段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

建國中學 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

選填題 20 題，每題 5 分（必須全部答對才給分，答錯不倒扣），共 100 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、選填題，必須全部答對才給 5 分，答錯不倒扣，共 100 分

圖(1)中，

A B C D

為矩形，

\overline{A B} = 6

，

\overline{A D} = 12

，以點

A

為圓心，分別以

12

、

62

為半徑各作一個圓弧，則陰影部分（兩個圓弧與

\overline{A D}

與

\overline{B C}

之間）的面積為 ____。（答案形式：○

π

＋○○√○－○○，每個 ○ 填一格）

載入中...

圖(2)中，直圓錐以

A

為頂點，

\overline{B C}

為底圓的直徑，

\overline{A B} = \overline{A C} = \overline{B C} = 12

，若

D

為

\overline{A C}

上一點，

\overline{A D} = 5

，一隻螞蟻從點

B

沿此直圓錐表面爬到點

D

，則爬行的最短距離為 ____。

載入中...

圖(3)中，有一半徑為

6

公尺的圓形輪子，在輪子上有一點

P (33, 3)

，現將此輪子從原點

O

起沿

x

軸（地面）正向順時針滾動，若輪子滾動了

20 π

公尺，則此時點

P

離

x

軸（地面）的高度為 ____ 公尺。

載入中...

圖(4)中，扇形

A O B

的周長為定值

9527

，其中

∠ A O B

為變動角，則當

∠ A O B =

____ 弳（弧度）時，扇形

A O B

的面積達最大值。

載入中...

在

x y

坐標平面上，若點

P

的坐標為

(cos \frac{9 π}{5}, sin \frac{7 π}{2})

，則點

P

的位置在第 ____ 象限。

設

x \in R

，則方程式

\frac{x}{6} = sin (π x)

的實數解個數為 ____。

設

\frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

，若

f (x) = - cos^{2} x + 4 sin x + 3

，令

f (x)

的最小值為

m

，最大值為

M

，則數對

(m, M) =

____。（答案形式：

m

佔兩格，

M

為分數 ○／○）

在

x y

坐標平面上，若

y = A sin (B x + \frac{C π}{D}) + E

的圖形在同一週期內之最高點坐標為

(\frac{π}{8}, 4)

，最低點坐標為

(\frac{5 π}{8}, - 2)

，其中

B, C, D \in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

，

π \leq \frac{C π}{D} \leq 2 π

，則數組

(A, B, C, D, E) =

____。（答案形式：

A

佔兩格，

B

、

C

、

D

、

E

各佔一格）

在

x y

坐標平面上，若欲將

y = sin x

的圖形變換為

y = - cos (2 x)

的圖形，則應使用下列哪個選項的方式？

(1) 先以 $y$ 軸為基準線沿水平方向左右伸為 $2$ 倍，再往右平移 $\frac{π}{2}$ 單位
(2) 先以 $y$ 軸為基準線沿水平方向左右伸為 $2$ 倍，再往左平移 $\frac{π}{2}$ 單位
(3) 先以 $y$ 軸為基準線沿水平方向左右縮為 $\frac{1}{2}$ 倍，再往右平移 $\frac{π}{2}$ 單位
(4) 先以 $y$ 軸為基準線沿水平方向左右縮為 $\frac{1}{2}$ 倍，再往左平移 $\frac{π}{2}$ 單位
(5) 先往右平移 $\frac{π}{2}$ 單位，再以 $y$ 軸為基準線沿水平方向左右伸為 $2$ 倍
(6) 先往左平移 $\frac{π}{2}$ 單位，再以 $y$ 軸為基準線沿水平方向左右伸為 $2$ 倍
(7) 先往右平移 $\frac{π}{2}$ 單位，再以 $y$ 軸為基準線沿水平方向左右縮為 $\frac{1}{2}$ 倍
(8) 先往左平移 $\frac{π}{2}$ 單位，再以 $y$ 軸為基準線沿水平方向左右縮為 $\frac{1}{2}$ 倍

在

x y

坐標平面上，設

π \leq x \leq 2 π

，則

y = cos (2 x)

與

y = - sin x

兩圖形所有交點的

x

坐標之總和為 ____

π

。

在

△ A B C

中，若

∠ A, ∠ B

均為銳角，且

sin A = \frac{11}{14}

，

sin B = \frac{13}{14}

，則

∠ C =

____ 度。

在

x y

坐標平面上，設兩直線

L_{1}, L_{2}

的方程式為

L_{1} : 9 x - 5 y = 113

與

L_{2} : 2 x - 7 y = 2024

，則

L_{1}, L_{2}

的銳夾角為 ____ 度。

若

cos (2 θ) = - \frac{1}{4}

，則

256 (sin^{6} θ - cos^{6} θ) =

____。

若

2 + 3

為實係數方程式

x^{2} - (tan θ + \frac{1}{tan θ}) x - 1 = 0

的其中一根，則

sin (2 θ) =

____。（答案形式：分子為 √○、分母為 ○）

設

9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}

，若

5 sin^{2} θ - 8 cos θ - 8 = 0

，則

tan \frac{θ}{2} =

____。

問：下列哪個選項化簡後的數值最接近

- 2

？答：____。

(1) $3 cos 21 6^{\circ} + sin 21 6^{\circ}$
(2) $3 cos 22 6^{\circ} + sin 22 6^{\circ}$
(3) $3 cos 23 6^{\circ} + sin 23 6^{\circ}$
(4) $3 cos 24 6^{\circ} + sin 24 6^{\circ}$
(5) $3 cos 25 6^{\circ} + sin 25 6^{\circ}$
(6) $3 cos 26 6^{\circ} + sin 26 6^{\circ}$
(7) $3 cos 27 6^{\circ} + sin 27 6^{\circ}$
(8) $3 cos 28 6^{\circ} + sin 28 6^{\circ}$
(9) $3 cos 29 6^{\circ} + sin 29 6^{\circ}$

求

\frac{1}{sin 1 0 ^{\circ}} - \frac{3}{cos 1 0 ^{\circ}} =

____。

設

x \in R

，令

f (x) = sin (2 x) - 22 (sin x + cos x) + 4

，則

f (x)

的最大值為 ____。

設

x \in R

，若

y = \frac{1 + cos x}{2 + sin x}

，則

y

的最大值為 ____。（答案形式：分數 ○／○）

設

0 \leq x \leq π

，令

f (x) = 4 sin x + 3 cos x

，當

x = α

時，

f (x)

達最大值，則

sin α =

____。（答案形式：分數 ○／○）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

3 π + 183 - 18

第 2 題

13

第 3 題

12

第 4 題

2

第 5 題

4

（第四象限）

第 6 題

11

第 7 題

(- 1, \frac{1}{4})

第 8 題

(- 3, 2, 5, 4, 1)

第 9 題(7)

第 10 題

3

（總和為

3 π

）

第 11 題

60

第 12 題

45

第 13 題

49

第 14 題

\frac{3}{3}

第 15 題

2

第 16 題(5)

第 17 題

4

第 18 題

9

第 19 題

\frac{4}{3}

第 20 題

\frac{4}{5}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～5 題：扇形面積、圓錐展開、滾動、弧度與象限

第 1 題

A

到

\overline{B C}

的距離是

\overline{A B} = 6

。設半徑

12

的弧交

\overline{B C}

於

E

：

\overline{A E} = 12

、

\overline{A B} = 6

，所以

\overline{B E} = 1 2^{2} - 6^{2} = 63

，且

sin ∠ D A E = \frac{6}{12}

，

∠ D A E = \frac{π}{6}

（這段弧的另一端就是

D

）。矩形內、大弧左邊的區域

=

扇形

D A E + △ A B E = \frac{1}{2} \cdot 1 2^{2} \cdot \frac{π}{6} + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 63 = 12 π + 183

。設半徑

62

的弧交

\overline{A D}

於

G

、交

\overline{B C}

於

F

：

\overline{B F} = 72 - 36 = 6

，

△ A B F

是等腰直角三角形，

∠ G A F = \frac{π}{4}

。矩形內、小弧左邊的區域

=

扇形

G A F + △ A B F = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 9 π + 18

。陰影面積

= (12 π + 183) - (9 π + 18) = 3 π + 183 - 18

。

扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度；兩個扇形的圓心角不一樣（

\frac{π}{6}

與

\frac{π}{4}

），不能直接當成同一個角的環形。

第 2 題底圓半徑

6

、母線長

12

。把側面沿母線

\overline{A B}

剪開攤平，得到半徑

12

的扇形，弧長等於底圓周長

12 π

，圓心角

= \frac{12 π}{12} = π

。

B

、

C

是底圓直徑的兩端，在底圓上相隔半圈，所以展開圖上

\overline{A B}

與

\overline{A C}

的夾角是

\frac{π}{2}

。最短路徑是展開圖上的線段

\overline{B D}

：

\overline{B D} = 1 2^{2} + 5^{2} = 13

。

若改走底面，從

B

直線到

C

就要

12

，再沿母線到

D

還要

7

，共

19

，比

13

長。

第 3 題輪子與地面相切於原點，圓心在

(0, 6)

。

P

相對於圓心的位置是

(33, - 3)

，方向角為

- \frac{π}{6}

。滾動

20 π

公尺，輪子轉過的角度是

\frac{20 π}{6} = \frac{10 π}{3} = 2 π + \frac{4 π}{3}

（順時針）。

P

的方向角變成

- \frac{π}{6} - \frac{4 π}{3} = - \frac{3 π}{2}

，與

\frac{π}{2}

同界，也就是

P

在圓心的正上方。圓心離地面一直是

6

，所以

P

的高度是

6 + 6 = 12

公尺。

滾動不打滑時，滾過的距離等於轉過的弧長，轉動角

=

距離

\div

半徑。

第 4 題設半徑

r

、圓心角

θ

（弧度）。周長

2 r + r θ = 9527

，所以弧長

r θ = 9527 - 2 r

。面積

= \frac{1}{2} r \cdot r θ = \frac{1}{2} r (9527 - 2 r) = - r^{2} + \frac{9527}{2} r

，是

r

的二次函數，在

r = \frac{9527}{4}

時最大。此時

r θ = 9527 - \frac{9527}{2} = \frac{9527}{2} = 2 r

，所以

θ = 2

。

周長固定的扇形，面積最大時弧長恰好是半徑的

2

倍，與周長是多少無關。

第 5 題

\frac{3 π}{2} < \frac{9 π}{5} < 2 π

，

\frac{9 π}{5}

是第四象限角，

cos \frac{9 π}{5} > 0

。

\frac{7 π}{2} = 2 π + \frac{3 π}{2}

，

sin \frac{7 π}{2} = sin \frac{3 π}{2} = - 1 < 0

。

P

的坐標是（正，負），在第四象限，答案格填

4

。

扇形的弧長

r θ

與面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

都要用弧度；圓錐、滾動的題目，關鍵都是「弧長

=

半徑

\times

角」。

02第 6～9 題：圖形的交點、值域、由圖形定係數、平移與伸縮

第 6 題實數解個數就是

y = sin (π x)

與直線

y = \frac{x}{6}

的交點個數。

y = sin (π x)

的週期是

2

、值在

- 1

與

1

之間，所以只要看

- 6 \leq x \leq 6

。

x = 0

是一個解。

x > 0

時直線的值是正的，只會與圖形在

x

軸上方的三個拱

(0, 1)

、

(2, 3)

、

(4, 5)

相交。拱

(2, 3)

：兩端直線在上（

\frac{2}{6} > 0

、

\frac{3}{6} > 0

），拱頂

x = 2.5

處

1 > \frac{2.5}{6}

，直線在下，所以至少有

2

個交點，而拱形凹向下，每個拱與一條直線最多

2

個交點，恰為

2

個；拱

(4, 5)

同理（拱頂

1 > \frac{4.5}{6}

），

2

個交點。拱

(0, 1)

：

0 < x \leq \frac{1}{2}

時曲線在連接原點與拱頂的弦

y = 2 x

上方，

sin (π x) \geq 2 x > \frac{x}{6}

，沒有交點；

\frac{1}{2} < x < 1

時曲線由

1

降到

0

、直線由

\frac{1}{12}

升到

\frac{1}{6}

，恰有

1

個交點。所以這個拱除了原點外只有

1

個交點。

x = 6

時直線是

1

、

sin 6 π = 0

，不相交。

x > 0

共

5

個解。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

5

個。合計

5 + 5 + 1 = 11

個。

第一個拱從原點出發，原點本身已經算一個，這個拱只多出

1

個交點，不是

2

個。

第 7 題

f (x) = - (1 - sin^{2} x) + 4 sin x + 3 = sin^{2} x + 4 sin x + 2

。令

t = sin x

。

\frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

這一段包含

\frac{3 π}{2}

，所以

t

的最小值是

- 1

；兩端

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

、

sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2}

，最大值是

- \frac{1}{2}

，即

- 1 \leq t \leq - \frac{1}{2}

。

f = (t + 2)^{2} - 2

在這個範圍內隨

t

增加而增加：

t = - 1

時最小值

m = 1 - 2 = - 1

；

t = - \frac{1}{2}

時最大值

M = \frac{9}{4} - 2 = \frac{1}{4}

。答案

(- 1, \frac{1}{4})

。

t

的範圍不能只代兩個端點：

x

的範圍內經過

\frac{3 π}{2}

，

sin x

會降到

- 1

。

第 8 題最高

4

、最低

- 2

：

E = \frac{4 + ( - 2 )}{2} = 1

，

∣ A ∣ = \frac{4 - ( - 2 )}{2} = 3

。同一週期內的最高點與最低點相隔半個週期：

\frac{5 π}{8} - \frac{π}{8} = \frac{π}{2}

，週期是

π

，

\frac{2 π}{B} = π

，

B = 2

。若

A = 3

：最高點要

sin (\frac{π}{4} + \frac{C π}{D}) = 1

，

\frac{C π}{D} = \frac{π}{4} + 2 k π

，在

π

到

2 π

之間沒有這種角，不合。若

A = - 3

：最高點要

sin (\frac{π}{4} + \frac{C π}{D}) = - 1

，

\frac{C π}{D} = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}

，在範圍內；

C

、

D

都是一位數，所以

C = 5

、

D = 4

。檢查最低點：

2 \cdot \frac{5 π}{8} + \frac{5 π}{4} = \frac{5 π}{2}

，

- 3 sin \frac{5 π}{2} + 1 = - 2

，相符。答案

(- 3, 2, 5, 4, 1)

。

題目把平移量限制在

π

到

2 π

之間，

A

取正就找不到合適的角，要想到

A

可以是負的（原卷

A

的答案格也是兩格）。

第 9 題答案 (7)。目標：

- cos 2 x = sin (2 x - \frac{π}{2})

。往右平移

h

是把

x

換成

x - h

；水平伸縮

k

倍是把

x

換成

\frac{x}{k}

。逐一代換：(1)

sin \frac{x}{2} \to sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})

；(2)

sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})

；(3)

sin 2 x \to sin 2 (x - \frac{π}{2}) = sin (2 x - π) = - sin 2 x

；(4)

sin (2 x + π) = - sin 2 x

；(5)

sin (x - \frac{π}{2}) \to sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{2}) = - cos \frac{x}{2}

；(6)

sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{2}) = cos \frac{x}{2}

；(7)

sin (x - \frac{π}{2}) \to sin (2 x - \frac{π}{2}) = - cos 2 x

，符合；(8)

sin (2 x + \frac{π}{2}) = cos 2 x

。只有 (7) 正確。

每一次變換都只對「

x

本身」做代換：先縮再平移

\frac{π}{2}

得到的是

sin 2 (x - \frac{π}{2})

，括號裡多了

2

倍，所以 (3) 不對。原卷這一題沒有印答案格的編號，依前後順序應為第 25 格。

數交點先用值域把範圍框住，再一個拱一個拱數；平移與伸縮的順序不同，結果通常不同。

03第 10～15 題：和差角、倍角與半角公式

第 10 題交點滿足

cos 2 x = - sin x

。用倍角公式

cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x

：

1 - 2 sin^{2} x = - sin x

，

2 sin^{2} x - sin x - 1 = 0

，

(2 sin x + 1) (sin x - 1) = 0

，

sin x = - \frac{1}{2}

或

1

。

π \leq x \leq 2 π

時

sin x \leq 0

，所以只有

sin x = - \frac{1}{2}

：

x = \frac{7 π}{6}

或

\frac{11 π}{6}

。總和

= \frac{18 π}{6} = 3 π

，答案格填

3

。

第 11 題

A

、

B

都是銳角：

cos A = 1 - \frac{121}{196} = \frac{5 3}{14}

，

cos B = 1 - \frac{169}{196} = \frac{3 3}{14}

。

cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B = \frac{45 - 143}{196} = - \frac{1}{2}

，而

0^{\circ} < A + B < 18 0^{\circ}

，所以

A + B = 12 0^{\circ}

，

∠ C = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

。

用餘弦算

A + B

比較好：

0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間，一個餘弦值只對應一個角；用正弦會有兩個可能要再判斷。

第 12 題

L_{1}

的斜率

\frac{9}{5}

、

L_{2}

的斜率

\frac{2}{7}

。設兩直線的斜角分別為

θ_{1}

、

θ_{2}

，

tan θ_{1} = \frac{9}{5}

、

tan θ_{2} = \frac{2}{7}

。由正切的差角公式

tan (θ_{1} - θ_{2}) = \frac{\frac{9}{5} - \frac{2}{7}}{1 + \frac{9}{5} \cdot \frac{2}{7}} = \frac{\frac{53}{35}}{\frac{53}{35}} = 1

，所以

θ_{1} - θ_{2} = 4 5^{\circ}

，兩直線的銳夾角是

4 5^{\circ}

。

夾角只和斜率有關，等號右邊的

113

、

2024

用不到。

第 13 題用立方差公式：

sin^{6} θ - cos^{6} θ = (sin^{2} θ - cos^{2} θ) (sin^{4} θ + sin^{2} θ cos^{2} θ + cos^{4} θ)

。第一個括號

= - cos 2 θ = \frac{1}{4}

。第二個括號

= (sin^{2} θ + cos^{2} θ)^{2} - sin^{2} θ cos^{2} θ = 1 - \frac{1}{4} sin^{2} 2 θ

，而

sin^{2} 2 θ = 1 - cos^{2} 2 θ = \frac{15}{16}

，所以第二個括號

= 1 - \frac{15}{64} = \frac{49}{64}

。

256 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{49}{64} = 49

。

第 14 題由根與係數的關係，兩根的積是

- 1

，另一根是

\frac{- 1}{2 + 3} = - (2 - 3) = 3 - 2

。兩根的和

= (2 + 3) + (3 - 2) = 23 = tan θ + \frac{1}{tan θ}

。而

tan θ + \frac{1}{tan θ} = \frac{sin ^{2} θ + cos ^{2} θ}{sin θ cos θ} = \frac{2}{sin 2 θ}

，所以

sin 2 θ = \frac{2}{2 3} = \frac{3}{3}

。

常數項是

- 1

，另一根是

2 + 3

的倒數再變號，不是共軛的

2 - 3

。

第 15 題把

sin^{2} θ

換成

1 - cos^{2} θ

：

5 - 5 cos^{2} θ - 8 cos θ - 8 = 0

，

5 cos^{2} θ + 8 cos θ + 3 = 0

，

(5 cos θ + 3) (cos θ + 1) = 0

。

9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}

時

- 1 < cos θ < 0

，所以

cos θ = - \frac{3}{5}

、

sin θ = \frac{4}{5}

。

tan \frac{θ}{2} = \frac{sin θ}{1 + cos θ} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{5}} = 2

。

也可以用

tan^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{1 + cos θ} = 4

，再由

4 5^{\circ} < \frac{θ}{2} < 9 0^{\circ}

取正值。

看到二倍角與一倍角混在一起，先用倍角公式化成同一個角；開根號或由三角函數值反推角度前，先確認角的範圍。

04第 16～20 題：正餘弦的疊合

第 16 題答案 (5)。疊合：

3 cos x + sin x = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x + 6 0^{\circ})

。九個選項依序是

2 sin 27 6^{\circ}, 2 sin 28 6^{\circ}, \dots, 2 sin 35 6^{\circ}

（每次加

1 0^{\circ}

）。而

- 2 = 2 \cdot (- \frac{2}{2}) = 2 sin 31 5^{\circ}

。正弦在

27 0^{\circ}

到

36 0^{\circ}

之間遞增，角度最接近

31 5^{\circ}

的是

31 6^{\circ}

（下一個近的

30 6^{\circ}

差了

9^{\circ}

），即

x = 25 6^{\circ}

，選項 (5)。實際數值：

2 sin 31 6^{\circ} \approx - 1.389

、

2 sin 30 6^{\circ} \approx - 1.618

，而

- 2 \approx - 1.414

。

第 17 題通分：

\frac{1}{sin 1 0 ^{\circ}} - \frac{3}{cos 1 0 ^{\circ}} = \frac{cos 1 0 ^{\circ} - 3 sin 1 0 ^{\circ}}{sin 1 0 ^{\circ} cos 1 0 ^{\circ}}

。分子

= 2 (\frac{1}{2} cos 1 0^{\circ} - \frac{3}{2} sin 1 0^{\circ}) = 2 sin (3 0^{\circ} - 1 0^{\circ}) = 2 sin 2 0^{\circ}

；分母

= \frac{1}{2} sin 2 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{2 sin 2 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 2 0 ^{\circ}} = 4

。

第 18 題令

t = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，

- 2 \leq t \leq 2

。

t^{2} = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2 x

，所以

sin 2 x = t^{2} - 1

。

f = t^{2} - 1 - 22 t + 4 = (t - 2)^{2} + 1

。

t

離

2

最遠的地方是

t = - 2

，最大值

= (- 22)^{2} + 1 = 9

。

t

有範圍，最大值發生在端點

t = - 2

（例如

x = \frac{5 π}{4}

）；

t = 2

時是最小值

1

。

第 19 題分母

2 + sin x > 0

。去分母：

y (2 + sin x) = 1 + cos x

，整理成

y sin x - cos x = 1 - 2 y

。左邊疊合後是

y^{2} + 1 sin (x - φ)

，值在

- y^{2} + 1

與

y^{2} + 1

之間，所以有實數

x

的條件是

∣1 - 2 y ∣ \leq y^{2} + 1

。兩邊平方：

1 - 4 y + 4 y^{2} \leq y^{2} + 1

，

3 y^{2} - 4 y \leq 0

，

0 \leq y \leq \frac{4}{3}

。最大值是

\frac{4}{3}

。

疊合在這裡用來判斷「這個

y

值有沒有

x

可以達到」，不必真的求出

x

。

第 20 題

f (x) = 5 (\frac{4}{5} sin x + \frac{3}{5} cos x) = 5 sin (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{4}{5}

、

sin φ = \frac{3}{5}

，

φ

是銳角。

0 \leq x \leq π

時

φ \leq x + φ \leq π + φ

，範圍內包含

\frac{π}{2}

，所以最大值

5

發生在

α + φ = \frac{π}{2}

，即

α = \frac{π}{2} - φ

。

sin α = cos φ = \frac{4}{5}

。

要先確認

\frac{π}{2}

落在

x + φ

的範圍內，最大值才會是

5

。

看到

a sin x + b cos x

先疊合成

r sin (x + φ)

；有範圍限制時，把

x

的範圍換成括號裡那個角的範圍再判斷。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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第 6 題第一個拱從原點出發，只比原點多一個交點，總數是十一個；第 8 題平移量被限制在一個範圍內，振幅前面的係數要取負三；第 9 題先縮再平移與先平移再縮的結果不同；第 19 題要把分式改寫成疊合的形式，用正弦的範圍反推 y 的範圍。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自建國中學 113 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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02第 6～9 題：圖形的交點、值域、由圖形定係數、平移與伸縮

03第 10～15 題：和差角、倍角與半角公式

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