段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮等比級數、函數的定義域與值域、合成函數與反函數、函數的極限、連續函數與中間值定理）

林口高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

填充題 21 題（第 1～21 題），依答對題數給分：答對 10 題以內每題 5 分，答對的第 11 到第 15 題每多一題加 4 分，第 16 到第 21 題每多一題加 3 分，21 題全對 88 分；多選題 4 題（第 22～25 題）每題 3 分，全對才給分，共 12 分。合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、填充題

若

a

為實數，且

n \to \infty lim \frac{a n ^{2} + n}{2 n ^{2} - 3 n} = 4

，求

a

之值＝ ____。

已知數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

n^{2} - (n - 1)^{2} \leq n a_{n} \leq (n + 1)^{2} - n^{2}

，求

n \to \infty lim a_{n}

之值為 ____。

求級數

1 \times 31 + 2 \times 28 + 3 \times 25 + \dots + 30 \times (- 56)

以

\sum

表示為 ____。

k = 1 \sum \infty (\frac{3}{5})^{k} =

____。

求函數

f (x) = - x^{2} - 4 x + 5

的值域為 ____。

如下圖，正方形

A B C D

周長為

8

，連接正方形

A B C D

的各邊中點，可得一個內接正方形，依此規則可得到無窮多個正方形，求所有正方形面積的總和為 ____。

載入中...

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x ^{2} - 1} =

____。

已知函數

f (x) = {x^{2} + 2, - x + a, x \geq 1 x < 1

在

x = 1

連續，求實數

a

之值為 ____。

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} - 2 n + 5}{n - 1} - \frac{n ^{2} + 1}{n}) =

____。

已知首項為

a

，公比為

0.3 \overline{2}

的無窮等比級數和為

9

，求首項

a

的值為 ____。

若

f (x) = x^{2} + 2 x - 1

、

g (x) = 2 x - 3

，求

(f \circ g) (4) =

____。

電子產品的電量常用格子數來顯示。有一款手機，標榜待機時間可超過

3

天，當這款手機充滿電時，電量顯示為

10

格，且充滿電後持續待機

x

小時，剩餘電量格數為

f (x) = [\frac{200}{x + 19}]

格。若待機

1

天後，求剩餘電量格數為 ____。（卷面沒有說明中括號的意義，依題意是高斯符號）

求無窮級數

\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{4 \times 6} + \dots + \frac{1}{n \times ( n + 2 )} + \dots

的和為 ____。

n \to \infty lim \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \dots + n ^{2}}{n ^{3}} =

____。

已知函數

f (x) = x

與

g (x) = 1 - x

，求

(\frac{f}{g}) (x)

的定義域為 ____。

已知

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - a x - 6}{x - 1} = b

，求數對

(a, b) =

____。

n \to \infty lim \frac{1 + 4 + 4 ^{2} + \dots 4 ^{n - 1}}{4 ^{n}} =

____。（卷面在

4^{n - 1}

前面沒有印加號，分子是

1

加到

4^{n - 1}

的和）

已知函數

f (x) = 1 0^{x}

，求

f (x)

的反函數

g (x) =

____。

已知

f (x) = x \cdot 2^{x} - 2025

為連續函數，則方程式

f (x) = 0

在 ____ 與 ____ 兩個相鄰正整數之間有根。

設

n

為正整數，方程式

x^{2} + 2 x - n = 0

的兩根為

a_{n}

與

b_{n}

，且

a_{n} < b_{n}

，求

n \to \infty lim \frac{a _{n} - b _{n}}{n} =

____。

求

θ \to 0^{+} lim \frac{sin θ}{θ} =

____。

二、多選題（每題 3 分，全對才給分）

在下列數列中，選出所有為收斂數列的選項。

(1) $⟨ \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} ⟩$
(2) $⟨ (1 - 2)^{n} ⟩$
(3) $⟨ \frac{3 ^{n + 1}}{5 ^{n}} ⟩$
(4) $⟨ \frac{n}{n ^{3} + 1} ⟩$
(5) $⟨ \frac{n ^{2}}{2 n + 1} ⟩$

下列各函數何者為偶函數。

(1) $y = \frac{1}{x}$
(2) $y = x^{2} + 1$
(3) $y = sin x$
(4) $y = cos x$
(5) $y = ∣ x ∣$

從下列選項中，選出所有的收斂級數。

(1) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \dots + \frac{1}{( - 2 ) ^{n - 1}} + \dots$
(2) $k = 1 \sum \infty (- 1)^{k - 1}$
(3) $33 - 3 + 3 - 1 + \dots$
(4) $k = 1 \sum \infty (- \frac{3}{4})^{k}$
(5) $k = 1 \sum \infty \frac{3 ^{2 k + 1}}{4 ^{k}}$

選出極限存在的選項。

(1) $x \to 2 lim \frac{x ^{2} + x + 6}{x - 2}$
(2) $x \to 2 lim \frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2}$
(3) $x \to 0 lim \frac{x + 1 - 1}{x}$
(4) $x \to 1 lim \frac{3 - 3 x - x ^{2} - 1}{x - 1}$
(5) $x \to 2 lim \frac{x ^{2} + x + 6}{( x - 2 ) ^{2}}$

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

8

第 2 題

2

第 3 題

k = 1 \sum 30 k (- 3 k + 34)

第 4 題

\frac{3}{2}

第 5 題

{y ∣ 0 \leq y \leq 3, y \in R}

第 6 題

8

第 7 題

4

第 8 題

4

第 9 題

- 1

第 10 題

\frac{61}{10}

第 11 題

34

第 12 題

4

第 13 題

\frac{3}{4}

第 14 題

\frac{1}{3}

第 15 題

{x ∣ 0 \leq x < 1, x \in R}

第 16 題

(- 5, 7)

第 17 題

\frac{1}{3}

第 18 題

lo g x

第 19 題

7

與

8

第 20 題

- 2

第 21 題

1

第 22 題(1)(2)(3)(4)

第 23 題(2)(4)(5)

第 24 題(1)(3)(4)

第 25 題(2)(3)(4)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1、2、9、14、17、20 題：數列的極限

第 1 題分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{a n ^{2} + n}{2 n ^{2} - 3 n} = \frac{a + \frac{1}{n}}{2 - \frac{3}{n}}

。當

n \to \infty

時

\frac{1}{n} \to 0

，所以極限是

\frac{a}{2}

。由

\frac{a}{2} = 4

得

a = 8

。

第 2 題先把兩邊展開：

n^{2} - (n - 1)^{2} = 2 n - 1

，

(n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1

，所以

2 n - 1 \leq n a_{n} \leq 2 n + 1

。各除以正數

n

：

2 - \frac{1}{n} \leq a_{n} \leq 2 + \frac{1}{n}

。當

n \to \infty

時左右兩邊都趨近

2

，由夾擠定理，

n \to \infty lim a_{n} = 2

。

第 9 題兩項各自都愈來愈大，不能分開取極限，要先通分。分子是

n (n^{2} - 2 n + 5) - (n - 1) (n^{2} + 1) = (n^{3} - 2 n^{2} + 5 n) - (n^{3} - n^{2} + n - 1) = - n^{2} + 4 n + 1

，所以原式

= \frac{- n ^{2} + 4 n + 1}{n ^{2} - n}

。分子分母同除以

n^{2}

，極限是

\frac{- 1}{1} = - 1

。

第 14 題分子先用平方和公式：

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

。原式

= \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{3}} = \frac{1}{6} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n})

，當

n \to \infty

時趨近

\frac{1}{6} \times 1 \times 2 = \frac{1}{3}

。

分子的項數會隨

n

變多，不能一項一項分開取極限（每一項除以

n^{3}

都趨近

0

，但加起來不是

0

）；一定要先求和。

第 17 題分子是首項

1

、公比

4

、共

n

項的等比級數，和是

\frac{4 ^{n} - 1}{4 - 1} = \frac{4 ^{n} - 1}{3}

。原式

= \frac{4 ^{n} - 1}{3 \cdot 4 ^{n}} = \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{4 ^{n}})

，當

n \to \infty

時

\frac{1}{4 ^{n}} \to 0

，極限是

\frac{1}{3}

。

第 20 題配方：

x^{2} + 2 x - n = 0

即

(x + 1)^{2} = n + 1

，兩根是

- 1 \pm n + 1

。因為

a_{n} < b_{n}

，所以

a_{n} = - 1 - n + 1

、

b_{n} = - 1 + n + 1

，相減得

a_{n} - b_{n} = - 2 n + 1

。

\frac{a _{n} - b _{n}}{n} = - 2 \frac{n + 1}{n} = - 2 1 + \frac{1}{n}

，當

n \to \infty

時趨近

- 2

。

題目是小的根減大的根，差是負的；寫成

2

就錯了。

數列的極限先整理成看得出趨勢的樣子：分式同除以最高次項、兩項相減先通分、項數會變多的先求和。

02第 3、4、6、10、13 題：求和符號與無窮級數

第 3 題每一項都是兩個數相乘。前面的數是

1, 2, 3, \dots, 30

，第

k

項就是

k

。後面的數是

31, 28, 25, \dots

，首項

31

、公差

- 3

的等差數列，第

k

項是

31 - 3 (k - 1) = - 3 k + 34

。檢查最後一項：

k = 30

時

- 3 \times 30 + 34 = - 56

，與題目相符，所以共

30

項，級數可寫成

k = 1 \sum 30 k (- 3 k + 34)

。

寫成

k = 1 \sum 30 k (34 - 3 k)

或

k = 1 \sum 30 (- 3 k^{2} + 34 k)

都是同一個式子。

第 4 題這是首項

\frac{3}{5}

、公比

\frac{3}{5}

的無窮等比級數。公比的絕對值小於

1

，級數收斂，和是

\frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{2}

。

k

從

1

開始，首項是

\frac{3}{5}

不是

1

。

第 6 題正方形

A B C D

的周長是

8

，邊長是

2

，面積是

4

。連接各邊中點得到的內接正方形，邊長是兩個相鄰中點的距離

1^{2} + 1^{2} = 2

，面積是

2

，剛好是外面那個正方形的一半。每往內一層，面積都乘以

\frac{1}{2}

。所有正方形的面積是首項

4

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，總和是

\frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = 8

。

第 10 題先把公比化成分數。設

r = 0.3 \overline{2} = 0.3222 \dots

，則

10 r = 3.222 \dots

、

100 r = 32.222 \dots

，相減得

90 r = 29

，所以

r = \frac{29}{90}

。公比的絕對值小於

1

，級數收斂，和是

\frac{a}{1 - r} = 9

，所以

a = 9 (1 - \frac{29}{90}) = 9 \times \frac{61}{90} = \frac{61}{10}

。

循環的只有

2

，

3

不循環；若看成

0. \overline{32} = \frac{32}{99}

就會算錯。

第 13 題把每一項拆成兩個分數的差：

\frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})

。前

n

項的和

S_{n} = \frac{1}{2} [(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})]

，中間的項兩兩消掉，剩下

S_{n} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})

當

n \to \infty

時

S_{n}

趨近

\frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

。

分母兩個數相差

2

，相消時是隔一項才消掉，前面會留下兩項、後面也留下兩項。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用首項除以 1 減公比；不是等比的級數先求前 n 項的和，再取極限。

03第 5、11、12、15、18 題：函數

第 5 題把根號裡面配方：

- x^{2} - 4 x + 5 = - (x + 2)^{2} + 9

。根號裡面不能是負的，所以它的範圍是

0 \leq - (x + 2)^{2} + 9 \leq 9

：

x = - 2

時有最大值

9

，

x = - 5

或

x = 1

時等於

0

，中間的值也都取得到。開根號後

0 \leq f (x) \leq 3

，值域是

{y ∣ 0 \leq y \leq 3, y \in R}

。

第 11 題

(f \circ g) (4) = f (g (4))

，從裡面算起：

g (4) = 2 \times 4 - 3 = 5

，

f (5) = 5^{2} + 2 \times 5 - 1 = 34

。

第 12 題

x

的單位是小時，待機

1

天是

x = 24

。

\frac{200}{24 + 19} = \frac{200}{43}

，因為

43 \times 4 = 172

、

43 \times 5 = 215

，所以這個數在

4

與

5

之間，高斯符號取不超過它的最大整數，

f (24) = 4

，剩

4

格。

\frac{200}{43}

大約是

4.65

；高斯符號是無條件捨去，不是四捨五入。

第 15 題

(\frac{f}{g}) (x) = \frac{x}{1 - x}

要有意義，需要三件事同時成立：

x

有意義，

x \geq 0

；

1 - x

有意義，

x \leq 1

；分母不為

0

，

x \neq = 1

。合起來是

0 \leq x < 1

，定義域是

{x ∣ 0 \leq x < 1, x \in R}

。

第 18 題設

y = 1 0^{x}

，由對數的定義得

x = lo g y

。把

x

、

y

對調，反函數是

g (x) = lo g x

（定義域是

x > 0

）。檢查：

f (g (x)) = 1 0^{l o g x} = x

，

g (f (x)) = lo g 1 0^{x} = x

。

定義域看哪些 x 可以代、值域看算出來的 y 有哪些；合成函數從裡面往外算，反函數是把 x、y 對調後解出 y。

04第 7、8、16、19、21 題：函數的極限與連續

第 7 題

x = 2

時分母

2^{2} - 1 = 3

不是

0

，直接代入：

\frac{4 + 6 + 2}{3} = 4

。

先代代看；分母不是

0

就不必因式分解。

第 8 題在

x = 1

連續，要左極限、右極限、函數值三者相等。右極限與函數值：

1^{2} + 2 = 3

。左極限：

x \to 1^{-} lim (- x + a) = - 1 + a

。由

- 1 + a = 3

得

a = 4

。

第 16 題

x \to 1

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

1 - a - 6 = 0

，

a = - 5

。這時分子是

x^{2} + 5 x - 6 = (x - 1) (x + 6)

，約去

x - 1

後極限是

1 + 6 = 7

，所以

b = 7

，

(a, b) = (- 5, 7)

。

分子若不趨近

0

，分式的絕對值會愈來愈大、沒有上限，極限不存在。

第 19 題

f (x) = x \cdot 2^{x} - 2025

是連續函數，找函數值一負一正的兩個相鄰正整數。

f (7) = 7 \times 128 - 2025 = - 1129

，是負的；

f (8) = 8 \times 256 - 2025 = 23

，是正的。由中間值定理，

7

與

8

之間至少有一個根。又

x > 0

時

x

與

2^{x}

都是正的而且隨

x

增大而增大，

x \cdot 2^{x}

也跟著增大，所以正根只有這一個，答案是

7

與

8

。

第 21 題取

0 < θ < \frac{π}{2}

（

θ

用弧度）。在單位圓上，圓心

O

、

A (1, 0)

、

P (cos θ, sin θ)

，過

A

作切線交直線

O P

於

T

，則三角形

O A P

、扇形

O A P

、三角形

O A T

一個包一個，面積依序是

\frac{1}{2} sin θ

、

\frac{1}{2} θ

、

\frac{1}{2} tan θ

，所以

sin θ < θ < tan θ

各除以正數

sin θ

再取倒數，得

cos θ < \frac{sin θ}{θ} < 1

。當

θ \to 0^{+}

時

cos θ \to 1

，由夾擠定理，

θ \to 0^{+} lim \frac{sin θ}{θ} = 1

。

這個結果只在

θ

用弧度時成立，課本把它當作基本的極限，可以直接記。

函數的極限先代入；分母為 0 時，分子也為 0 才可能有極限，再約分或有理化。找根的位置就找函數值變號的地方。

05第 22～25 題：多選題

第 22 題答案 (1)(2)(3)(4)。 (1) 正確。

\frac{( - 1 ) ^{n}}{n} = \frac{1}{n}

，所以

- \frac{1}{n} \leq \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} \leq \frac{1}{n}

，兩邊都趨近

0

，由夾擠定理收斂到

0

。 (2) 正確。這是公比

1 - 2

的等比數列，

1 < 2 < 2

，所以

- 1 < 1 - 2 < 0

，公比的絕對值小於

1

，收斂到

0

。 (3) 正確。

\frac{3 ^{n + 1}}{5 ^{n}} = 3 (\frac{3}{5})^{n}

，公比

\frac{3}{5}

的絕對值小於

1

，收斂到

0

。 (4) 正確。分子分母同除以

n^{3}

得

\frac{\frac{1}{n ^{2}}}{1 + \frac{1}{n ^{3}}}

，趨近

\frac{0}{1} = 0

。 (5) 錯誤。分子分母同除以

n

得

\frac{n}{2 + \frac{1}{n}}

，分母趨近

2

、分子愈來愈大沒有上限，數列發散。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

；分式型的數列，分子的次數比分母高就發散。

第 23 題答案 (2)(4)(5)。偶函數要滿足

f (- x) = f (x)

。 (1) 錯誤。

\frac{1}{- x} = - \frac{1}{x}

，是奇函數；例如

f (1) = 1

、

f (- 1) = - 1

，兩者不相等。 (2) 正確。

(- x)^{2} + 1 = x^{2} + 1

。 (3) 錯誤。

sin (- x) = - sin x

，是奇函數；例如

sin \frac{π}{2} = 1

、

sin (- \frac{π}{2}) = - 1

。 (4) 正確。

cos (- x) = cos x

。 (5) 正確。

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

。

偶函數的圖形對稱於

y

軸，奇函數的圖形對稱於原點。

第 24 題答案 (1)(3)(4)。無窮等比級數收斂的條件是公比的絕對值小於

1

。 (1) 正確。首項

1

、公比

- \frac{1}{2}

，收斂。 (2) 錯誤。各項是

1, - 1, 1, - 1, \dots

，公比

- 1

；前

n

項的和在

1

與

0

之間來回跳，不趨近一個定值，發散。 (3) 正確。後項除以前項：

\frac{- 3}{3 3} = - \frac{1}{3}

、

\frac{3}{- 3} = - \frac{1}{3}

、

\frac{- 1}{3} = - \frac{1}{3}

，是公比

- \frac{1}{3}

的等比級數；

3 > 1

，公比的絕對值小於

1

，收斂。 (4) 正確。公比

- \frac{3}{4}

，絕對值小於

1

，收斂。 (5) 錯誤。

\frac{3 ^{2 k + 1}}{4 ^{k}} = 3 (\frac{9}{4})^{k}

，公比

\frac{9}{4}

大於

1

，各項愈來愈大，發散。

(5) 要先把

3^{2 k}

寫成

9^{k}

才看得出公比；只看到底數

3

比

4

小就選它會錯。

第 25 題答案 (2)(3)(4)。 (1) 錯誤。

x \to 2

時分子趨近

4 + 2 + 6 = 12

、分母趨近

0

，分式的絕對值愈來愈大沒有上限，極限不存在。 (2) 正確。分子

x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)

，約去

x - 2

後極限是

2 + 3 = 5

。 (3) 正確。分子有理化：

\frac{x + 1 - 1}{x} = \frac{( x + 1 ) - 1}{x ( x + 1 + 1 )} = \frac{1}{x + 1 + 1}

，

x \to 0

時趨近

\frac{1}{2}

。 (4) 正確。

x = 1

時

3 - 3 x - x^{2} = - 1

是負的，所以

x

在

1

附近時

3 - 3 x - x^{2} = x^{2} + 3 x - 3

，分子是

x^{2} + 3 x - 4 = (x + 4) (x - 1)

，約去

x - 1

後極限是

1 + 4 = 5

。 (5) 錯誤。

x \to 2

時分子趨近

12

、分母是正數而且趨近

0

，分式愈來愈大沒有上限，極限不存在。

(4) 的絕對值要先判斷裡面在

x = 1

附近的正負，去掉絕對值後才能因式分解。

收斂與否先認出類型：等比的看公比，分式的看次數；極限存不存在先代入，看是不是分子分母同時為 0。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

林口高中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

林口高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 10 題的循環小數只有 2 在循環，要先化成分數再代無窮等比級數的公式；第 20 題兩根相減要看清楚是小的減大的，答案是負的；第 25 題的選項 (4) 要先判斷絕對值裡面在 1 附近的正負，再去掉絕對值；第 24 題的選項 (5) 要把指數整理成同一個底，才看得出公比比 1 大。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自林口高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

林口高中 114 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 25 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01第 1、2、9、14、17、20 題：數列的極限

02第 3、4、6、10、13 題：求和符號與無窮級數

03第 5、11、12、15、18 題：函數

04第 7、8、16、19、21 題：函數的極限與連續

05第 22～25 題：多選題

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林口高中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

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林口高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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