林口高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

用乘法公式與連鎖律：

$$f^{\prime }(x)=5(x-3{)}^4(x^2-5{)}^3+(x-3{)}^5\cdot 3(x^2-5{)}^2\cdot 2x$$

代 $x=2$：$x-3=-1$，$x^2-5=-1$，所以 $f^{\prime }(2)=5\times 1\times (-1)+(-1)\times 3\times 1\times 4=-5-12=-17$。

用除法的微分公式：

$$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2+x+3)-x(2x+1)}{(x^2+x+3{)}^2}=\frac{-x^2+3}{(x^2+x+3{)}^2}$$

代 $x=0$：$f^{\prime }(0)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。

因為 $f(1)=0$，分子可以寫成 $f(1+h)-f(1)$：

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+h)}{3h}=\frac{1}{3}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{1}{3}{f}^{\prime }(1)=\frac{1}{3}\times (-15)=-5$$

$x=2$ 時：右導數 $\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{|h|-0}{h}=1$，左導數 $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{|h|-0}{h}=-1$，左右不相等，所以 $f^{\prime }(2)$ 不存在（圖形在 $x=2$ 是尖角）。

$x$ 在 $5566$ 附近時 $x-2>0$，$f(x)=x-2$，所以 $f^{\prime }(5566)=1$。

用乘法公式：$f^{\prime }(x)=(1-x{)}^3+(1+x)\cdot 3(1-x{)}^2\cdot (-1)$。

代 $x=0$：$f^{\prime }(0)=1-3=-2$。切線過 $P(0,1)$、斜率 $-2$，方程式是 $y-1=-2(x-0)$，即 $y=-2x+1$。

$f^{\prime }(x)=2x-2$。設切點是 $(t,t^2-2t+2)$，切線是

$$y=(2t-2)(x-t)+t^2-2t+2$$

切線要通過 $P(2,-2)$：$-2=(2t-2)(2-t)+t^2-2t+2$，展開整理得 $-2=-t^2+4t-2$，即 $t^2-4t=0$，$t=0$ 或 $t=4$。

$t=0$：切點 $(0,2)$、斜率 $-2$，切線 $y=-2x+2$。

$t=4$：切點 $(4,10)$、斜率 $6$，切線 $y-10=6(x-4)$，即 $y=6x-14$。

(1) $f(1)=1-10+24+1=16$，$f^{\prime }(x)=3x^2-20x+24$，$f^{\prime }(1)=3-20+24=7$。在 $x=1$ 附近的一次近似是切線

$$y=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)=16+7(x-1)=7x+9$$

(2) $f(1.01)\approx 7\times 1.01+9=16.07$。

切線斜率是 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax-5=3{\left(x+\frac{a}{3}\right)}^2-5-\frac{a^2}{3}$，是開口向上的二次函數，在 $x=-\frac{a}{3}$ 時最小。

由 $-\frac{a}{3}=-1$ 得 $a=3$。又 $P(-1,5)$ 在圖形上：$f(-1)=-1+3+5+b=5$，$b=-2$。所以 $(a,b)=(3,-2)$。

$f^{\prime }(x)=6x^2+2ax+b$。$f$ 在 $[-3,2]$ 遞增、$[2,5]$ 遞減、$[5,8]$ 遞增，所以 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=2$ 由正轉負、在 $x=5$ 由負轉正，$2$ 與 $5$ 是 $f^{\prime }(x)=0$ 的兩根。

$f^{\prime }(x)$ 的領導係數是 $6$，所以 $f^{\prime }(x)=6(x-2)(x-5)=6x^2-42x+60$。比較係數：$2a=-42$，$a=-21$；$b=60$。

檢查：$f^{\prime }(x)=6(x-2)(x-5)$ 在 $2<x<5$ 時為負、在 $x<2$ 或 $x>5$ 時為正，符合題意。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$，$f^{\prime \prime }(x)=6x+2a$。三次函數的反曲點在 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 的地方，所以 $6+2a=0$，$a=-3$。

點 $(1,8)$ 在圖形上：$f(1)=1-3+b+1=8$，$b=9$。所以 $(a,b)=(-3,9)$。

$f^{\prime }(x)=-3x^2+3=-3(x+1)(x-1)$。在 $[0,2]$ 內 $f^{\prime }(x)=0$ 只有 $x=1$。

比較臨界點與兩端點的函數值：$f(0)=0$，$f(1)=-1+3=2$，$f(2)=-8+6=-2$。

所以最大值 $2$，最小值 $-2$。

梯形的上底 $\overline{DC}$ 與 $\overline{AB}$ 平行，$C$、$D$ 對稱於 $y$ 軸。設 $C(t,9-t^2)$、$D(-t,9-t^2)$，$0<t<3$。

上底 $2t$、下底 $6$、高 $9-t^2$，面積

$$S(t)=\frac{(2t+6)(9-t^2)}{2}=(t+3)(9-t^2)=-t^3-3t^2+9t+27$$

$S^{\prime }(t)=-3t^2-6t+9=-3(t+3)(t-1)$。在 $0<t<1$ 時 $S^{\prime }(t)>0$、在 $1<t<3$ 時 $S^{\prime }(t)<0$，所以 $t=1$ 時面積最大，$S(1)=4\times 8=32$。