建國中學 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

$g(x)$ 領導係數為 $1$，三根為 $1,2,3$，所以 $g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$，且 $f(1)=\frac{g(1)}{1-4}=0$。用導數的定義：

$$f^{\prime }(1)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-4)(x-1)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-2)(x-3)}{x-4}$$

代入 $x=1$ 得 $\frac{(-1)\times (-2)}{-3}=-\frac{2}{3}$。

$a>0$，看 $(x-1)(x-2)(x-5)$ 的正負：

$$\begin{array}{ccccc}x& x<1& 1<x<2& 2<x<5& x>5\\ f^{\prime }(x)& -& +& -& +\end{array}$$

$f^{\prime }(x)>0$ 的區間上 $f(x)$ 嚴格遞增，所以 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 與 $(5,\infty )$ 上嚴格遞增。六個區間中整個落在這兩段裡的是 $I_2=(1,2)$ 與 $I_6=(5,6)$。

展開 $(x-1)(x-2)(x-5)=x^3-8x^2+17x-10$，所以 $f^{\prime }(x)=a\left(x^3-8x^2+17x-10\right)$，$f^{\prime \prime }(x)=a\left(3x^2-16x+17\right)$。解 $3x^2-16x+17=0$：判別式 $16^2-4\times 3\times 17=52>0$，

$$x=\frac{16\pm \sqrt{52}}{6}=\frac{8\pm \sqrt{13}}{3}$$

兩根相異，$f^{\prime \prime }(x)$ 在兩根處都變號，所以兩點都是反曲點，$\beta =\frac{8+\sqrt{13}}{3}$ 或 $\beta =\frac{8-\sqrt{13}}{3}$。

$g^{\prime }(x)=3x^2-2x=x(3x-2)$，$g^{\prime }(x)=0$ 時 $x=0$ 或 $x=\frac{2}{3}$。

$$\begin{array}{cccc}x& x<0& 0<x<\frac{2}{3}& x>\frac{2}{3}\\ g^{\prime }(x)& +& -& +\end{array}$$

$g^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 由正變負，$g(0)=0$ 是極大值；在 $x=\frac{2}{3}$ 由負變正，$g\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{27}-\frac{4}{9}=-\frac{4}{27}$ 是極小值。所以 $(\alpha ,\beta )=\left(0,\frac{2}{3}\right)$。

把 $A\left(\frac{3}{2},0\right)$ 代入 $L$：$0-(t^3-t^2)=(3t^2-2t)\left(\frac{3}{2}-t\right)$。右邊展開為 $-3t^3+\frac{13}{2}{t}^2-3t$，移項整理得

$$2t^3-\frac{11}{2}{t}^2+3t=0$$

兩邊乘以 $2$：$4t^3-11t^2+6t=0$，$t\left(4t^2-11t+6\right)=0$，$t(4t-3)(t-2)=0$。所以 $t=0$、$\frac{3}{4}$ 或 $2$。

描圖。 $g(x)=x^2(x-1)$ 與 $x$ 軸交於 $x=0$（相切）與 $x=1$；由第 17 題，極大點 $(0,0)$、極小點 $\left(\frac{2}{3},-\frac{4}{27}\right)$；$g^{\prime \prime }(x)=6x-2$，反曲點 $\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{27}\right)$，左邊凹向下、右邊凹向上。概略圖形如下圖。

轉成交點。 $f(x)=0$ 等價於 $x^3-x^2=px-\frac{3}{2}p$，即 $g(x)=h(x)$。所以 $f(x)=0$ 的相異實根個數，等於曲線 $y=g(x)$ 與直線 $y=h(x)$ 的交點個數；直線過定點 $A\left(\frac{3}{2},0\right)$、斜率為 $p$。

以切線為分界。 由第 20 題，過 $A$ 的切線斜率只有 $0$、$\frac{3}{16}$、$8$ 三個；直線繞 $A$ 轉動時，交點個數只會在這三個斜率改變。

(i) $p<0$：$x\le 1$ 時 $g(x)=x^2(x-1)\le 0$，而直線在 $x<\frac{3}{2}$ 的部分都在 $x$ 軸上方，所以交點都在 $x>1$；這裡 $g(x)$ 遞增、直線遞減，只交 $1$ 點。

(ii) $p=0$：直線就是 $x$ 軸，與曲線交於 $x=0$、$x=1$ 兩點。

(iii) $0<p<\frac{3}{16}$：直線比 $x$ 軸略往上轉，在原點下方穿過，左邊交 $1$ 點、在極大點與極小點之間交 $1$ 點、在極小點右邊再交 $1$ 點，共 $3$ 點。例如 $p=\frac{1}{10}$：$f(-1)=-\frac{7}{4}<0$、$f(0)=\frac{3}{20}>0$、$f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{40}<0$、$f(1)=\frac{1}{20}>0$，由勘根定理在 $(-1,0)$、$\left(0,\frac{1}{2}\right)$、$\left(\frac{1}{2},1\right)$ 各有一根。

(iv) $p=\frac{3}{16}$：在 $x=\frac{3}{4}$ 相切，只剩 $2$ 個交點。

(v) $\frac{3}{16}<p<8$：只交 $1$ 點。例如 $p=1$：$f(x)=x^3-x^2-x+\frac{3}{2}$，$f^{\prime }(x)=(3x+1)(x-1)$，極小值 $f(1)=\frac{1}{2}>0$，極大值 $f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{91}{54}>0$，所以只有 $1$ 個實根。

(vi) $p=8$：在 $(2,4)$ 相切，$2$ 個交點。

(vii) $p>8$：直線比切線更陡，在 $A$ 與切點之間再穿過曲線，共 $3$ 個交點。例如 $p=10$：$f(x)=x^3-x^2-10x+15$，$f(-4)=-25<0$、$f(0)=15>0$、$f(1)=5>0$、$f(2)=-1<0$、$f(3)=3>0$，由勘根定理在 $(-4,0)$、$(1,2)$、$(2,3)$ 各有一根。

所以有三個相異實根時，$0<p<\frac{3}{16}$ 或 $p>8$。