林口高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

逐一求導函數再代 $x=1$：

(A) $f_1^{\prime }(x)=3$，$f_1^{\prime }(1)=3$。

(B) $f_2^{\prime }(x)=6x+6$，$f_2^{\prime }(1)=12$。

(C) $f_3^{\prime }(x)=6x^2-10x$，$f_3^{\prime }(1)=-4$。

(D) $f_4^{\prime }(x)=5x^4-8x$，$f_4^{\prime }(1)=-3$。

(E) $f_5^{\prime }(x)=4x^3$，$f_5^{\prime }(1)=4$。

最小的是 $-4$，選 (C)。

$f(x)+5=2x^4-3x^2+4x$，每一項都有因式 $x$。當 $x\ne 0$ 時

$$\frac{f(x)+5}{x}=2x^3-3x+4$$

所以 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)+5}{x}=4$。

$f^{\prime }(x)=-9x^2+4$，$g^{\prime }(x)=6x^2-6x$。

$$\frac{d}{dx}(f(x)+2g(x))=f^{\prime }(x)+2g^{\prime }(x)=-9x^2+4+12x^2-12x=3x^2-12x+4$$

在 $x=-2$ 附近 $x<0$，所以 $3x<0$，$f(x)=|3x|=-3x$。由導數的定義：

$$f^{\prime }(-2)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{-3x-6}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{-3(x+2)}{x+2}=-3$$

$f(3)=\frac{2\cdot 1\cdot 0\cdot (-1)}{-2}=0$。由導數的定義：

$$f^{\prime }(3)=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-1)(x-2)(x-4)}{x-5}$$

約掉 $x-3$ 之後可以直接代 $x=3$：$\frac{2\cdot 1\cdot (-1)}{-2}=1$。

當 $x\ne a$ 時，$f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)$。

取 $x\to a$：右邊第一個因式趨近 $f^{\prime }(a)$，第二個因式趨近 $0$，所以 $\underset{x\to a}{\lim }(f(x)-f(a))=f^{\prime }(a)\cdot 0=0$，即 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$。可微分必連續。

$f^{\prime }(x)=2x+2$。切線斜率為 $6$：$2x+2=6$，$x=2$。

$f(2)=4+4-3=5$，所以切點 $P(2,5)$。

$f^{\prime }(x)=3x^2+1$，$f^{\prime }(-1)=4$；$f(-1)=-1-1=-2$。

在 $x=-1$ 的切線：$y-(-2)=4(x-(-1))$，即 $y=4x+2$。

(1) $f(0)=-1$，所以 $P(0,-1)$ 在圖形上。$f^{\prime }(x)=3x^2+6x+1$，$f^{\prime }(0)=1$，以 $P$ 為切點的切線是 $y+1=1\cdot (x-0)$，即 $y=x-1$，寫成 $x-y-1=0$。

(2) 聯立 $y=x^3+3x^2+x-1$ 與 $y=x-1$：$x^3+3x^2=0$，$x^2(x+3)=0$。

$x=0$ 是二重根（切點 $P$），另一個交點 $x=-3$，$y=-3-1=-4$，所以 $Q(-3,-4)$。

$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。

當 $-1<x<1$ 時 $f^{\prime }(x)<0$；在 $x=\pm 1$ 時 $f^{\prime }(x)=0$，只是兩個點，不影響遞減。所以 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上嚴格遞減。

(1) $f^{\prime }(x)=-3x^2-6x+8$，$f^{\prime \prime }(x)=-6x-6$。

(2) $f^{\prime \prime }(x)=0$ 得 $x=-1$。當 $x<-1$ 時 $f^{\prime \prime }(x)>0$（凹口向上），當 $x>-1$ 時 $f^{\prime \prime }(x)<0$（凹口向下），凹口方向在 $x=-1$ 改變。

$f(-1)=1-3-8+7=-3$，所以反曲點是 $(-1,-3)$。

$f^{\prime }(x)=-3x^2-6x+9=-3(x+3)(x-1)$。在 $-2\le x\le 2$ 內 $f^{\prime }(x)=0$ 只有 $x=1$（$x=-3$ 不在範圍內）。

比較 $x=1$ 與兩端點的函數值：$f(-2)=8-12-18+7=-15$，$f(1)=-1-3+9+7=12$，$f(2)=-8-12+18+7=5$。

所以最小值是 $-15$（在 $x=-2$ 時）。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。多項式函數在 $x=1$ 與 $x=3$ 有相對極值，所以 $f^{\prime }(1)=0$、$f^{\prime }(3)=0$：

$3+2a+b=0$，$27+6a+b=0$。兩式相減：$24+4a=0$，$a=-6$，再代回得 $b=9$。

檢查：$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$，在 $x=1$ 由正變負、在 $x=3$ 由負變正，確實各有相對極大值與相對極小值。所以 $(a,b)=(-6,9)$。

邊際成本是成本函數的導數：$C^{\prime }(x)=3x^2-12x+13$。

進貨 $4$ 臺時的邊際成本 $C^{\prime }(4)=48-48+13=13$（萬元）。

反例：$f(x)=x$ 在閉區間 $[0,1]$ 上，最小值是 $f(0)=0$，發生在端點 $a=0$，但 $f^{\prime }(0)=1\ne 0$。

最小值發生在區間端點時，導數不必為 $0$；「導數為 $0$」只對發生在區間內部的極值才成立。

反例：$f(x)=x^4$，$\mathrm{deg}f(x)=4\ge 3$，$f^{\prime \prime }(x)=12x^2$，$f^{\prime \prime }(0)=0$。

但 $x<0$ 與 $x>0$ 時都有 $f^{\prime \prime }(x)>0$，凹口始終向上，凹口方向在 $x=0$ 沒有改變，所以 $(0,0)$ 不是反曲點。

$f^{\prime }(a)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(a)>0$，表示圖形在 $x=a$ 附近凹口向上、切線水平，$f(x)$ 在 $x=a$ 有極小值，不是極大值。

例如 $f(x)=x^2$，$f^{\prime }(0)=0$、$f^{\prime \prime }(0)=2>0$，$f(0)=0$ 是極小值。