段考詳解範圍：第一冊第一章數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

松山高中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 8 題（每題 5 分，共 40 分）、填充題 7 題（每題 6 分，共 42 分，第 1 題兩小題各 3 分）、計算題 3 題（每題 6 分，共 18 分，第 1 題兩小題各 3 分），合計 100 分。原卷三大題各自從 1 編號，本頁改為全卷連續編號：填充 1～7 是第 9～15 題，計算 1～3 是第 16～18 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題　每題五分　共四十分

實數

a = 7 + 84

滿足？

(A) $4 < a < 5$
(B) $5 < a < 6$
(C) $6 < a < 7$
(D) $7 < a < 8$

下列何者是無理數？

(A) $12.1$
(B) $121$
(C) $1. \overline{21}$
(D) $1210$

5^{- 17} \times 1 6^{- 9/2}

小數點後第幾位開始不為零？

(A) $16$
(B) $17$
(C) $18$
(D) $19$

滿足不等式

4 \leq ∣2 x - 6∣ < 14

之整數個數為？

(A) $11$
(B) $10$
(C) $9$
(D) $8$

已知

8^{100}

與

1 6^{100}

各為

91

與

121

位數，則

2^{140}

為幾位數？

(A) $43$
(B) $42$
(C) $41$
(D) $40$

已知

a = \frac{2 2 + 2 3}{4}

，

b = \frac{4 2 + 2 3}{6}

，

c = \frac{3 2 + 5 3}{8}

，則大小關係為？

(A) $a > b > c$
(B) $c > a > b$
(C) $c > b > a$
(D) $b > c > a$

若實數

a

滿足

a^{3} + 3 a^{2} = - 3 a - 1

，則

∣ x - a ∣ < ∣2 x - 1∣

的解為？

(A) $(0, 2)$
(B) $(- 1, 3)$
(C) $(- \infty, - 1) \cup (3, \infty)$
(D) $(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$

松山高中為讓高一學生發自內心體會立定自身志向、愛護共有環境、付出實際行動的精神，而有「校山巡禮」的傳統。右圖是活動宣傳海報（原卷此處附一張活動海報的圖片，與計算無關，本頁沒有重畫），尺寸為

59 \times 84 c m

，現在若想將其印在

21 \times 29 c m

的 A4 紙上，則海報面積縮小倍率四捨五入至整數最大可取？

(A) $15%$
(B) $14%$
(C) $13%$
(D) $12%$

二、填充題　每題六分　共四十二分

化簡：(1)

\frac{8 x ^{3} + 27}{2 x + 3} - \frac{8 x ^{3} - 27}{2 x - 3} =

____。三分　(2)

1 + 3 (a - 1) + 3 (a - 1)^{2} + (a - 1)^{3} =

____。三分

以區間符號表示不等式

∣1 - x ∣ - 2 x \leq 3

的解為 ____。

設

a

、

b

為正實數，若

lo g a = 5.5

，

lo g b = 6.5

，則

a + b

的近似值以科學記號表示為 ____（已知

lo g 3.16 \approx 0.5

）。

若

- 3 \leq x \leq 1

，

- 1 \leq y \leq 2

，則

(x - y)^{2} + x y

的最大值

=

____。

化簡

\frac{5 - 24}{3} =

____。

若有理數

\frac{82 a 150}{175}

為有限小數，則可能的

a =

____（答案有兩個）。（

82 a 150

表示六位數，

a

是其中千位的數字）

設

n

是正整數，則使

1.2 5^{n}

整數部分為

10

位數的最大

n

值是 ____（已知

lo g 1.25 \approx 0.0969

）。

三、計算題　每題六分　需有詳細過程　共十八分

設兩正實數

x

、

y

滿足

4 x^{2} + 9 y^{2} = 24

，(1) 求

x y

的最大值。三分　(2)

(2 x + 3 y)^{2}

最大值成立時，

x, y

分別為多少？三分

求

(37 + 628)^{3/2} - (37 - 628)^{3/2}

。

比較

a = 8^{6^{12}}

與

b = 6^{1 2^{8}}

之大小（符號如

2^{3^{4}}

指

2^{81}

）。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(D)

第 3 題(C)

第 4 題(B)

第 5 題(A)

第 6 題(B)

第 7 題(D)

第 8 題(D)

第 9 題(1)

- 12 x

　(2)

a^{3}

第 10 題

[- \frac{2}{3}, \infty)

第 11 題

3.476 \times 1 0^{6}

第 12 題

19

第 13 題

\frac{3 - 6}{3}

第 14 題

2

、

9

第 15 題

103

第 16 題(1)

2

　(2)

x = 3

，

y = \frac{2 3}{3}

第 17 題

362

第 18 題

a > b

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：根式估計、無理數、負指數、絕對值不等式

第 1 題答案 (A)。

81 < 84 < 100

，所以

9 < 84 < 10

，

16 < 7 + 84 < 17

。再開根號：

4 < a < 17

，而

17 < 5

，所以

4 < a < 5

。

由內而外，每一層都夾在兩個完全平方數之間。

第 2 題答案 (D)。(A)

12.1 = \frac{121}{10}

是有限小數，有理數。(B)

121 = 11

，有理數。(C)

1. \overline{21}

是循環小數，等於

1 + \frac{21}{99} = \frac{40}{33}

，有理數。(D)

1210 = 121 \times 10 = 1110

，

10

是無理數，非零有理數乘無理數仍是無理數，所以 (D) 是無理數。

121

與

1210

只差一個

10

，但

10

不是完全平方數，開不出來。

第 3 題答案 (C)。

1 6^{- 9/2} = (2^{4})^{- 9/2} = 2^{- 18}

。所以原式

= 5^{- 17} \times 2^{- 18} = (5 \times 2)^{- 17} \times 2^{- 1} = 1 0^{- 17} \times 0.5 = 5 \times 1 0^{- 18}

。

5 \times 1 0^{- 18}

的小數點後前

17

位都是

0

，第

18

位是

5

。

把

5

和

2

配成

10

，多出來的一個

2^{- 1} = 0.5

會讓位置再往後一位。

第 4 題答案 (B)。

∣2 x - 6∣ = 2∣ x - 3∣

，原式同除以

2

得

2 \leq ∣ x - 3∣ < 7

。所以

2 \leq x - 3 < 7

或

- 7 < x - 3 \leq - 2

，即

5 \leq x < 10

或

- 4 < x \leq 1

。整數有

5, 6, 7, 8, 9

與

- 3, - 2, - 1, 0, 1

，共

10

個。

左邊有等號、右邊沒有，端點

x = 5

、

x = 1

要算，

x = 10

、

x = - 4

不算。

02單選 5～8：位數、比大小、絕對值不等式、縮小倍率

第 5 題答案 (A)。

8^{100} = 2^{300}

是

91

位數，表示

1 0^{90} \leq 2^{300} < 1 0^{91}

。而

2^{140} = (2^{300})^{\frac{7}{15}}

，各邊同取

\frac{7}{15}

次方：

1 0^{42} \leq 2^{140} < 1 0^{\frac{637}{15}}

，其中

\frac{637}{15} < 43

。所以

1 0^{42} \leq 2^{140} < 1 0^{43}

，

2^{140}

是

43

位數。

用

1 6^{100} = 2^{400}

是

121

位數也可以：

1 0^{120} \leq 2^{400} < 1 0^{121}

，取

\frac{7}{20}

次方得

1 0^{42} \leq 2^{140} < 1 0^{42.35}

，結論相同。

第 6 題答案 (B)。把三個數都寫成「從

2

出發，往

3

走幾分之幾」。

a = \frac{2 + 3}{2} = 2 + \frac{1}{2} (3 - 2)

b = \frac{2 2 + 3}{3} = 2 + \frac{1}{3} (3 - 2)

c = 2 + \frac{5}{8} (3 - 2)

因為

3 - 2 > 0

且

\frac{5}{8} > \frac{1}{2} > \frac{1}{3}

，所以

c > a > b

。

三個數都是數線上

2

與

3

之間的分點，

3

的比重越大，點越靠右。

第 7 題答案 (D)。移項得

a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1 = 0

，即

(a + 1)^{3} = 0

，

a = - 1

。不等式變成

∣ x + 1∣ < ∣2 x - 1∣

，分界點是

x = - 1

與

x = \frac{1}{2}

。①

x < - 1

：

- (x + 1) < - (2 x - 1)

，得

x < 2

，這一段全部成立。②

- 1 \leq x < \frac{1}{2}

：

x + 1 < - (2 x - 1)

，得

x < 0

，所以

- 1 \leq x < 0

。③

x \geq \frac{1}{2}

：

x + 1 < 2 x - 1

，得

x > 2

。合起來是

x < 0

或

x > 2

，即

(- \infty, 0) \cup (2, \infty)

。

兩邊都不是負的，也可以兩邊平方：

x^{2} + 2 x + 1 < 4 x^{2} - 4 x + 1

，整理成

3 x (x - 2) > 0

，兩個因式同號，一樣得

x < 0

或

x > 2

。

第 8 題答案 (D)。海報與紙都直放，長度的縮小比例要同時不超過

\frac{21}{59}

與

\frac{29}{84}

。交叉相乘比較：

21 \times 84 = 1764

大於

29 \times 59 = 1711

，所以

\frac{29}{84}

較小，長度最多縮成

\frac{29}{84}

倍。面積是長度比例的平方：

(\frac{29}{84})^{2} = \frac{841}{7056} \approx 0.1192

，約

11.92%

，四捨五入至整數是

12%

。

若把海報橫放，長度比例最多只有

\frac{21}{84} = \frac{1}{4}

，面積

6.25%

，比較小。另外，最大的面積倍率是

11.92%

，四捨五入後寫成

12%

；若真的用恰好

12%

去印，長邊會略超過

29

公分。

位數的條件先翻成「夾在

10

的哪兩個次方之間」，再用指數律換到要問的那個數。

03填充 1～4（第 9～12 題）：乘法公式、絕對值不等式、對數的意義、最大值

第 9 題(1)

8 x^{3} + 27 = (2 x)^{3} + 3^{3} = (2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9)

，

8 x^{3} - 27 = (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)

。約分後原式

= (4 x^{2} - 6 x + 9) - (4 x^{2} + 6 x + 9) = - 12 x

。(2) 令

t = a - 1

，原式

= 1 + 3 t + 3 t^{2} + t^{3} = (1 + t)^{3} = a^{3}

。

(1) 用立方和、立方差公式；(2) 是

(1 + t)^{3}

的展開式倒過來看。

第 10 題分界點是

x = 1

。①

x \leq 1

：

∣1 - x ∣ = 1 - x

，

1 - x - 2 x \leq 3

，得

x \geq - \frac{2}{3}

，所以

- \frac{2}{3} \leq x \leq 1

。②

x > 1

：

∣1 - x ∣ = x - 1

，

x - 1 - 2 x \leq 3

，得

x \geq - 4

，這一段全部成立。合起來是

x \geq - \frac{2}{3}

，寫成

[- \frac{2}{3}, \infty)

。

端點

x = - \frac{2}{3}

代回：

\frac{5}{3} + \frac{4}{3} = 3

，等號成立，所以左端用中括號。

第 11 題

lo g a = 5.5

表示

a = 1 0^{5.5} = 1 0^{5} \times 1 0^{0.5}

；同理

b = 1 0^{6.5} = 1 0^{6} \times 1 0^{0.5}

。由

lo g 3.16 \approx 0.5

知

1 0^{0.5} \approx 3.16

。所以

a + b \approx 3.16 \times 1 0^{5} + 31.6 \times 1 0^{5} = 34.76 \times 1 0^{5} = 3.476 \times 1 0^{6}

。

b

是

a

的

10

倍，

a + b = 11 a

，也可以直接算

11 \times 3.16 \times 1 0^{5}

。

第 12 題

(x - y)^{2} + x y = x^{2} + y^{2} - x y

。由

- 3 \leq x \leq 1

得

∣ x ∣ \leq 3

，

x^{2} \leq 9

；由

- 1 \leq y \leq 2

得

∣ y ∣ \leq 2

，

y^{2} \leq 4

；又

∣ x y ∣ = ∣ x ∣∣ y ∣ \leq 6

，所以

- x y \leq 6

。三式相加：

x^{2} + y^{2} - x y \leq 9 + 4 + 6 = 19

。取

x = - 3

、

y = 2

時三個等號同時成立，值是

9 + 4 + 6 = 19

，所以最大值是

19

。

估計上界以後一定要找出一組

x

、

y

讓等號同時成立，否則那個上界不一定取得到。

04填充 5～7（第 13～15 題）：雙重根號、有限小數、位數

第 13 題

24 = 26

，

5 - 26 = (3)^{2} - 232 + (2)^{2} = (3 - 2)^{2}

，且

3 > 2

，所以

5 - 24 = 3 - 2

。原式

= \frac{3 - 2}{3} = \frac{( 3 - 2 ) 3}{3} = \frac{3 - 6}{3}

。

找兩個數相加是

5

、相乘是

6

，就是

3

和

2

；開出來要寫大的減小的。答案也可以寫成

1 - \frac{6}{3}

。

第 14 題這裡的

82 a 150

是六位數，

a

是千位數字（

0

到

9

）。

175 = 5^{2} \times 7

；分數化成最簡分數後，分母只含質因數

2

、

5

才是有限小數，所以分母的

7

要被約掉，也就是分子要是

7

的倍數。

82 a 150 = 820150 + 1000 a

，而

820150 = 7 \times 117164 + 2

，

1000 = 7 \times 142 + 6

，所以分子除以

7

的餘數和

2 + 6 a

除以

7

的餘數相同。

a = 0, 1, \dots, 9

時

2 + 6 a

依序是

2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, 56

，其中

7

的倍數只有

14

與

56

，對應

a = 2

與

a = 9

。

驗算：

822150 = 7 \times 117450

，

829150 = 7 \times 118450

。卷面的分子沒有畫上橫線，這裡依題末「答案有兩個」讀成六位數。

第 15 題整數部分是

10

位數，表示

1 0^{9} \leq 1.2 5^{n} < 1 0^{10}

。由

lo g 1.25 \approx 0.0969

知

1.25 \approx 1 0^{0.0969}

，所以

1.2 5^{n} \approx 1 0^{0.0969 n}

，條件變成

9 \leq 0.0969 n < 10

。右半

n < \frac{10}{0.0969} \approx 103.2

，所以

n

最大是

103

；這時

0.0969 \times 103 = 9.9807

，確實在

9

與

10

之間。

n = 104

時

0.0969 \times 104 = 10.0776

，已經超過

10

，是

11

位數。

整數部分是

k

位數，就是夾在

1 0^{k - 1}

與

1 0^{k}

之間（左邊含等號）。

05計算 1～3（第 16～18 題）：算幾不等式、分數指數、指數的比較

第 16 題(1)

4 x^{2}

與

9 y^{2}

都是正數，由算幾不等式

\frac{4 x ^{2} + 9 y ^{2}}{2} \geq 4 x^{2} \cdot 9 y^{2} = 6 x y

（

x

、

y

為正，所以

36 x^{2} y^{2} = 6 x y

）。左邊是

\frac{24}{2} = 12

，所以

12 \geq 6 x y

，

x y \leq 2

。等號在

4 x^{2} = 9 y^{2}

時成立，這時

4 x^{2} = 9 y^{2} = 12

，

x = 3

、

y = \frac{2 3}{3}

，確實取得到，所以

x y

的最大值是

2

。 (2)

(2 x + 3 y)^{2} = 4 x^{2} + 9 y^{2} + 12 x y = 24 + 12 x y

，

x y

最大時它也最大，最大值是

24 + 12 \times 2 = 48

。這發生在 (1) 的等號成立時，即

4 x^{2} = 9 y^{2} = 12

：

x^{2} = 3

，

y^{2} = \frac{4}{3}

，取正值得

x = 3

，

y = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}

。

驗算：

x y = 3 \times \frac{2 3}{3} = 2

，

4 x^{2} + 9 y^{2} = 12 + 12 = 24

。

第 17 題先把括號內寫成完全平方：

37 \pm 628 = 28 \pm 2 \cdot 328 + 9 = (28 \pm 3)^{2}

。因為

28 > 3

，

28 - 3

是正數，所以

(37 \pm 628)^{3/2} = (28 \pm 3)^{3}

。令

p = 28

。

(p + 3)^{3} = p^{3} + 9 p^{2} + 27 p + 27

，

(p - 3)^{3} = p^{3} - 9 p^{2} + 27 p - 27

，相減得

18 p^{2} + 54 = 18 \times 28 + 54 = 558

。所求

= 558 = 9 \times 62 = 362

。

(A^{2})^{3/2} = A^{3}

要在

A > 0

時才成立，所以要先確認

28 - 3 > 0

。

第 18 題底數

8 > 6

，先比指數

6^{12}

與

1 2^{8}

。

6^{12} = 2^{12} \times 3^{12}

，

1 2^{8} = (2^{2} \times 3)^{8} = 2^{16} \times 3^{8}

，相除：

\frac{6 ^{12}}{1 2 ^{8}} = \frac{3 ^{4}}{2 ^{4}} = \frac{81}{16} > 1

，所以

6^{12} > 1 2^{8}

。底數

8 > 1

，指數越大值越大：

a = 8^{6^{12}} > 8^{1 2^{8}}

。指數相同（都是正數

1 2^{8}

）時，底數大的較大：

8^{1 2^{8}} > 6^{1 2^{8}} = b

。所以

a > b

。

a

的底數與指數都比

b

的大，分兩步比：先換指數，再換底數。

用算幾不等式求極值，一定要寫出等號成立的條件，並確認那組值取得到。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

松山高中 108 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

松山高中 108 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要把位數的條件寫成夾在十的哪兩個次方之間，再用指數律換成二的一百四十次方；第 7 題要先看出和的立方公式求出 a，再分段討論兩個絕對值；第 12 題估計上界後要找出讓等號同時成立的一組值；第 17 題要先把括號內配成完全平方，並確認底是正數才能把二分之三次方化成三次方。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自松山高中 108 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：第一冊第一章數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

松山高中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

一、單選題　每題五分　共四十分

實數

a = 7 + 84

滿足？

(A) $4 < a < 5$
(B) $5 < a < 6$
(C) $6 < a < 7$
(D) $7 < a < 8$

下列何者是無理數？

(A) $12.1$
(B) $121$
(C) $1. \overline{21}$
(D) $1210$

5^{- 17} \times 1 6^{- 9/2}

小數點後第幾位開始不為零？

(A) $16$
(B) $17$
(C) $18$
(D) $19$

滿足不等式

4 \leq ∣2 x - 6∣ < 14

之整數個數為？

(A) $11$
(B) $10$
(C) $9$
(D) $8$

已知

8^{100}

與

1 6^{100}

各為

91

與

121

位數，則

2^{140}

為幾位數？

(A) $43$
(B) $42$
(C) $41$
(D) $40$

已知

a = \frac{2 2 + 2 3}{4}

，

b = \frac{4 2 + 2 3}{6}

，

c = \frac{3 2 + 5 3}{8}

，則大小關係為？

(A) $a > b > c$
(B) $c > a > b$
(C) $c > b > a$
(D) $b > c > a$

若實數

a

滿足

a^{3} + 3 a^{2} = - 3 a - 1

，則

∣ x - a ∣ < ∣2 x - 1∣

的解為？

(A) $(0, 2)$
(B) $(- 1, 3)$
(C) $(- \infty, - 1) \cup (3, \infty)$
(D) $(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$

59 \times 84 c m

，現在若想將其印在

21 \times 29 c m

的 A4 紙上，則海報面積縮小倍率四捨五入至整數最大可取？

(A) $15%$
(B) $14%$
(C) $13%$
(D) $12%$

二、填充題　每題六分　共四十二分

化簡：(1)

\frac{8 x ^{3} + 27}{2 x + 3} - \frac{8 x ^{3} - 27}{2 x - 3} =

____。三分　(2)

1 + 3 (a - 1) + 3 (a - 1)^{2} + (a - 1)^{3} =

____。三分

以區間符號表示不等式

∣1 - x ∣ - 2 x \leq 3

的解為 ____。

設

a

、

b

為正實數，若

lo g a = 5.5

，

lo g b = 6.5

，則

a + b

的近似值以科學記號表示為 ____（已知

lo g 3.16 \approx 0.5

）。

若

- 3 \leq x \leq 1

，

- 1 \leq y \leq 2

，則

(x - y)^{2} + x y

的最大值

=

____。

化簡

\frac{5 - 24}{3} =

____。

若有理數

\frac{82 a 150}{175}

為有限小數，則可能的

a =

____（答案有兩個）。（

82 a 150

表示六位數，

a

是其中千位的數字）

設

n

是正整數，則使

1.2 5^{n}

整數部分為

10

位數的最大

n

值是 ____（已知

lo g 1.25 \approx 0.0969

）。

三、計算題　每題六分　需有詳細過程　共十八分

設兩正實數

x

、

y

滿足

4 x^{2} + 9 y^{2} = 24

，(1) 求

x y

的最大值。三分　(2)

(2 x + 3 y)^{2}

最大值成立時，

x, y

分別為多少？三分

求

(37 + 628)^{3/2} - (37 - 628)^{3/2}

。

比較

a = 8^{6^{12}}

與

b = 6^{1 2^{8}}

之大小（符號如

2^{3^{4}}

指

2^{81}

）。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(D)

第 3 題(C)

第 4 題(B)

第 5 題(A)

第 6 題(B)

第 7 題(D)

第 8 題(D)

第 9 題(1)

- 12 x

　(2)

a^{3}

第 10 題

[- \frac{2}{3}, \infty)

第 11 題

3.476 \times 1 0^{6}

第 12 題

19

第 13 題

\frac{3 - 6}{3}

第 14 題

2

、

9

第 15 題

103

第 16 題(1)

2

　(2)

x = 3

，

y = \frac{2 3}{3}

第 17 題

362

第 18 題

a > b

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：根式估計、無理數、負指數、絕對值不等式

第 1 題答案 (A)。

81 < 84 < 100

，所以

9 < 84 < 10

，

16 < 7 + 84 < 17

。再開根號：

4 < a < 17

，而

17 < 5

，所以

4 < a < 5

。

由內而外，每一層都夾在兩個完全平方數之間。

第 2 題答案 (D)。(A)

12.1 = \frac{121}{10}

是有限小數，有理數。(B)

121 = 11

，有理數。(C)

1. \overline{21}

是循環小數，等於

1 + \frac{21}{99} = \frac{40}{33}

，有理數。(D)

1210 = 121 \times 10 = 1110

，

10

是無理數，非零有理數乘無理數仍是無理數，所以 (D) 是無理數。

121

與

1210

只差一個

10

，但

10

不是完全平方數，開不出來。

第 3 題答案 (C)。

1 6^{- 9/2} = (2^{4})^{- 9/2} = 2^{- 18}

。所以原式

= 5^{- 17} \times 2^{- 18} = (5 \times 2)^{- 17} \times 2^{- 1} = 1 0^{- 17} \times 0.5 = 5 \times 1 0^{- 18}

。

5 \times 1 0^{- 18}

的小數點後前

17

位都是

0

，第

18

位是

5

。

把

5

和

2

配成

10

，多出來的一個

2^{- 1} = 0.5

會讓位置再往後一位。

第 4 題答案 (B)。

∣2 x - 6∣ = 2∣ x - 3∣

，原式同除以

2

得

2 \leq ∣ x - 3∣ < 7

。所以

2 \leq x - 3 < 7

或

- 7 < x - 3 \leq - 2

，即

5 \leq x < 10

或

- 4 < x \leq 1

。整數有

5, 6, 7, 8, 9

與

- 3, - 2, - 1, 0, 1

，共

10

個。

左邊有等號、右邊沒有，端點

x = 5

、

x = 1

要算，

x = 10

、

x = - 4

不算。

02單選 5～8：位數、比大小、絕對值不等式、縮小倍率

第 5 題答案 (A)。

8^{100} = 2^{300}

是

91

位數，表示

1 0^{90} \leq 2^{300} < 1 0^{91}

。而

2^{140} = (2^{300})^{\frac{7}{15}}

，各邊同取

\frac{7}{15}

次方：

1 0^{42} \leq 2^{140} < 1 0^{\frac{637}{15}}

，其中

\frac{637}{15} < 43

。所以

1 0^{42} \leq 2^{140} < 1 0^{43}

，

2^{140}

是

43

位數。

用

1 6^{100} = 2^{400}

是

121

位數也可以：

1 0^{120} \leq 2^{400} < 1 0^{121}

，取

\frac{7}{20}

次方得

1 0^{42} \leq 2^{140} < 1 0^{42.35}

，結論相同。

第 6 題答案 (B)。把三個數都寫成「從

2

出發，往

3

走幾分之幾」。

a = \frac{2 + 3}{2} = 2 + \frac{1}{2} (3 - 2)

b = \frac{2 2 + 3}{3} = 2 + \frac{1}{3} (3 - 2)

c = 2 + \frac{5}{8} (3 - 2)

因為

3 - 2 > 0

且

\frac{5}{8} > \frac{1}{2} > \frac{1}{3}

，所以

c > a > b

。

三個數都是數線上

2

與

3

之間的分點，

3

的比重越大，點越靠右。

第 7 題答案 (D)。移項得

a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1 = 0

，即

(a + 1)^{3} = 0

，

a = - 1

。不等式變成

∣ x + 1∣ < ∣2 x - 1∣

，分界點是

x = - 1

與

x = \frac{1}{2}

。①

x < - 1

：

- (x + 1) < - (2 x - 1)

，得

x < 2

，這一段全部成立。②

- 1 \leq x < \frac{1}{2}

：

x + 1 < - (2 x - 1)

，得

x < 0

，所以

- 1 \leq x < 0

。③

x \geq \frac{1}{2}

：

x + 1 < 2 x - 1

，得

x > 2

。合起來是

x < 0

或

x > 2

，即

(- \infty, 0) \cup (2, \infty)

。

兩邊都不是負的，也可以兩邊平方：

x^{2} + 2 x + 1 < 4 x^{2} - 4 x + 1

，整理成

3 x (x - 2) > 0

，兩個因式同號，一樣得

x < 0

或

x > 2

。

第 8 題答案 (D)。海報與紙都直放，長度的縮小比例要同時不超過

\frac{21}{59}

與

\frac{29}{84}

。交叉相乘比較：

21 \times 84 = 1764

大於

29 \times 59 = 1711

，所以

\frac{29}{84}

較小，長度最多縮成

\frac{29}{84}

倍。面積是長度比例的平方：

(\frac{29}{84})^{2} = \frac{841}{7056} \approx 0.1192

，約

11.92%

，四捨五入至整數是

12%

。

若把海報橫放，長度比例最多只有

\frac{21}{84} = \frac{1}{4}

，面積

6.25%

，比較小。另外，最大的面積倍率是

11.92%

，四捨五入後寫成

12%

；若真的用恰好

12%

去印，長邊會略超過

29

公分。

位數的條件先翻成「夾在

10

的哪兩個次方之間」，再用指數律換到要問的那個數。

03填充 1～4（第 9～12 題）：乘法公式、絕對值不等式、對數的意義、最大值

第 9 題(1)

8 x^{3} + 27 = (2 x)^{3} + 3^{3} = (2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9)

，

8 x^{3} - 27 = (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)

。約分後原式

= (4 x^{2} - 6 x + 9) - (4 x^{2} + 6 x + 9) = - 12 x

。(2) 令

t = a - 1

，原式

= 1 + 3 t + 3 t^{2} + t^{3} = (1 + t)^{3} = a^{3}

。

(1) 用立方和、立方差公式；(2) 是

(1 + t)^{3}

的展開式倒過來看。

第 10 題分界點是

x = 1

。①

x \leq 1

：

∣1 - x ∣ = 1 - x

，

1 - x - 2 x \leq 3

，得

x \geq - \frac{2}{3}

，所以

- \frac{2}{3} \leq x \leq 1

。②

x > 1

：

∣1 - x ∣ = x - 1

，

x - 1 - 2 x \leq 3

，得

x \geq - 4

，這一段全部成立。合起來是

x \geq - \frac{2}{3}

，寫成

[- \frac{2}{3}, \infty)

。

端點

x = - \frac{2}{3}

代回：

\frac{5}{3} + \frac{4}{3} = 3

，等號成立，所以左端用中括號。

第 11 題

lo g a = 5.5

表示

a = 1 0^{5.5} = 1 0^{5} \times 1 0^{0.5}

；同理

b = 1 0^{6.5} = 1 0^{6} \times 1 0^{0.5}

。由

lo g 3.16 \approx 0.5

知

1 0^{0.5} \approx 3.16

。所以

a + b \approx 3.16 \times 1 0^{5} + 31.6 \times 1 0^{5} = 34.76 \times 1 0^{5} = 3.476 \times 1 0^{6}

。

b

是

a

的

10

倍，

a + b = 11 a

，也可以直接算

11 \times 3.16 \times 1 0^{5}

。

第 12 題

(x - y)^{2} + x y = x^{2} + y^{2} - x y

。由

- 3 \leq x \leq 1

得

∣ x ∣ \leq 3

，

x^{2} \leq 9

；由

- 1 \leq y \leq 2

得

∣ y ∣ \leq 2

，

y^{2} \leq 4

；又

∣ x y ∣ = ∣ x ∣∣ y ∣ \leq 6

，所以

- x y \leq 6

。三式相加：

x^{2} + y^{2} - x y \leq 9 + 4 + 6 = 19

。取

x = - 3

、

y = 2

時三個等號同時成立，值是

9 + 4 + 6 = 19

，所以最大值是

19

。

估計上界以後一定要找出一組

x

、

y

讓等號同時成立，否則那個上界不一定取得到。

04填充 5～7（第 13～15 題）：雙重根號、有限小數、位數

第 13 題

24 = 26

，

5 - 26 = (3)^{2} - 232 + (2)^{2} = (3 - 2)^{2}

，且

3 > 2

，所以

5 - 24 = 3 - 2

。原式

= \frac{3 - 2}{3} = \frac{( 3 - 2 ) 3}{3} = \frac{3 - 6}{3}

。

找兩個數相加是

5

、相乘是

6

，就是

3

和

2

；開出來要寫大的減小的。答案也可以寫成

1 - \frac{6}{3}

。

第 14 題這裡的

82 a 150

是六位數，

a

是千位數字（

0

到

9

）。

175 = 5^{2} \times 7

；分數化成最簡分數後，分母只含質因數

2

、

5

才是有限小數，所以分母的

7

要被約掉，也就是分子要是

7

的倍數。

82 a 150 = 820150 + 1000 a

，而

820150 = 7 \times 117164 + 2

，

1000 = 7 \times 142 + 6

，所以分子除以

7

的餘數和

2 + 6 a

除以

7

的餘數相同。

a = 0, 1, \dots, 9

時

2 + 6 a

依序是

2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, 56

，其中

7

的倍數只有

14

與

56

，對應

a = 2

與

a = 9

。

驗算：

822150 = 7 \times 117450

，

829150 = 7 \times 118450

。卷面的分子沒有畫上橫線，這裡依題末「答案有兩個」讀成六位數。

第 15 題整數部分是

10

位數，表示

1 0^{9} \leq 1.2 5^{n} < 1 0^{10}

。由

lo g 1.25 \approx 0.0969

知

1.25 \approx 1 0^{0.0969}

，所以

1.2 5^{n} \approx 1 0^{0.0969 n}

，條件變成

9 \leq 0.0969 n < 10

。右半

n < \frac{10}{0.0969} \approx 103.2

，所以

n

最大是

103

；這時

0.0969 \times 103 = 9.9807

，確實在

9

與

10

之間。

n = 104

時

0.0969 \times 104 = 10.0776

，已經超過

10

，是

11

位數。

整數部分是

k

位數，就是夾在

1 0^{k - 1}

與

1 0^{k}

之間（左邊含等號）。

05計算 1～3（第 16～18 題）：算幾不等式、分數指數、指數的比較

第 16 題(1)

4 x^{2}

與

9 y^{2}

都是正數，由算幾不等式

\frac{4 x ^{2} + 9 y ^{2}}{2} \geq 4 x^{2} \cdot 9 y^{2} = 6 x y

（

x

、

y

為正，所以

36 x^{2} y^{2} = 6 x y

）。左邊是

\frac{24}{2} = 12

，所以

12 \geq 6 x y

，

x y \leq 2

。等號在

4 x^{2} = 9 y^{2}

時成立，這時

4 x^{2} = 9 y^{2} = 12

，

x = 3

、

y = \frac{2 3}{3}

，確實取得到，所以

x y

的最大值是

2

。 (2)

(2 x + 3 y)^{2} = 4 x^{2} + 9 y^{2} + 12 x y = 24 + 12 x y

，

x y

最大時它也最大，最大值是

24 + 12 \times 2 = 48

。這發生在 (1) 的等號成立時，即

4 x^{2} = 9 y^{2} = 12

：

x^{2} = 3

，

y^{2} = \frac{4}{3}

，取正值得

x = 3

，

y = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}

。

驗算：

x y = 3 \times \frac{2 3}{3} = 2

，

4 x^{2} + 9 y^{2} = 12 + 12 = 24

。

第 17 題先把括號內寫成完全平方：

37 \pm 628 = 28 \pm 2 \cdot 328 + 9 = (28 \pm 3)^{2}

。因為

28 > 3

，

28 - 3

是正數，所以

(37 \pm 628)^{3/2} = (28 \pm 3)^{3}

。令

p = 28

。

(p + 3)^{3} = p^{3} + 9 p^{2} + 27 p + 27

，

(p - 3)^{3} = p^{3} - 9 p^{2} + 27 p - 27

，相減得

18 p^{2} + 54 = 18 \times 28 + 54 = 558

。所求

= 558 = 9 \times 62 = 362

。

(A^{2})^{3/2} = A^{3}

要在

A > 0

時才成立，所以要先確認

28 - 3 > 0

。

第 18 題底數

8 > 6

，先比指數

6^{12}

與

1 2^{8}

。

6^{12} = 2^{12} \times 3^{12}

，

1 2^{8} = (2^{2} \times 3)^{8} = 2^{16} \times 3^{8}

，相除：

\frac{6 ^{12}}{1 2 ^{8}} = \frac{3 ^{4}}{2 ^{4}} = \frac{81}{16} > 1

，所以

6^{12} > 1 2^{8}

。底數

8 > 1

，指數越大值越大：

a = 8^{6^{12}} > 8^{1 2^{8}}

。指數相同（都是正數

1 2^{8}

）時，底數大的較大：

8^{1 2^{8}} > 6^{1 2^{8}} = b

。所以

a > b

。

a

的底數與指數都比

b

的大，分兩步比：先換指數，再換底數。

用算幾不等式求極值，一定要寫出等號成立的條件，並確認那組值取得到。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

松山高中 108 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

松山高中 108 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自松山高中 108 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

松山高中 108 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：根式估計、無理數、負指數、絕對值不等式

02單選 5～8：位數、比大小、絕對值不等式、縮小倍率

03填充 1～4（第 9～12 題）：乘法公式、絕對值不等式、對數的意義、最大值

04填充 5～7（第 13～15 題）：雙重根號、有限小數、位數

05計算 1～3（第 16～18 題）：算幾不等式、分數指數、指數的比較

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

松山高中 108 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

松山高中 108 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

松山高中 108 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：根式估計、無理數、負指數、絕對值不等式

02單選 5～8：位數、比大小、絕對值不等式、縮小倍率

03填充 1～4（第 9～12 題）：乘法公式、絕對值不等式、對數的意義、最大值

04填充 5～7（第 13～15 題）：雙重根號、有限小數、位數

05計算 1～3（第 16～18 題）：算幾不等式、分數指數、指數的比較

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

松山高中 108 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

松山高中 108 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

松山高中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

松山高中 108 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

松山高中 108 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

松山高中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

松山高中 108 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

松山高中 108 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？