段考詳解範圍：數列與函數的極限（選修數學甲上第一章：數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限與連續、夾擠定理、勘根定理）

建國中學 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 32 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 32 題，照原卷順序

是非題 21 題（每題 2 分，共 42 分）、選填題 3 格（每格 6 分，共 18 分）、混合題 8 題（每題 5 分，共 40 分）；滿分 100 分。原卷注意事項：本卷出現的函數都滿足定義域與對應域都是實數的部分集合；若在呈現一個函數時未指明定義域，則定義域就是使函數有意義的最大集合

一、是非題（每題 2 分，共 42 分）

由於

n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0

，因此無窮數列

⟨ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} ⟩

：

1, 1 + \frac{1}{2}, 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}, \dots

不只遞增且有上界，為收斂數列。

當我們從校園走向圍牆時，若從出發點朝向牆腳

H

走直線，途中必定會經過一個中途點

M_{1}

。接著，從

M_{1}

再直線前往

H

，又會有另一個中途點

M_{2}

，依此類推，從

M_{2}

再向

H

走，又會出現新的中途點

M_{3}

，這樣不斷重複，會有無限多個中途點要經過，然而每個人的時間有限，因此我們走不到

H

，更不可能爬牆或穿牆。

若

f (x) = \frac{( x - 1 ) ( x + 91 )}{x - 1}

，

g (x) = x + 91

，則兩函數是同一個函數。

x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x + 91 )}{x - 1} = x \to 1 lim (x + 91)

x \to 1 lim \frac{x - 1}{x - 1} = \frac{1}{2}

若

f (x) = 2024 x

，

g (x) = \frac{x}{2024}

，則兩函數互為反函數。

若

f (x) = ∣ x ∣

，

g (x) = - ∣ x ∣

，則兩函數互為反函數。

若

[x]

表示小於或等於

x

的最大整數，則對於所有實數

x

，算式

[1 - 3 x] = - [3 x - 1]

恆成立。

若

f (x) = \frac{cos x}{x}

，因為

f (- 1) < 0

，

f (1) > 0

，由勘根定理知，在區間

(- 1, 1)

內必有方程式

f (x) = 0

的實根。

若

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}, k, x \neq = 3 x = 3

（

k \in

實數）在

x = 3

連續，則

k = 6

。

若

f (x) = x^{2} + 2 x

，

g (x) = x + 8

，則

(g \circ f) (1) + (f \circ g) (2) = 131

。

f (x) = 36 - 2 x - x^{2}

的值域為

[0, 6]

。

x \to - 2 lim \frac{( x + 1 ) ^{102} - 1}{x + 2} = x \to - 2 lim \frac{( x + 1 ) ^{100} ( x + 1 ) ^{2} - 1}{x + 2} = x \to - 2 lim \frac{( x + 1 ) ^{100} ( x + 1 ) ^{2} - ( x + 1 ) ^{100}}{x + 2}

= x \to - 2 lim \frac{( x + 1 ) ^{100} [ ( x + 1 ) ^{2} - 1 ]}{x + 2} = x \to - 2 lim \frac{( x + 1 ) ^{100} [ ( x + 2 ) x ]}{x + 2} = x \to - 2 lim (x + 1)^{100} x = - 2

題組甲（第 14～19 題）　已知無窮數列

⟨ a_{n} ⟩ = ⟨ 1. 000 \dots 0 n 個 0 1 ⟩

：

1.01, 1.001, 1.0001, \dots, 1. 000 \dots 0 n 個 0 1, \dots

。而且

⟨ a_{n} ⟩

為收斂數列，極限為

L

。請判斷第 14～19 題的敘述是否正確。

L

可以用符號

n \to \infty lim 1. 000 \dots 0 n 個 0 1

來表示。

L > 1

L

是集合

⎩ ⎨ ⎧ 1. 000 \dots 0 n 個 0 1 n \in 正整數 ⎭ ⎬ ⎫

中的一個元素。

L > n \to \infty lim 0. 999 \dots 9 n 個 9

L > 0. \overline{9} \times 0. \overline{9}

L = 1.1 - n \to \infty lim k = 0 \sum n 0.09 \times 1 0^{- k}

題組乙（第 20～21 題）　已知

A (0, 3)

，

B (4, 0)

為坐標平面上兩點，現在用

n

段等長的水平線段與

n

段等長的鉛直線段連接這兩點，如下圖所示（由左至右分別展示了

n = 2, 3, 4

的情形）。設

S_{k}

代表當

n = k

時，這些連接

A

和

B

兩點的

k

段水平線與

k

段鉛直線的長度總和。例如

S_{2}

代表

2

段水平線與

2

段鉛直線的長度總和

\frac{4}{2} + \frac{4}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2}

。請判斷第 20 與 21 題的敘述是否正確。

S_{3} = S_{4} = 7

載入中...

k \to \infty lim S_{k} = 5

二、選填題（3 格，每格 6 分，共 18 分）｜（原卷題號 A～C，本頁編為第 22～24 題）

若數列

⟨ \frac{3 n ^{3}}{n ^{3} + 9} ⟩

的極限

n \to \infty lim \frac{3 n ^{3}}{n ^{3} + 9} = L

，則此數列從第 ____ 項開始，其值與

L

的差

\frac{3 n ^{3}}{n ^{3} + 9} - L

會小於

\frac{1}{1000}

。

假設數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

a_{1} = a_{2} = 1

，

a_{n + 2} = a_{n + 1} + 2 a_{n}

，

n = 1, 2, 3, \dots

，設

b_{n} = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

，且已知

⟨ b_{n} ⟩

為收斂數列，則

n \to \infty lim b_{n} =

____。

設

(1 + 3)^{n} = a_{n} + b_{n} 3

，

n = 1, 2, 3, \dots

，其中

a_{n}

與

b_{n}

都是有理數，且已知極限

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}}

存在，則

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} =____

。

三、混合題（每題 5 分，共 40 分，請在答案卷上作答）｜（原卷題號 1～8，本頁編為第 25～32 題；含單選題、填充題與計算證明題）

混合題（第 25～32 題）　建仔希望利用極限的概念來探討某物體的溫度（°C）隨時間（分鐘）的變化過程，假設物體在初始時刻（時間

0

）的溫度為

128

°C，並且用函數

f (x)

來表示物體在時間

x

的溫度，例如

f (0) = 128

。根據牛頓冷卻定律，物體的瞬時溫度變化速率與室溫與當時的溫度之間的溫差成正比。所謂的「瞬時溫度變化速率」指的是在一段趨近於零的時間內，溫度變化的量除以這段時間的長度。已知室溫恆定為

20

°C，且物體在任意時間

k

的溫度瞬時變化速率正好等於室溫與當時溫度的溫差，即

x \to k lim \frac{f ( x ) - f ( k )}{x - k} = 20 - f (k)

，

k \geq 0

。例如，物體在時間

0

的瞬時溫度變化速率為

20 - f (0) = 20 - 128 = - 108

°C／分鐘。由於溫度的瞬時變化速率隨時間不斷變化，難以直接算出

f (1)

的值。為此，建仔計劃先進行溫度的估計，包括低估與高估，並最終利用極限的概念和夾擠定理來推導出

f (1)

的值。特別說明：若某值

α

被稱為

a

的低估值，則表示

α \leq a

。例如，

3

是圓周率

π = 3.14 \dots

的一個低估值。請回答下列問題（原卷第 1～8 題，本頁第 25～32 題）。

若在對

f (1)

進行估計時，假設

1

分鐘內的溫度變化速率保持恆定，且等於時間

0

的瞬時變化速率

- 108

°C／分鐘。請問，根據這樣的計算，

f (1)

的低估值是多少？（單選題）

(1) $90$
(2) $86$
(3) $74$
(4) $60$
(5) $20$

假設將時間從

0

到

1

分鐘均分為兩個階段：第一階段是

0

到

0.5

分鐘，第二階段是

0.5

分鐘到

1

分鐘。第一階段的溫度變化速率恆為時間

0

的瞬時變化速率，第二階段的溫度變化速率則根據

0.5

分鐘時的估計溫度推算。計算過程如下：

時間 0 \frac{1}{2} 1 溫度（估計） 128 128 + \frac{1}{2} \times (- 108) = 74 74 + \frac{1}{2} \times (- 54) = 47 溫度瞬時變化速率（估計） - 108 - 54 - 27

請問，根據這樣的計算，

f (1)

的低估值是多少？（單選題）

(1) $108$
(2) $74$
(3) $54$
(4) $47$
(5) $27$

載入中...

假設將時間從

0

到

1

分鐘均分為三個階段，每個階段的時間長度為

\frac{1}{3}

分鐘，請仿照前一題的估算方式，將下表完成：（填充題）

時間 0 \frac{1}{3} \frac{2}{3} 1 溫度（估計） 128 128 + \frac{1}{3} \times (- 108) = 92________溫度瞬時變化速率（估計） - 108____________

載入中...

假設將時間從

0

到

1

分鐘均分為

n

個階段，每個階段的時間長度為

\frac{1}{n}

分鐘，並仿照前一題的方式進行計算。令

t_{n, i}

表示在時間

\frac{i}{n}

時，溫度的低估值，並定義

d_{n, i} = 20 - t_{n, i}

，

i = 0, 1, 2, 3, \dots, n

。

時間 0 \frac{1}{n} \frac{2}{n} \dots \frac{n - 1}{n} 1 溫度（低估） t_{n, 0} = 128 t_{n, 1} = t_{n, 0} + \frac{1}{n} \times d_{n, 0} t_{n, 2} = t_{n, 1} + \frac{1}{n} \times d_{n, 1} \dots t_{n, n - 1} = t_{n, n - 2} + \frac{1}{n} \times d_{n, n - 2} t_{n, n} = t_{n, n - 1} + \frac{1}{n} \times d_{n, n - 1} 溫度瞬時變化速率（估計） d_{n, 0} = - 108 d_{n, 1} = 20 - t_{n, 1} d_{n, 2} = 20 - t_{n, 2} \dots d_{n, n - 1} = 20 - t_{n, n - 1} d_{n, n} = 20 - t_{n, n}

請證明：

t_{n, n} = 108 (\frac{n - 1}{n})^{n} + 20

。

已知自然常數

e = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n}

，請證明：

n \to \infty lim (\frac{n - 1}{n})^{n} = \frac{1}{e}

。提示：

(\frac{n - 1}{n})^{n} = \frac{1}{( \frac{n}{n - 1} ) ^{n}} = \frac{1}{( 1 + \frac{1}{n - 1} ) ^{n}}

將時間均分為

1

、

2

、

3

、

\dots

、

n

個階段所計算的

f (1)

的低估值寫成數列，再利用上一題的結果，找出當

n

趨近無限大時，該無窮數列的極限值。

假設同樣將時間從

0

到

1

分鐘均分為

n

個階段，每個階段的時間長度為

\frac{1}{n}

分鐘，令

T_{n, i}

表示在時間

\frac{i}{n}

時，溫度的高估值，

t_{n, i}

與

d_{n, i}

的定義與第 4 題（本頁第 28 題）相同，並使用下表中的計算方式計算

T_{n, i}

，

i = 0, 1, 2, 3, \dots, n

。

時間 0 \frac{1}{n} \frac{2}{n} \dots \frac{n - 1}{n} 1 溫度（高估） T_{n, 0} = 128 T_{n, 1} = T_{n, 0} + \frac{1}{n} \times d_{n, 1} T_{n, 2} = T_{n, 1} + \frac{1}{n} \times d_{n, 2} \dots T_{n, n - 1} = T_{n, n - 2} + \frac{1}{n} \times d_{n, n - 1} T_{n, n} = T_{n, n - 1} + \frac{1}{n} \times d_{n, n} 溫度瞬時變化速率（估計） d_{n, 1} = 20 - t_{n, 1} d_{n, 2} = 20 - t_{n, 2} d_{n, 3} = 20 - t_{n, 3} \dots d_{n, n} = 20 - t_{n, n}

請利用第 4 題（本頁第 28 題）的結果，證明：

T_{n, n} = (\frac{n - 1}{n}) t_{n, n} + \frac{128}{n}

。

請利用以上結果，推論並算出此物體

1

分鐘後的溫度，即

f (1)

的值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

101

111

122

132

141

152

162

172

182

191

201

212

第 22 題

30

第 23 題

2

第 24 題

3

（即極限為

3

）

第 25 題(5)

第 26 題(4)

第 27 題時間

\frac{1}{3}

：速率

- 72

；時間

\frac{2}{3}

：溫度

92 + \frac{1}{3} \times (- 72) = 68

、速率

- 48

；時間

1

：溫度

68 + \frac{1}{3} \times (- 48) = 52

、速率

- 32

第 28 題（證明題）由

t_{n, i + 1} - 20 = \frac{n - 1}{n} (t_{n, i} - 20)

，

⟨ t_{n, i} - 20 ⟩

是首項

108

、公比

\frac{n - 1}{n}

的等比數列，見詳解

第 29 題（證明題）把分母拆成

(1 + \frac{1}{n - 1})^{n - 1} \times (1 + \frac{1}{n - 1})

，兩個因式的極限分別是

e

與

1

，見詳解

第 30 題

\frac{108}{e} + 20

第 31 題（證明題）

T_{n, n}

與

t_{n, n}

各自把

n

個速率加起來，兩者只差

\frac{1}{n} (d_{n, n} - d_{n, 0})

，見詳解

第 32 題

f (1) = \frac{108}{e} + 20

（約

59.7

°C）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1、2 題：一般項趨近 0，和不一定收斂；無限多段，總和可以有限

第 1 題2這個數列確實遞增，但沒有上界。把各項分組：

1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) + \dots

，其中

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}

，

\frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \times 4 = \frac{1}{2}

，之後每一組（項數依序為

8, 16, \dots

）也都大於

\frac{1}{2}

。所以加到第

2^{m}

項時，和大於

1 + \frac{m}{2}

，可以比任何數都大，數列發散。

n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0

只說明「加上去的數越來越小」，推不出「加起來有上界」。

第 2 題2中途點有無限多個，但經過它們所需的時間總和是有限的。設以等速走完全程要

T

分鐘，則出發點到

M_{1}

花

\frac{T}{2}

，

M_{1}

到

M_{2}

花

\frac{T}{4}

，

M_{2}

到

M_{3}

花

\frac{T}{8}

，依此類推。總時間是首項

\frac{T}{2}

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，和為

\frac{T /2}{1 - \frac{1}{2}} = T

，所以走

T

分鐘就到

H

。

「有無限多段」不等於「要花無限久」：公比的絕對值小於

1

的無窮等比級數會收斂。

02是非第 3～5 題：同一個函數與極限相等是兩回事

第 3 題2

f (x)

的分母不能為

0

，定義域是

x \neq = 1

的所有實數；

g (x)

的定義域是全體實數。定義域不同，就不是同一個函數（

g (1) = 92

，但

f (1)

沒有定義）。

第 4 題1

x \to 1

的極限只看

x

靠近

1

但

x \neq = 1

的函數值。當

x \neq = 1

時

\frac{( x - 1 ) ( x + 91 )}{x - 1} = x + 91

，兩個函數在

1

的附近（除了

1

本身）完全相同，所以極限相等，都是

92

。

第 3 題與第 4 題是一組：函數不同，但在

x \to 1

的極限相同。

第 5 題1

x - 1 = (x - 1) (x + 1)

，所以當

x \neq = 1

時

\frac{x - 1}{x - 1} = \frac{1}{x + 1}

。

x \to 1

時分母趨近

2

，極限為

\frac{1}{2}

。

03是非第 6～8 題：反函數與高斯符號

第 6 題1

f (g (x)) = 2024 \times \frac{x}{2024} = x

，

g (f (x)) = \frac{2024 x}{2024} = x

，對所有實數

x

都成立，所以

f

與

g

互為反函數。

第 7 題2互為反函數要滿足

g (f (x)) = x

。但

g (f (x)) = - ∣ x ∣ = - ∣ x ∣

，例如

g (f (1)) = - 1 \neq = 1

。事實上

f (1) = f (- 1) = 1

，

f

不是一對一函數，在全體實數上沒有反函數。

互為反函數的兩個圖形對稱於直線

y = x

；

y = ∣ x ∣

與

y = - ∣ x ∣

是對稱於

x

軸。

第 8 題2令

y = 3 x - 1

，題目的式子就是

[- y] = - [y]

，它只在

y

是整數時成立。反例：取

x = \frac{1}{2}

，則

1 - 3 x = - \frac{1}{2}

，

[1 - 3 x] = - 1

；而

3 x - 1 = \frac{1}{2}

，

- [3 x - 1] = 0

，兩邊不相等。

y

不是整數時，

[- y] = - [y] - 1

。

04是非第 9、10 題：勘根定理的前提與連續的條件

第 9 題2

f (- 1) = \frac{cos ( - 1 )}{- 1} = - cos 1 < 0

、

f (1) = cos 1 > 0

都沒錯，但勘根定理要求函數在閉區間

[- 1, 1]

上連續，而

f (x)

在

x = 0

沒有定義，不連續，定理不能用。事實上

f (x) = 0

要

cos x = 0

，而

1 < \frac{π}{2}

，在

(- 1, 1)

內

cos x > 0

，所以這個區間內沒有實根。

第 10 題1在

x = 3

連續的條件是

x \to 3 lim f (x) = f (3)

。當

x \neq = 3

時

\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x + 3

，所以

x \to 3 lim f (x) = 6

；而

f (3) = k

，得

k = 6

。

05是非第 11～13 題：合成函數、值域、檢查每一個等號

第 11 題1

(g \circ f) (1) = g (f (1)) = g (3) = 11

；

(f \circ g) (2) = f (g (2)) = f (10) = 100 + 20 = 120

。兩者相加

11 + 120 = 131

。

第 12 題2配方：

36 - 2 x - x^{2} = 37 - (x + 1)^{2}

，最大值是

37

（

x = - 1

時），最小可以到

0

。所以根號內的範圍是

[0, 37]

，

f (x)

的值域是

[0, 37]

，不是

[0, 6]

。

[0, 6]

是把一次項

- 2 x

漏掉、當成

36 - x^{2}

的結果。

第 13 題2第二個等號不成立：分子的

- 1

被換成了

- (x + 1)^{100}

，這兩個式子不相等，兩個極限也不相等。正確算法：令

u = x + 1

，則

x \to - 2

時

u \to - 1

，原式

= u \to - 1 lim \frac{u ^{102} - 1}{u + 1}

。因為

u^{102} - 1 = (u^{2} - 1) (u^{100} + u^{98} + \dots + u^{2} + 1)

，後一個括號共

51

項，所以

\frac{u ^{102} - 1}{u + 1} = (u - 1) (u^{100} + u^{98} + \dots + 1)

，

u \to - 1

時趨近

(- 2) \times 51 = - 102

。原式的值是

- 102

，不是

- 2

。

式子裡

x \to - 2

時

(x + 1)^{100} \to 1

，看起來「反正都是

1

」，但分母也趨近

0

，這時分子差一點點，極限就可能差很多。

06題組甲（第 14～19 題）：極限值 L＝1

第 14 題1

a_{n} = 1. 000 \dots 0 n 個 0 1 = 1 + \frac{1}{1 0 ^{n + 1}}

。數列

⟨ a_{n} ⟩

的極限本來就記作

n \to \infty lim a_{n}

，把

a_{n}

的寫法代進去就是題目的符號。又

\frac{1}{1 0 ^{n + 1}} \to 0

，所以

L = 1

。

第 15 題2

L = 1

，不大於

1

。每一項

a_{n}

都大於

1

，但取極限之後只能保證

L \geq 1

。

「每一項都大於某數」取極限後，不等號要補上等號。

第 16 題2這個集合就是所有的

a_{n}

，而每個

a_{n} = 1 + \frac{1}{1 0 ^{n + 1}} > 1

，沒有任何一項等於

1

，所以

L = 1

不在集合裡。

極限是數列「趨近」的值，不一定是數列中的某一項。

第 17 題2

0. 999 \dots 9 n 個 9 = 1 - \frac{1}{1 0 ^{n}}

，

n \to \infty

時極限為

1

。所以右邊等於

1

，而

L = 1

，兩邊相等，

L > 1

不成立。

第 18 題2

0. \overline{9} = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \dots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1

，所以

0. \overline{9} \times 0. \overline{9} = 1

，與

L

相等，不是

L

比較大。

第 19 題1

n \to \infty lim k = 0 \sum n 0.09 \times 1 0^{- k}

是首項

0.09

、公比

\frac{1}{10}

的無窮等比級數的和，等於

\frac{0.09}{1 - 0.1} = 0.1

。所以右邊

= 1.1 - 0.1 = 1 = L

。

k

從

0

開始，首項是

0.09

，不是

0.009

。

這一組六題都在問同一件事：

a_{n}

每一項都比

1

大一點點，但極限恰好是

1

；

0. \overline{9}

也恰好是

1

，不是「比

1

小一點點」。

07題組乙（第 20、21 題）：階梯折線的總長

第 20 題1

n = k

時，每段水平線段長

\frac{4}{k}

、共

k

段，合計

4

；每段鉛直線段長

\frac{3}{k}

、共

k

段，合計

3

。所以不論

k

是多少，

S_{k} = 4 + 3 = 7

，

S_{3} = S_{4} = 7

。

第 21 題2由上題，

⟨ S_{k} ⟩

是每一項都等於

7

的常數數列，極限是

7

，不是

5

。

5

是線段

\overline{A B}

的長（

4^{2} + 3^{2}

）。階梯折線看起來越來越貼近

\overline{A B}

，但折線的長度一直是

7

，不會趨近

5

：圖形看起來接近，長度不一定接近。

08選填 A～C（第 22～24 題）：數列的極限

第 22 題分子分母同除以

n^{3}

：

\frac{3 n ^{3}}{n ^{3} + 9} = \frac{3}{1 + \frac{9}{n ^{3}}} \to 3

，所以

L = 3

。差

\frac{3 n ^{3}}{n ^{3} + 9} - 3 = \frac{3 n ^{3} - 3 n ^{3} - 27}{n ^{3} + 9} = \frac{27}{n ^{3} + 9}

。要它小於

\frac{1}{1000}

，即

n^{3} + 9 > 27000

，

n^{3} > 26991

。因為

2 9^{3} = 24389 < 26991

、

3 0^{3} = 27000 > 26991

，且

\frac{27}{n ^{3} + 9}

隨

n

變大而變小，所以從第

30

項開始。

3 0^{3}

剛好是

27000

，只比

26991

多

9

；分母的

+ 9

不能省略，省略後會變成

n^{3} > 27000

而答成

31

。

第 23 題各項

a_{n}

都是正數，遞迴式兩邊同除以

a_{n + 1}

：

\frac{a _{n + 2}}{a _{n + 1}} = 1 + \frac{2 a _{n}}{a _{n + 1}}

，即

b_{n + 1} = 1 + \frac{2}{b _{n}}

。由此

b_{n + 1} > 1

，所以極限

r = n \to \infty lim b_{n} \geq 1

，不為

0

。兩邊取極限：

r = 1 + \frac{2}{r}

，

r^{2} - r - 2 = 0

，

(r - 2) (r + 1) = 0

，取

r = 2

（

r = - 1

不合）。

實際列幾項：

a_{n}

為

1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, \dots

，

b_{n}

為

1, 3, \frac{5}{3}, \frac{11}{5}, \frac{21}{11}, \frac{43}{21}, \dots

，在

2

的兩側來回靠近。

第 24 題

(1 + 3)^{n + 1} = (a_{n} + b_{n} 3) (1 + 3) = (a_{n} + 3 b_{n}) + (a_{n} + b_{n}) 3

。

a_{n}, b_{n}

都是有理數，比較兩邊得

a_{n + 1} = a_{n} + 3 b_{n}

、

b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}

。由

a_{1} = b_{1} = 1

知各項都是正數。令

r_{n} = \frac{a _{n}}{b _{n}}

，則

r_{n + 1} = \frac{a _{n} + 3 b _{n}}{a _{n} + b _{n}} = \frac{r _{n} + 3}{r _{n} + 1}

。設極限為

r

（

r \geq 0

），兩邊取極限：

r = \frac{r + 3}{r + 1}

，

r^{2} + r = r + 3

，

r^{2} = 3

，

r = 3

。空格填

3

。

另一個看法：同樣展開可得

(1 - 3)^{n} = a_{n} - b_{n} 3

，而

1 - 3 < 1

，所以

a_{n} - b_{n} 3 \to 0

；

b_{n}

越來越大，除以

b_{n}

後

\frac{a _{n}}{b _{n}} - 3 \to 0

。

題目已經告訴你極限存在時，把遞迴式改寫成「下一項＝這一項的式子」，兩邊同時取極限解方程式，再用各項的正負號或範圍挑出合理的根。

09混合題 1～3（第 25～27 題）：分段估計 f(1)

第 25 題答案 (5)。整整

1

分鐘都用速率

- 108

°C／分鐘：

128 + 1 \times (- 108) = 20

。

實際上溫度越接近室溫降得越慢，全程都用一開始最快的速率來降，估出來的溫度會偏低，所以是低估值。

第 26 題答案 (4)。照表格：

0.5

分鐘時估計

128 + \frac{1}{2} \times (- 108) = 74

，此時的速率估計為

20 - 74 = - 54

；

1

分鐘時估計

74 + \frac{1}{2} \times (- 54) = 47

。所以

f (1)

的低估值是

47

。

問的是

1

分鐘時的溫度，是表格最後一列的溫度

47

；

- 27

是那個時刻的速率，

74

是

0.5

分鐘時的溫度。

第 27 題每一列的速率

= 20 -

該列的估計溫度，下一列的溫度

=

這一列的溫度

+ \frac{1}{3} \times

這一列的速率。時間

\frac{1}{3}

：溫度

92

，速率

20 - 92 = - 72

。時間

\frac{2}{3}

：溫度

92 + \frac{1}{3} \times (- 72) = 68

，速率

20 - 68 = - 48

。時間

1

：溫度

68 + \frac{1}{3} \times (- 48) = 52

，速率

20 - 52 = - 32

。

三次的低估值

20

、

47

、

52

越來越大：分得越細，低估得越少。溫差

108, 72, 48, 32

是公比

\frac{2}{3}

的等比數列，下一題就是把這個規律寫成一般式。

10混合題 4～6（第 28～30 題）：低估值的一般式與極限

第 28 題由表格，對

i = 0, 1, \dots, n - 1

都有

t_{n, i + 1} = t_{n, i} + \frac{1}{n} d_{n, i} = t_{n, i} + \frac{1}{n} (20 - t_{n, i})

（

i = 0

時

d_{n, 0} = - 108 = 20 - t_{n, 0}

也符合）。兩邊同減

20

：

t_{n, i + 1} - 20 = (t_{n, i} - 20) - \frac{1}{n} (t_{n, i} - 20) = \frac{n - 1}{n} (t_{n, i} - 20)

。所以

t_{n, 0} - 20, t_{n, 1} - 20, \dots, t_{n, n} - 20

是首項

128 - 20 = 108

、公比

\frac{n - 1}{n}

的等比數列，第

n

次之後

t_{n, n} - 20 = 108 (\frac{n - 1}{n})^{n}

，即

t_{n, n} = 108 (\frac{n - 1}{n})^{n} + 20

。

關鍵是看「與室溫的差」

t_{n, i} - 20

：每走一個階段，這個差就乘上

1 - \frac{1}{n}

。用

n = 2

檢查：

108 \times \frac{1}{4} + 20 = 47

；

n = 3

：

108 \times \frac{8}{27} + 20 = 52

，與前兩題相同。

第 29 題對

n \geq 2

，照提示

(\frac{n - 1}{n})^{n} = \frac{1}{( 1 + \frac{1}{n - 1} ) ^{n}} = \frac{1}{( 1 + \frac{1}{n - 1} ) ^{n - 1} \times ( 1 + \frac{1}{n - 1} )}

。令

m = n - 1

，

n \to \infty

時

m \to \infty

，所以

(1 + \frac{1}{n - 1})^{n - 1} = (1 + \frac{1}{m})^{m} \to e

；又

1 + \frac{1}{n - 1} \to 1

。兩個因式的極限都存在，且乘積的極限

e \times 1 = e \neq = 0

，由極限的運算性質，

n \to \infty lim (\frac{n - 1}{n})^{n} = \frac{1}{e \times 1} = \frac{1}{e}

。

已知的是「底數

1 + \frac{1}{m}

、指數也是

m

」的極限，指數與分母要湊成同一個數才能用，多出來的一次方另外處理。

第 30 題分成

n

個階段的低估值就是第 28 題的

t_{n, n} = 108 (\frac{n - 1}{n})^{n} + 20

。由第 29 題，

n \to \infty lim t_{n, n} = 108 \times \frac{1}{e} + 20 = \frac{108}{e} + 20

。

e \approx 2.718

，這個值約為

59.7

。數列的前三項是

20, 47, 52

，逐漸往

59.7

靠近。

11混合題 7、8（第 31、32 題）：高估值與夾擠定理

第 31 題把高估表的各列加起來：

T_{n, n} = 128 + \frac{1}{n} (d_{n, 1} + d_{n, 2} + \dots + d_{n, n})

。同樣把第 28 題低估表的各列加起來：

t_{n, n} = 128 + \frac{1}{n} (d_{n, 0} + d_{n, 1} + \dots + d_{n, n - 1})

。兩式相減，中間的

d_{n, 1}, \dots, d_{n, n - 1}

全部消掉：

T_{n, n} - t_{n, n} = \frac{1}{n} (d_{n, n} - d_{n, 0})

。代入

d_{n, n} = 20 - t_{n, n}

、

d_{n, 0} = - 108

：

T_{n, n} = t_{n, n} + \frac{1}{n} (20 - t_{n, n} + 108) = (1 - \frac{1}{n}) t_{n, n} + \frac{128}{n} = (\frac{n - 1}{n}) t_{n, n} + \frac{128}{n}

。

高估表每個階段用的是「階段結束時」的速率（降得比較慢），低估表用的是「階段開始時」的速率（降得比較快），兩張表用的速率只差頭尾各一個。

第 32 題對每個正整數

n

，

t_{n, n}

是

f (1)

的低估值、

T_{n, n}

是高估值，所以

t_{n, n} \leq f (1) \leq T_{n, n}

。由第 30 題，

n \to \infty lim t_{n, n} = \frac{108}{e} + 20

。由第 31 題，

T_{n, n} = (\frac{n - 1}{n}) t_{n, n} + \frac{128}{n}

，其中

\frac{n - 1}{n} \to 1

、

\frac{128}{n} \to 0

，所以

n \to \infty lim T_{n, n} = 1 \times (\frac{108}{e} + 20) + 0 = \frac{108}{e} + 20

。

f (1)

是一個固定的數，被兩個極限相同的數列夾在中間，由夾擠定理，

f (1) = \frac{108}{e} + 20

（約

59.7

°C）。

答案寫成

\frac{108}{e} + 20

即可；圖中實線在時間

1

的高度略低於

60

，與

59.7

相符。

整個混合題是同一條路：分段估計 → 寫成等比數列 → 取極限 → 用低估與高估把真正的值夾住。每一小題的結果都是下一小題的工具。

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建國中學數乙第一章數列與函數的極限12 題

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本頁列出全部 32 題的答案，是非題 21 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

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第 13 題整串等式的結果看起來合理，但第二個等號偷換了分子，正確的極限是負一百零二；第 1 題一般項趨近零不代表加起來有上界；題組甲第 15 到 18 題每一項都大於一、極限卻恰好等於一，零點九循環也恰好等於一；第 21 題階梯折線的長度一直是七，不會趨近斜邊長五；選填 A 的分母多一個九，剛好讓第三十項成立。詳解逐題寫在本頁。

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建國中學 113 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01是非第 1、2 題：一般項趨近 0，和不一定收斂；無限多段，總和可以有限

02是非第 3～5 題：同一個函數與極限相等是兩回事

03是非第 6～8 題：反函數與高斯符號

04是非第 9、10 題：勘根定理的前提與連續的條件

05是非第 11～13 題：合成函數、值域、檢查每一個等號

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