段考詳解範圍：第一章極限與函數（1-1 無窮等比級數、1-2 函數的概念、1-3 函數的極限）

建國中學 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

填充題 10 小題（每小題 4 分，共 40 分）、計算題 12 小題（每(小)題 5 分，共 60 分），合計 100 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、填充題（每小題 4 分，共 40 分）｜卷面第 1、2 題各有 5 小題，本頁編為第 1～10 題

卷面第 1 題（第 1～5 題）　判斷下列各數列為收斂或發散？若收斂，請寫出其極限值；若發散，請寫發散。

(1)

a_{n} = 1 + (0.99)^{n}

(2)

b_{n} = (- 1)^{n}

(3)

c_{n} = 2

(4)

d_{n} = \frac{1 + 2 n}{3 + 4 n}

(5)

e_{n} = 5 n + 6

卷面第 2 題（第 6～10 題）　判斷下列各函數的極限是否存在？若存在，請寫出其極限值；若不存在，請寫不存在。（

[x]

的定義是小於或等於

x

的最大整數，例如：

[2.5] = 2

，

[3] = 3

，

[- 2.5] = - 3

）

(1)

x \to 3 lim x^{2}

(2)

x \to 3 lim \frac{x}{∣ x ∣}

(3)

x \to 3 lim [x]

(4)

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 3}

(5)

x \to 3 lim (\frac{4}{x - 3} - \frac{12}{x ^{2} - 3 x})

二、計算題（每(小)題 5 分，共 60 分）｜卷面第 3～10 題共 12 小題，本頁編為第 11～22 題

卷面第 3 題（第 11～12 題）　回答下列各小題：

(1) 試求

k = 2 \sum 10 (k^{2})

的值。

(2) 設

k = 2 \sum 10 a_{k} = 1

，

k = 2 \sum 10 b_{k} = 2

，試求

k = 2 \sum 10 (3 a_{k} + 4 b_{k} + 5)

的值。

（卷面第 4 題）設

a, b

為實數，已知無窮等比級數

a + a (\frac{2 b}{1 + b}) + a (\frac{2 b}{1 + b})^{2} + a (\frac{2 b}{1 + b})^{3} + \dots\dots

為一個收斂級數，其中

a \neq = 0

，

b \neq = 0, - 1

，試求實數

b

的最大範圍為何？

（卷面第 5 題）試將循環小數

0. \overline{301}

化為有理數。

卷面第 6 題（第 15～16 題）　已知函數

f (x) = 4 x - x^{2}

，試求：

(1)

f (x)

的定義域。

(2)

f (x)

的值域。

卷面第 7 題（第 17～18 題）　已知兩函數

f (x) = x + 2

，

g (x) = 3 x^{2} - 4

，試求：

(1) 合成函數

(f \circ g) (x)

。

(2) 合成函數

(g \circ f) (x)

。

卷面第 8 題（第 19～20 題）　下圖為

f (x) = x^{3} - 4 x

的函數圖形，已知此函數圖形對稱於原點，試問：

(1)

f (x)

的函數圖形在哪個區間凹口向上？

載入中...

(2)

f (x)

的函數圖形在哪個區間凹口向下？

（卷面第 9 題）設

a

為實數，已知函數

f (x) = {x + 2, 3 x^{2} + 4 x + a, x \geq 5 x < 5

為連續函數，試求實數

a

值。

（卷面第 10 題）已知函數

f (x)

滿足

4 x + 2 \leq f (x) \leq x^{2} + 2 x + 3

，其中

x

為任意實數，試求

x \to 1 lim f (x)

的值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題收斂，極限值為

1

第 2 題發散

第 3 題收斂，極限值為

2

第 4 題收斂，極限值為

\frac{1}{2}

第 5 題發散

第 6 題存在，極限值為

9

第 7 題存在，極限值為

1

第 8 題不存在

第 9 題存在，極限值為

1

第 10 題存在，極限值為

\frac{4}{3}

第 11 題

384

第 12 題

56

第 13 題

- \frac{1}{3} < b < 1

且

b \neq = 0

第 14 題

\frac{301}{999}

第 15 題

{x ∣ 0 \leq x \leq 4}

第 16 題

{y ∣ 0 \leq y \leq 2}

第 17 題

3 x^{2} - 2

第 18 題

3 x^{2} + 12 x + 8

第 19 題

x > 0

第 20 題

x < 0

第 21 題

- 88

第 22 題

6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01填充第 1～5 題（卷面第 1 題）：數列收斂或發散

第 1 題

⟨(0.99)^{n} ⟩

是公比

0.99

的等比數列，

∣0.99∣ < 1

，所以

(0.99)^{n}

趨近

0

，

a_{n} = 1 + (0.99)^{n}

趨近

1 + 0 = 1

。收斂，極限值為

1

。

0.99

很接近

1

，前幾項降得很慢（

a_{100} \approx 1.37

），但只要公比的絕對值小於

1

，

n

夠大時

(0.99)^{n}

就會任意接近

0

。

第 2 題各項依序是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，奇數項恆為

- 1

、偶數項恆為

1

，不會趨近同一個定值，所以發散。

第 3 題每一項都是

2

，是常數數列，當然趨近

2

。收斂，極限值為

2

。

第 4 題分子、分母同除以

n

：

d_{n} = \frac{\frac{1}{n} + 2}{\frac{3}{n} + 4}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{n} \to 0

、

\frac{3}{n} \to 0

，所以

d_{n}

趨近

\frac{0 + 2}{0 + 4} = \frac{1}{2}

。收斂，極限值為

\frac{1}{2}

。

第 5 題

e_{n} = 5 n + 6

是公差

5

的等差數列，各項

11, 16, 21, \dots

會越來越大、超過任何定值，不趨近某個實數，所以發散。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

：

∣ r ∣ < 1

時趨近

0

，

r = 1

時趨近

1

，其餘發散；分式型的數列先同除以分母的最高次。

02填充第 6～10 題（卷面第 2 題）：函數的極限是否存在

第 6 題

x^{2}

是多項式函數，直接代入：

x \to 3 lim x^{2} = 3^{2} = 9

。存在，極限值為

9

。

第 7 題

x

靠近

3

時

x > 0

，所以

∣ x ∣ = x

，

\frac{x}{∣ x ∣} = 1

。在

3

的附近函數值恆為

1

，極限存在，極限值為

1

。

這個函數只在

x \to 0

時左、右極限不相等（左邊

- 1

、右邊

1

）；本題是

x \to 3

，兩邊都是

1

。

第 8 題

x

從左邊靠近

3

（

2 < x < 3

）時

[x] = 2

，左極限為

2

；

x

從右邊靠近

3

（

3 < x < 4

）時

[x] = 3

，右極限為

3

。左、右極限不相等，所以極限不存在。

[3] = 3

是函數值，不是極限；極限只看靠近

3

時的走向。

第 9 題代入

x = 3

分子、分母都是

0

，先分解：

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

。

x \neq = 3

時

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = x - 2

，所以極限為

3 - 2 = 1

。存在，極限值為

1

。

第 10 題兩個分式各自在

x \to 3

時都沒有極限，不能分開算，要先通分。

x^{2} - 3 x = x (x - 3)

，所以

\frac{4}{x - 3} - \frac{12}{x ( x - 3 )} = \frac{4 x - 12}{x ( x - 3 )} = \frac{4 ( x - 3 )}{x ( x - 3 )}

。

x \neq = 3

時約去

x - 3

得

\frac{4}{x}

，

x \to 3

時趨近

\frac{4}{3}

。存在，極限值為

\frac{4}{3}

。

極限看的是「靠近時」的走向：遇到絕對值、高斯符號先看該點附近的式子長什麼樣；代入得

\frac{0}{0}

時先分解或通分，約去公因式再代入。

03計算第 11～14 題（卷面第 3～5 題）：Σ、無窮等比級數、循環小數

第 11 題

k

從

2

開始，比從

1

開始少了

k = 1

那一項。由平方和公式

k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

，得

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385

，所以

k = 2 \sum 10 k^{2} = 385 - 1^{2} = 384

。

第 12 題把 Σ 對加法與常數倍拆開：

k = 2 \sum 10 (3 a_{k} + 4 b_{k} + 5) = 3 k = 2 \sum 10 a_{k} + 4 k = 2 \sum 10 b_{k} + k = 2 \sum 10 5

。

k

從

2

到

10

共

10 - 2 + 1 = 9

項，所以

k = 2 \sum 10 5 = 5 \times 9 = 45

。原式

= 3 \times 1 + 4 \times 2 + 45 = 56

。

常數

5

要加

9

次，不是

10

次：項數是「上限減下限再加

1

」。

第 13 題這個級數的首項是

a

（

a \neq = 0

），公比是

r = \frac{2 b}{1 + b}

。首項不為

0

的無窮等比級數收斂的條件是

∣ r ∣ < 1

，即

\frac{2 b}{1 + b} < 1

。因為

b \neq = - 1

，

∣1 + b ∣ > 0

，兩邊同乘

∣1 + b ∣

得

∣2 b ∣ < ∣1 + b ∣

。兩邊都不是負數，平方後不等號方向不變：

4 b^{2} < (1 + b)^{2}

，整理得

3 b^{2} - 2 b - 1 < 0

，即

(3 b + 1) (b - 1) < 0

，所以

- \frac{1}{3} < b < 1

。再配合題目的條件

b \neq = 0

（

b \neq = - 1

已經不在這個範圍內），得

- \frac{1}{3} < b < 1

且

b \neq = 0

。

b = 0

時公比是

0

，級數其實也收斂，但題目已規定

b \neq = 0

，所以答案要把

0

挖掉。驗算：

b = \frac{1}{2}

時

r = \frac{2}{3}

，收斂；

b = 1

時

r = 1

、

b = - \frac{1}{3}

時

r = - 1

，都發散。

第 14 題

0. \overline{301} = 0.301301301 \dots = 0.301 + 0.000301 + 0.000000301 + \dots

，是首項

0.301

、公比

0.001

的無窮等比級數。公比的絕對值小於

1

，所以和為

\frac{0.301}{1 - 0.001} = \frac{0.301}{0.999} = \frac{301}{999}

。

301 = 7 \times 43

、

999 = 3^{3} \times 37

，沒有公因數，已是最簡分數。

另一種寫法：設

x = 0. \overline{301}

，則

1000 x = 301. \overline{301}

，相減得

999 x = 301

。

無窮等比級數（首項不為

0

）收斂的條件是公比的絕對值小於

1

，和為「首項除以（

1

減公比）」。

04計算第 15～18 題（卷面第 6～7 題）：定義域、值域、合成函數

第 15 題根號內不可為負：

4 x - x^{2} \geq 0

，即

x (x - 4) \leq 0

，所以

0 \leq x \leq 4

。定義域為

{x ∣ 0 \leq x \leq 4}

。

第 16 題配方：

4 x - x^{2} = 4 - (x - 2)^{2}

。在定義域

0 \leq x \leq 4

內，

(x - 2)^{2}

由

0

（

x = 2

）取到

4

（

x = 0

或

4

），所以

4 x - x^{2}

的範圍是

0 \leq 4 x - x^{2} \leq 4

，而且中間的值都取得到。開根號得

0 \leq f (x) \leq 2

，值域為

{y ∣ 0 \leq y \leq 2}

。

y = 4 - (x - 2)^{2}

的圖形是以

(2, 0)

為圓心、半徑

2

的上半圓，從圖形也看得出

y

由

0

到

2

。

第 17 題

(f \circ g) (x) = f (g (x))

，把

g (x)

代進

f

的

x

：

f (3 x^{2} - 4) = (3 x^{2} - 4) + 2 = 3 x^{2} - 2

。

第 18 題

(g \circ f) (x) = g (f (x))

，把

f (x)

代進

g

的

x

：

g (x + 2) = 3 (x + 2)^{2} - 4 = 3 (x^{2} + 4 x + 4) - 4 = 3 x^{2} + 12 x + 8

。

f \circ g

與

g \circ f

一般不相等：合成是「先做右邊的函數，再做左邊的函數」，次序不能對調。

05計算第 19～20 題（卷面第 8 題）：三次函數圖形的凹向

第 19 題圖形凹口向上，是指在那一段圖形上任取兩點，連成的線段都在圖形的上方（圖形像碗口朝上）。由圖形看，原點右邊那一段先降後升、碗口朝上；又題目說圖形對稱於原點，原點就是三次函數圖形的對稱中心，凹向在這裡改變。所以圖形在

x > 0

的區間凹口向上。

用式子確認：取

x_{1}, x_{2} \geq 0

且

x_{1} \neq = x_{2}

，中點的函數值與兩端函數值的平均相比，一次項

- 4 x

兩邊相同，只需比三次項：

\frac{x _{1}^{3} + x _{2}^{3}}{2} - (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})^{3} = \frac{3 ( x _{1} + x _{2} ) ( x _{1} - x _{2} ) ^{2}}{8} > 0

，表示線段的中點在圖形上方，確實凹口向上。區間寫成

x \geq 0

也可以。

第 20 題原點左邊那一段先升後降、碗口朝下，任兩點連成的線段都在圖形的下方，所以圖形在

x < 0

的區間凹口向下。也可以由對稱看出：圖形對稱於原點，右半邊凹口向上的部分繞原點轉半圈後，就成為左半邊凹口向下的部分。

用上一小題的式子：

x_{1}, x_{2} \leq 0

且

x_{1} \neq = x_{2}

時

\frac{3 ( x _{1} + x _{2} ) ( x _{1} - x _{2} ) ^{2}}{8} < 0

，線段的中點在圖形下方。注意凹向的分界是對稱中心

x = 0

，不是圖形最高點或最低點的位置。

三次函數

y = a x^{3} + p x

（

a > 0

）的圖形以對稱中心為界：右邊凹口向上，左邊凹口向下；

a < 0

時相反。

06計算第 21～22 題（卷面第 9～10 題）：連續函數、夾擠定理

第 21 題

x > 5

與

x < 5

的部分各是多項式函數，本來就連續，只需要讓

f

在

x = 5

連續，也就是

x \to 5^{-} lim f (x) = x \to 5^{+} lim f (x) = f (5)

。右極限與函數值：

x \to 5^{+} lim (x + 2) = 7 = f (5)

。左極限：

x \to 5^{-} lim (3 x^{2} + 4 x + a) = 75 + 20 + a = 95 + a

。令

95 + a = 7

，得

a = - 88

。

驗算：

a = - 88

時，

x < 5

的式子在

x = 5

的值是

75 + 20 - 88 = 7

，與

x \geq 5

的式子接得上。

第 22 題

x \to 1

時，左邊

x \to 1 lim (4 x + 2) = 6

，右邊

x \to 1 lim (x^{2} + 2 x + 3) = 1 + 2 + 3 = 6

。

f (x)

被夾在兩個都趨近

6

的函數之間，由夾擠定理，

x \to 1 lim f (x) = 6

。

題目的不等式本身沒有矛盾：

(x^{2} + 2 x + 3) - (4 x + 2) = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2} \geq 0

，兩個函數的圖形正好在

x = 1

相切，所以兩邊的極限才會相等。

分段函數在分界點連續，要左極限、右極限、函數值三者相等；被兩個極限相同的函數夾住時，用夾擠定理。

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御藍教育／段考卷／高三

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一、填充題（每小題 4 分，共 40 分）｜卷面第 1、2 題各有 5 小題，本頁編為第 1～10 題

卷面第 1 題（第 1～5 題）　判斷下列各數列為收斂或發散？若收斂，請寫出其極限值；若發散，請寫發散。

(1)

a_{n} = 1 + (0.99)^{n}

(2)

b_{n} = (- 1)^{n}

(3)

c_{n} = 2

(4)

d_{n} = \frac{1 + 2 n}{3 + 4 n}

(5)

e_{n} = 5 n + 6

卷面第 2 題（第 6～10 題）　判斷下列各函數的極限是否存在？若存在，請寫出其極限值；若不存在，請寫不存在。（

[x]

的定義是小於或等於

x

的最大整數，例如：

[2.5] = 2

，

[3] = 3

，

[- 2.5] = - 3

）

(1)

x \to 3 lim x^{2}

(2)

x \to 3 lim \frac{x}{∣ x ∣}

(3)

x \to 3 lim [x]

(4)

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 3}

(5)

x \to 3 lim (\frac{4}{x - 3} - \frac{12}{x ^{2} - 3 x})

二、計算題（每(小)題 5 分，共 60 分）｜卷面第 3～10 題共 12 小題，本頁編為第 11～22 題

卷面第 3 題（第 11～12 題）　回答下列各小題：

(1) 試求

k = 2 \sum 10 (k^{2})

的值。

(2) 設

k = 2 \sum 10 a_{k} = 1

，

k = 2 \sum 10 b_{k} = 2

，試求

k = 2 \sum 10 (3 a_{k} + 4 b_{k} + 5)

的值。

（卷面第 4 題）設

a, b

為實數，已知無窮等比級數

a + a (\frac{2 b}{1 + b}) + a (\frac{2 b}{1 + b})^{2} + a (\frac{2 b}{1 + b})^{3} + \dots\dots

為一個收斂級數，其中

a \neq = 0

，

b \neq = 0, - 1

，試求實數

b

的最大範圍為何？

（卷面第 5 題）試將循環小數

0. \overline{301}

化為有理數。

卷面第 6 題（第 15～16 題）　已知函數

f (x) = 4 x - x^{2}

，試求：

(1)

f (x)

的定義域。

(2)

f (x)

的值域。

卷面第 7 題（第 17～18 題）　已知兩函數

f (x) = x + 2

，

g (x) = 3 x^{2} - 4

，試求：

(1) 合成函數

(f \circ g) (x)

。

(2) 合成函數

(g \circ f) (x)

。

卷面第 8 題（第 19～20 題）　下圖為

f (x) = x^{3} - 4 x

的函數圖形，已知此函數圖形對稱於原點，試問：

(1)

f (x)

的函數圖形在哪個區間凹口向上？

載入中...

(2)

f (x)

的函數圖形在哪個區間凹口向下？

（卷面第 9 題）設

a

為實數，已知函數

f (x) = {x + 2, 3 x^{2} + 4 x + a, x \geq 5 x < 5

為連續函數，試求實數

a

值。

（卷面第 10 題）已知函數

f (x)

滿足

4 x + 2 \leq f (x) \leq x^{2} + 2 x + 3

，其中

x

為任意實數，試求

x \to 1 lim f (x)

的值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題收斂，極限值為

1

第 2 題發散

第 3 題收斂，極限值為

2

第 4 題收斂，極限值為

\frac{1}{2}

第 5 題發散

第 6 題存在，極限值為

9

第 7 題存在，極限值為

1

第 8 題不存在

第 9 題存在，極限值為

1

第 10 題存在，極限值為

\frac{4}{3}

第 11 題

384

第 12 題

56

第 13 題

- \frac{1}{3} < b < 1

且

b \neq = 0

第 14 題

\frac{301}{999}

第 15 題

{x ∣ 0 \leq x \leq 4}

第 16 題

{y ∣ 0 \leq y \leq 2}

第 17 題

3 x^{2} - 2

第 18 題

3 x^{2} + 12 x + 8

第 19 題

x > 0

第 20 題

x < 0

第 21 題

- 88

第 22 題

6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充第 1～5 題（卷面第 1 題）：數列收斂或發散

第 1 題

⟨(0.99)^{n} ⟩

是公比

0.99

的等比數列，

∣0.99∣ < 1

，所以

(0.99)^{n}

趨近

0

，

a_{n} = 1 + (0.99)^{n}

趨近

1 + 0 = 1

。收斂，極限值為

1

。

0.99

很接近

1

，前幾項降得很慢（

a_{100} \approx 1.37

），但只要公比的絕對值小於

1

，

n

夠大時

(0.99)^{n}

就會任意接近

0

。

第 2 題各項依序是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，奇數項恆為

- 1

、偶數項恆為

1

，不會趨近同一個定值，所以發散。

第 3 題每一項都是

2

，是常數數列，當然趨近

2

。收斂，極限值為

2

。

第 4 題分子、分母同除以

n

：

d_{n} = \frac{\frac{1}{n} + 2}{\frac{3}{n} + 4}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{n} \to 0

、

\frac{3}{n} \to 0

，所以

d_{n}

趨近

\frac{0 + 2}{0 + 4} = \frac{1}{2}

。收斂，極限值為

\frac{1}{2}

。

第 5 題

e_{n} = 5 n + 6

是公差

5

的等差數列，各項

11, 16, 21, \dots

會越來越大、超過任何定值，不趨近某個實數，所以發散。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

：

∣ r ∣ < 1

時趨近

0

，

r = 1

時趨近

1

，其餘發散；分式型的數列先同除以分母的最高次。

02填充第 6～10 題（卷面第 2 題）：函數的極限是否存在

第 6 題

x^{2}

是多項式函數，直接代入：

x \to 3 lim x^{2} = 3^{2} = 9

。存在，極限值為

9

。

第 7 題

x

靠近

3

時

x > 0

，所以

∣ x ∣ = x

，

\frac{x}{∣ x ∣} = 1

。在

3

的附近函數值恆為

1

，極限存在，極限值為

1

。

這個函數只在

x \to 0

時左、右極限不相等（左邊

- 1

、右邊

1

）；本題是

x \to 3

，兩邊都是

1

。

第 8 題

x

從左邊靠近

3

（

2 < x < 3

）時

[x] = 2

，左極限為

2

；

x

從右邊靠近

3

（

3 < x < 4

）時

[x] = 3

，右極限為

3

。左、右極限不相等，所以極限不存在。

[3] = 3

是函數值，不是極限；極限只看靠近

3

時的走向。

第 9 題代入

x = 3

分子、分母都是

0

，先分解：

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

。

x \neq = 3

時

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = x - 2

，所以極限為

3 - 2 = 1

。存在，極限值為

1

。

第 10 題兩個分式各自在

x \to 3

時都沒有極限，不能分開算，要先通分。

x^{2} - 3 x = x (x - 3)

，所以

\frac{4}{x - 3} - \frac{12}{x ( x - 3 )} = \frac{4 x - 12}{x ( x - 3 )} = \frac{4 ( x - 3 )}{x ( x - 3 )}

。

x \neq = 3

時約去

x - 3

得

\frac{4}{x}

，

x \to 3

時趨近

\frac{4}{3}

。存在，極限值為

\frac{4}{3}

。

極限看的是「靠近時」的走向：遇到絕對值、高斯符號先看該點附近的式子長什麼樣；代入得

\frac{0}{0}

時先分解或通分，約去公因式再代入。

03計算第 11～14 題（卷面第 3～5 題）：Σ、無窮等比級數、循環小數

第 11 題

k

從

2

開始，比從

1

開始少了

k = 1

那一項。由平方和公式

k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

，得

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385

，所以

k = 2 \sum 10 k^{2} = 385 - 1^{2} = 384

。

第 12 題把 Σ 對加法與常數倍拆開：

k = 2 \sum 10 (3 a_{k} + 4 b_{k} + 5) = 3 k = 2 \sum 10 a_{k} + 4 k = 2 \sum 10 b_{k} + k = 2 \sum 10 5

。

k

從

2

到

10

共

10 - 2 + 1 = 9

項，所以

k = 2 \sum 10 5 = 5 \times 9 = 45

。原式

= 3 \times 1 + 4 \times 2 + 45 = 56

。

常數

5

要加

9

次，不是

10

次：項數是「上限減下限再加

1

」。

第 13 題這個級數的首項是

a

（

a \neq = 0

），公比是

r = \frac{2 b}{1 + b}

。首項不為

0

的無窮等比級數收斂的條件是

∣ r ∣ < 1

，即

\frac{2 b}{1 + b} < 1

。因為

b \neq = - 1

，

∣1 + b ∣ > 0

，兩邊同乘

∣1 + b ∣

得

∣2 b ∣ < ∣1 + b ∣

。兩邊都不是負數，平方後不等號方向不變：

4 b^{2} < (1 + b)^{2}

，整理得

3 b^{2} - 2 b - 1 < 0

，即

(3 b + 1) (b - 1) < 0

，所以

- \frac{1}{3} < b < 1

。再配合題目的條件

b \neq = 0

（

b \neq = - 1

已經不在這個範圍內），得

- \frac{1}{3} < b < 1

且

b \neq = 0

。

b = 0

時公比是

0

，級數其實也收斂，但題目已規定

b \neq = 0

，所以答案要把

0

挖掉。驗算：

b = \frac{1}{2}

時

r = \frac{2}{3}

，收斂；

b = 1

時

r = 1

、

b = - \frac{1}{3}

時

r = - 1

，都發散。

第 14 題

0. \overline{301} = 0.301301301 \dots = 0.301 + 0.000301 + 0.000000301 + \dots

，是首項

0.301

、公比

0.001

的無窮等比級數。公比的絕對值小於

1

，所以和為

\frac{0.301}{1 - 0.001} = \frac{0.301}{0.999} = \frac{301}{999}

。

301 = 7 \times 43

、

999 = 3^{3} \times 37

，沒有公因數，已是最簡分數。

另一種寫法：設

x = 0. \overline{301}

，則

1000 x = 301. \overline{301}

，相減得

999 x = 301

。

無窮等比級數（首項不為

0

）收斂的條件是公比的絕對值小於

1

，和為「首項除以（

1

減公比）」。

04計算第 15～18 題（卷面第 6～7 題）：定義域、值域、合成函數

第 15 題根號內不可為負：

4 x - x^{2} \geq 0

，即

x (x - 4) \leq 0

，所以

0 \leq x \leq 4

。定義域為

{x ∣ 0 \leq x \leq 4}

。

第 16 題配方：

4 x - x^{2} = 4 - (x - 2)^{2}

。在定義域

0 \leq x \leq 4

內，

(x - 2)^{2}

由

0

（

x = 2

）取到

4

（

x = 0

或

4

），所以

4 x - x^{2}

的範圍是

0 \leq 4 x - x^{2} \leq 4

，而且中間的值都取得到。開根號得

0 \leq f (x) \leq 2

，值域為

{y ∣ 0 \leq y \leq 2}

。

y = 4 - (x - 2)^{2}

的圖形是以

(2, 0)

為圓心、半徑

2

的上半圓，從圖形也看得出

y

由

0

到

2

。

第 17 題

(f \circ g) (x) = f (g (x))

，把

g (x)

代進

f

的

x

：

f (3 x^{2} - 4) = (3 x^{2} - 4) + 2 = 3 x^{2} - 2

。

第 18 題

(g \circ f) (x) = g (f (x))

，把

f (x)

代進

g

的

x

：

g (x + 2) = 3 (x + 2)^{2} - 4 = 3 (x^{2} + 4 x + 4) - 4 = 3 x^{2} + 12 x + 8

。

f \circ g

與

g \circ f

一般不相等：合成是「先做右邊的函數，再做左邊的函數」，次序不能對調。

05計算第 19～20 題（卷面第 8 題）：三次函數圖形的凹向

x > 0

的區間凹口向上。

用式子確認：取

x_{1}, x_{2} \geq 0

且

x_{1} \neq = x_{2}

，中點的函數值與兩端函數值的平均相比，一次項

- 4 x

兩邊相同，只需比三次項：

\frac{x _{1}^{3} + x _{2}^{3}}{2} - (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})^{3} = \frac{3 ( x _{1} + x _{2} ) ( x _{1} - x _{2} ) ^{2}}{8} > 0

，表示線段的中點在圖形上方，確實凹口向上。區間寫成

x \geq 0

也可以。

第 20 題原點左邊那一段先升後降、碗口朝下，任兩點連成的線段都在圖形的下方，所以圖形在

x < 0

的區間凹口向下。也可以由對稱看出：圖形對稱於原點，右半邊凹口向上的部分繞原點轉半圈後，就成為左半邊凹口向下的部分。

用上一小題的式子：

x_{1}, x_{2} \leq 0

且

x_{1} \neq = x_{2}

時

\frac{3 ( x _{1} + x _{2} ) ( x _{1} - x _{2} ) ^{2}}{8} < 0

，線段的中點在圖形下方。注意凹向的分界是對稱中心

x = 0

，不是圖形最高點或最低點的位置。

三次函數

y = a x^{3} + p x

（

a > 0

）的圖形以對稱中心為界：右邊凹口向上，左邊凹口向下；

a < 0

時相反。

06計算第 21～22 題（卷面第 9～10 題）：連續函數、夾擠定理

第 21 題

x > 5

與

x < 5

的部分各是多項式函數，本來就連續，只需要讓

f

在

x = 5

連續，也就是

x \to 5^{-} lim f (x) = x \to 5^{+} lim f (x) = f (5)

。右極限與函數值：

x \to 5^{+} lim (x + 2) = 7 = f (5)

。左極限：

x \to 5^{-} lim (3 x^{2} + 4 x + a) = 75 + 20 + a = 95 + a

。令

95 + a = 7

，得

a = - 88

。

驗算：

a = - 88

時，

x < 5

的式子在

x = 5

的值是

75 + 20 - 88 = 7

，與

x \geq 5

的式子接得上。

第 22 題

x \to 1

時，左邊

x \to 1 lim (4 x + 2) = 6

，右邊

x \to 1 lim (x^{2} + 2 x + 3) = 1 + 2 + 3 = 6

。

f (x)

被夾在兩個都趨近

6

的函數之間，由夾擠定理，

x \to 1 lim f (x) = 6

。

題目的不等式本身沒有矛盾：

(x^{2} + 2 x + 3) - (4 x + 2) = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2} \geq 0

，兩個函數的圖形正好在

x = 1

相切，所以兩邊的極限才會相等。

分段函數在分界點連續，要左極限、右極限、函數值三者相等；被兩個極限相同的函數夾住時，用夾擠定理。

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