段考詳解範圍：第一章數列與函數的極限（選修數學乙上：數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限）

建國中學 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 建國中學 113 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 12 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 建國中學 113 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題選項 (5) 每一項都小於一但極限可以等於一，要會舉反例；第 6 題選項 (5) 要用高斯符號的不等式分正負兩邊夾擠；第 7 題要先由函數值的正負定出三個根的位置，再依公比絕對值大於一或小於一判斷極限；第 8 題選項 (5) 部分和與總和的差算出來最小的項數是六不是五。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 12 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 12 題，照原卷順序

多選題 8 題（80 分）、選填題 4 題（20 分）

第壹部分：多選題（占 80 分）｜第 1 題至第 8 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將答案劃記在答案卡所標記的列號（1–8）。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 10 分；答錯 1 個選項者，得 6 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

已知函數

y = f (x)

之圖形如右，請選出正確的選項。

(1) 右極限 $x \to 2^{+} lim f (x) = 3$
(2) 左極限 $x \to 2^{-} lim f (x) = 1$
(3) 右極限 $x \to 5^{+} lim f (x) = 2$
(4) 左極限 $x \to 5^{-} lim f (x) = 2$
(5) 極限 $x \to 5 lim f (x)$ 不存在

載入中...

已知函數

f (x) = x

與

g (x) = 2 - x

，請選出正確的選項。

(1) $f (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ x \geq 0}$
(2) $(\frac{f}{g}) (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ 0 \leq x \leq 2}$
(3) $(g \circ f) (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ 0 \leq x \leq 2}$
(4) $(f g) (x)$ 的值域為 ${y \in R ∣ 0 \leq y \leq 1}$
(5) $(f + g) (x)$ 的最大值為 $4$

請選出正確的選項。

(1) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 滿足 $n \to \infty lim a_{n} = - 3$ ，則 $n \to \infty lim a_{n}^{2} = 9$
(2) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 滿足 $n \to \infty lim a_{n} = 0$ ，則 $n \to \infty lim ∣ a_{n} ∣ = 0$
(3) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 滿足 $n \to \infty lim ∣ a_{n} ∣ = 0$ ，則 $n \to \infty lim a_{n} = 0$
(4) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，無窮數列 $⟨ b_{n} ⟩$ 為發散數列，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 為發散數列
(5) 若對於無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 的任一項均有 $a_{n} < 1$ ，且 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂，則必 $n \to \infty lim a_{n} < 1$

下列關於級數的敘述，請選出正確的選項。

(1) $k = 1 \sum 10 a_{k} = k = 1 \sum 4 a_{k} + k = 5 \sum 10 a_{k}$
(2) $k = 1 \sum 2 (a_{k} b_{k}) = (k = 1 \sum 2 a_{k}) (k = 1 \sum 2 b_{k})$
(3) $\frac{1}{2} - \frac{2}{5} + \frac{3}{8} - \frac{4}{11} + \frac{5}{14} - \frac{6}{17} = k = 1 \sum 6 (- 1)^{k + 1} (\frac{k}{3 k - 1})$
(4) $k = 1 \sum n (n + a_{k}) = n^{2} + k = 1 \sum n a_{k}$
(5) $k = 1 \sum 10 k^{3} = (k = 1 \sum 10 k) \cdot (k = 1 \sum 10 k)$

請選出正確的選項。

(1) $x \to 1 lim \frac{x - 1}{x + 2} = 0$
(2) $x \to - 1 lim (x^{10} + 2∣ x ∣ + 3) = 2$
(3) 極限 $x \to 1 lim \frac{x ^{2} + x - 2}{x - 1}$ 不存在
(4) $x \to 1 lim (\frac{x + 2}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{x ^{2} - 3 x + 2}) = - 4$
(5) 極限 $x \to 0 lim (x sin \frac{1}{x})$ 不存在

對於任意實數

x

，以

[x]

表示不大於

x

的最大整數，例如：

[2] = 2

，

[2.3] = 2

，

[- 2.3] = - 3

。請選出正確的選項。

(1) $x \to \frac{3}{2} lim [x] = 1$
(2) $x \to 3 lim [x] = 3$
(3) $x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x} = 1$
(4) $x \to 1 lim x [x] = 1$
(5) $x \to 0 lim x [\frac{1}{x}] = 1$

令

f (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x - 1

。設

a

、

b

、

c

為方程式

f (x) = 0

的三個實根，且

a < b < c

，請選出正確的選項。

(1) $- 2 < a < - 1$
(2) $0 < b < 1$
(3) $n \to \infty lim \frac{1 + a ^{n}}{1 - a ^{n}} = 1$
(4) $n \to \infty lim \frac{1 + 2 b ^{n}}{1 - b ^{n}} = - 2$
(5) $n \to \infty lim \frac{1 + 3 c ^{n}}{1 - c ^{n}} = - 3$

已知一無窮等比級數的首項為

0. \overline{3}

，第二項為

0.0 \overline{6}

，設前

n

項的和為

S_{n}

，

n \to \infty lim S_{n} = S

，請選出正確的選項。（已知

lo g 2 \approx 0.3010

）

(1) 公比為 $0.2$
(2) 第三項為 $0.01 \overline{3}$
(3) 第四項大於 $\frac{1}{350}$
(4) 此無窮等比級數的總和為 $\frac{5}{12}$
(5) 滿足 $∣ S - S_{n} ∣ < \frac{1}{12000}$ 的最小正整數 $n$ 之值為 $5$

第貳部分：選填題（占 20 分）｜第 9 至 12 題，請將答案劃記在答案卡所標記的列號（9–17）每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

極限

n \to \infty lim \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n ^{2}}

之值為 ____。（化為最簡分數）

極限

x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 1}{2 x + 2 - 2}

之值為 ____。

設

a, b

為實數。若函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 2}, 5, x \neq = 2 x = 2

在

x = 2

處連續，則數對

(a, b) =

____。

設

a, b

為實數。已知三次多項式

f (x)

滿足

f (x) = - f (- x)

，

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = - 1

，且極限

x \to 0.5 lim \frac{f ( x )}{2 x - 1}

存在。若

f (x)

的圖形在對稱中心附近的一次近似函數為

g (x) = a x + b

，則數對

(a, b) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(4)

第 2 題(1)(4)

第 3 題(1)(2)(3)(4)

第 4 題(1)(3)(4)(5)

第 5 題(1)(4)

第 6 題(1)(5)

第 7 題(1)(5)

第 8 題(1)(2)(4)

第 9 題

\frac{1}{2}

第 10 題

6

第 11 題

(1, - 6)

第 12 題

(- 1, 0)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1～2 題：由圖形讀極限、根式函數的定義域與值域

第 1 題答案 (3)(4)。看極限只看「靠近時圖形往哪個高度走」，不看那一點本身的函數值。(1) 錯：

x

從右邊靠近

2

時，圖形沿右邊那段曲線走向空心點

(2, 1)

，所以

x \to 2^{+} lim f (x) = 1

。(2) 錯：

x

從左邊靠近

2

時，圖形走向空心點

(2, 3)

，所以

x \to 2^{-} lim f (x) = 3

。(3)、(4) 對：

x

不論從右邊或左邊靠近

5

，圖形都走向空心點

(5, 2)

，左、右極限都是

2

。(5) 錯：左、右極限相等，所以

x \to 5 lim f (x) = 2

存在。

x = 5

的實心點在

(5, 2)

下方，表示

f (5) \neq = 2

；這只讓

f

在

x = 5

不連續，不影響極限存在。選項 (1)(2) 是把左、右兩邊的值對調。

第 2 題答案 (1)(4)。(1) 對：

x

要

x \geq 0

。(2) 錯：

\frac{f}{g}

要

x \geq 0

、

2 - x \geq 0

且分母

g (x) \neq = 0

，即

x \neq = 2

，定義域為

0 \leq x < 2

。(3) 錯：

(g \circ f) (x) = 2 - x

，要

x \geq 0

且

x \leq 2

，定義域為

0 \leq x \leq 4

。(4) 對：

(f g) (x) = x (2 - x) = 1 - (x - 1)^{2}

，定義域

0 \leq x \leq 2

；

1 - (x - 1)^{2}

在此範圍內由

0

取到

1

，所以值域為

0 \leq y \leq 1

。(5) 錯：

(x + 2 - x)^{2} = 2 + 2 x (2 - x) \leq 2 + 2 \times 1 = 4

，所以

(f + g) (x) \leq 2

，

x = 1

時取到最大值

2

。

(5) 的

4

是平方後的最大值，還要開根號。(2) 要記得分母不能為

0

。

極限看的是「靠近時」的走向；定義域要把每個根號、分母與合成的內層條件全部列出來再取交集。

02多選第 3～4 題：收斂數列的性質、Σ 的運算

第 3 題答案 (1)(2)(3)(4)。(1) 對：收斂數列相乘，極限也相乘，

n \to \infty lim a_{n}^{2} = (- 3) \times (- 3) = 9

。(2)、(3) 對：

∣ a_{n} ∣

就是

a_{n}

與

0

的距離，「

a_{n}

趨近

0

」與「

∣ a_{n} ∣

趨近

0

」是同一件事；(3) 也可由

- ∣ a_{n} ∣ \leq a_{n} \leq ∣ a_{n} ∣

及夾擠定理得到。(4) 對：假設

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

收斂，則

b_{n} = (a_{n} + b_{n}) - a_{n}

是兩個收斂數列的差，也會收斂，與

⟨ b_{n} ⟩

發散矛盾。(5) 錯：取

a_{n} = 1 - \frac{1}{n}

，每一項都小於

1

，但

n \to \infty lim a_{n} = 1

，並不小於

1

。

(5) 的正確結論是

n \to \infty lim a_{n} \leq 1

：每一項都嚴格小於

1

，極限仍可能等於

1

。(3) 只在極限是

0

時成立，例如

a_{n} = (- 1)^{n}

時

∣ a_{n} ∣

收斂到

1

，但

⟨ a_{n} ⟩

發散。

第 4 題答案 (1)(3)(4)(5)。(1) 對：前

10

項拆成前

4

項與第

5

到第

10

項。(2) 錯：左邊是

a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}

，右邊是

(a_{1} + a_{2}) (b_{1} + b_{2}) = a_{1} b_{1} + a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{2} b_{2}

，多了兩項。(3) 對：分子依序是

1, 2, \dots, 6

即

k

；分母

2, 5, 8, 11, 14, 17

是首項

2

、公差

3

的等差數列，即

3 k - 1

；正負號由正開始交錯，即

(- 1)^{k + 1}

。(4) 對：

n

與

k

無關，是常數，加

n

次得

n \times n = n^{2}

，所以

k = 1 \sum n (n + a_{k}) = n^{2} + k = 1 \sum n a_{k}

。(5) 對：由公式

k = 1 \sum n k^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2} = (k = 1 \sum n k)^{2}

，

n = 10

時兩邊都是

5 5^{2} = 3025

。

Σ 可以對加減與常數倍拆開，但「乘積的和」不等於「和的乘積」；(5) 成立是立方和公式的特例，不是一般規則。

03多選第 5～6 題：函數極限的計算、高斯符號與夾擠定理

第 5 題答案 (1)(4)。(1) 對：分母在

x = 1

的值是

3 \neq = 0

，直接代入得

\frac{0}{3} = 0

。(2) 錯：直接代入得

(- 1)^{10} + 2∣ - 1∣ + 3 = 1 + 2 + 3 = 6

。(3) 錯：

x \neq = 1

時

\frac{x ^{2} + x - 2}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{x - 1} = x + 2

，極限為

3

，存在。(4) 對：

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

，通分得

\frac{( x + 2 ) ( x - 2 ) + 2 x + 1}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{( x + 3 ) ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{x + 3}{x - 2}

，

x \to 1

時趨近

\frac{4}{- 1} = - 4

。(5) 錯：因為

- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1

，所以

- ∣ x ∣ \leq x sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

；

x \to 0

時兩邊都趨近

0

，由夾擠定理，極限為

0

，存在。

(4) 的兩個分式各自在

x = 1

都沒有極限，不能分開算，要先通分約去

x - 1

。(3) 的函數在

x = 1

沒有定義，但極限仍然存在。

第 6 題答案 (1)(5)。(1) 對：

x

在

\frac{3}{2}

附近（

1 < x < 2

）時

[x] = 1

，極限為

1

。(2) 錯：

x \to 3^{-}

時

[x] = 2

，

x \to 3^{+}

時

[x] = 3

，左、右極限不相等，極限不存在。(3) 錯：

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

，

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = - 1

，左、右極限不相等，極限不存在。(4) 錯：

x \to 1^{-}

時

[x] = 0

，

x [x] = 0

；

x \to 1^{+}

時

[x] = 1

，

x [x] = x \to 1

；左極限

0

、右極限

1

，極限不存在。(5) 對：由高斯符號的定義，

\frac{1}{x} - 1 < [\frac{1}{x}] \leq \frac{1}{x}

。

x > 0

時同乘

x

得

1 - x < x [\frac{1}{x}] \leq 1

；

x < 0

時同乘

x

不等號反向，得

1 \leq x [\frac{1}{x}] < 1 - x

。

x \to 0

時

1 - x \to 1

，兩種情況都由夾擠定理得極限為

1

。

高斯符號在整數點左、右兩邊的值不同，極限要分左右看；在非整數點附近則是常數。(5) 乘以負數時不等號要反向。

遇到絕對值、高斯符號就分左、右極限；遇到有界的量乘以趨近

0

的量，用夾擠定理。

04多選第 7～8 題：根的位置與等比數列的極限、無窮等比級數

第 7 題答案 (1)(5)。先代值看正負：

f (- 2) = - 1

、

f (- 1) = 1

、

f (0) = - 1

、

f (1) = - 1

、

f (2) = 7

。多項式函數是連續函數，函數值變號的兩點之間必有實根，所以三個實根分別在

- 2

與

- 1

之間、

- 1

與

0

之間、

1

與

2

之間；三次方程式最多三個實根，故

- 2 < a < - 1

、

- 1 < b < 0

、

1 < c < 2

。(1) 對、(2) 錯。(3) 錯：

∣ a ∣ > 1

，分子分母同除以

a^{n}

得

\frac{\frac{1}{a ^{n}} + 1}{\frac{1}{a ^{n}} - 1}

，而

\frac{1}{a ^{n}} \to 0

，極限為

\frac{0 + 1}{0 - 1} = - 1

。(4) 錯：

∣ b ∣ < 1

，

b^{n} \to 0

，極限為

\frac{1 + 0}{1 - 0} = 1

。(5) 對：

c > 1

，分子分母同除以

c^{n}

得

\frac{\frac{1}{c ^{n}} + 3}{\frac{1}{c ^{n}} - 1}

，極限為

\frac{0 + 3}{0 - 1} = - 3

。

f (0)

與

f (1)

同為負，所以

0

與

1

之間沒有根（三個根都已找到位置）。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

在

∣ r ∣ < 1

時趨近

0

；

∣ r ∣ > 1

時改看

\frac{1}{r ^{n}}

趨近

0

。

第 8 題答案 (1)(2)(4)。先化成分數：首項

0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

；第二項

0.0 \overline{6} = \frac{1}{10} \times 0. \overline{6} = \frac{1}{10} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{15}

。(1) 對：公比

r = \frac{1}{15} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{5} = 0.2

。(2) 對：第三項

= \frac{1}{15} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{75} = 0.01333 \dots = 0.01 \overline{3}

。(3) 錯：第四項

= \frac{1}{375}

，分母比

350

大，所以

\frac{1}{375} < \frac{1}{350}

。(4) 對：

∣ r ∣ < 1

，

S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{12}

。(5) 錯：

S_{n} = \frac{5}{12} [1 - (\frac{1}{5})^{n}]

，所以

∣ S - S_{n} ∣ = \frac{5}{12} (\frac{1}{5})^{n}

。要

\frac{5}{12} \cdot \frac{1}{5 ^{n}} < \frac{1}{12000}

，即

5^{n - 1} > 1000

。

5^{4} = 625 < 1000

、

5^{5} = 3125 > 1000

，所以

n - 1 \geq 5

，最小的

n

是

6

。

(5) 用對數也可以：

lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990

，

(n - 1) \times 0.6990 > 3

得

n - 1 > 4.29 \dots

，

n \geq 6

。

n = 5

時

∣ S - S_{5} ∣ = \frac{1}{7500}

，還比

\frac{1}{12000}

大。

05選填題（第 9～12 題）：數列極限、有理化、連續、三次奇函數

第 9 題分子

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

，所以原式

= n \to \infty lim \frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2}} = n \to \infty lim \frac{n + 1}{2 n} = n \to \infty lim \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2}

。

不能把分子拆成

\frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2}}

後每項取極限得

0

：項數會隨

n

增加，要先求和再取極限。

第 10 題代入

x = 1

分子、分母都是

0

，先把分母有理化：分子分母同乘

2 x + 2 + 2

，分母變成

(2 x + 2) - 4 = 2 (x - 1)

。分子

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

。所以

x \neq = 1

時原式

= \frac{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 ) ( 2 x + 2 + 2 )}{2 ( x - 1 )} = \frac{( x ^{2} + x + 1 ) ( 2 x + 2 + 2 )}{2}

，

x \to 1

時趨近

\frac{3 \times ( 2 + 2 )}{2} = 6

。

第 11 題在

x = 2

連續表示

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 2} = f (2) = 5

。分母趨近

0

而極限存在，分子在

x = 2

的值必為

0

，所以分子有因式

x - 2

；設

x^{2} + a x + b = (x - 2) (x + k)

，則極限為

x \to 2 lim (x + k) = 2 + k = 5

，得

k = 3

。

x^{2} + a x + b = (x - 2) (x + 3) = x^{2} + x - 6

，所以

(a, b) = (1, - 6)

。

驗算：

x \neq = 2

時

f (x) = x + 3

，

x \to 2

時趨近

5 = f (2)

。

第 12 題

f (x) = - f (- x)

表示

f

是奇函數，三次多項式只留奇次項，設

f (x) = p x^{3} + q x

（

p \neq = 0

）。

x \neq = 0

時

\frac{f ( x )}{x} = p x^{2} + q

，

x \to 0

時趨近

q

，所以

q = - 1

。又

x \to 0.5 lim \frac{f ( x )}{2 x - 1}

存在而分母趨近

0

，所以

f (0.5) = 0

：

\frac{p}{8} - \frac{1}{2} = 0

，

p = 4

。得

f (x) = 4 x^{3} - x

。奇函數的圖形對稱於原點，對稱中心是

(0, 0)

；在

x = 0

附近

4 x^{3}

遠比

x

小，圖形近似於直線

y = - x

，所以一次近似函數

g (x) = - x

，

(a, b) = (- 1, 0)

。

驗算：

f (x) = x (2 x - 1) (2 x + 1)

，

\frac{f ( x )}{2 x - 1} = x (2 x + 1)

在

x \to 0.5

時趨近

1

，極限確實存在。三次函數

y = p (x - h)^{3} + q (x - h) + k

在對稱中心

(h, k)

附近的一次近似是

y = q (x - h) + k

。

分母趨近

0

而極限存在（或函數連續）時，分子在那一點的值一定是

0

，由此可以分解或解出係數。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

建國中學數甲數列與函數的極限32 題

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本頁列出全部 12 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題選項 (5) 每一項都小於一但極限可以等於一，要會舉反例；第 6 題選項 (5) 要用高斯符號的不等式分正負兩邊夾擠；第 7 題要先由函數值的正負定出三個根的位置，再依公比絕對值大於一或小於一判斷極限；第 8 題選項 (5) 部分和與總和的差算出來最小的項數是六不是五。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自建國中學 113 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：第一章數列與函數的極限（選修數學乙上：數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限）

建國中學 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 12 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 12 題，照原卷順序

多選題 8 題（80 分）、選填題 4 題（20 分）

已知函數

y = f (x)

之圖形如右，請選出正確的選項。

(1) 右極限 $x \to 2^{+} lim f (x) = 3$
(2) 左極限 $x \to 2^{-} lim f (x) = 1$
(3) 右極限 $x \to 5^{+} lim f (x) = 2$
(4) 左極限 $x \to 5^{-} lim f (x) = 2$
(5) 極限 $x \to 5 lim f (x)$ 不存在

載入中...

已知函數

f (x) = x

與

g (x) = 2 - x

，請選出正確的選項。

(1) $f (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ x \geq 0}$
(2) $(\frac{f}{g}) (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ 0 \leq x \leq 2}$
(3) $(g \circ f) (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ 0 \leq x \leq 2}$
(4) $(f g) (x)$ 的值域為 ${y \in R ∣ 0 \leq y \leq 1}$
(5) $(f + g) (x)$ 的最大值為 $4$

請選出正確的選項。

(1) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 滿足 $n \to \infty lim a_{n} = - 3$ ，則 $n \to \infty lim a_{n}^{2} = 9$
(2) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 滿足 $n \to \infty lim a_{n} = 0$ ，則 $n \to \infty lim ∣ a_{n} ∣ = 0$
(3) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 滿足 $n \to \infty lim ∣ a_{n} ∣ = 0$ ，則 $n \to \infty lim a_{n} = 0$
(4) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，無窮數列 $⟨ b_{n} ⟩$ 為發散數列，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 為發散數列
(5) 若對於無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 的任一項均有 $a_{n} < 1$ ，且 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂，則必 $n \to \infty lim a_{n} < 1$

下列關於級數的敘述，請選出正確的選項。

(1) $k = 1 \sum 10 a_{k} = k = 1 \sum 4 a_{k} + k = 5 \sum 10 a_{k}$
(2) $k = 1 \sum 2 (a_{k} b_{k}) = (k = 1 \sum 2 a_{k}) (k = 1 \sum 2 b_{k})$
(3) $\frac{1}{2} - \frac{2}{5} + \frac{3}{8} - \frac{4}{11} + \frac{5}{14} - \frac{6}{17} = k = 1 \sum 6 (- 1)^{k + 1} (\frac{k}{3 k - 1})$
(4) $k = 1 \sum n (n + a_{k}) = n^{2} + k = 1 \sum n a_{k}$
(5) $k = 1 \sum 10 k^{3} = (k = 1 \sum 10 k) \cdot (k = 1 \sum 10 k)$

請選出正確的選項。

(1) $x \to 1 lim \frac{x - 1}{x + 2} = 0$
(2) $x \to - 1 lim (x^{10} + 2∣ x ∣ + 3) = 2$
(3) 極限 $x \to 1 lim \frac{x ^{2} + x - 2}{x - 1}$ 不存在
(4) $x \to 1 lim (\frac{x + 2}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{x ^{2} - 3 x + 2}) = - 4$
(5) 極限 $x \to 0 lim (x sin \frac{1}{x})$ 不存在

對於任意實數

x

，以

[x]

表示不大於

x

的最大整數，例如：

[2] = 2

，

[2.3] = 2

，

[- 2.3] = - 3

。請選出正確的選項。

(1) $x \to \frac{3}{2} lim [x] = 1$
(2) $x \to 3 lim [x] = 3$
(3) $x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x} = 1$
(4) $x \to 1 lim x [x] = 1$
(5) $x \to 0 lim x [\frac{1}{x}] = 1$

令

f (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x - 1

。設

a

、

b

、

c

為方程式

f (x) = 0

的三個實根，且

a < b < c

，請選出正確的選項。

(1) $- 2 < a < - 1$
(2) $0 < b < 1$
(3) $n \to \infty lim \frac{1 + a ^{n}}{1 - a ^{n}} = 1$
(4) $n \to \infty lim \frac{1 + 2 b ^{n}}{1 - b ^{n}} = - 2$
(5) $n \to \infty lim \frac{1 + 3 c ^{n}}{1 - c ^{n}} = - 3$

已知一無窮等比級數的首項為

0. \overline{3}

，第二項為

0.0 \overline{6}

，設前

n

項的和為

S_{n}

，

n \to \infty lim S_{n} = S

，請選出正確的選項。（已知

lo g 2 \approx 0.3010

）

(1) 公比為 $0.2$
(2) 第三項為 $0.01 \overline{3}$
(3) 第四項大於 $\frac{1}{350}$
(4) 此無窮等比級數的總和為 $\frac{5}{12}$
(5) 滿足 $∣ S - S_{n} ∣ < \frac{1}{12000}$ 的最小正整數 $n$ 之值為 $5$

第貳部分：選填題（占 20 分）｜第 9 至 12 題，請將答案劃記在答案卡所標記的列號（9–17）每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

極限

n \to \infty lim \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n ^{2}}

之值為 ____。（化為最簡分數）

極限

x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 1}{2 x + 2 - 2}

之值為 ____。

設

a, b

為實數。若函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 2}, 5, x \neq = 2 x = 2

在

x = 2

處連續，則數對

(a, b) =

____。

設

a, b

為實數。已知三次多項式

f (x)

滿足

f (x) = - f (- x)

，

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = - 1

，且極限

x \to 0.5 lim \frac{f ( x )}{2 x - 1}

存在。若

f (x)

的圖形在對稱中心附近的一次近似函數為

g (x) = a x + b

，則數對

(a, b) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(4)

第 2 題(1)(4)

第 3 題(1)(2)(3)(4)

第 4 題(1)(3)(4)(5)

第 5 題(1)(4)

第 6 題(1)(5)

第 7 題(1)(5)

第 8 題(1)(2)(4)

第 9 題

\frac{1}{2}

第 10 題

6

第 11 題

(1, - 6)

第 12 題

(- 1, 0)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1～2 題：由圖形讀極限、根式函數的定義域與值域

第 1 題答案 (3)(4)。看極限只看「靠近時圖形往哪個高度走」，不看那一點本身的函數值。(1) 錯：

x

從右邊靠近

2

時，圖形沿右邊那段曲線走向空心點

(2, 1)

，所以

x \to 2^{+} lim f (x) = 1

。(2) 錯：

x

從左邊靠近

2

時，圖形走向空心點

(2, 3)

，所以

x \to 2^{-} lim f (x) = 3

。(3)、(4) 對：

x

不論從右邊或左邊靠近

5

，圖形都走向空心點

(5, 2)

，左、右極限都是

2

。(5) 錯：左、右極限相等，所以

x \to 5 lim f (x) = 2

存在。

x = 5

的實心點在

(5, 2)

下方，表示

f (5) \neq = 2

；這只讓

f

在

x = 5

不連續，不影響極限存在。選項 (1)(2) 是把左、右兩邊的值對調。

第 2 題答案 (1)(4)。(1) 對：

x

要

x \geq 0

。(2) 錯：

\frac{f}{g}

要

x \geq 0

、

2 - x \geq 0

且分母

g (x) \neq = 0

，即

x \neq = 2

，定義域為

0 \leq x < 2

。(3) 錯：

(g \circ f) (x) = 2 - x

，要

x \geq 0

且

x \leq 2

，定義域為

0 \leq x \leq 4

。(4) 對：

(f g) (x) = x (2 - x) = 1 - (x - 1)^{2}

，定義域

0 \leq x \leq 2

；

1 - (x - 1)^{2}

在此範圍內由

0

取到

1

，所以值域為

0 \leq y \leq 1

。(5) 錯：

(x + 2 - x)^{2} = 2 + 2 x (2 - x) \leq 2 + 2 \times 1 = 4

，所以

(f + g) (x) \leq 2

，

x = 1

時取到最大值

2

。

(5) 的

4

是平方後的最大值，還要開根號。(2) 要記得分母不能為

0

。

極限看的是「靠近時」的走向；定義域要把每個根號、分母與合成的內層條件全部列出來再取交集。

02多選第 3～4 題：收斂數列的性質、Σ 的運算

第 3 題答案 (1)(2)(3)(4)。(1) 對：收斂數列相乘，極限也相乘，

n \to \infty lim a_{n}^{2} = (- 3) \times (- 3) = 9

。(2)、(3) 對：

∣ a_{n} ∣

就是

a_{n}

與

0

的距離，「

a_{n}

趨近

0

」與「

∣ a_{n} ∣

趨近

0

」是同一件事；(3) 也可由

- ∣ a_{n} ∣ \leq a_{n} \leq ∣ a_{n} ∣

及夾擠定理得到。(4) 對：假設

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

收斂，則

b_{n} = (a_{n} + b_{n}) - a_{n}

是兩個收斂數列的差，也會收斂，與

⟨ b_{n} ⟩

發散矛盾。(5) 錯：取

a_{n} = 1 - \frac{1}{n}

，每一項都小於

1

，但

n \to \infty lim a_{n} = 1

，並不小於

1

。

(5) 的正確結論是

n \to \infty lim a_{n} \leq 1

：每一項都嚴格小於

1

，極限仍可能等於

1

。(3) 只在極限是

0

時成立，例如

a_{n} = (- 1)^{n}

時

∣ a_{n} ∣

收斂到

1

，但

⟨ a_{n} ⟩

發散。

第 4 題答案 (1)(3)(4)(5)。(1) 對：前

10

項拆成前

4

項與第

5

到第

10

項。(2) 錯：左邊是

a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}

，右邊是

(a_{1} + a_{2}) (b_{1} + b_{2}) = a_{1} b_{1} + a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{2} b_{2}

，多了兩項。(3) 對：分子依序是

1, 2, \dots, 6

即

k

；分母

2, 5, 8, 11, 14, 17

是首項

2

、公差

3

的等差數列，即

3 k - 1

；正負號由正開始交錯，即

(- 1)^{k + 1}

。(4) 對：

n

與

k

無關，是常數，加

n

次得

n \times n = n^{2}

，所以

k = 1 \sum n (n + a_{k}) = n^{2} + k = 1 \sum n a_{k}

。(5) 對：由公式

k = 1 \sum n k^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2} = (k = 1 \sum n k)^{2}

，

n = 10

時兩邊都是

5 5^{2} = 3025

。

Σ 可以對加減與常數倍拆開，但「乘積的和」不等於「和的乘積」；(5) 成立是立方和公式的特例，不是一般規則。

03多選第 5～6 題：函數極限的計算、高斯符號與夾擠定理

第 5 題答案 (1)(4)。(1) 對：分母在

x = 1

的值是

3 \neq = 0

，直接代入得

\frac{0}{3} = 0

。(2) 錯：直接代入得

(- 1)^{10} + 2∣ - 1∣ + 3 = 1 + 2 + 3 = 6

。(3) 錯：

x \neq = 1

時

\frac{x ^{2} + x - 2}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{x - 1} = x + 2

，極限為

3

，存在。(4) 對：

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

，通分得

\frac{( x + 2 ) ( x - 2 ) + 2 x + 1}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{( x + 3 ) ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{x + 3}{x - 2}

，

x \to 1

時趨近

\frac{4}{- 1} = - 4

。(5) 錯：因為

- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1

，所以

- ∣ x ∣ \leq x sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

；

x \to 0

時兩邊都趨近

0

，由夾擠定理，極限為

0

，存在。

(4) 的兩個分式各自在

x = 1

都沒有極限，不能分開算，要先通分約去

x - 1

。(3) 的函數在

x = 1

沒有定義，但極限仍然存在。

第 6 題答案 (1)(5)。(1) 對：

x

在

\frac{3}{2}

附近（

1 < x < 2

）時

[x] = 1

，極限為

1

。(2) 錯：

x \to 3^{-}

時

[x] = 2

，

x \to 3^{+}

時

[x] = 3

，左、右極限不相等，極限不存在。(3) 錯：

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

，

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = - 1

，左、右極限不相等，極限不存在。(4) 錯：

x \to 1^{-}

時

[x] = 0

，

x [x] = 0

；

x \to 1^{+}

時

[x] = 1

，

x [x] = x \to 1

；左極限

0

、右極限

1

，極限不存在。(5) 對：由高斯符號的定義，

\frac{1}{x} - 1 < [\frac{1}{x}] \leq \frac{1}{x}

。

x > 0

時同乘

x

得

1 - x < x [\frac{1}{x}] \leq 1

；

x < 0

時同乘

x

不等號反向，得

1 \leq x [\frac{1}{x}] < 1 - x

。

x \to 0

時

1 - x \to 1

，兩種情況都由夾擠定理得極限為

1

。

高斯符號在整數點左、右兩邊的值不同，極限要分左右看；在非整數點附近則是常數。(5) 乘以負數時不等號要反向。

遇到絕對值、高斯符號就分左、右極限；遇到有界的量乘以趨近

0

的量，用夾擠定理。

04多選第 7～8 題：根的位置與等比數列的極限、無窮等比級數

第 7 題答案 (1)(5)。先代值看正負：

f (- 2) = - 1

、

f (- 1) = 1

、

f (0) = - 1

、

f (1) = - 1

、

f (2) = 7

。多項式函數是連續函數，函數值變號的兩點之間必有實根，所以三個實根分別在

- 2

與

- 1

之間、

- 1

與

0

之間、

1

與

2

之間；三次方程式最多三個實根，故

- 2 < a < - 1

、

- 1 < b < 0

、

1 < c < 2

。(1) 對、(2) 錯。(3) 錯：

∣ a ∣ > 1

，分子分母同除以

a^{n}

得

\frac{\frac{1}{a ^{n}} + 1}{\frac{1}{a ^{n}} - 1}

，而

\frac{1}{a ^{n}} \to 0

，極限為

\frac{0 + 1}{0 - 1} = - 1

。(4) 錯：

∣ b ∣ < 1

，

b^{n} \to 0

，極限為

\frac{1 + 0}{1 - 0} = 1

。(5) 對：

c > 1

，分子分母同除以

c^{n}

得

\frac{\frac{1}{c ^{n}} + 3}{\frac{1}{c ^{n}} - 1}

，極限為

\frac{0 + 3}{0 - 1} = - 3

。

f (0)

與

f (1)

同為負，所以

0

與

1

之間沒有根（三個根都已找到位置）。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

在

∣ r ∣ < 1

時趨近

0

；

∣ r ∣ > 1

時改看

\frac{1}{r ^{n}}

趨近

0

。

第 8 題答案 (1)(2)(4)。先化成分數：首項

0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

；第二項

0.0 \overline{6} = \frac{1}{10} \times 0. \overline{6} = \frac{1}{10} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{15}

。(1) 對：公比

r = \frac{1}{15} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{5} = 0.2

。(2) 對：第三項

= \frac{1}{15} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{75} = 0.01333 \dots = 0.01 \overline{3}

。(3) 錯：第四項

= \frac{1}{375}

，分母比

350

大，所以

\frac{1}{375} < \frac{1}{350}

。(4) 對：

∣ r ∣ < 1

，

S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{12}

。(5) 錯：

S_{n} = \frac{5}{12} [1 - (\frac{1}{5})^{n}]

，所以

∣ S - S_{n} ∣ = \frac{5}{12} (\frac{1}{5})^{n}

。要

\frac{5}{12} \cdot \frac{1}{5 ^{n}} < \frac{1}{12000}

，即

5^{n - 1} > 1000

。

5^{4} = 625 < 1000

、

5^{5} = 3125 > 1000

，所以

n - 1 \geq 5

，最小的

n

是

6

。

(5) 用對數也可以：

lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990

，

(n - 1) \times 0.6990 > 3

得

n - 1 > 4.29 \dots

，

n \geq 6

。

n = 5

時

∣ S - S_{5} ∣ = \frac{1}{7500}

，還比

\frac{1}{12000}

大。

05選填題（第 9～12 題）：數列極限、有理化、連續、三次奇函數

第 9 題分子

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

，所以原式

= n \to \infty lim \frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2}} = n \to \infty lim \frac{n + 1}{2 n} = n \to \infty lim \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2}

。

不能把分子拆成

\frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2}}

後每項取極限得

0

：項數會隨

n

增加，要先求和再取極限。

第 10 題代入

x = 1

分子、分母都是

0

，先把分母有理化：分子分母同乘

2 x + 2 + 2

，分母變成

(2 x + 2) - 4 = 2 (x - 1)

。分子

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

。所以

x \neq = 1

時原式

= \frac{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 ) ( 2 x + 2 + 2 )}{2 ( x - 1 )} = \frac{( x ^{2} + x + 1 ) ( 2 x + 2 + 2 )}{2}

，

x \to 1

時趨近

\frac{3 \times ( 2 + 2 )}{2} = 6

。

第 11 題在

x = 2

連續表示

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 2} = f (2) = 5

。分母趨近

0

而極限存在，分子在

x = 2

的值必為

0

，所以分子有因式

x - 2

；設

x^{2} + a x + b = (x - 2) (x + k)

，則極限為

x \to 2 lim (x + k) = 2 + k = 5

，得

k = 3

。

x^{2} + a x + b = (x - 2) (x + 3) = x^{2} + x - 6

，所以

(a, b) = (1, - 6)

。

驗算：

x \neq = 2

時

f (x) = x + 3

，

x \to 2

時趨近

5 = f (2)

。

第 12 題

f (x) = - f (- x)

表示

f

是奇函數，三次多項式只留奇次項，設

f (x) = p x^{3} + q x

（

p \neq = 0

）。

x \neq = 0

時

\frac{f ( x )}{x} = p x^{2} + q

，

x \to 0

時趨近

q

，所以

q = - 1

。又

x \to 0.5 lim \frac{f ( x )}{2 x - 1}

存在而分母趨近

0

，所以

f (0.5) = 0

：

\frac{p}{8} - \frac{1}{2} = 0

，

p = 4

。得

f (x) = 4 x^{3} - x

。奇函數的圖形對稱於原點，對稱中心是

(0, 0)

；在

x = 0

附近

4 x^{3}

遠比

x

小，圖形近似於直線

y = - x

，所以一次近似函數

g (x) = - x

，

(a, b) = (- 1, 0)

。

驗算：

f (x) = x (2 x - 1) (2 x + 1)

，

\frac{f ( x )}{2 x - 1} = x (2 x + 1)

在

x \to 0.5

時趨近

1

，極限確實存在。三次函數

y = p (x - h)^{3} + q (x - h) + k

在對稱中心

(h, k)

附近的一次近似是

y = q (x - h) + k

。

分母趨近

0

而極限存在（或函數連續）時，分子在那一點的值一定是

0

，由此可以分解或解出係數。

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建國中學數甲數列與函數的極限32 題

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