建國中學 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (1)(3)(5)。點斜式：$y+\frac{12}{5}=\frac{3}{5}(x-1)$，兩邊乘 $5$ 得 $5y+12=3x-3$，即 $L:3x-5y-15=0$。

(1) 正確。 令 $y=0$，$3x=15$，$x$ 截距為 $5$。

(2) 錯誤。 令 $x=0$，$-5y=15$，$y$ 截距為 $-3$，不是 $3$。

(3) 正確。 $3(-10)-5(-9)-15=-30+45-15=0$，點在 $L$ 上。

(4) 錯誤。 三角形的兩股長是 $5$ 與 $3$，面積為 $\frac{1}{2}\times 5\times 3=\frac{15}{2}$，不是 $15$。

(5) 正確。 向右平移 $2$、向下平移 $1$，是把 $x$ 換成 $x-2$、$y$ 換成 $y+1$：$3(x-2)-5(y+1)-15=0$，即 $3x-5y-26=0$。

答案 (2)(3)(4)(5)。配方：$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$，圓心 $O(2,-1)$，半徑 $5$。$\overline{AO}=\sqrt{12^2+9^2}=15$。

(1) 錯誤。 $\overline{AO}=15>5$，$A$ 在圓外。

(2) 正確。 $P$ 在直線 $AO$ 上、而且在 $O$ 的另一側時最遠：最大值 $15+5=20$。

(3) 正確。 從 $A$ 往 $O$ 的方向是 $(12,-9)$，長度 $15$；沿這個方向從 $O$ 再走半徑 $5$，也就是走 $(12,-9)$ 的 $\frac{1}{3}$：$(2+4,-1-3)=(6,-4)$。

(4) 正確。 最近點在 $O$ 往 $A$ 的方向上，距 $O$ 為 $5$：$(2-4,-1+3)=(-2,2)$，這時 $\overline{AP}=15-5=10$。

(5) 正確。 $P$ 繞圓一周，$\overline{AP}$ 從最小 $10$ 連續變到最大 $20$。長度 $10$ 與 $20$ 各只有一個點；$11,12,\dots ,19$ 這 $9$ 個長度，各有兩個點（對直線 $AO$ 對稱）。共 $2+9\times 2=20$ 個。

答案 (2)(3)。三直線不能圍成三角形，有兩種情形：其中兩條平行（或重合），或三條交於同一點。$L_1$ 的斜率是 $\frac{1}{2}$，$L_3$ 的斜率是 $-a$。

兩條平行： $L_1\parallel L_2$：$\frac{1}{3}=\frac{-2}{-a}$，$a=6$（$L_2:3x-6y+1=0$，與 $L_1$ 不重合）。$L_1\parallel L_3$：$-a=\frac{1}{2}$，$a=-\frac{1}{2}$。$L_2\parallel L_3$：$a=0$ 時 $L_2$ 是鉛直線、$L_3$ 是水平線，不平行；$a\ne 0$ 時要 $\frac{3}{a}=-a$，即 $a^2=-3$，沒有實數解。

三線共點： 解 $L_1$、$L_3$ 的交點：由 $L_1$ 得 $x=2y-3$，代入 $L_3$：$a(2y-3)+y-2=0$，$(2a+1)y=3a+2$。$a\ne -\frac{1}{2}$ 時 $y=\frac{3a+2}{2a+1}$，$x=2y-3=\frac{1}{2a+1}$。代入 $L_2$：$\frac{3}{2a+1}-\frac{a(3a+2)}{2a+1}+1=0$，兩邊乘 $2a+1$：$3-3a^2-2a+2a+1=0$，$3a^2=4$，$a=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$。

所以 $a$ 的可能值是 $6$、$-\frac{1}{2}$、$\frac{2}{\sqrt{3}}$、$-\frac{2}{\sqrt{3}}$。

(1) 錯誤。 $\frac{1}{2}$ 不在其中。

(2) 正確。 $a=-\frac{1}{2}$ 時 $L_1\parallel L_3$。

(3) 正確。 $a=-\frac{2}{\sqrt{3}}$ 時三線共點。

(4) 錯誤。 $\frac{3}{\sqrt{5}}$ 不在其中。

(5) 錯誤。 是 $a=6$ 才使 $L_1\parallel L_2$，$-6$ 不在其中。

$A$ 的 $x$ 坐標是 $-4$，$B$ 的 $x$ 坐標是 $1$，兩點在 $y$ 軸的兩側。由三角形兩邊和大於第三邊，$\overline{PA}+\overline{PB}\ge \overline{AB}$，等號在 $P$ 落在線段 $\overline{AB}$ 上時成立。

$\overline{AB}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$。直線 $AB$ 的斜率為 $\frac{2-(-1)}{1-(-4)}=\frac{3}{5}$，方程式 $y-2=\frac{3}{5}(x-1)$；令 $x=0$，$y=2-\frac{3}{5}=\frac{7}{5}$。所以 $a=\frac{7}{5}$，$m=\sqrt{34}$。

切線垂直於過切點的半徑，所以圓心在「過 $(1,2)$ 且垂直於 $4x-y-2=0$」的直線上：$x+4y-9=0$（先確認 $(1,2)$ 在切線上：$4-2-2=0$）。

與 $2x+3y+7=0$ 聯立：由 $x=9-4y$ 代入得 $18-8y+3y+7=0$，$y=5$，$x=-11$，圓心 $(-11,5)$。半徑是圓心到切點的距離：$\sqrt{12^2+3^2}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}$。

配方：$(x-2{)}^2+{\left(y-\frac{k}{2}\right)}^2=\frac{k^2}{4}-1$。圖形是圓要 $\frac{k^2}{4}-1>0$，即 $k^2>4$；又 $k>0$，所以 $k>2$。

點在圓外：把 $P(-3,2)$ 代入左式要大於 $0$：$9+4+12-2k+5>0$，$30-2k>0$，$k<15$。合起來 $2<k<15$。

$A$ 是兩邊的交點：$7x+y-10=0$ 減 $2x+y-5=0$ 得 $5x-5=0$，$x=1$，$y=3$，$A(1,3)$。外心到三頂點等距，${\overline{OA}}^2=3^2+4^2=25$。

$B$ 在直線 $AB$ 上，設 $B(x,10-7x)$，要 ${\overline{OB}}^2=25$：$(x+2{)}^2+(11-7x{)}^2=25$，展開得 $50x^2-150x+100=0$，即 $x^2-3x+2=0$，$x=1$ 或 $2$。$x=1$ 是 $A$ 本身，所以 $B(2,-4)$。

過 $P$：$-2-5a+b=0$，$b=5a+2$。

在第四象限圍成三角形，$x$ 截距要正、$y$ 截距要負。$x$ 截距 $=-b>0$，所以 $b<0$；$y$ 截距 $=-\frac{b}{a}<0$，而 $-b>0$，所以 $a<0$。面積 $\frac{1}{2}\cdot (-b)\cdot \frac{b}{a}=16$，即 $b^2=-32a$。

代入 $b=5a+2$：$(5a+2{)}^2=-32a$，$25a^2+52a+4=0$，$(a+2)(25a+2)=0$，$a=-2$ 或 $-\frac{2}{25}$。$a=-\frac{2}{25}$ 時 $b=\frac{8}{5}>0$，不合；$a=-2$ 時 $b=-8$。所以 $(a,b)=(-2,-8)$。

圓心在弦 $\overline{AB}$ 的中垂線上。$\overline{AB}$ 的中點 $M(-3,1)$，$\overline{AB}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$，一半是 $2\sqrt{5}$；$\overline{AB}$ 的斜率 $-\frac{1}{2}$，中垂線斜率 $2$，方向可取 $(1,2)$，長度 $\sqrt{5}$。

圓心與弦的距離是 $\sqrt{5}$，就是從 $M$ 沿 $(1,2)$ 或 $(-1,-2)$ 走一步：圓心 $(-2,3)$ 或 $(-4,-1)$。在第三象限的是 $(-4,-1)$。半徑 $r=\sqrt{(2\sqrt{5}{)}^2+(\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt{25}=5$。$h+k+r=-4-1+5=0$。

圓心 $(-3,2)$，半徑 $r=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$。三條平行弦的六個端點沿圓周依序為 $P_1,P_2,\dots ,P_6$，最外的弦連 $P_1{P}_6$，中間的弦連 $P_2{P}_5$，另一條最外的弦連 $P_3{P}_4$。圓周六等分，每段弧對應的圓心角是 $60^{\circ }$：$P_1{P}_6$、$P_3{P}_4$ 各對一段弧，$P_2{P}_5$ 兩側各有三段弧，是直徑。

對 $60^{\circ }$ 圓心角的弦和兩條半徑圍成正三角形，邊長 $r$，圓心到這條弦的距離是正三角形的高 $\frac{\sqrt{3}}{2}r=\sqrt{15}\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{5}$。所以三條線到圓心的距離是 $3\sqrt{5}$、$0$、$3\sqrt{5}$，而且兩條外側的線在圓心的兩側。

直線 $2x-y+t=0$ 到圓心的距離 $\frac{|-6-2+t|}{\sqrt{5}}=\frac{|t-8|}{\sqrt{5}}$。令它等於 $0$ 或 $3\sqrt{5}$：$t=8$，或 $|t-8|=15$，$t=23$、$-7$。依 $a>b>c$，$(a,b,c)=(23,8,-7)$。

$y=\sqrt{x(6-x)}$ 等價於 $y\ge 0$ 且 $y^2=6x-x^2$，即 $(x-3{)}^2+y^2=9$ 且 $y\ge 0$：圓心 $(3,0)$、半徑 $3$ 的上半圓，兩端點 $(0,0)$、$(6,0)$。直線 $L$ 恆過定點 $Q(-2,-3)$，斜率為 $m$。讓直線繞 $Q$ 逆時針轉動，看它與上半圓的交點個數。

① 過右端點 $(6,0)$：$m=\frac{3}{8}$。這時直線另一個與整個圓的交點在 $x$ 軸下方，與上半圓只有一個交點。

② 過左端點 $(0,0)$：$m=\frac{3}{2}$。代入得 $y=\frac{3}{2}x$，與 $(x-3{)}^2+y^2=9$ 聯立：$\frac{13}{4}{x}^2-6x=0$，$x=0$ 或 $\frac{24}{13}$，兩個交點 $(0,0)$、$\left(\frac{24}{13},\frac{36}{13}\right)$ 都在上半圓上。

③ 與上半圓相切：圓心 $(3,0)$ 到 $mx-y+2m-3=0$ 的距離等於 $3$：$\frac{|5m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=3$，$(5m-3{)}^2=9(m^2+1)$，$16m^2-30m=0$，$m=0$ 或 $\frac{15}{8}$。$m=0$ 是 $y=-3$，切在圓的最低點 $(3,-3)$，不在上半圓；$m=\frac{15}{8}$ 時切點是 $\left(\frac{6}{17},\frac{24}{17}\right)$，在上半圓上。

$\frac{3}{8}\le m<\frac{3}{2}$ 時，直線從右邊穿進上半圓、從左邊 $x$ 軸下方穿出整個圓，只交一點；$\frac{3}{2}\le m<\frac{15}{8}$ 時兩個交點都在上半圓上；$m=\frac{15}{8}$ 時相切只剩一點；$m>\frac{15}{8}$ 或 $m<\frac{3}{8}$ 時沒有交點。所以 $\frac{3}{2}\le m<\frac{15}{8}$。

答案 (B)。圓與直線相切時，整個圓落在直線的同一側，圓心也在這一側、而且不在直線上。$A$ 在圓上，所以圓心與 $A$ 在 $L_1$ 的同側、也在 $L_2$ 的同側。

把 $A(6,19)$ 代入：$6+2=8>0$；$7\times 6-24\times 19+22=-392<0$。所以兩個圓心都滿足 $a+2>0$ 且 $7a-24b+22<0$。這兩個不等式各表示一個半平面，交集是凸的區域，連接其中兩點的線段整段都在區域內，所以 $\overline{O_1{O}_2}$ 上每一點都滿足 (B)。

設圓心 $(h,k)$、半徑 $r$。由第 (1) 小題，$h+2>0$、$7h-24k+22<0$，所以兩個距離可以直接去掉絕對值：

與 $L_1$ 相切：$r=h+2$。與 $L_2$ 相切：$r=\frac{-(7h-24k+22)}{25}$。

兩式相等：$25h+50=-7h+24k-22$，$32h-24k+72=0$，即 $k=\frac{4h+9}{3}$。

過 $A$：$(h-6{)}^2+(k-19{)}^2=(h+2{)}^2$。其中 $k-19=\frac{4h-48}{3}=\frac{4}{3}(h-12)$，代入並乘 $9$：$9(h-6{)}^2+16(h-12{)}^2=9(h+2{)}^2$。展開整理：$16h^2-528h+2592=0$，即 $h^2-33h+162=0$，$(h-6)(h-27)=0$。

$h=6$：$k=11$，$r=8$；$h=27$：$k=39$，$r=29$。小圓 $C_1:(x-6{)}^2+(y-11{)}^2=64$，大圓 $C_2:(x-27{)}^2+(y-39{)}^2=841$。