段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用）

林口高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 林口高中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 林口高中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要先看水平漸近線再看平移方向，x 換成 x 減 2 是向右移；第 7 題的 (E) 要先把真數算成 9 再用對數律；第 8 題的 (C) 與 (D) 是同一個數，負的常用對數最容易算錯；第 14 題解出兩個根後要用真數條件捨去一個；第 18 題容易漏掉底數不可以等於 1。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

單一選擇題 5 題（每題 4 分，共 20 分）、多重選擇題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、填充題 9 題共 12 格（共 50 分，答對格數與得分：1→8、2→14、3→20、4→24、5→28、6→32、7→36、8→42、9→44、10→46、11→48、12→50），合計 100 分。原卷三個大題各自從 1 編號，本頁依序編為第 1～22 題（填充題 1(1) 起為第 11 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單一選擇題(共 20 分,每題 4 分)

試問下列哪一個選項的值最小？

(A) $2^{- 2}$
(B) $2^{0.5}$
(C) $(0.5)^{- 2}$
(D) $(0.5)^{0.5}$
(E) $(0.5)^{- 2}$

下列各圖中的虛線是函數

y = 2^{x}

的圖形，試選出

f (x) = 2^{x - 2} + 1

的圖形選項。

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

試選出值最小的選項。

(A) $lo g 2$
(B) $lo g 3$
(C) $lo g \frac{1}{2}$
(D) $lo g \frac{1}{3}$
(E) $lo g 1$

銀行存入本金 10 萬元，為期五年，年利率

4%

，每年複利一次，則到期後，試選出本利和為多少

(A) $100000 \times (1 + 4% \times 5)$ 元
(B) $100000 \times (1 + 4%) \times 5$ 元
(C) $100000 \times (1 + 4%)^{5}$ 元
(D) $100000 \times (1 + 2%)^{10}$ 元
(E) $100000 \times (1 + 8%)^{2}$ 元

銀行存入本金 10 萬元，為期五年，年利率

4%

，每半年複利一次，則到期後，試選出本利和為多少元。

(A) $100000 \times (1 + 4% \times 5)$ 元
(B) $100000 \times (1 + 4%) \times 5$ 元
(C) $100000 \times (1 + 4%)^{5}$ 元
(D) $100000 \times (1 + 2%)^{10}$ 元
(E) $100000 \times (1 + 8%)^{2}$ 元

二、多重選擇題(共 30 分,每題 6 分)｜說明：每題 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 6 分；答錯 1 個選項者，得 4 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

已知

x

、

y

均大於

0

，試選出正確的選項。

(A) $lo g (x + y) = lo g x + lo g y$
(B) $lo g x - lo g y = lo g \frac{x}{y}$
(C) $2^{l o g_{3} 2} = 2$
(D) $1 0^{l o g 5} = 5$
(E) $\frac{lo g x}{lo g y} = lo g x - lo g y$

試選出正確的選項

(A) $lo g 1 = 0$
(B) $lo g_{1} 1 = 0$
(C) $lo g (- 3) = - lo g 3$
(D) $lo g_{(- 2)} 16 = - 4$
(E) $lo g (- 3)^{2} = 2 lo g 3$

已知

lo g 3.7 \approx 0.5682

，則下列選項何者正確？

(A) $lo g 3700 \approx 568.2$
(B) $lo g 370 \approx 2.5682$
(C) $lo g (3.7 \times 1 0^{- 3}) \approx - 3.5682$
(D) $lo g 0.0037 \approx - 2.4318$
(E) $lo g (3.7 \times 1 0^{2.5}) \approx 3.0682$

下列選項哪些正確？

(A) $lo g_{2} (\frac{1}{16})^{- 1} = - 4$
(B) $lo g_{3} 27 = 3$
(C) $lo g_{2} 6 = 3$
(D) $lo g_{4} 32 = 5$
(E) $lo g_{\frac{1}{2}} 16 = 4$

試選出正確的選項。

(A) 若 $a \neq = 1$ 、 $a > 0$ ，則 $y = a^{x}$ 的圖形恆凹口向上
(B) $y = lo g x$ 的圖形凹口向上
(C) $y = lo g x$ 的圖形是遞增的
(D) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(E) 若 $a \neq = 1$ 、 $a > 0$ ，則 $y = a^{x}$ 的圖形為遞增

三、填充題(共 50 分)

試求下列各式的值：(1)

lo g 40 + lo g 45 - lo g 18 =

____

試求下列各式的值：(2)

(lo g_{2} 5) (lo g_{5} 100) (lo g 4) =

____

(1) 求方程式

4^{x} = 8^{3 (x + 1)}

的解為 ____。

(2) 求方程式

2 lo g_{2} (x - 3) = 1 + lo g_{2} (x + 1)

的解為 ____。

(1) 不等式

(\frac{1}{3})^{2 x - 1} > 27

的解為 ____。

(2) 不等式

lo g (3 x - 6) + lo g 3 < lo g 18

的解為 ____。

若

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，用

a, b

表示

lo g_{6} 108 =

____。

若

lo g_{(x - 2)} (5 - x)

有意義，則實數

x

的範圍為 ____。

放射性物質的質量變為原來的一半所需的時間，稱為該放射物的半衰期。假設某放射性物質在兩年後剩

3200

克，而八年後剩

400

克，試問該放射性物質半衰期是 ____ 年。

地震所釋放出的能量

E

（單位：爾格）與地震規模

M

之間的關係式為

lo g E = 11.8 + 1.5 M

某地發生芮氏地震規模

6.0

的主震，不久又發生餘震，若主震所釋放出的能量大約是餘震所釋放能量的

1000

倍，則餘震的芮氏地震規模為 ____。

在密閉的實驗室中，開始時有某種細菌

1

萬隻，並且以每小時增加

3%

的速率繁殖，如果照此速度持續繁殖，依七二法則推論，試問至少需 ____ 小時細菌的數量會達到

2

萬隻

已知當測得聲音強度

I (W / m^{2})

時，音量為

d (I) = 10 \cdot lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}}

分貝。若一人吹口哨，測得的音量為

30

分貝，試求

10

人同時吹口哨，所測得音量是 ____ 分貝

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(B)

第 3 題(D)

第 4 題(C)

第 5 題(D)

第 6 題(B)(D)

第 7 題(A)(E)

第 8 題(B)(D)(E)

第 9 題(B)(D)

第 10 題(A)(C)(D)

第 11 題

2

第 12 題

4

第 13 題

- \frac{9}{7}

第 14 題

7

第 15 題

x < - \frac{5}{2}

第 16 題

2 < x < 4

第 17 題

\frac{2 a + 3 b}{a + b}

第 18 題

(2, 3) \cup (3, 5)

第 19 題

2

第 20 題

4.0

第 21 題

24

第 22 題

40

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～5 題：指數比大小、圖形平移、對數比大小、複利

第 1 題

把五個數都化成底數 $2$ ： $0.5 = 2^{- 1}$ ，五個選項依序是

(A) $2^{- 2}$ ；(B) $2^{0.5}$ ；(C) $(0.5)^{- 2} = 2^{2}$ ；(D) $(0.5)^{0.5} = 2^{- 0.5}$ ；(E) $(0.5)^{- 2} = 2^{2}$ 。

底數 $2$ 大於 $1$ ，指數愈小數值愈小。五個指數 $- 2$ 、 $0.5$ 、 $2$ 、 $- 0.5$ 、 $2$ 中最小的是 $- 2$ ，所以最小的是 (A)。

數值約為 (A)

0.25

、(B)

1.41

、(C)

4

、(D)

0.71

、(E)

2.67

。底數

0.5

的負指數會變大，不要看到負號就以為比較小。

第 2 題

$f (x) = 2^{x - 2} + 1$ 的圖形是把 $y = 2^{x}$ 的圖形向右平移 $2$ 單位、再向上平移 $1$ 單位。

$y = 2^{x}$ 的圖形向左延伸時貼近 $x$ 軸（ $y = 0$ ），向上平移 $1$ 單位後， $f (x)$ 的圖形向左延伸時貼近水平線 $y = 1$ ，而且整條曲線都在 $y = 1$ 的上方。五張圖裡只有 (B) 的實線向左延伸時貼近 $y = 1$ ：(A)、(C) 的實線貼近 $x$ 軸，(D)、(E) 的實線貼近 $y = - 1$ 。

再用兩個點確認 (B)： $f (2) = 2^{0} + 1 = 2$ ， $f (0) = 2^{- 2} + 1 = \frac{5}{4}$ ，圖 (B) 的實線通過 $(2, 2)$ ，在 $y$ 軸上的截距略大於 $1$ ，相符。答 (B)。

其他四張分別是：(A) 只向右平移

2

（

y = 2^{x - 2}

）；(C) 向左平移

2

（

y = 2^{x + 2}

）；(D) 向左平移

2

再向下平移

1

；(E) 向右平移

2

再向下平移

1

。

x

換成

x - 2

是向右移，不是向左移。

第 3 題

y = lo g x

是遞增函數，真數愈小，常用對數愈小。五個真數

2

、

3

、

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{3}

、

1

中最小的是

\frac{1}{3}

，所以

lo g \frac{1}{3}

最小。答 (D)。

lo g \frac{1}{3} = - lo g 3 \approx - 0.477

，

lo g \frac{1}{2} = - lo g 2 \approx - 0.301

，

lo g 1 = 0

。

第 4 題每年複利一次，每過一年本利和乘以

1 + 4%

，五年後是

100000 \times (1 + 4%)^{5}

元。答 (C)。

(A) 是單利的算法（利息不再生利息）；(B) 把乘五年寫成乘以

5

，不對。

第 5 題每半年複利一次：每期的利率是年利率的一半

4% \div 2 = 2%

，五年共有

5 \times 2 = 10

期，本利和是

100000 \times (1 + 2%)^{10}

元。答 (D)。

期數與每期利率要一起換：期數乘以

2

，利率除以

2

。(E) 是把利率乘

2

、期數除

2

，方向反了。

比大小先化成同底數再看底數大於

1

還是小於

1

；指數函數圖形先看水平漸近線，再代一兩個點確認平移的方向。

02第 6～10 題：對數律、底數與真數的限制、常用對數、圖形性質

第 6 題

(A) 錯誤。 對數律是 $lo g x + lo g y = lo g (x y)$ ，不是 $lo g (x + y)$ 。例如 $x = y = 1$ ：左邊 $lo g 2 \neq = 0$ ，右邊 $0 + 0 = 0$ 。

(B) 正確。 這是對數律 $lo g x - lo g y = lo g \frac{x}{y}$ 。

(C) 錯誤。 $a^{l o g_{a} b} = b$ 要求指數的底數與對數的底數相同。這裡底數是 $2$ 、對數的底數是 $3$ ； $lo g_{3} 2 < 1$ ，所以 $2^{l o g_{3} 2} < 2^{1} = 2$ 。

(D) 正確。 $lo g 5$ 就是 $lo g_{10} 5$ ，由定義 $1 0^{l o g_{10} 5} = 5$ 。

(E) 錯誤。 兩個對數相除不能化成相減。例如 $x = 100$ 、 $y = 10$ ：左邊 $\frac{2}{1} = 2$ ，右邊 $2 - 1 = 1$ 。

答 (B)(D)。

\frac{lo g x}{lo g y}

是換底公式的

lo g_{y} x

，不是

lo g \frac{x}{y}

。

第 7 題

$lo g_{a} b$ 有意義要底數 $a > 0$ 、 $a \neq = 1$ ，真數 $b > 0$ 。

(A) 正確。 $1 0^{0} = 1$ ，所以 $lo g 1 = 0$ 。

(B) 錯誤。 底數不可以是 $1$ （ $1$ 的任何次方都是 $1$ ， $lo g_{1} 1$ 不是確定的一個數），沒有意義。

(D) 錯誤。 底數不可以是負數， $lo g_{(- 2)} 16$ 沒有意義；而且 $(- 2)^{- 4} = \frac{1}{16}$ ，也不是 $16$ 。

(E) 正確。 $lo g (- 3)^{2}$ 的真數是 $(- 3)^{2} = 9$ ，所以 $lo g (- 3)^{2} = lo g 9 = lo g 3^{2} = 2 lo g 3$ 。

答 (A)(E)。

指數

2

寫在真數括號外，依慣例真數是

(- 3)^{2}

，即

lo g [(- 3)^{2}]

，不是

(lo g (- 3))^{2}

（那個沒有意義）。(E) 先把真數

(- 3)^{2}

算成

9

再用對數律；不可以先把指數提出來寫成

2 lo g (- 3)

。

第 8 題

把真數寫成 $3.7 \times 1 0^{n}$ ， $lo g (3.7 \times 1 0^{n}) = lo g 3.7 + n \approx 0.5682 + n$ 。

(A) 錯誤。 $3700 = 3.7 \times 1 0^{3}$ ， $lo g 3700 \approx 3.5682$ ，不是 $568.2$ 。

(B) 正確。 $370 = 3.7 \times 1 0^{2}$ ， $lo g 370 \approx 2.5682$ 。

(D) 正確。 $0.0037 = 3.7 \times 1 0^{- 3}$ ，與 (C) 相同， $lo g 0.0037 \approx - 2.4318$ 。

(E) 正確。 $lo g (3.7 \times 1 0^{2.5}) = lo g 3.7 + lo g 1 0^{2.5} \approx 0.5682 + 2.5 = 3.0682$ 。

答 (B)(D)(E)。

真數乘以

1 0^{n}

，常用對數只加

n

，不是乘以

1 0^{n}

。(C) 的錯法是把

- 3

和

0.5682

都當成負的相加。

第 9 題

(A) 錯誤。 $(\frac{1}{16})^{- 1} = 16 = 2^{4}$ ，所以 $lo g_{2} (\frac{1}{16})^{- 1} = 4$ ，不是 $- 4$ 。

(B) 正確。 $27 = 3^{3}$ ， $lo g_{3} 27 = 3$ 。

(D) 正確。 $4 = 2$ ， $lo g_{4} 32 = lo g_{2} 32 = 5$ 。

(E) 錯誤。 $(\frac{1}{2})^{- 4} = 16$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} 16 = - 4$ ，不是 $4$ 。

答 (B)(D)。

(A) 的指數

- 1

在真數上，先算出真數

16

再取對數。底數小於

1

時，真數大於

1

的對數是負的。

第 10 題

(A) 正確。 不論 $a > 1$ （遞增）或 $0 < a < 1$ （遞減）， $y = a^{x}$ 的圖形都是凹口向上。

(B) 錯誤。 $y = lo g x$ 的圖形是 $y = 1 0^{x}$ 的圖形對直線 $y = x$ 的對稱圖形，凹口向下。也可以取兩點檢查： $x = 1$ 與 $x = 100$ 的中點 $x = 50.5$ ，曲線上的值 $lo g 50.5 \approx 1.70$ ，比兩點連線中點的高度 $\frac{0 + 2}{2} = 1$ 高，曲線在弦的上方，凹口向下。

(D) 正確。 $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 互為反函數， $(p, q)$ 在其中一個圖形上， $(q, p)$ 就在另一個圖形上，兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

(E) 錯誤。 只有 $a > 1$ 時遞增； $0 < a < 1$ 時遞減。例如 $a = \frac{1}{2}$ ： $(\frac{1}{2})^{1} = \frac{1}{2} < 1 = (\frac{1}{2})^{0}$ 。

答 (A)(C)(D)。

指數函數的圖形一律凹口向上；底數大於

1

的對數函數圖形凹口向下。遞增或遞減要看底數，凹口方向不看底數。

對數先檢查底數為正且不是

1

、真數為正；對數律只處理積、商、次方，和與差拆不開。

03第 11～16 題：對數求值、指數與對數方程式、不等式

第 11 題

lo g 40 + lo g 45 - lo g 18 = lo g \frac{40 \times 45}{18} = lo g \frac{1800}{18} = lo g 100 = 2

。

第 12 題

由換底公式， $(lo g_{2} 5) (lo g_{5} 100) = \frac{lo g 5}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 100}{lo g 5} = \frac{2}{lo g 2}$ 。

又 $lo g 4 = 2 lo g 2$ ，所以原式 $= \frac{2}{lo g 2} \cdot 2 lo g 2 = 4$ 。

前兩個因式也可以直接看成

lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 100 = lo g_{2} 100

。

第 13 題

化成底數 $2$ ： $4^{x} = 2^{2 x}$ ， $8^{3 (x + 1)} = (2^{3})^{3 (x + 1)} = 2^{9 (x + 1)}$ 。

底數相同，指數相等： $2 x = 9 x + 9$ ， $x = - \frac{9}{7}$ 。

8^{3 (x + 1)}

化成底數

2

時，指數要再乘

3

，變成

9 (x + 1)

。

第 14 題

真數要為正： $x - 3 > 0$ 且 $x + 1 > 0$ ，所以 $x > 3$ 。

$2 lo g_{2} (x - 3) = lo g_{2} (x - 3)^{2}$ ， $1 + lo g_{2} (x + 1) = lo g_{2} 2 + lo g_{2} (x + 1) = lo g_{2} [2 (x + 1)]$ 。

兩邊相等： $(x - 3)^{2} = 2 (x + 1)$ ， $x^{2} - 8 x + 7 = 0$ ， $(x - 1) (x - 7) = 0$ ， $x = 1$ 或 $x = 7$ 。

$x = 1$ 不滿足 $x > 3$ （ $lo g_{2} (1 - 3)$ 沒有意義），捨去。答 $x = 7$ 。

代回檢查：左邊

2 lo g_{2} 4 = 4

，右邊

1 + lo g_{2} 8 = 4

。

第 15 題

化成底數 $3$ ： $\frac{1}{3} = 3^{- \frac{1}{2}}$ ，左邊 $= 3^{- \frac{1}{2} (2 x - 1)}$ ； $27 = 3^{3}$ 。

底數 $3 > 1$ ，指數大的數值大： $- \frac{1}{2} (2 x - 1) > 3$ ， $2 x - 1 < - 6$ ， $x < - \frac{5}{2}$ 。

若直接用底數

\frac{1}{3}

（小於

1

），比較指數時不等號要反向，結果相同。兩邊乘以

- 2

時不等號也要反向。

第 16 題

真數要為正： $3 x - 6 > 0$ ， $x > 2$ 。

$lo g (3 x - 6) + lo g 3 = lo g [3 (3 x - 6)]$ 。底數 $10 > 1$ ，所以 $3 (3 x - 6) < 18$ ， $9 x < 36$ ， $x < 4$ 。

與 $x > 2$ 取交集： $2 < x < 4$ 。

不要漏掉真數條件

x > 2

，只寫

x < 4

會把不能代入的數也算進去。

對數方程式與不等式先寫真數條件，化成同底數比較後，最後一定回頭和真數條件取交集。

04第 17～22 題：換底公式、對數的範圍、半衰期、地震規模、七二法則、分貝

第 17 題

$108 = 4 \times 27 = 2^{2} \times 3^{3}$ ， $6 = 2 \times 3$ 。由換底公式：

$lo g_{6} 108 = \frac{lo g 108}{lo g 6} = \frac{2 lo g 2 + 3 lo g 3}{lo g 2 + lo g 3} = \frac{2 a + 3 b}{a + b}$

數值檢查：

lo g_{6} 108 \approx 2.613

，

\frac{2 a + 3 b}{a + b} \approx \frac{0.602 + 1.431}{0.778} \approx 2.613

。

第 18 題

底數 $x - 2$ 要大於 $0$ 且不等於 $1$ ： $x > 2$ 且 $x \neq = 3$ 。

真數 $5 - x$ 要大於 $0$ ： $x < 5$ 。

三個條件合起來： $2 < x < 3$ 或 $3 < x < 5$ ，即 $(2, 3) \cup (3, 5)$ 。

容易漏掉底數不可以等於

1

，也就是

x \neq = 3

。

第 19 題

從第二年到第八年經過 $6$ 年，質量從 $3200$ 克變成 $400$ 克，變為 $\frac{400}{3200} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}$ ，也就是經過了 $3$ 個半衰期。

半衰期 $= 6 \div 3 = 2$ 年。

3200 \to 1600 \to 800 \to 400

，每一步就是一個半衰期。題目給的是兩年後與八年後的量，不是一開始的量。

第 20 題

設主震與餘震的能量為 $E_{1}$ 、 $E_{2}$ ，規模為 $M_{1} = 6.0$ 、 $M_{2}$ 。

$lo g E_{1} - lo g E_{2} = 1.5 (M_{1} - M_{2})$ ，而 $\frac{E _{1}}{E _{2}} = 1000$ ，所以 $lo g E_{1} - lo g E_{2} = lo g 1000 = 3$ 。

$1.5 (6.0 - M_{2}) = 3$ ， $6.0 - M_{2} = 2$ ， $M_{2} = 4.0$ 。

能量差

1000

倍，規模只差

2

；規模每差

1

，能量相差

1 0^{1.5} \approx 31.6

倍。

第 21 題

七二法則：以每期 $r %$ 的複利成長時，數量變成 $2$ 倍大約需要 $\frac{72}{r}$ 期。

這裡每小時增加 $3%$ ， $r = 3$ ，數量由 $1$ 萬隻變成 $2$ 萬隻所需的時間約為 $\frac{72}{3} = 24$ 小時。

七二法則是估計值。若用常用對數精算，

1.0 3^{t} = 2

得

t = \frac{lo g 2}{lo g 1.03} \approx 23.45

，取整數小時也是

24

小時。

第 22 題

一人時： $10 lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 30$ ， $lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 3$ 。

$10$ 人同時吹，聲音強度變成 $10 I$ ：

$d (10 I) = 10 lo g \frac{10 I}{1 0 ^{- 12}} = 10 (lo g 10 + lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}}) = 10 (1 + 3) = 40$

所測得音量是 $40$ 分貝。

強度變成

10

倍，音量只多

10

分貝，不是變成

300

分貝。由

lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 3

也可算出

I = 1 0^{- 9}

。

應用題把「倍數」取常用對數變成「相差」：能量差

1000

倍對應

lo g

差

3

，強度乘

10

對應

lo g

加

1

。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

林口高中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

林口高中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要先看水平漸近線再看平移方向，x 換成 x 減 2 是向右移；第 7 題的 (E) 要先把真數算成 9 再用對數律；第 8 題的 (C) 與 (D) 是同一個數，負的常用對數最容易算錯；第 14 題解出兩個根後要用真數條件捨去一個；第 18 題容易漏掉底數不可以等於 1。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自林口高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用）

林口高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

一、單一選擇題(共 20 分,每題 4 分)

試問下列哪一個選項的值最小？

(A) $2^{- 2}$
(B) $2^{0.5}$
(C) $(0.5)^{- 2}$
(D) $(0.5)^{0.5}$
(E) $(0.5)^{- 2}$

下列各圖中的虛線是函數

y = 2^{x}

的圖形，試選出

f (x) = 2^{x - 2} + 1

的圖形選項。

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

試選出值最小的選項。

(A) $lo g 2$
(B) $lo g 3$
(C) $lo g \frac{1}{2}$
(D) $lo g \frac{1}{3}$
(E) $lo g 1$

銀行存入本金 10 萬元，為期五年，年利率

4%

，每年複利一次，則到期後，試選出本利和為多少

(A) $100000 \times (1 + 4% \times 5)$ 元
(B) $100000 \times (1 + 4%) \times 5$ 元
(C) $100000 \times (1 + 4%)^{5}$ 元
(D) $100000 \times (1 + 2%)^{10}$ 元
(E) $100000 \times (1 + 8%)^{2}$ 元

銀行存入本金 10 萬元，為期五年，年利率

4%

，每半年複利一次，則到期後，試選出本利和為多少元。

(A) $100000 \times (1 + 4% \times 5)$ 元
(B) $100000 \times (1 + 4%) \times 5$ 元
(C) $100000 \times (1 + 4%)^{5}$ 元
(D) $100000 \times (1 + 2%)^{10}$ 元
(E) $100000 \times (1 + 8%)^{2}$ 元

已知

x

、

y

均大於

0

，試選出正確的選項。

(A) $lo g (x + y) = lo g x + lo g y$
(B) $lo g x - lo g y = lo g \frac{x}{y}$
(C) $2^{l o g_{3} 2} = 2$
(D) $1 0^{l o g 5} = 5$
(E) $\frac{lo g x}{lo g y} = lo g x - lo g y$

試選出正確的選項

(A) $lo g 1 = 0$
(B) $lo g_{1} 1 = 0$
(C) $lo g (- 3) = - lo g 3$
(D) $lo g_{(- 2)} 16 = - 4$
(E) $lo g (- 3)^{2} = 2 lo g 3$

已知

lo g 3.7 \approx 0.5682

，則下列選項何者正確？

(A) $lo g 3700 \approx 568.2$
(B) $lo g 370 \approx 2.5682$
(C) $lo g (3.7 \times 1 0^{- 3}) \approx - 3.5682$
(D) $lo g 0.0037 \approx - 2.4318$
(E) $lo g (3.7 \times 1 0^{2.5}) \approx 3.0682$

下列選項哪些正確？

(A) $lo g_{2} (\frac{1}{16})^{- 1} = - 4$
(B) $lo g_{3} 27 = 3$
(C) $lo g_{2} 6 = 3$
(D) $lo g_{4} 32 = 5$
(E) $lo g_{\frac{1}{2}} 16 = 4$

試選出正確的選項。

(A) 若 $a \neq = 1$ 、 $a > 0$ ，則 $y = a^{x}$ 的圖形恆凹口向上
(B) $y = lo g x$ 的圖形凹口向上
(C) $y = lo g x$ 的圖形是遞增的
(D) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(E) 若 $a \neq = 1$ 、 $a > 0$ ，則 $y = a^{x}$ 的圖形為遞增

三、填充題(共 50 分)

試求下列各式的值：(1)

lo g 40 + lo g 45 - lo g 18 =

____

試求下列各式的值：(2)

(lo g_{2} 5) (lo g_{5} 100) (lo g 4) =

____

(1) 求方程式

4^{x} = 8^{3 (x + 1)}

的解為 ____。

(2) 求方程式

2 lo g_{2} (x - 3) = 1 + lo g_{2} (x + 1)

的解為 ____。

(1) 不等式

(\frac{1}{3})^{2 x - 1} > 27

的解為 ____。

(2) 不等式

lo g (3 x - 6) + lo g 3 < lo g 18

的解為 ____。

若

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，用

a, b

表示

lo g_{6} 108 =

____。

若

lo g_{(x - 2)} (5 - x)

有意義，則實數

x

的範圍為 ____。

放射性物質的質量變為原來的一半所需的時間，稱為該放射物的半衰期。假設某放射性物質在兩年後剩

3200

克，而八年後剩

400

克，試問該放射性物質半衰期是 ____ 年。

地震所釋放出的能量

E

（單位：爾格）與地震規模

M

之間的關係式為

lo g E = 11.8 + 1.5 M

某地發生芮氏地震規模

6.0

的主震，不久又發生餘震，若主震所釋放出的能量大約是餘震所釋放能量的

1000

倍，則餘震的芮氏地震規模為 ____。

在密閉的實驗室中，開始時有某種細菌

1

萬隻，並且以每小時增加

3%

的速率繁殖，如果照此速度持續繁殖，依七二法則推論，試問至少需 ____ 小時細菌的數量會達到

2

萬隻

已知當測得聲音強度

I (W / m^{2})

時，音量為

d (I) = 10 \cdot lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}}

分貝。若一人吹口哨，測得的音量為

30

分貝，試求

10

人同時吹口哨，所測得音量是 ____ 分貝

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(B)

第 3 題(D)

第 4 題(C)

第 5 題(D)

第 6 題(B)(D)

第 7 題(A)(E)

第 8 題(B)(D)(E)

第 9 題(B)(D)

第 10 題(A)(C)(D)

第 11 題

2

第 12 題

4

第 13 題

- \frac{9}{7}

第 14 題

7

第 15 題

x < - \frac{5}{2}

第 16 題

2 < x < 4

第 17 題

\frac{2 a + 3 b}{a + b}

第 18 題

(2, 3) \cup (3, 5)

第 19 題

2

第 20 題

4.0

第 21 題

24

第 22 題

40

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～5 題：指數比大小、圖形平移、對數比大小、複利

第 1 題

把五個數都化成底數 $2$ ： $0.5 = 2^{- 1}$ ，五個選項依序是

(A) $2^{- 2}$ ；(B) $2^{0.5}$ ；(C) $(0.5)^{- 2} = 2^{2}$ ；(D) $(0.5)^{0.5} = 2^{- 0.5}$ ；(E) $(0.5)^{- 2} = 2^{2}$ 。

底數 $2$ 大於 $1$ ，指數愈小數值愈小。五個指數 $- 2$ 、 $0.5$ 、 $2$ 、 $- 0.5$ 、 $2$ 中最小的是 $- 2$ ，所以最小的是 (A)。

數值約為 (A)

0.25

、(B)

1.41

、(C)

4

、(D)

0.71

、(E)

2.67

。底數

0.5

的負指數會變大，不要看到負號就以為比較小。

第 2 題

$f (x) = 2^{x - 2} + 1$ 的圖形是把 $y = 2^{x}$ 的圖形向右平移 $2$ 單位、再向上平移 $1$ 單位。

再用兩個點確認 (B)： $f (2) = 2^{0} + 1 = 2$ ， $f (0) = 2^{- 2} + 1 = \frac{5}{4}$ ，圖 (B) 的實線通過 $(2, 2)$ ，在 $y$ 軸上的截距略大於 $1$ ，相符。答 (B)。

其他四張分別是：(A) 只向右平移

2

（

y = 2^{x - 2}

）；(C) 向左平移

2

（

y = 2^{x + 2}

）；(D) 向左平移

2

再向下平移

1

；(E) 向右平移

2

再向下平移

1

。

x

換成

x - 2

是向右移，不是向左移。

第 3 題

y = lo g x

是遞增函數，真數愈小，常用對數愈小。五個真數

2

、

3

、

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{3}

、

1

中最小的是

\frac{1}{3}

，所以

lo g \frac{1}{3}

最小。答 (D)。

lo g \frac{1}{3} = - lo g 3 \approx - 0.477

，

lo g \frac{1}{2} = - lo g 2 \approx - 0.301

，

lo g 1 = 0

。

第 4 題每年複利一次，每過一年本利和乘以

1 + 4%

，五年後是

100000 \times (1 + 4%)^{5}

元。答 (C)。

(A) 是單利的算法（利息不再生利息）；(B) 把乘五年寫成乘以

5

，不對。

第 5 題每半年複利一次：每期的利率是年利率的一半

4% \div 2 = 2%

，五年共有

5 \times 2 = 10

期，本利和是

100000 \times (1 + 2%)^{10}

元。答 (D)。

期數與每期利率要一起換：期數乘以

2

，利率除以

2

。(E) 是把利率乘

2

、期數除

2

，方向反了。

比大小先化成同底數再看底數大於

1

還是小於

1

；指數函數圖形先看水平漸近線，再代一兩個點確認平移的方向。

02第 6～10 題：對數律、底數與真數的限制、常用對數、圖形性質

第 6 題

(A) 錯誤。 對數律是 $lo g x + lo g y = lo g (x y)$ ，不是 $lo g (x + y)$ 。例如 $x = y = 1$ ：左邊 $lo g 2 \neq = 0$ ，右邊 $0 + 0 = 0$ 。

(B) 正確。 這是對數律 $lo g x - lo g y = lo g \frac{x}{y}$ 。

(C) 錯誤。 $a^{l o g_{a} b} = b$ 要求指數的底數與對數的底數相同。這裡底數是 $2$ 、對數的底數是 $3$ ； $lo g_{3} 2 < 1$ ，所以 $2^{l o g_{3} 2} < 2^{1} = 2$ 。

(D) 正確。 $lo g 5$ 就是 $lo g_{10} 5$ ，由定義 $1 0^{l o g_{10} 5} = 5$ 。

(E) 錯誤。 兩個對數相除不能化成相減。例如 $x = 100$ 、 $y = 10$ ：左邊 $\frac{2}{1} = 2$ ，右邊 $2 - 1 = 1$ 。

答 (B)(D)。

\frac{lo g x}{lo g y}

是換底公式的

lo g_{y} x

，不是

lo g \frac{x}{y}

。

第 7 題

$lo g_{a} b$ 有意義要底數 $a > 0$ 、 $a \neq = 1$ ，真數 $b > 0$ 。

(A) 正確。 $1 0^{0} = 1$ ，所以 $lo g 1 = 0$ 。

(B) 錯誤。 底數不可以是 $1$ （ $1$ 的任何次方都是 $1$ ， $lo g_{1} 1$ 不是確定的一個數），沒有意義。

(D) 錯誤。 底數不可以是負數， $lo g_{(- 2)} 16$ 沒有意義；而且 $(- 2)^{- 4} = \frac{1}{16}$ ，也不是 $16$ 。

(E) 正確。 $lo g (- 3)^{2}$ 的真數是 $(- 3)^{2} = 9$ ，所以 $lo g (- 3)^{2} = lo g 9 = lo g 3^{2} = 2 lo g 3$ 。

答 (A)(E)。

指數

2

寫在真數括號外，依慣例真數是

(- 3)^{2}

，即

lo g [(- 3)^{2}]

，不是

(lo g (- 3))^{2}

（那個沒有意義）。(E) 先把真數

(- 3)^{2}

算成

9

再用對數律；不可以先把指數提出來寫成

2 lo g (- 3)

。

第 8 題

把真數寫成 $3.7 \times 1 0^{n}$ ， $lo g (3.7 \times 1 0^{n}) = lo g 3.7 + n \approx 0.5682 + n$ 。

(A) 錯誤。 $3700 = 3.7 \times 1 0^{3}$ ， $lo g 3700 \approx 3.5682$ ，不是 $568.2$ 。

(B) 正確。 $370 = 3.7 \times 1 0^{2}$ ， $lo g 370 \approx 2.5682$ 。

(D) 正確。 $0.0037 = 3.7 \times 1 0^{- 3}$ ，與 (C) 相同， $lo g 0.0037 \approx - 2.4318$ 。

(E) 正確。 $lo g (3.7 \times 1 0^{2.5}) = lo g 3.7 + lo g 1 0^{2.5} \approx 0.5682 + 2.5 = 3.0682$ 。

答 (B)(D)(E)。

真數乘以

1 0^{n}

，常用對數只加

n

，不是乘以

1 0^{n}

。(C) 的錯法是把

- 3

和

0.5682

都當成負的相加。

第 9 題

(A) 錯誤。 $(\frac{1}{16})^{- 1} = 16 = 2^{4}$ ，所以 $lo g_{2} (\frac{1}{16})^{- 1} = 4$ ，不是 $- 4$ 。

(B) 正確。 $27 = 3^{3}$ ， $lo g_{3} 27 = 3$ 。

(D) 正確。 $4 = 2$ ， $lo g_{4} 32 = lo g_{2} 32 = 5$ 。

(E) 錯誤。 $(\frac{1}{2})^{- 4} = 16$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} 16 = - 4$ ，不是 $4$ 。

答 (B)(D)。

(A) 的指數

- 1

在真數上，先算出真數

16

再取對數。底數小於

1

時，真數大於

1

的對數是負的。

第 10 題

(A) 正確。 不論 $a > 1$ （遞增）或 $0 < a < 1$ （遞減）， $y = a^{x}$ 的圖形都是凹口向上。

(D) 正確。 $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 互為反函數， $(p, q)$ 在其中一個圖形上， $(q, p)$ 就在另一個圖形上，兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

(E) 錯誤。 只有 $a > 1$ 時遞增； $0 < a < 1$ 時遞減。例如 $a = \frac{1}{2}$ ： $(\frac{1}{2})^{1} = \frac{1}{2} < 1 = (\frac{1}{2})^{0}$ 。

答 (A)(C)(D)。

指數函數的圖形一律凹口向上；底數大於

1

的對數函數圖形凹口向下。遞增或遞減要看底數，凹口方向不看底數。

對數先檢查底數為正且不是

1

、真數為正；對數律只處理積、商、次方，和與差拆不開。

03第 11～16 題：對數求值、指數與對數方程式、不等式

第 11 題

lo g 40 + lo g 45 - lo g 18 = lo g \frac{40 \times 45}{18} = lo g \frac{1800}{18} = lo g 100 = 2

。

第 12 題

由換底公式， $(lo g_{2} 5) (lo g_{5} 100) = \frac{lo g 5}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 100}{lo g 5} = \frac{2}{lo g 2}$ 。

又 $lo g 4 = 2 lo g 2$ ，所以原式 $= \frac{2}{lo g 2} \cdot 2 lo g 2 = 4$ 。

前兩個因式也可以直接看成

lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 100 = lo g_{2} 100

。

第 13 題

化成底數 $2$ ： $4^{x} = 2^{2 x}$ ， $8^{3 (x + 1)} = (2^{3})^{3 (x + 1)} = 2^{9 (x + 1)}$ 。

底數相同，指數相等： $2 x = 9 x + 9$ ， $x = - \frac{9}{7}$ 。

8^{3 (x + 1)}

化成底數

2

時，指數要再乘

3

，變成

9 (x + 1)

。

第 14 題

真數要為正： $x - 3 > 0$ 且 $x + 1 > 0$ ，所以 $x > 3$ 。

$2 lo g_{2} (x - 3) = lo g_{2} (x - 3)^{2}$ ， $1 + lo g_{2} (x + 1) = lo g_{2} 2 + lo g_{2} (x + 1) = lo g_{2} [2 (x + 1)]$ 。

兩邊相等： $(x - 3)^{2} = 2 (x + 1)$ ， $x^{2} - 8 x + 7 = 0$ ， $(x - 1) (x - 7) = 0$ ， $x = 1$ 或 $x = 7$ 。

$x = 1$ 不滿足 $x > 3$ （ $lo g_{2} (1 - 3)$ 沒有意義），捨去。答 $x = 7$ 。

代回檢查：左邊

2 lo g_{2} 4 = 4

，右邊

1 + lo g_{2} 8 = 4

。

第 15 題

化成底數 $3$ ： $\frac{1}{3} = 3^{- \frac{1}{2}}$ ，左邊 $= 3^{- \frac{1}{2} (2 x - 1)}$ ； $27 = 3^{3}$ 。

底數 $3 > 1$ ，指數大的數值大： $- \frac{1}{2} (2 x - 1) > 3$ ， $2 x - 1 < - 6$ ， $x < - \frac{5}{2}$ 。

若直接用底數

\frac{1}{3}

（小於

1

），比較指數時不等號要反向，結果相同。兩邊乘以

- 2

時不等號也要反向。

第 16 題

真數要為正： $3 x - 6 > 0$ ， $x > 2$ 。

$lo g (3 x - 6) + lo g 3 = lo g [3 (3 x - 6)]$ 。底數 $10 > 1$ ，所以 $3 (3 x - 6) < 18$ ， $9 x < 36$ ， $x < 4$ 。

與 $x > 2$ 取交集： $2 < x < 4$ 。

不要漏掉真數條件

x > 2

，只寫

x < 4

會把不能代入的數也算進去。

對數方程式與不等式先寫真數條件，化成同底數比較後，最後一定回頭和真數條件取交集。

04第 17～22 題：換底公式、對數的範圍、半衰期、地震規模、七二法則、分貝

第 17 題

$108 = 4 \times 27 = 2^{2} \times 3^{3}$ ， $6 = 2 \times 3$ 。由換底公式：

$lo g_{6} 108 = \frac{lo g 108}{lo g 6} = \frac{2 lo g 2 + 3 lo g 3}{lo g 2 + lo g 3} = \frac{2 a + 3 b}{a + b}$

數值檢查：

lo g_{6} 108 \approx 2.613

，

\frac{2 a + 3 b}{a + b} \approx \frac{0.602 + 1.431}{0.778} \approx 2.613

。

第 18 題

底數 $x - 2$ 要大於 $0$ 且不等於 $1$ ： $x > 2$ 且 $x \neq = 3$ 。

真數 $5 - x$ 要大於 $0$ ： $x < 5$ 。

三個條件合起來： $2 < x < 3$ 或 $3 < x < 5$ ，即 $(2, 3) \cup (3, 5)$ 。

容易漏掉底數不可以等於

1

，也就是

x \neq = 3

。

第 19 題

從第二年到第八年經過 $6$ 年，質量從 $3200$ 克變成 $400$ 克，變為 $\frac{400}{3200} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}$ ，也就是經過了 $3$ 個半衰期。

半衰期 $= 6 \div 3 = 2$ 年。

3200 \to 1600 \to 800 \to 400

，每一步就是一個半衰期。題目給的是兩年後與八年後的量，不是一開始的量。

第 20 題

設主震與餘震的能量為 $E_{1}$ 、 $E_{2}$ ，規模為 $M_{1} = 6.0$ 、 $M_{2}$ 。

$lo g E_{1} - lo g E_{2} = 1.5 (M_{1} - M_{2})$ ，而 $\frac{E _{1}}{E _{2}} = 1000$ ，所以 $lo g E_{1} - lo g E_{2} = lo g 1000 = 3$ 。

$1.5 (6.0 - M_{2}) = 3$ ， $6.0 - M_{2} = 2$ ， $M_{2} = 4.0$ 。

能量差

1000

倍，規模只差

2

；規模每差

1

，能量相差

1 0^{1.5} \approx 31.6

倍。

第 21 題

七二法則：以每期 $r %$ 的複利成長時，數量變成 $2$ 倍大約需要 $\frac{72}{r}$ 期。

這裡每小時增加 $3%$ ， $r = 3$ ，數量由 $1$ 萬隻變成 $2$ 萬隻所需的時間約為 $\frac{72}{3} = 24$ 小時。

七二法則是估計值。若用常用對數精算，

1.0 3^{t} = 2

得

t = \frac{lo g 2}{lo g 1.03} \approx 23.45

，取整數小時也是

24

小時。

第 22 題

一人時： $10 lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 30$ ， $lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 3$ 。

$10$ 人同時吹，聲音強度變成 $10 I$ ：

$d (10 I) = 10 lo g \frac{10 I}{1 0 ^{- 12}} = 10 (lo g 10 + lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}}) = 10 (1 + 3) = 40$

所測得音量是 $40$ 分貝。

強度變成

10

倍，音量只多

10

分貝，不是變成

300

分貝。由

lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 3

也可算出

I = 1 0^{- 9}

。

應用題把「倍數」取常用對數變成「相差」：能量差

1000

倍對應

lo g

差

3

，強度乘

10

對應

lo g

加

1

。

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03第 11～16 題：對數求值、指數與對數方程式、不等式

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