段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用）

林口高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

單一選擇題 5 題（每題 4 分，共 20 分）、多重選擇題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、填充題 9 題共 12 格（答案卷印共 50 分，答對格數與得分：1→8、2→14、3→20、4→24、5→28、6→32、7→36、8→42、9→44、10→46、11→48、12→50），合計 100 分；試題卷的填充題標題印「共 16 分，每格 4 分」，與答案卷不同。原卷三個大題各自從 1 編號，本頁依序編為第 1～22 題（填充題 1(1) 起為第 11 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單一選擇題(共 20 分,每題 4 分)

已知

x

為正數且

lo g x = 1 + 3

，試求

lo g 10 x + lo g_{0.1} x^{2}

的值。

(A) $3$
(B) $- 3$
(C) $23$
(D) $- 23$
(E) $1 - 3$

試選出值最小的選項。

(A) $lo g 1$
(B) $lo g 2$
(C) $lo g 3$
(D) $lo g \frac{1}{2}$
(E) $lo g \frac{1}{3}$

若

0 < lo g_{2} a < lo g_{2} b

，試選出正確的選項。

(A) $b > a > 1$
(B) $a > b > 1$
(C) $0 < b < a < 1$
(D) $0 < a < b < 1$
(E) $0 < a < b < 1$

關於

y = (\frac{1}{2})^{x}

與

y = lo g x

兩圖形的相交情形，試選出正確的選項。

(A) 沒有交點
(B) 交於一點 $(α, β)$ ，且 $α < 0$
(C) 交於一點 $(α, β)$ ，且 $0 < α < 1$
(D) 交於一點 $(α, β)$ ，且 $α > 1$
(E) 交於兩點

銀行存入本金 10 萬元，為期五年，年利率

4%

，每半年複利一次，則到期後，試選出本利和為多少元。

(A) $100000 \times (1 + 4%)^{5}$ 元
(B) $100000 \times (1 + 4%)^{10}$ 元
(C) $100000 \times (1 + 2%)^{10}$ 元
(D) $100000 \times (1 + 2%)^{5}$ 元
(E) $100000 \times (1 + 8%)^{5}$ 元

二、多重選擇題(共 30 分,每題 6 分)｜說明：每題 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 6 分；答錯 1 個選項者，得 4 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

已知

x

、

y

均大於

0

，試選出正確的選項。

(A) $lo g (x + y) = lo g x + lo g y$
(B) $lo g x - lo g y = lo g \frac{x}{y}$
(C) $2^{l o g_{3} 2} = 2$
(D) $1 0^{l o g 5} = 5$
(E) $\frac{lo g x}{lo g y} = lo g x - lo g y$

試選出正確的選項。

(A) $lo g 1 = 0$
(B) $lo g_{1} 1 = 0$
(C) $lo g (- 3) = - lo g 3$
(D) $lo g_{(- 2)} 16 = - 4$
(E) $lo g (- 3)^{2} = 2 lo g 3$

試選出正確的選項。

(A) $y = 2^{x} + 1$ 的圖形是 $y = 2^{x}$ 的圖形向下平移 1 單位
(B) $y = 2^{x - 2}$ 的圖形是 $y = 2^{x}$ 的圖形向右平移 2 單位
(C) $y = 2^{x - 2} + 1$ 的圖形是 $y = 2^{x}$ 的圖形向右平移 2 單位且向上平移 1 單位
(D) $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形與 $y = 2^{x}$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(E) $y = 2^{x}$ 的圖形為凹口向下

已知

a

、

b

為實數，且滿足

(\frac{1}{3})^{a} = (\frac{1}{5})^{b}

，試選出可能的選項。

(A) $a > b > 0$
(B) $a < b < 0$
(C) $b > a > 0$
(D) $0 > a > b$
(E) $a = b$

試選出正確的選項。

(A) 若 $a \neq = 1$ ， $a > 0$ ，則 $y = a^{x}$ 的圖形恆凹口向上
(B) $y = lo g x$ 的圖形凹口向上
(C) $y = lo g x$ 的圖形是遞增的
(D) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(E) 若 $a \neq = 1$ ， $a > 0$ ，則 $y = a^{x}$ 的圖形為遞增

三、填充題(共 16 分,每格 4 分)

試求下列各式的值：(1)

lo g 40 + lo g 45 - lo g 18 =

____

試求下列各式的值：(2)

(lo g_{2} 5) (lo g_{5} 100) (lo g 4) =

____

(1) 不等式

lo g (3 x - 6) + lo g 3 < lo g 18

的解為 ____。

(2) 不等式

(\frac{1}{25})^{x} - 4 (\frac{1}{5})^{x} - 5 \geq 0

的解為 ____。

(1) 對數方程式

lo g_{3} (11 - x) - 1 = lo g_{9} (x - 1)

的解

x =

____。

(2) 求

\frac{4 + lo g 9 - 4 lo g 5}{1 + \frac{1}{2} lo g 0.36 + \frac{1}{3} lo g 8} =

____。

求函數

y = lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) + lo g_{\frac{1}{2}} (5 - x)

的最小值 ____。

解方程式

x^{l o g x} = 1 0^{6} x

，

x =

____。

lo g_{(x - 2)} (5 - x)

有意義，則實數

x

的範圍為 ____。

某教育研究機構發現：學生經過

x

星期的學習後，所熟記的單字數

f (x)

可用指數函數

f (x) = k (1 - a^{x})

來描述，其中

k

與

a

是常數。已知一星期可以熟記 50 個單字，兩星期可以熟記 90 個單字。若利用此函數推算，則三星期可以熟記 ____ 個單字。

已知當測得聲音強度

I (W / m^{2})

時，音量為

d (I) = 10 \cdot lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}}

分貝。若一人吹口哨，測得的音量為 30 分貝，求 10 人同時吹口哨，所測得音量是 ____ 分貝。

眼睛之所以叫「靈魂之窗」是因為即使週遭瞬間變暗，人的眼睛仍然能適應環境。當光的強度由

1000

cd 瞬間降至

10

cd 過

t

秒後人所能接受的光強度為

I (t) = 10 + 990 \times a^{- 5 t}

（cd），

a

為大於 1 的常數。當光強度由

1000

cd 瞬間降至

10

cd 後，人接收光強度為

21

cd 時，需花費 ____ 秒（請用

a

表示）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(E)

第 3 題(A)

第 4 題(D)

第 5 題(C)

第 6 題(B)(D)

第 7 題(A)(E)

第 8 題(B)(C)(D)

第 9 題(A)(B)(E)

第 10 題(A)(C)(D)

第 11 題

2

第 12 題

4

第 13 題

2 < x < 4

第 14 題

x \leq - 1

第 15 題

5

第 16 題

2

第 17 題

- 2

第 18 題

\frac{1}{100}

或

1000

第 19 題

2 < x < 3

或

3 < x < 5

第 20 題

122

第 21 題

40

第 22 題

\frac{1 + 2 l o g 3}{5 l o g a}

（即

\frac{1}{5} lo g_{a} 90

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01對數與對數律

第 1 題

lo g 10 x = lo g 10 + lo g x = 1 + (1 + 3) = 2 + 3

。換底：

lo g_{0.1} x^{2} = \frac{2 lo g x}{lo g 0.1} = \frac{2 ( 1 + 3 )}{- 1} = - 2 - 23

。相加得

(2 + 3) + (- 2 - 23) = - 3

，選 (B)。

第 6 題

(A) 錯誤。 對數律是 $lo g x + lo g y = lo g (x y)$ ，不是 $lo g (x + y)$ ；例如 $x = y = 1$ 時左邊 $lo g 2$ 、右邊 $0$ 。

(B) 正確。 這是對數律 $lo g x - lo g y = lo g \frac{x}{y}$ 。

(D) 正確。 $lo g 5$ 就是使 $1 0^{t} = 5$ 的 $t$ ，所以 $1 0^{l o g 5} = 5$ 。

(E) 錯誤。 兩個對數相除不能寫成相減；例如 $x = 100$ 、 $y = 10$ 時左邊 $\frac{2}{1} = 2$ ，右邊 $2 - 1 = 1$ 。

選 (B)(D)。

第 7 題

(A) 正確。 $1 0^{0} = 1$ ，所以 $lo g 1 = 0$ 。

(B) 錯誤。 對數的底數必須大於 $0$ 且不等於 $1$ ， $lo g_{1} 1$ 沒有意義。

(D) 錯誤。 底數不可為負數， $lo g_{(- 2)} 16$ 沒有意義（雖然 $(- 2)^{4} = 16$ ，但不是 $- 4$ 次方，也不在定義之內）。

(E) 正確。 真數是 $(- 3)^{2} = 9 > 0$ ， $lo g 9 = lo g 3^{2} = 2 lo g 3$ 。

選 (A)(E)。

(E) 的

lo g (- 3)^{2}

指的是

lo g [(- 3)^{2}]

；注意不能先把指數拿下來寫成

2 lo g (- 3)

，因為

lo g (- 3)

沒有意義。

第 11 題

lo g 40 + lo g 45 - lo g 18 = lo g \frac{40 \times 45}{18} = lo g 100 = 2

。

第 12 題換底：

(lo g_{2} 5) (lo g_{5} 100) = \frac{lo g 5}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 100}{lo g 5} = \frac{2}{lo g 2}

。再乘

lo g 4 = 2 lo g 2

，得

\frac{2}{lo g 2} \cdot 2 lo g 2 = 4

。

第 16 題

分子： $4 + lo g 9 - 4 lo g 5 = lo g 1 0^{4} + lo g 9 - lo g 5^{4} = lo g \frac{10000 \times 9}{625} = lo g 144$ 。

分母： $1 + \frac{1}{2} lo g 0.36 + \frac{1}{3} lo g 8 = lo g 10 + lo g 0.6 + lo g 2 = lo g (10 \times 0.6 \times 2) = lo g 12$ 。

所以原式 $= \frac{lo g 144}{lo g 12} = \frac{2 lo g 12}{lo g 12} = 2$ 。

第 19 題底數要大於

0

且不等於

1

：

x - 2 > 0

且

x - 2 \neq = 1

，即

x > 2

、

x \neq = 3

。真數要大於

0

：

5 - x > 0

，即

x < 5

。合起來

2 < x < 5

且

x \neq = 3

，也就是

2 < x < 3

或

3 < x < 5

。

對數律只管乘、除、次方，沒有「和的對數」與「對數相除」的公式；看到底數或真數有變數，先列出「底數大於 0 且不等於 1、真數大於 0」。

02指數與對數函數的圖形

第 2 題

y = lo g x

是遞增函數，真數越小值越小。五個真數

1

、

2

、

3

、

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{3}

中最小的是

\frac{1}{3}

，所以

lo g \frac{1}{3}

最小，選 (E)。

第 3 題

lo g_{2} 1 = 0

，且底數

2 > 1

時

y = lo g_{2} x

遞增。由

lo g_{2} 1 < lo g_{2} a < lo g_{2} b

得

1 < a < b

，即

b > a > 1

，選 (A)。

原卷 (D)(E) 兩個選項印成同一個式子

0 < a < b < 1

，照印；不影響答案。

第 4 題

$y = lo g x$ 只在 $x > 0$ 有定義，所以交點的 $α > 0$ 。 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 遞減、 $y = lo g x$ 遞增，兩圖形至多一個交點。

比較兩函數的差： $x = 1$ 時 $(\frac{1}{2})^{1} = \frac{1}{2} > lo g 1 = 0$ ； $x = 10$ 時 $(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024} < lo g 10 = 1$ 。又在 $0 < x \leq 1$ 時 $lo g x \leq 0 < (\frac{1}{2})^{x}$ ，不會相交。所以恰有一個交點，且 $1 < α < 10$ ，選 (D)。

第 8 題

(A) 錯誤。 $y = 2^{x} + 1$ 是 $y = 2^{x}$ 向上平移 1 單位。

(B) 正確。 把 $x$ 換成 $x - 2$ ，圖形向右平移 2 單位。

(D) 正確。 $(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ ，把 $x$ 換成 $- x$ ，圖形對稱於 $y$ 軸。

(E) 錯誤。 $y = 2^{x}$ 圖形上任兩點連線段都在圖形上方，凹口向上。

選 (B)(C)(D)。

第 10 題

(A) 正確。 不論 $a > 1$ 或 $0 < a < 1$ ， $y = a^{x}$ 的圖形上任兩點的連線段都在圖形上方，凹口向上。

(B) 錯誤。 $y = lo g x$ 的圖形上任兩點的連線段在圖形下方，凹口向下。

(D) 正確。 $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ 。

(E) 錯誤。 $0 < a < 1$ 時 $y = a^{x}$ 遞減，例如 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 。

選 (A)(C)(D)。

第 17 題

定義域： $x - 1 > 0$ 且 $5 - x > 0$ ，即 $1 < x < 5$ 。合併： $y = lo g_{\frac{1}{2}} [(x - 1) (5 - x)]$ 。

真數 $(x - 1) (5 - x) = - x^{2} + 6 x - 5 = - (x - 3)^{2} + 4$ ，在 $1 < x < 5$ 時範圍是 $0 < (x - 1) (5 - x) \leq 4$ 。

底數 $\frac{1}{2} < 1$ ， $y = lo g_{\frac{1}{2}} u$ 遞減，真數最大時 $y$ 最小：最小值為 $lo g_{\frac{1}{2}} 4 = - 2$ （此時 $x = 3$ ）。

比大小、求極值前先看底數大於 1 還是小於 1：大於 1 遞增、小於 1 遞減；指數函數凹口一律向上，常用對數函數凹口向下。

03指數、對數方程式與不等式

第 9 題

兩邊取常用對數： $a lo g \frac{1}{3} = b lo g \frac{1}{5}$ ，即 $a lo g 3 = b lo g 5$ ， $a = \frac{lo g 5}{lo g 3} b$ ，而 $\frac{lo g 5}{lo g 3} > 1$ 。

(A) 正確。 $b > 0$ 時 $a$ 是 $b$ 的一倍多， $a > b > 0$ ；例如 $b = lo g 3$ 、 $a = lo g 5$ 。

(B) 正確。 $b < 0$ 時 $a$ 比 $b$ 更負， $a < b < 0$ ；例如 $b = - lo g 3$ 、 $a = - lo g 5$ 。

(D) 錯誤。 負數時一定是 $a < b$ ，不會 $0 > a > b$ 。

(E) 正確。 $a = b = 0$ 時兩邊都是 $1$ 。

選 (A)(B)(E)。

第 13 題定義域：

3 x - 6 > 0

，即

x > 2

。原式

lo g [3 (3 x - 6)] < lo g 18

，底數

10 > 1

，真數比大小：

9 x - 18 < 18

，

x < 4

。與定義域取交集，得

2 < x < 4

。

第 14 題令

t = (\frac{1}{5})^{x}

，則

t > 0

且

(\frac{1}{25})^{x} = t^{2}

。不等式變成

t^{2} - 4 t - 5 \geq 0

，

(t - 5) (t + 1) \geq 0

。因為

t + 1 > 0

，得

t \geq 5

，即

(\frac{1}{5})^{x} \geq (\frac{1}{5})^{- 1}

。底數

\frac{1}{5} < 1

，指數比大小時不等號反向：

x \leq - 1

。

第 15 題

定義域： $11 - x > 0$ 且 $x - 1 > 0$ ，即 $1 < x < 11$ 。

換底： $lo g_{9} (x - 1) = \frac{1}{2} lo g_{3} (x - 1) = lo g_{3} x - 1$ ；左邊 $lo g_{3} (11 - x) - 1 = lo g_{3} \frac{11 - x}{3}$ 。所以 $\frac{11 - x}{3} = x - 1$ 。

令 $u = x - 1 (u > 0)$ ， $x = u^{2} + 1$ ： $\frac{10 - u ^{2}}{3} = u$ ， $u^{2} + 3 u - 10 = 0$ ， $(u + 5) (u - 2) = 0$ ， $u = 2$ （ $u = - 5$ 不合）， $x = 5$ 。

檢查： $lo g_{3} 6 - 1 = lo g_{3} 2$ ， $lo g_{9} 4 = lo g_{3} 2$ ，成立。

第 18 題

由 $x^{l o g x}$ 知 $x > 0$ 。兩邊取常用對數： $(lo g x) (lo g x) = 6 + lo g x$ 。令 $t = lo g x$ ： $t^{2} - t - 6 = 0$ ， $(t - 3) (t + 2) = 0$ ， $t = 3$ 或 $t = - 2$ ，所以 $x = 1000$ 或 $x = \frac{1}{100}$ 。

檢查： $x = 1000$ 時左邊 $100 0^{3} = 1 0^{9}$ ，右邊 $1 0^{6} \times 1 0^{3} = 1 0^{9}$ ； $x = \frac{1}{100}$ 時左邊 $(1 0^{- 2})^{- 2} = 1 0^{4}$ ，右邊 $1 0^{6} \times 1 0^{- 2} = 1 0^{4}$ ，兩個都成立。

先寫定義域再解；同一個指數式反覆出現就換元；底數小於 1 時，比指數或比真數不等號要反向。

04指數與對數的應用

第 5 題每半年複利一次，每期利率是

4% \div 2 = 2%

；五年共

5 \times 2 = 10

期。本利和

= 100000 \times (1 + 2%)^{10}

元，選 (C)。

第 20 題

$f (1) = k (1 - a) = 50$ ， $f (2) = k (1 - a^{2}) = k (1 - a) (1 + a) = 90$ 。兩式相除： $1 + a = \frac{90}{50} = \frac{9}{5}$ ， $a = \frac{4}{5}$ ， $k = \frac{50}{1 - \frac{4}{5}} = 250$ 。

三星期： $f (3) = 250 (1 - \frac{64}{125}) = 250 \times \frac{61}{125} = 122$ 個。

第 21 題假設每人吹口哨的聲音強度都相同，且同時吹時強度相加。一人時

30 = 10 lo g \frac{I _{1}}{1 0 ^{- 12}}

，

lo g \frac{I _{1}}{1 0 ^{- 12}} = 3

，

I_{1} = 1 0^{- 9}

。10 人同時吹，強度變成

I = 10 I_{1} = 1 0^{- 8}

，音量

10 lo g \frac{1 0 ^{- 8}}{1 0 ^{- 12}} = 10 \times 4 = 40

分貝。

第 22 題令

I (t) = 21

：

10 + 990 a^{- 5 t} = 21

，

a^{- 5 t} = \frac{11}{990} = \frac{1}{90}

，即

a^{5 t} = 90

。依對數的定義

5 t = lo g_{a} 90

，所以

t = \frac{1}{5} lo g_{a} 90

秒。換成常用對數：

lo g_{a} 90 = \frac{lo g 90}{lo g a} = \frac{lo g 10 + lo g 9}{lo g a} = \frac{1 + 2 lo g 3}{lo g a}

，所以

t = \frac{1 + 2 lo g 3}{5 lo g a}

秒，兩種寫法相同。

複利的期數與每期利率要一起換；強度變 10 倍，分貝只多 10；指數模型解時間，把指數部分單獨移到一邊再寫成對數。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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常見問題

林口高中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

林口高中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 4 題（本頁第 9 題）兩邊取對數後要分成正數、負數、零三種情形；填充第 4 題（本頁第 17 題）先寫定義域再合併，底數小於 1 時真數最大才是最小值；填充第 3 題第 1 小題（本頁第 15 題）要先統一底數再換元；多選第 2 題（本頁第 7 題）要記得底數與真數的限制。詳解逐題寫在本頁。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自林口高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用）

林口高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

一、單一選擇題(共 20 分,每題 4 分)

已知

x

為正數且

lo g x = 1 + 3

，試求

lo g 10 x + lo g_{0.1} x^{2}

的值。

(A) $3$
(B) $- 3$
(C) $23$
(D) $- 23$
(E) $1 - 3$

試選出值最小的選項。

(A) $lo g 1$
(B) $lo g 2$
(C) $lo g 3$
(D) $lo g \frac{1}{2}$
(E) $lo g \frac{1}{3}$

若

0 < lo g_{2} a < lo g_{2} b

，試選出正確的選項。

(A) $b > a > 1$
(B) $a > b > 1$
(C) $0 < b < a < 1$
(D) $0 < a < b < 1$
(E) $0 < a < b < 1$

關於

y = (\frac{1}{2})^{x}

與

y = lo g x

兩圖形的相交情形，試選出正確的選項。

(A) 沒有交點
(B) 交於一點 $(α, β)$ ，且 $α < 0$
(C) 交於一點 $(α, β)$ ，且 $0 < α < 1$
(D) 交於一點 $(α, β)$ ，且 $α > 1$
(E) 交於兩點

銀行存入本金 10 萬元，為期五年，年利率

4%

，每半年複利一次，則到期後，試選出本利和為多少元。

(A) $100000 \times (1 + 4%)^{5}$ 元
(B) $100000 \times (1 + 4%)^{10}$ 元
(C) $100000 \times (1 + 2%)^{10}$ 元
(D) $100000 \times (1 + 2%)^{5}$ 元
(E) $100000 \times (1 + 8%)^{5}$ 元

已知

x

、

y

均大於

0

，試選出正確的選項。

(A) $lo g (x + y) = lo g x + lo g y$
(B) $lo g x - lo g y = lo g \frac{x}{y}$
(C) $2^{l o g_{3} 2} = 2$
(D) $1 0^{l o g 5} = 5$
(E) $\frac{lo g x}{lo g y} = lo g x - lo g y$

試選出正確的選項。

(A) $lo g 1 = 0$
(B) $lo g_{1} 1 = 0$
(C) $lo g (- 3) = - lo g 3$
(D) $lo g_{(- 2)} 16 = - 4$
(E) $lo g (- 3)^{2} = 2 lo g 3$

試選出正確的選項。

(A) $y = 2^{x} + 1$ 的圖形是 $y = 2^{x}$ 的圖形向下平移 1 單位
(B) $y = 2^{x - 2}$ 的圖形是 $y = 2^{x}$ 的圖形向右平移 2 單位
(C) $y = 2^{x - 2} + 1$ 的圖形是 $y = 2^{x}$ 的圖形向右平移 2 單位且向上平移 1 單位
(D) $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形與 $y = 2^{x}$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(E) $y = 2^{x}$ 的圖形為凹口向下

已知

a

、

b

為實數，且滿足

(\frac{1}{3})^{a} = (\frac{1}{5})^{b}

，試選出可能的選項。

(A) $a > b > 0$
(B) $a < b < 0$
(C) $b > a > 0$
(D) $0 > a > b$
(E) $a = b$

試選出正確的選項。

(A) 若 $a \neq = 1$ ， $a > 0$ ，則 $y = a^{x}$ 的圖形恆凹口向上
(B) $y = lo g x$ 的圖形凹口向上
(C) $y = lo g x$ 的圖形是遞增的
(D) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(E) 若 $a \neq = 1$ ， $a > 0$ ，則 $y = a^{x}$ 的圖形為遞增

三、填充題(共 16 分,每格 4 分)

試求下列各式的值：(1)

lo g 40 + lo g 45 - lo g 18 =

____

試求下列各式的值：(2)

(lo g_{2} 5) (lo g_{5} 100) (lo g 4) =

____

(1) 不等式

lo g (3 x - 6) + lo g 3 < lo g 18

的解為 ____。

(2) 不等式

(\frac{1}{25})^{x} - 4 (\frac{1}{5})^{x} - 5 \geq 0

的解為 ____。

(1) 對數方程式

lo g_{3} (11 - x) - 1 = lo g_{9} (x - 1)

的解

x =

____。

(2) 求

\frac{4 + lo g 9 - 4 lo g 5}{1 + \frac{1}{2} lo g 0.36 + \frac{1}{3} lo g 8} =

____。

求函數

y = lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) + lo g_{\frac{1}{2}} (5 - x)

的最小值 ____。

解方程式

x^{l o g x} = 1 0^{6} x

，

x =

____。

lo g_{(x - 2)} (5 - x)

有意義，則實數

x

的範圍為 ____。

某教育研究機構發現：學生經過

x

星期的學習後，所熟記的單字數

f (x)

可用指數函數

f (x) = k (1 - a^{x})

來描述，其中

k

與

a

是常數。已知一星期可以熟記 50 個單字，兩星期可以熟記 90 個單字。若利用此函數推算，則三星期可以熟記 ____ 個單字。

已知當測得聲音強度

I (W / m^{2})

時，音量為

d (I) = 10 \cdot lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}}

分貝。若一人吹口哨，測得的音量為 30 分貝，求 10 人同時吹口哨，所測得音量是 ____ 分貝。

眼睛之所以叫「靈魂之窗」是因為即使週遭瞬間變暗，人的眼睛仍然能適應環境。當光的強度由

1000

cd 瞬間降至

10

cd 過

t

秒後人所能接受的光強度為

I (t) = 10 + 990 \times a^{- 5 t}

（cd），

a

為大於 1 的常數。當光強度由

1000

cd 瞬間降至

10

cd 後，人接收光強度為

21

cd 時，需花費 ____ 秒（請用

a

表示）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(E)

第 3 題(A)

第 4 題(D)

第 5 題(C)

第 6 題(B)(D)

第 7 題(A)(E)

第 8 題(B)(C)(D)

第 9 題(A)(B)(E)

第 10 題(A)(C)(D)

第 11 題

2

第 12 題

4

第 13 題

2 < x < 4

第 14 題

x \leq - 1

第 15 題

5

第 16 題

2

第 17 題

- 2

第 18 題

\frac{1}{100}

或

1000

第 19 題

2 < x < 3

或

3 < x < 5

第 20 題

122

第 21 題

40

第 22 題

\frac{1 + 2 l o g 3}{5 l o g a}

（即

\frac{1}{5} lo g_{a} 90

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01對數與對數律

第 1 題

lo g 10 x = lo g 10 + lo g x = 1 + (1 + 3) = 2 + 3

。換底：

lo g_{0.1} x^{2} = \frac{2 lo g x}{lo g 0.1} = \frac{2 ( 1 + 3 )}{- 1} = - 2 - 23

。相加得

(2 + 3) + (- 2 - 23) = - 3

，選 (B)。

第 6 題

(A) 錯誤。 對數律是 $lo g x + lo g y = lo g (x y)$ ，不是 $lo g (x + y)$ ；例如 $x = y = 1$ 時左邊 $lo g 2$ 、右邊 $0$ 。

(B) 正確。 這是對數律 $lo g x - lo g y = lo g \frac{x}{y}$ 。

(D) 正確。 $lo g 5$ 就是使 $1 0^{t} = 5$ 的 $t$ ，所以 $1 0^{l o g 5} = 5$ 。

(E) 錯誤。 兩個對數相除不能寫成相減；例如 $x = 100$ 、 $y = 10$ 時左邊 $\frac{2}{1} = 2$ ，右邊 $2 - 1 = 1$ 。

選 (B)(D)。

第 7 題

(A) 正確。 $1 0^{0} = 1$ ，所以 $lo g 1 = 0$ 。

(B) 錯誤。 對數的底數必須大於 $0$ 且不等於 $1$ ， $lo g_{1} 1$ 沒有意義。

(D) 錯誤。 底數不可為負數， $lo g_{(- 2)} 16$ 沒有意義（雖然 $(- 2)^{4} = 16$ ，但不是 $- 4$ 次方，也不在定義之內）。

(E) 正確。 真數是 $(- 3)^{2} = 9 > 0$ ， $lo g 9 = lo g 3^{2} = 2 lo g 3$ 。

選 (A)(E)。

(E) 的

lo g (- 3)^{2}

指的是

lo g [(- 3)^{2}]

；注意不能先把指數拿下來寫成

2 lo g (- 3)

，因為

lo g (- 3)

沒有意義。

第 11 題

lo g 40 + lo g 45 - lo g 18 = lo g \frac{40 \times 45}{18} = lo g 100 = 2

。

第 12 題換底：

(lo g_{2} 5) (lo g_{5} 100) = \frac{lo g 5}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 100}{lo g 5} = \frac{2}{lo g 2}

。再乘

lo g 4 = 2 lo g 2

，得

\frac{2}{lo g 2} \cdot 2 lo g 2 = 4

。

第 16 題

分子： $4 + lo g 9 - 4 lo g 5 = lo g 1 0^{4} + lo g 9 - lo g 5^{4} = lo g \frac{10000 \times 9}{625} = lo g 144$ 。

分母： $1 + \frac{1}{2} lo g 0.36 + \frac{1}{3} lo g 8 = lo g 10 + lo g 0.6 + lo g 2 = lo g (10 \times 0.6 \times 2) = lo g 12$ 。

所以原式 $= \frac{lo g 144}{lo g 12} = \frac{2 lo g 12}{lo g 12} = 2$ 。

第 19 題底數要大於

0

且不等於

1

：

x - 2 > 0

且

x - 2 \neq = 1

，即

x > 2

、

x \neq = 3

。真數要大於

0

：

5 - x > 0

，即

x < 5

。合起來

2 < x < 5

且

x \neq = 3

，也就是

2 < x < 3

或

3 < x < 5

。

對數律只管乘、除、次方，沒有「和的對數」與「對數相除」的公式；看到底數或真數有變數，先列出「底數大於 0 且不等於 1、真數大於 0」。

02指數與對數函數的圖形

第 2 題

y = lo g x

是遞增函數，真數越小值越小。五個真數

1

、

2

、

3

、

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{3}

中最小的是

\frac{1}{3}

，所以

lo g \frac{1}{3}

最小，選 (E)。

第 3 題

lo g_{2} 1 = 0

，且底數

2 > 1

時

y = lo g_{2} x

遞增。由

lo g_{2} 1 < lo g_{2} a < lo g_{2} b

得

1 < a < b

，即

b > a > 1

，選 (A)。

原卷 (D)(E) 兩個選項印成同一個式子

0 < a < b < 1

，照印；不影響答案。

第 4 題

$y = lo g x$ 只在 $x > 0$ 有定義，所以交點的 $α > 0$ 。 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 遞減、 $y = lo g x$ 遞增，兩圖形至多一個交點。

第 8 題

(A) 錯誤。 $y = 2^{x} + 1$ 是 $y = 2^{x}$ 向上平移 1 單位。

(B) 正確。 把 $x$ 換成 $x - 2$ ，圖形向右平移 2 單位。

(D) 正確。 $(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ ，把 $x$ 換成 $- x$ ，圖形對稱於 $y$ 軸。

(E) 錯誤。 $y = 2^{x}$ 圖形上任兩點連線段都在圖形上方，凹口向上。

選 (B)(C)(D)。

第 10 題

(A) 正確。 不論 $a > 1$ 或 $0 < a < 1$ ， $y = a^{x}$ 的圖形上任兩點的連線段都在圖形上方，凹口向上。

(B) 錯誤。 $y = lo g x$ 的圖形上任兩點的連線段在圖形下方，凹口向下。

(D) 正確。 $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ 。

(E) 錯誤。 $0 < a < 1$ 時 $y = a^{x}$ 遞減，例如 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 。

選 (A)(C)(D)。

第 17 題

定義域： $x - 1 > 0$ 且 $5 - x > 0$ ，即 $1 < x < 5$ 。合併： $y = lo g_{\frac{1}{2}} [(x - 1) (5 - x)]$ 。

真數 $(x - 1) (5 - x) = - x^{2} + 6 x - 5 = - (x - 3)^{2} + 4$ ，在 $1 < x < 5$ 時範圍是 $0 < (x - 1) (5 - x) \leq 4$ 。

底數 $\frac{1}{2} < 1$ ， $y = lo g_{\frac{1}{2}} u$ 遞減，真數最大時 $y$ 最小：最小值為 $lo g_{\frac{1}{2}} 4 = - 2$ （此時 $x = 3$ ）。

比大小、求極值前先看底數大於 1 還是小於 1：大於 1 遞增、小於 1 遞減；指數函數凹口一律向上，常用對數函數凹口向下。

03指數、對數方程式與不等式

第 9 題

兩邊取常用對數： $a lo g \frac{1}{3} = b lo g \frac{1}{5}$ ，即 $a lo g 3 = b lo g 5$ ， $a = \frac{lo g 5}{lo g 3} b$ ，而 $\frac{lo g 5}{lo g 3} > 1$ 。

(A) 正確。 $b > 0$ 時 $a$ 是 $b$ 的一倍多， $a > b > 0$ ；例如 $b = lo g 3$ 、 $a = lo g 5$ 。

(B) 正確。 $b < 0$ 時 $a$ 比 $b$ 更負， $a < b < 0$ ；例如 $b = - lo g 3$ 、 $a = - lo g 5$ 。

(D) 錯誤。 負數時一定是 $a < b$ ，不會 $0 > a > b$ 。

(E) 正確。 $a = b = 0$ 時兩邊都是 $1$ 。

選 (A)(B)(E)。

第 13 題定義域：

3 x - 6 > 0

，即

x > 2

。原式

lo g [3 (3 x - 6)] < lo g 18

，底數

10 > 1

，真數比大小：

9 x - 18 < 18

，

x < 4

。與定義域取交集，得

2 < x < 4

。

第 14 題令

t = (\frac{1}{5})^{x}

，則

t > 0

且

(\frac{1}{25})^{x} = t^{2}

。不等式變成

t^{2} - 4 t - 5 \geq 0

，

(t - 5) (t + 1) \geq 0

。因為

t + 1 > 0

，得

t \geq 5

，即

(\frac{1}{5})^{x} \geq (\frac{1}{5})^{- 1}

。底數

\frac{1}{5} < 1

，指數比大小時不等號反向：

x \leq - 1

。

第 15 題

定義域： $11 - x > 0$ 且 $x - 1 > 0$ ，即 $1 < x < 11$ 。

換底： $lo g_{9} (x - 1) = \frac{1}{2} lo g_{3} (x - 1) = lo g_{3} x - 1$ ；左邊 $lo g_{3} (11 - x) - 1 = lo g_{3} \frac{11 - x}{3}$ 。所以 $\frac{11 - x}{3} = x - 1$ 。

令 $u = x - 1 (u > 0)$ ， $x = u^{2} + 1$ ： $\frac{10 - u ^{2}}{3} = u$ ， $u^{2} + 3 u - 10 = 0$ ， $(u + 5) (u - 2) = 0$ ， $u = 2$ （ $u = - 5$ 不合）， $x = 5$ 。

檢查： $lo g_{3} 6 - 1 = lo g_{3} 2$ ， $lo g_{9} 4 = lo g_{3} 2$ ，成立。

第 18 題

先寫定義域再解；同一個指數式反覆出現就換元；底數小於 1 時，比指數或比真數不等號要反向。

04指數與對數的應用

第 5 題每半年複利一次，每期利率是

4% \div 2 = 2%

；五年共

5 \times 2 = 10

期。本利和

= 100000 \times (1 + 2%)^{10}

元，選 (C)。

第 20 題

三星期： $f (3) = 250 (1 - \frac{64}{125}) = 250 \times \frac{61}{125} = 122$ 個。

第 21 題假設每人吹口哨的聲音強度都相同，且同時吹時強度相加。一人時

30 = 10 lo g \frac{I _{1}}{1 0 ^{- 12}}

，

lo g \frac{I _{1}}{1 0 ^{- 12}} = 3

，

I_{1} = 1 0^{- 9}

。10 人同時吹，強度變成

I = 10 I_{1} = 1 0^{- 8}

，音量

10 lo g \frac{1 0 ^{- 8}}{1 0 ^{- 12}} = 10 \times 4 = 40

分貝。

第 22 題令

I (t) = 21

：

10 + 990 a^{- 5 t} = 21

，

a^{- 5 t} = \frac{11}{990} = \frac{1}{90}

，即

a^{5 t} = 90

。依對數的定義

5 t = lo g_{a} 90

，所以

t = \frac{1}{5} lo g_{a} 90

秒。換成常用對數：

lo g_{a} 90 = \frac{lo g 90}{lo g a} = \frac{lo g 10 + lo g 9}{lo g a} = \frac{1 + 2 lo g 3}{lo g a}

，所以

t = \frac{1 + 2 lo g 3}{5 lo g a}

秒，兩種寫法相同。

複利的期數與每期利率要一起換；強度變 10 倍，分貝只多 10；指數模型解時間，把指數部分單獨移到一邊再寫成對數。

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