段考詳解範圍：極限（卷頭印：第一章極限）；內容含數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限與連續、夾擠定理

建國中學 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 26 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 26 題，照原卷順序

是非題 18 題（每題 2 分，共 36 分）、選填題（每格 5 分，共 30 分；答案共六格，其中 B 題的區間兩個端點各一格，本頁編為五題）、計算證明題 3 題（共 34 分；第 1、2 題各印 12 分，第 3 題卷面未印配分；這一大題的編號卷面重複印作「二」，本頁照卷面）；滿分 100 分。原卷注意事項：本卷出現的函數都滿足定義域與對應域都是實數的部分集合；若在呈現一個函數時，未指明定義域，則定義域就是使函數有意義的最大集合。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、是非題（每題 2 分，共 36 分）

題組甲（第 1～6 題）　已知無窮數列

⟨ a_{n} ⟩ = ⟨ 0. 999 \dots 9 n 個 9 ⟩

：

0.9, 0.99, 0.999, \dots, 0. 999 \dots 9 n 個 9, \dots

。而且

⟨ a_{n} ⟩

為收斂數列，極限為

L

。請判斷第 1～6 題的敘述是否正確。

L

可以用符號

n \to \infty lim 0. 999 \dots 9 n 個 9

來表示

L < 1

L

是集合

⎩ ⎨ ⎧ 0. 999 \dots 9 n 個 9 n \in 正整數 ⎭ ⎬ ⎫

中的一個元素

L = \frac{0.9}{1 - 0.1}

L > 0. \overline{9} \times 0. \overline{9}

L < n \to \infty lim 1. 000 \dots 0 n 個 0 1

題組乙（第 7～9 題）　已知函數

f (x) = \frac{( x - 3 ) ( x - 2023 )}{x ( x - 8 ) ( x - 2023 )}

與函數

g (x) = \frac{x - 3}{x ( x - 8 )}

，請判斷第 7～9 題的敘述是否正確。

f (x)

與

g (x)

是同一個函數

x \to 2023 lim f (x) = x \to 2023 lim g (x)

因為

f (- 1) < 0

，

f (1) > 0

所以由勘根定理可知，在區間

(- 1, 1)

內必有方程式

f (x) = 0

的實根

題組丙（第 10～13 題）　已知函數

h (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 25}{x - 5}, k, x \neq = 5 x = 5

（

k \in

實數），請判斷第 10～13 題的敘述是否正確。

無論

k

值為何，

x \to 5 lim h (x) = 10

無論

k

值為何，

x \to 5 lim h (x) = k

若

h (x)

在

x = 5

連續，則

k = 10

x \to 7 lim h (x) = 12

題組丁（第 14～18 題）　假設某停車場的停車費，第一個半小時是

15

元，之後每半小時是

30

元，不滿半小時以半小時計算，則

t

小時的停車費

C (t)

公式如下（單位：元）：

C (t) = 15 - 30 \cdot [1 - 2 t]

，

t > 0

。其中

[x]

表示小於或等於

x

的最大整數，例如：

[3.5] = 3

，

[- 3.1] = - 4

，

[- 5] = - 5

等。請判斷第 14～18 題的敘述是否正確。

10

小時的停車費是

585

元

[1 - 2 t] = - [2 t - 1]

t \to 10.5 lim C (t) = 615

t \to 11.2 lim C (t) = 675

因為

C (1) = 45

，

C (2) = 105

，所以由中間值定理可知至少有一實數

r

滿足

1 < r < 2

且

C (r) = 90

二、選填題（每格 5 分，共 30 分）｜（原卷題號 A～D，本頁編為第 19～23 題）

設

f (x) = x^{2} + x

，

g (x) = 3 x + 4

，則

(g \circ f) (1) + (f \circ g) (2) =

____（原卷的答案格是三格）。

函數

f (x) = 35 - 2 x - x^{2}

的值域為閉區間

[____,____]

。

（原卷 C 題第 (1) 小題）數列

⟨ \frac{4 n ^{2}}{n ^{2} + 9} ⟩

的極限

n \to \infty lim \frac{4 n ^{2}}{n ^{2} + 9} =

____。

（原卷 C 題第 (2) 小題）承上題，若

n \to \infty lim \frac{4 n ^{2}}{n ^{2} + 9} = L

，則數列

⟨ \frac{4 n ^{2}}{n ^{2} + 9} ⟩

從第 ____ 項（原卷的答案格是三格）開始，其值與

L

的差

\frac{4 n ^{2}}{n ^{2} + 9} - L

會小於

\frac{1}{10000}

。

若

x \to 5 lim \frac{1}{x} = L

，則

x

與

5

的距離

∣ x - 5∣

小於等於何值時，其函數值與

L

的差

\frac{1}{x} - L

最多是

\frac{1}{10000}

？答：____（原卷的答案格是一個分數，分子一格、分母四格）。

二、計算證明題（3 題，共 34 分）｜（原卷題號 1～3，本頁編為第 24～26 題）

在校慶園遊會中，創意行銷扮演著相當重要的角色。已知建仔攤位專賣紅茶，計畫推出一項名為「紅茶容量加大連連」的促銷活動。在這項活動中，當顧客支付

20

元後，必須投擲一個公正硬幣。如果硬幣投擲出反面則投擲結束，顧客將獲得

500

cc（立方公分）的紅茶；但如果硬幣投擲出正面，然後再次投擲出反面，顧客將獲得的紅茶量為

500 + 250

cc。若連續投擲

2

次正面，然後才投擲出反面，則顧客獲得的紅茶量為

500 + 250 + 125

cc，依此類推。若連續投擲

n - 1

次正面，然後才投擲出反面（總共投擲了

n

次硬幣），顧客將獲得的紅茶量為

500 + 500 \times \frac{1}{2} + \dots + 500 \times (\frac{1}{2})^{n - 1}

cc。然而，

700

cc 紅茶的所有成本是

20

元，因此當支付

20

元購買紅茶的顧客獲得的紅茶量超過

700

cc 時，建仔攤位會虧本。為了評估這個促銷活動的可行性，請計算支付

20

元購買紅茶的顧客獲得的紅茶量的數學期望值。（12 分）

建仔欲利用環形面積的低估與高估，來證明半徑為

r

的圓面積

A = π r^{2}

。他首先將半徑

3

等分，然後利用同心圓劃分出三個區域，分別為區域 1、區域 2 和區域 3，如下所示（原卷的表格另有「圖示」一列，三張小圖就是上圖的三個區域，本頁不另畫）：

區域 1 說明 區域 1 面積的低估 區域 1 面積的高估 區域 2 說明 區域 2 面積的低估 區域 2 面積的高估 區域 3 說明 區域 3 面積的低估 區域 3 面積的高估 半徑 \frac{r}{3} 的圓 以長 2 π \cdot 0 ，寬 \frac{r}{3} 的矩形做估計，面積為 0 以長 2 π \cdot \frac{r}{3} ，寬 \frac{r}{3} 的矩形做估計，面積為 2 π \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3} 寬度 \frac{r}{3} 的同心圓環區域，小圓半徑 \frac{r}{3} ，大圓半徑 \frac{2 r}{3} 以長 2 π \cdot \frac{r}{3} ，寬 \frac{r}{3} 的矩形做估計，面積為 2 π \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3} 以長 2 π \cdot \frac{2 r}{3} ，寬 \frac{r}{3} 的矩形做估計，面積為 2 π \cdot \frac{2 r}{3} \cdot \frac{r}{3} 寬度 \frac{r}{3} 的同心圓環區域，小圓半徑 \frac{2 r}{3} ，大圓半徑 \frac{3 r}{3} 以長 2 π \cdot \frac{2 r}{3} ，寬 \frac{r}{3} 的矩形做估計，面積為 2 π \cdot \frac{2 r}{3} \cdot \frac{r}{3} 以長 2 π \cdot \frac{3 r}{3} ，寬 \frac{r}{3} 的矩形做估計，面積為 2 π \cdot \frac{3 r}{3} \cdot \frac{r}{3}

接著，建仔將上表中對於

A

的估算寫成不等式：

2 π \cdot 0 \cdot \frac{r}{3} + 2 π \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3} + 2 π \cdot \frac{2 r}{3} \cdot \frac{r}{3} \leq A \leq 2 π \cdot \frac{r}{3} \cdot \frac{r}{3} + 2 π \cdot \frac{2 r}{3} \cdot \frac{r}{3} + 2 π \cdot \frac{3 r}{3} \cdot \frac{r}{3}

現在，請重新將半徑

n

等分並仿照建仔的方法估算

A

，然後使用夾擠定理證明圓面積公式

A = π r^{2}

。（12 分）

載入中...

以下是課本對於自然常數

e

的介紹：數列

⟨ (1 + \frac{1}{n})^{n} ⟩

為嚴格遞增數列，而

e = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = 2.7182818284 \dots

。某日建仔用電腦（Excel 軟體）計算

(1 + \frac{1}{10})^{10}

，

(1 + \frac{1}{100})^{100}

，

(1 + \frac{1}{1000})^{1000}

，

\dots

，

(1 + \frac{1}{1 0 ^{k}})^{1 0^{k}}

的值，卻驚訝發現：當

k = 15

時，

(1 + \frac{1}{1 0 ^{k}})^{1 0^{k}}

的計算結果是

3.035035207 \dots

，截圖如下：

k 123415 (1 + 1/1 0^{\land} k)^{\land} (1 0^{\land} k) 2.59374246 2.704813829 2.716923932 2.718145927 3.035035207

為確認是電腦的計算出了問題，請證明：(1)

(1 + \frac{1}{n})^{n} = 1 + \frac{1}{1 !} + \frac{1}{2 !} (1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3 !} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) + \dots + \frac{1}{n !} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) \dots (1 - \frac{n - 1}{n})

。(2) 對於

n = 1, 2, 3, \dots

，數列

⟨ (1 + \frac{1}{n})^{n} ⟩

的每一項皆小於

3

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

101

112

121

131

141

152

162

171

182

第 19 題

120

第 20 題

[0, 6]

（兩格依序填

0

、

6

）

第 21 題

4

第 22 題

600

第 23 題

\frac{5}{2001}

第 24 題

\frac{2000}{3}

cc（約

666.7

cc）

第 25 題（證明題）半徑

n

等分後

π r^{2} \cdot \frac{n - 1}{n} \leq A \leq π r^{2} \cdot \frac{n + 1}{n}

，兩邊的極限都是

π r^{2}

，見詳解

第 26 題（證明題）(1) 用二項式定理展開，把第

k

項的

C_{k}^{n} \cdot \frac{1}{n ^{k}}

改寫；(2) 每一項不超過

\frac{1}{k !}

，再與公比

\frac{1}{2}

的等比級數比較，見詳解

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01題組甲（第 1～6 題）：極限值 L＝1

第 1 題1

a_{n} = 0. 999 \dots 9 n 個 9 = 1 - \frac{1}{1 0 ^{n}}

。數列

⟨ a_{n} ⟩

的極限本來就記作

n \to \infty lim a_{n}

，把

a_{n}

的寫法代進去就是題目的符號。又

\frac{1}{1 0 ^{n}} \to 0

，所以

L = 1

。

第 2 題2

L = 1

，不小於

1

。每一項

a_{n}

都小於

1

，但取極限之後只能得到

L \leq 1

。

「每一項都小於某數」取極限後，不等號要補上等號。

第 3 題2這個集合就是所有的

a_{n}

，而每個

a_{n} = 1 - \frac{1}{1 0 ^{n}} < 1

，沒有任何一項等於

1

，所以

L = 1

不在集合裡。

極限是數列「趨近」的值，不一定是數列中的某一項。

第 4 題1

a_{n} = 0.9 + 0.09 + \dots + \frac{9}{1 0 ^{n}}

是首項

0.9

、公比

0.1

的等比級數的前

n

項和，所以

L

就是這個無窮等比級數的和

\frac{0.9}{1 - 0.1}

。算出來

\frac{0.9}{0.9} = 1

，與

L = 1

相符。

第 5 題2

0. \overline{9} = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \dots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1

，所以

0. \overline{9} \times 0. \overline{9} = 1

，與

L

相等，不是

L

比較大。

第 6 題2

1. 000 \dots 0 n 個 0 1 = 1 + \frac{1}{1 0 ^{n + 1}}

，

n \to \infty

時極限為

1

。所以右邊等於

1

，而

L = 1

，兩邊相等，

L < 1

不成立。

左邊數列每一項都比右邊數列的每一項小，但兩個極限相等。

這一組六題都在問同一件事：

a_{n}

每一項都比

1

小一點點，但極限恰好是

1

；

0. \overline{9}

也恰好是

1

，不是「比

1

小一點點」。

02題組乙（第 7～9 題）：同一個函數、極限相等、勘根定理的前提

第 7 題2

f (x)

的分母是

x (x - 8) (x - 2023)

，定義域是

x \neq = 0, 8, 2023

的所有實數；

g (x)

的定義域是

x \neq = 0, 8

的所有實數。

g (2023)

有定義而

f (2023)

沒有，定義域不同，就不是同一個函數。

第 8 題1

x \to 2023

的極限只看

x

靠近

2023

但

x \neq = 2023

的函數值。這時可以約去

x - 2023

，

f (x) = \frac{x - 3}{x ( x - 8 )} = g (x)

，兩個函數在

2023

的附近（除了

2023

本身）完全相同，所以極限相等，都是

\frac{2020}{2023 \times 2015}

。

第 7 題與第 8 題是一組：函數不同，但在

x \to 2023

的極限相同。

第 9 題2

f (- 1) = \frac{- 4}{( - 1 ) ( - 9 )} = - \frac{4}{9} < 0

、

f (1) = \frac{- 2}{1 \times ( - 7 )} = \frac{2}{7} > 0

都沒錯，但勘根定理要求函數在閉區間

[- 1, 1]

上連續，而

f (x)

在

x = 0

沒有定義，不連續，定理不能用。事實上

f (x) = 0

要分子為

0

且分母不為

0

，只有

x = 3

，不在

(- 1, 1)

內，所以這個區間內沒有實根。

03題組丙（第 10～13 題）：極限、函數值與連續

第 10 題1

x \to 5

的極限只看

x \neq = 5

的函數值，與

h (5) = k

無關。

x \neq = 5

時

h (x) = \frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{x - 5} = x + 5

，所以

x \to 5 lim h (x) = 10

，不論

k

是多少。

第 11 題2由上題，極限固定是

10

。只有

k = 10

時才會等於

k

；例如

k = 0

時，極限是

10

，不等於

k

。

第 12 題1在

x = 5

連續的條件是

x \to 5 lim h (x) = h (5)

，即

10 = k

。

第 13 題1在

7

的附近

x \neq = 5

，

h (x) = x + 5

，所以

x \to 7 lim h (x) = 7 + 5 = 12

。

04題組丁（第 14～18 題）：高斯符號寫成的停車費

第 14 題1

C (10) = 15 - 30 \cdot [1 - 20] = 15 - 30 \times (- 19) = 15 + 570 = 585

。

用題意檢查：

10

小時是

20

個半小時，第一個

15

元、其餘

19

個各

30

元，

15 + 19 \times 30 = 585

。

第 15 題2令

y = 2 t - 1

，式子就是

[- y] = - [y]

，它只在

y

是整數時成立。反例：取

t = 0.3

，則

1 - 2 t = 0.4

，

[1 - 2 t] = 0

；而

2 t - 1 = - 0.4

，

- [2 t - 1] = - (- 1) = 1

，兩邊不相等。

y

不是整數時，

[- y] = - [y] - 1

。卷面只寫了這條等式，沒有寫對哪些

t

。本頁把這個敘述讀成「對所有

t > 0

都成立」，它不是對所有

t > 0

都成立，所以判為錯；它只在

2 t

是整數時成立。

第 16 題2

t

從左邊靠近

10.5

（

t

略小於

10.5

）時，

1 - 2 t

略大於

- 20

，

[1 - 2 t] = - 20

，

C (t) = 15 + 600 = 615

；

t

從右邊靠近

10.5

時，

1 - 2 t

略小於

- 20

，

[1 - 2 t] = - 21

，

C (t) = 15 + 630 = 645

。左極限

615

與右極限

645

不相等，所以

t \to 10.5 lim C (t)

不存在。

615

是函數值

C (10.5)

，也是左極限，但極限要左右兩邊都趨近同一個值才存在。

第 17 題1

t

在

11.2

的附近（例如

11 < t \leq 11.5

）時，

- 22 \leq 1 - 2 t < - 21

，

[1 - 2 t] = - 22

，

C (t) = 15 + 660 = 675

是常數，所以極限是

675

。

第 18 題2

C (1) = 15 - 30 \cdot [- 1] = 45

、

C (2) = 15 - 30 \cdot [- 3] = 105

都沒錯，但中間值定理要求函數在

[1, 2]

上連續，而

C (t)

在

t = 1

、

t = 1.5

都有跳躍，定理不能用。實際看：

1 < t \leq 1.5

時

[1 - 2 t] = - 2

，

C (t) = 75

；

1.5 < t < 2

時

[1 - 2 t] = - 3

，

C (t) = 105

。在

1 < r < 2

內

C (r)

只會是

75

或

105

，不會是

90

。

含高斯符號的函數是階梯狀的：在平台上極限等於函數值，在跳躍點左右極限不同、極限不存在，而且勘根定理與中間值定理都不能直接用。

05選填 A、B（第 19、20 題）：合成函數與值域

第 19 題

(g \circ f) (1) = g (f (1)) = g (2) = 3 \times 2 + 4 = 10

；

(f \circ g) (2) = f (g (2)) = f (10) = 100 + 10 = 110

。兩者相加

10 + 110 = 120

。

合成的順序：

(g \circ f) (1)

是先算

f (1)

再代入

g

。

第 20 題配方：

35 - 2 x - x^{2} = 36 - (x + 1)^{2}

，最大值是

36

（

x = - 1

時），而根號內不能是負的，所以根號內的範圍是

[0, 36]

（

x = - 7

或

x = 5

時為

0

，中間的值都取得到）。開根號後

f (x)

的值域是

[0, 6]

。

一次項

- 2 x

要先配進平方裡，最大值是

36

不是

35

。

06選填 C、D（第 21～23 題）：要多靠近，差才會夠小

第 21 題分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{4 n ^{2}}{n ^{2} + 9} = \frac{4}{1 + \frac{9}{n ^{2}}}

，

n \to \infty

時

\frac{9}{n ^{2}} \to 0

，極限為

4

。

第 22 題

L = 4

。差

\frac{4 n ^{2}}{n ^{2} + 9} - 4 = \frac{4 n ^{2} - 4 n ^{2} - 36}{n ^{2} + 9} = \frac{36}{n ^{2} + 9}

。要它小於

\frac{1}{10000}

，即

n^{2} + 9 > 360000

，

n^{2} > 359991

。因為

59 9^{2} = 358801 < 359991

、

60 0^{2} = 360000 > 359991

，且

\frac{36}{n ^{2} + 9}

隨

n

變大而變小，所以從第

600

項開始。

60 0^{2}

剛好是

360000

，只比

359991

多

9

；分母的

+ 9

不能省略，省略後會變成

n^{2} > 360000

而答成

601

。

第 23 題

L = \frac{1}{5}

。

\frac{1}{x} - \frac{1}{5} = \frac{5 - x}{5 x} = \frac{∣ x - 5∣}{5∣ x ∣}

。設

∣ x - 5∣ \leq d

（

0 < d < 5

），則

x

在

5 - d

與

5 + d

之間。分子最大是

d

，分母

5∣ x ∣

最小是

5 (5 - d)

，兩者都在

x = 5 - d

時發生，所以差的最大值是

\frac{d}{5 ( 5 - d )}

。要它最多是

\frac{1}{10000}

：

10000 d \leq 5 (5 - d) = 25 - 5 d

，

10005 d \leq 25

，

d \leq \frac{25}{10005} = \frac{5}{2001}

。所以

∣ x - 5∣ \leq \frac{5}{2001}

。

x

在

5

的左邊時

\frac{1}{x}

變化得比較快，所以要用左端點

x = 5 - d

來算；用右端點

x = 5 + d

會得到

\frac{5}{1999}

，那個範圍的左半邊就超過了。

極限的意思是「只要夠靠近，差就可以小於任何指定的數」。這三題把「夠靠近」算成具體的數：先把差化簡成一個式子，再解不等式。

07計算證明題 1（第 24 題）：紅茶量的期望值

第 24 題總共投擲

n

次（前

n - 1

次正面、第

n

次反面）的機率是

(\frac{1}{2})^{n}

，

n = 1, 2, 3, \dots

。這時的紅茶量是首項

500

、公比

\frac{1}{2}

的等比級數前

n

項和：

500 \times \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = 1000 [1 - (\frac{1}{2})^{n}]

cc。期望值是各種情形的「機率

\times

紅茶量」全部加起來：

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{2})^{n} \times 1000 [1 - (\frac{1}{2})^{n}] = 1000 [n = 1 \sum \infty (\frac{1}{2})^{n} - n = 1 \sum \infty (\frac{1}{4})^{n}]

。兩個都是公比的絕對值小於

1

的無窮等比級數，都收斂，可以分開算：

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{2})^{n} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1

，

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{4})^{n} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}

。所以期望值

= 1000 (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2000}{3}

cc，約

666.7

cc。

\frac{2000}{3} < 700

，平均每位顧客拿到的紅茶量沒有超過成本線，這個活動平均來說不會虧本。另外，不管投幾次，紅茶量

1000 [1 - (\frac{1}{2})^{n}]

都小於

1000

cc。

情形有無限多種的期望值，就是一個無窮級數；先寫出「投

n

次」的機率與所得，再拆成幾個無窮等比級數分別求和。

08計算證明題 2（第 25 題）：用夾擠定理證明圓面積公式

第 25 題把半徑

n

等分，用同心圓分成

n

個區域。第

k

個區域（

k = 1, 2, \dots, n

）是寬度

\frac{r}{n}

的圓環，小圓半徑

\frac{( k - 1 ) r}{n}

，大圓半徑

\frac{k r}{n}

（

k = 1

時小圓半徑為

0

，就是半徑

\frac{r}{n}

的圓）。仿照題目的方法，第

k

個區域面積的低估是長

2 π \cdot \frac{( k - 1 ) r}{n}

、寬

\frac{r}{n}

的矩形，高估是長

2 π \cdot \frac{k r}{n}

、寬

\frac{r}{n}

的矩形。全部加起來：

k = 1 \sum n 2 π \cdot \frac{( k - 1 ) r}{n} \cdot \frac{r}{n} \leq A \leq k = 1 \sum n 2 π \cdot \frac{k r}{n} \cdot \frac{r}{n}

。左邊

= \frac{2 π r ^{2}}{n ^{2}} [0 + 1 + 2 + \dots + (n - 1)] = \frac{2 π r ^{2}}{n ^{2}} \cdot \frac{n ( n - 1 )}{2} = π r^{2} \cdot \frac{n - 1}{n}

；右邊

= \frac{2 π r ^{2}}{n ^{2}} (1 + 2 + \dots + n) = \frac{2 π r ^{2}}{n ^{2}} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = π r^{2} \cdot \frac{n + 1}{n}

。所以對每個正整數

n

都有

π r^{2} (1 - \frac{1}{n}) \leq A \leq π r^{2} (1 + \frac{1}{n})

。

n \to \infty

時

\frac{1}{n} \to 0

，左右兩邊的極限都是

π r^{2}

。

A

是一個固定的數，被兩個極限相同的數列夾在中間，由夾擠定理，

A = π r^{2}

。

用

n = 3

檢查：左邊

π r^{2} \cdot \frac{2}{3}

、右邊

π r^{2} \cdot \frac{4}{3}

，與題目那條不等式兩邊算出來的

\frac{6 π r ^{2}}{9}

、

\frac{12 π r ^{2}}{9}

相同。低估用的是圓環內圈的周長、高估用的是外圈的周長，兩個和只差頭尾各一項，所以差距

\frac{2 π r ^{2}}{n}

會趨近

0

。

夾擠定理的寫法：先對每個

n

寫出「低估

\leq

所求

\leq

高估」，再分別求兩邊的極限，兩個極限相同，中間的數就只能是它。

09計算證明題 3（第 26 題）：每一項都小於 3

第 26 題第 (1) 小題 由二項式定理，

(1 + \frac{1}{n})^{n} = k = 0 \sum n C_{k}^{n} (\frac{1}{n})^{k}

。

k = 0

的項是

1

。

k \geq 1

時，

C_{k}^{n} \cdot \frac{1}{n ^{k}} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !} \cdot \frac{1}{n ^{k}}

，分子有

k

個因數，分母的

n^{k}

也分給每個因數一個

n

：

= \frac{1}{k !} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 2}{n} \dots \frac{n - k + 1}{n} = \frac{1}{k !} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) \dots (1 - \frac{k - 1}{n})

。

k = 1

時就是

\frac{1}{1 !}

，

k = 2

時是

\frac{1}{2 !} (1 - \frac{1}{n})

，一直到

k = n

時是

\frac{1}{n !} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) \dots (1 - \frac{n - 1}{n})

。把

k = 0

到

k = n

的項加起來，就是題目要證的式子。 第 (2) 小題 在第 (1) 小題的式子裡，每個括號

1 - \frac{j}{n}

（

1 \leq j \leq n - 1

）都在

0

與

1

之間，所以第

k

項（

k \geq 1

）不超過

\frac{1}{k !}

，得

(1 + \frac{1}{n})^{n} \leq 1 + \frac{1}{1 !} + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{n !}

。又

k! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times k \geq 1 \times 2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^{k - 1}

，所以

\frac{1}{k !} \leq \frac{1}{2 ^{k - 1}}

。於是

(1 + \frac{1}{n})^{n} \leq 1 + (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + \dots + \frac{1}{2 ^{n - 1}}) = 1 + \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = 3 - \frac{1}{2 ^{n - 1}} < 3

。這對每個正整數

n

都成立，所以數列的每一項都小於

3

。

n = 1 0^{15}

也是正整數，所以

(1 + \frac{1}{1 0 ^{15}})^{1 0^{15}}

一定小於

3

，表中的

3.035035207

不可能是對的。原因在電腦只能存有限位數：

1 + \frac{1}{1 0 ^{15}}

存進去時已經有誤差，再自乘

1 0^{15}

次，誤差就被放大了。

要證明「每一項都小於某數」，常用的做法是逐項放大成一個算得出和的級數；這裡把

\frac{1}{k !}

放大成

\frac{1}{2 ^{k - 1}}

，就變成等比級數。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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建國中學 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 26 題的答案，是非題 18 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 16 題在十點五小時的地方剛好是跳躍點，左極限六百一十五、右極限六百四十五，極限不存在，六百一十五只是函數值；第 2、5、6 題每一項都比一小、極限卻恰好等於一，零點九循環也恰好等於一；選填 C 第二小題分母多一個九，剛好讓第六百項成立；選填 D 要用五左邊的端點來算，答案是二千零一分之五，不是一千九百九十九分之五；計算證明題第 3 題要先把階乘的倒數放大成二的次方的倒數才加得出來。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自建國中學 112 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

建國中學 112 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解