）

第 14 題

年利率 $3.6%$ ，每月複利一次，月利率是 $\frac{3.6%}{12} = 0.3%$ 。 $10$ 年共 $120$ 個月。

$10$ 年後本利和 $= 100$ 萬 $\times 1.00 3^{120} = 100$ 萬 $\times (1.00 3^{60})^{2} \approx 100$ 萬 $\times 1. 2^{2} = 144$ 萬，約為 $1440000$ 元。

第 15 題

月利率 $0.3%$ ，共還 $120$ 期，設每月償還 $x$ 元。把所有金額都折算到第 $120$ 個月月初（最後一次還款的時間）比較。

貸款 $1000000$ 元經過 $120$ 個月，本利和為 $1000000 \times 1.00 3^{120}$ 。

第 $1$ 期（次月初）償還的 $x$ 元到第 $120$ 個月月初經過 $119$ 個月，值 $x \cdot 1.00 3^{119}$ ；第 $2$ 期值 $x \cdot 1.00 3^{118}$ ；……；第 $120$ 期值 $x$ 。

兩者相等： $1000000 \times 1.00 3^{120} = x (1 + 1.003 + 1.00 3^{2} + \dots + 1.00 3^{119}) = x \cdot \frac{1.00 3 ^{120} - 1}{1.003 - 1}$

用 $1.00 3^{120} = (1.00 3^{60})^{2} \approx 1.44$ ： $x = \frac{1000000 \times 1.44 \times 0.003}{1.44 - 1} = \frac{4320}{0.44} \approx 9818.18$

四捨五入到整數位，每月月初需償還 $9818$ 元。

本題的答案是照題目給的近似值

1.00 3^{60} \approx 1.2

算的；若用更精確的

1.00 3^{120}

計算，每月約為

9935

元，差異來自近似值。

分期償還把「借的錢」和「每期還的錢」都換算到同一個時間點，還款那一邊是等比級數。

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