林口高中 114 上
高一第三次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (A)。

多項式的每一項都是「常數 × $x$ 的非負整數次方」，係數可以是任何實數。

(A) 是：係數 $\frac{1}{\pi }$、$\sqrt{3}$、$5$ 都是實數，$x$ 的次方是 $2$、$1$、$0$。

(B) 不是：$\frac{2}{x+1}$ 的 $x$ 在分母。

(C) 不是：$\sqrt{x+4}$ 不能寫成 $x$ 的非負整數次方的組合。

(D) 不是：它是一個方程式（有等號），不是多項式。

(E) 不是：$\frac{1}{x}=x^{-1}$，次方是負的。

答案 (A)。

答案 (C)。

① 由除法原理：$f(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)Q(x)+r$。

② 把 $x-\frac{1}{2}$ 寫成 $\frac{1}{2}(2x-1)$： $$f(x)=\frac{1}{2}(2x-1)Q(x)+r=(2x-1)\cdot \frac{1}{2}Q(x)+r$$

③ 餘式 $r$ 是常數，次數比 $2x-1$ 低，所以商式是 $\frac{1}{2}Q(x)$，餘式仍是 $r$。

答案 (C)。

答案 (B)。

① 圓 $C$ 的圓心 $O(1,-2)$，半徑 $3$。

② 圓心到 $L_1$ 的距離： $$\frac{|12\cdot 1+5\cdot (-2)+11|}{\sqrt{12^2+5^2}}=\frac{13}{13}=1<3$$ 所以 $C$ 與 $L_1$ 交於兩點。

③ 圓心到 $L_2$ 的距離： $$\frac{|4\cdot 1-3\cdot (-2)+5|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{15}{5}=3$$ 等於半徑，所以 $C$ 與 $L_2$ 相切，只交於一點。

④ 逐項判斷：(A) 錯誤。 交於兩點。(B) 正確。 (C) 錯誤。 只交於一點。(D) 錯誤。 有一個交點。

⑤ (E) 錯誤。 $L_1$ 斜率 $-\frac{12}{5}$，$L_2$ 斜率 $\frac{4}{3}$，不相等，不平行。

答案 (B)。

答案 (D)。

① 配方：$(x+1{)}^2+(y-7{)}^2=-30+1+49=20$，圓心 $(-1,7)$，半徑 $2\sqrt{5}$。

② 因為 $16<20<25$，$4<2\sqrt{5}<5$。圓上點的縱坐標 $y$ 介於 $7-2\sqrt{5}$ 與 $7+2\sqrt{5}$ 之間，約在 $2.5$ 到 $11.5$ 之間，全部是正的。

③ 點到 $x$ 軸的距離就是 $|y|=y$。要它是整數，$y$ 只能是 $3,4,5,\cdots ,11$，共 $9$ 個值。

④ 每個值都嚴格在兩端點之間，水平線 $y=k$ 與圓交於兩點，所以共有 $9\times 2=18$ 個點。

答案 (D)。

答案 (E)。

(A) 有解：化成 $x^2-x-1\ge 0$，判別式 $1+4=5>0$，兩根外側都成立。

(B) 有解：$x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$，所有實數都成立。

(C) 有解：$x^2+4x+4=(x+2{)}^2\le 0$，只有 $x=-2$ 成立，仍有一個解。

(D) 有解：判別式 $1+4=5>0$，兩根外側都成立。

(E) 無解：$x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2\ge 2>0$，不可能 $\le 0$。

答案 (E)。

答案 (B)。

(A) 錯誤。 $f(2)=16-6+1=11\ne 5$。

(B) 正確。 $f(1)=2-3+1=0$，用綜合除法得 $f(x)=(x-1)(2x^2+2x-1)$；$2x^2+2x-1=0$ 的判別式 $4+8=12>0$，又有兩個根 $\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$，共三個交點。

(C) 錯誤。 $f(x)-1=2x^3-3x$ 只有奇次項，圖形對稱於點 $(0,1)$，對稱中心是 $(0,1)$，不是 $(1,0)$。

(D) 錯誤。 在 $x=0$ 附近，$2x^3$ 比 $-3x$ 小得多（可以忽略），圖形近似於 $y=-3x+1$，不是 $y=3x-3$。

(E) 錯誤。 平移不改變 $x^3$ 項的係數；$y=3x^3-6x^2+2x$ 的領導係數是 $3$，不是 $2$。

答案 (B)。

① 展開右邊第一部分：$(x-2)(x^2-3x+1)=x^3-5x^2+7x-2$。

② 展開第二部分：$(x+1)(x^3+2x^2-x+1)=x^4+3x^3+x^2+1$。

③ 相加：$x^4+4x^3-4x^2+7x-1$。

④ 與左邊比較係數：$a=4$，$b=7$（$x^2$ 項 $-4$、常數 $-1$ 也對得上）。

答案 $(a,b)=(4,7)$。

① 設 $f(x)$ 的奇次項係數和為 $A$、偶次項（含常數）係數和為 $B$。

② $f(1)=B+A=-3$，$f(-1)=B-A=5$。

③ 兩式相減：$2A=-8$，$A=-4$。

答案 $-4$。

① 設某候選人得 $v$ 票，其他人共分得 $514-v$ 票。

② 他會落選，是其他人中有 $5$ 人的票都不少於他，這至少要 $5v$ 票。

③ 要篤定當選，必須連這種情形都不可能：$514-v<5v$，即 $6v>514$，$v>85.6\cdots$，所以 $v\ge 86$。

④ 檢查 $v=85$：其他人有 $429$ 票，可以分成 $86,86,86,86,85$ 給五人，他就不一定當選。

答案 $86$。

① 配方：$(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=1$，圓心 $O(2,3)$，半徑 $1$。

② 切線段 $\overline{PT}$ 與半徑 $\overline{OT}$ 垂直，由畢氏定理： $${\overline{PT}}^2={\overline{OP}}^2-1^2=(3^2+1^2)-1=9$$

③ 所以 $\overline{PT}=3$。

答案 $3$。

① 被除式三次、除式二次，商式是一次式；首項係數 $1$，常數項 $2÷1=2$，所以商式是 $x+2$。

② 展開：$(x^2+ax+1)(x+2)=x^3+(a+2)x^2+(2a+1)x+2$。

③ 與 $x^3+3x^2+bx+2$ 比較：$a+2=3$，$a=1$；$b=2a+1=3$。

答案 $(a,b)=(1,3)$。

① 一次函數 $f(x)=mx+k$ 中，$x$ 每增加 $1$，函數值就增加 $m$。

② $f(2999)-f(1999)=-\frac{2}{3}\times (2999-1999)=-\frac{2}{3}\times 1000$。

③ 除以 $1000$ 得 $-\frac{2}{3}$，正好是斜率。

答案 $-\frac{2}{3}$。

① 聯立 $x^2+3x+k=x+2$，得 $x^2+2x+k-2=0$。

② 沒有交點＝這個方程式沒有實根，判別式小於 $0$： $$2^2-4(k-2)<0$$

③ $4-4k+8<0$，$k>3$。

答案 $k>3$。

① 解是兩根之間，表示拋物線開口向下，$a<0$，而且 $-\frac{1}{2}$ 與 $3$ 是 $a{x}^2+5x+b=0$ 的兩根。

② 兩根之和：$-\frac{1}{2}+3=\frac{5}{2}=-\frac{5}{a}$，得 $a=-2$。

③ 兩根之積：$-\frac{1}{2}\times 3=-\frac{3}{2}=\frac{b}{a}=\frac{b}{-2}$，得 $b=3$。

④ 驗算：$-2x^2+5x+3=-(2x+1)(x-3)>0$，解是 $-\frac{1}{2}<x<3$。

答案 $(a,b)=(-2,3)$。

① 由圖，$f(x)$ 與 $x$ 軸交於 $x=-4,-2,1$，而且 $x$ 很大時圖形往上，所以 $$f(x)=a(x+4)(x+2)(x-1),a>0$$

② $f(x)\le 0$ 就是圖形在 $x$ 軸上或下方的部分：$x\le -4$，以及 $-2\le x\le 1$。

答案 $x\le -4$ 或 $-2\le x\le 1$。

① 先看 $f(t)>0$ 的解：圖形在 $x$ 軸上方，$-4<t<-2$ 或 $t>1$。

② 令 $t=-x$：$-4<-x<-2$ 得 $2<x<4$；$-x>1$ 得 $x<-1$。

③ 換句話說，$y=f(-x)$ 的圖形是 $y=f(x)$ 對 $y$ 軸翻過去，與 $x$ 軸交於 $x=4,2,-1$。

答案 $x<-1$ 或 $2<x<4$。

① 圓的方程式 $x^2$ 與 $y^2$ 的係數要相同，所以 $b=1$。配方得圓心 $O(2,1)$。

② 切點 $T(-1,d)$ 與圓心 $O(2,1)$ 的連線垂直於切線。切線 $3x+4y=a$ 的斜率是 $-\frac{3}{4}$，所以 $\overline{OT}$ 的斜率是 $\frac{4}{3}$： $$\frac{d-1}{-1-2}=\frac{4}{3}$$ 得 $d-1=-4$，$d=-3$。

③ 切點在直線上：$a=3(-1)+4(-3)=-15$。

④ 切點在圓上：$1+9+4+6+c=0$，$c=-20$。

答案 $(a,b,c,d)=(-15,1,-20,-3)$。

① 由餘式定理，$f(x)$ 除以 $x-3$ 的餘式是 $f(3)$。

② $x=3$ 時 $2x-5=1$，所以 $$f(3)=1-5+2+10+6=14$$

答案 $14$。

① 三個分界點 $-2$、$4$、$5$。$(x+2{)}^2\ge 0$，只在 $x=-2$ 時是 $0$。

② $x=-2$ 時左邊等於 $0$，符合 $\le 0$。

③ $x\ne -2$ 時 $(x+2{)}^2>0$，只要看 $(x-4{)}^3(x-5)\le 0$；$(x-4{)}^3$ 與 $x-4$ 同號，所以等於 $(x-4)(x-5)\le 0$，得 $4\le x\le 5$。

答案 $4\le x\le 5$ 或 $x=-2$。

① 令 $t=x^2+4x$，則 $2x^2+8x=2t$： $$f(x)=(t+8)(t+2)+2t=t^2+12t+16=(t+6{)}^2-20$$

② $t=(x+2{)}^2-4\ge -4$，$t$ 的範圍是 $t\ge -4$。

③ 頂點 $t=-6$ 不在範圍內；在 $t\ge -4$ 時 $(t+6{)}^2-20$ 隨 $t$ 增加而變大，最小在 $t=-4$：$4-20=-16$。

④ $t=-4$ 發生在 $x=-2$。

答案 $-16$。

① 設 $f(x)$ 除以 $x^2-x+1$ 的餘式為 $px+q$。$(x-1)f(x)$ 除以 $x^2-x+1$ 的餘式，等於 $(x-1)(px+q)$ 除以 $x^2-x+1$ 的餘式。

② $(x-1)(px+q)=p{x}^2+(q-p)x-q$，而 $p{x}^2=p(x^2-x+1)+px-p$，所以餘式是 $$px-p+(q-p)x-q=qx-(p+q)$$

③ 與 $3x+5$ 比較：$q=3$，$-(p+q)=5$，$p=-8$。

答案 $-8x+3$。

① 圓心 $O(2,-1)$，半徑 $5$。鉛直線 $x=7$ 到圓心的距離是 $5$，它就是那條鉛直切線。

② 另一條設為 $y-14=m(x-7)$，即 $mx-y+14-7m=0$。

③ 圓心到它的距離等於半徑： $$\frac{|2m+1+14-7m|}{\sqrt{m^2+1}}=5$$

④ 化簡 $|15-5m|=5\sqrt{m^2+1}$，平方得 $(3-m{)}^2=m^2+1$，$9-6m=1$，$m=\frac{4}{3}$。

⑤ 切線 $y-14=\frac{4}{3}(x-7)$，整理成 $4x-3y+14=0$。

答案 $4x-3y+14=0$。

① 配方： $$y=-\frac{1}{100}(x^2-120x)+1=-\frac{1}{100}(x-60{)}^2+36+1$$

② 所以 $y=-\frac{1}{100}(x-60{)}^2+37$，開口向下，$x=60$ 時有最大值 $37$。

答案 最高高度 $37$ 公尺。

① 擊出方向貼近右外野標竿，那裡全壘打牆距本壘約 $102$ 公尺；擊球距離 $115$ 公尺比 $102$ 公尺遠，要看球飛到牆的位置時夠不夠高。

② 代 $x=102$： $$y=-\frac{102^2}{100}+\frac{6}{5}\times 102+1=-104.04+122.4+1=19.36$$

③ $19.36>3.5$，球經過牆的上方。

答案 會飛出全壘打牆外。

① 令 $t=3x-1$，則 $x=\frac{t+1}{3}$。

② 逐項代入： $$54x^3=2(t+1{)}^3=2t^3+6t^2+6t+2$$ $$99x^2=11(t+1{)}^2=11t^2+22t+11$$ $$66x=22t+22$$

③ 相加減： $$f=2t^3+(6-11)t^2+(6-22+22)t+(2-11+22-11)=2t^3-5t^2+6t+2$$

④ 所以 $f(x)=2(3x-1{)}^3-5(3x-1{)}^2+6(3x-1)+2$。

答案 $a=2$，$b=-5$，$c=6$，$d=2$。

① $x=0.333$ 時 $t=3\times 0.333-1=-0.001$。

② 代入 (1) 的展開式： $$f(0.333)=2(-0.001{)}^3-5(-0.001{)}^2+6(-0.001)+2$$

③ 各項是 $-0.000000002$、$-0.000005$、$-0.006$、$2$，相加約 $1.993995$。

④ 四捨五入到小數點以下第三位：$1.994$。

答案 $1.994$。