段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數律與換底、對數函數的圖形、指對數方程式與不等式、指對數的應用）

松山高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 3 題（每題 4 分，共 12 分）、多選題 3 題（每題 6 分，共 18 分；錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個以上或未作答不給分）、填充題 10 格（每格 6 分，共 60 分）、計算題 1 題 2 小題（各小題 5 分，共 10 分），合計 100 分。卷面各大題的題號各自從 1 編起，本頁改成全卷連續編號：第 1～3 題是卷面的單選第 1～3 題，第 4～6 題是卷面的多選第 1～3 題，第 7～16 題是卷面的填充第 1～10 題，第 17、18 題是卷面計算題第 1 題的 (1)(2)。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：（每題 4 分，共 12 分）

試選出

a = 33

、

b = (\frac{1}{9})^{- 0.5}

、

c = 0

、

d = 43

四數的大小關係。

(A) $a > b > d > c$
(B) $a > c > d > b$
(C) $a > d > c > b$
(D) $a = d > c > b$
(E) $d > a > b > c$

一份試卷共有

20

題單選題，每題有

4

個選項，其中只有一個選項是正確答案。假設甲生以隨機猜答的方式回答此試卷，且各題猜答方式互不影響。試估計甲生全部答對的機率最接近下列哪一個選項？（

lo g 2 \approx 0.3010

）

(A) $1 0^{- 12}$
(B) $1 0^{- 14}$
(C) $1 0^{- 16}$
(D) $1 0^{- 18}$
(E) $1 0^{- 20}$

班佛定律表示：財務報表中的數據首位數字為

a

的比例約為

lo g (1 + \frac{1}{a})

。試問財務報表中首位數字為

4

或

5

或

6

或

7

的比例總共約為多少？

(A) $20%$
(B) $30%$
(C) $40%$
(D) $50%$
(E) $60%$

二、多選題：（每題 6 分，共 18 分。錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個以上或未作答不給分）

下圖表示函數

y = k \times a^{x} + b

的圖形，其中

k, a, b

為常數，試選出正確的選項：

(A) $a > 1$
(B) $0 < a < 1$
(C) $b < 0$
(D) $k > 1$
(E) $0 < k < 1$

載入中...

試選出下列關於對數運算的正確敘述：

(A) $lo g 4 \times lo g 7 = lo g 11$
(B) $lo g (4 - 2) = \frac{l o g 4}{l o g 2}$
(C) $2 lo g (- 2) = lo g (- 2)^{2}$
(D) $lo g_{4} 9 = \frac{l o g 3}{l o g 2}$
(E) $3^{l o g_{3} 2} = 5^{l o g_{5} 2}$

設實數

a > 0

，

a \neq = 1

，試選出下列關於指對數函數圖形的正確敘述：

(A) $y = a^{- x}$ 的圖形必通過 $(0, - 1)$
(B) $y = lo g_{a} x$ 的圖形凹口向下
(C) $y = 1 + lo g_{a} x$ 圖形的漸近線為 $x = 0$
(D) $y = lo g_{a} 2 x$ 的圖形恆在 $y = lo g_{a} x$ 的上方
(E) $y = a^{- x}$ 的圖形與 $y = lo g_{a} (- x)$ 對稱於直線 $y = x$

三、填充題：（每格 6 分，共 60 分）

試求

7^{l o g_{7} 10} - lo g_{\frac{1}{7}} 49 =

____。

試求

lo g 3 - 2 lo g 6 - lo g \frac{5}{6} =

____。

指數方程式

(\frac{1}{4})^{2 x - 1} = 162

，

x

的解為 ____。

對數不等式

lo g (x + 1) + lo g (2 x - 1) > 1 - lo g 2

，

x

的範圍解為 ____。

試求兩函數

f (x) = 9^{x - 1}

與

g (x) = (\frac{1}{3})^{- x - 1}

圖形的交點坐標 ____。

設

a = lo g 2

、

b = lo g 7

，試以

a, b

表示

lo g_{\frac{1}{7}} 35 =

____。

若

x, y

為兩正實數，且

x^{- 3} y^{\frac{3}{2}} = 1

及

\frac{1}{2} lo g y = 1

，則

\frac{x - y}{10} =

____。

已知某放射性物質的原始質量為

192

公克，且經過

180

年後質量剩下

3

公克，則該放射性物質的半衰期為 ____ 年。

當溶液中的氫離子濃度為

r

莫耳/公升時，定義此溶液的 pH 值為

- lo g r

。已知酸雨的 pH 值為

4.5

，可樂的 pH 值為

2.5

，則酸雨的氫離子濃度為可樂的 ____ 倍。

一個芮氏規模為

m

的地震釋放出的能量為

E

焦耳，其關係式為

lo g E = 4.8 + 1.5 m

。若以科學記號

b \times 1 0^{n}

表示規模為

7

的地震所釋放出的能量，則

(b, n) =

____。（

b

值取最接近整數）

四、計算題：（各小題 5 分，共 10 分。作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分）

計算題第 1 題（第 17～18 題）　某銀行推出一項投資商品，內容為每年繳

9700

元，共繳

10

次，

10

年後一次領回

100000

元。銀行宣稱其投資報酬率為

\frac{100000 - 9700 \times 10}{9700 \times 10} \approx 3.09%

大於銀行的定存利率

2%

。

(1) 若每年存入銀行

9700

元作複利定存，年利率

2%

，每年計息一次，試問

10

年後可領回多少本利和。（

1.0 2^{10} \approx 1.22

）

(2) 試以投資報酬率評估此投資產品是否值得購買？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(A)

第 3 題(B)

第 4 題(A)(C)(E)

第 5 題(D)(E)

第 6 題(C)

第 7 題

12

第 8 題

- 1

第 9 題

- \frac{5}{8}

第 10 題

x > \frac{3}{2}

第 11 題

(3, 81)

第 12 題

\frac{a - b - 1}{b}

第 13 題

- 9

第 14 題

30

第 15 題

\frac{1}{100}

第 16 題

(2, 15)

第 17 題約

108834

元

第 18 題否（不值得購買）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～3 題：單選題

第 1 題

答案 (A)。把 $a, b, d$ 都寫成 $3$ 的次方：

$a = 33 = 3^{1} \times 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ ；

$b = (\frac{1}{9})^{- 0.5} = (3^{- 2})^{- \frac{1}{2}} = 3^{1} = 3$ ；

$d = 43 = 3^{\frac{1}{4}}$ 。

底數 $3 > 1$ ， $y = 3^{x}$ 遞增，指數 $\frac{3}{2} > 1 > \frac{1}{4}$ ，所以 $a > b > d$ ；又 $d = 3^{\frac{1}{4}} > 0 = c$ 。

因此 $a > b > d > c$ ，選 (A)。

第 2 題

答案 (A)。每題猜對的機率是 $\frac{1}{4}$ ，各題互不影響， $20$ 題全對的機率是

$p = (\frac{1}{4})^{20} = 2^{- 40}$

取常用對數： $lo g p = - 40 lo g 2 \approx - 40 \times 0.3010 = - 12.04$ 。

所以 $p \approx 1 0^{- 12.04}$ ，它介於 $1 0^{- 13}$ 與 $1 0^{- 12}$ 之間，而且 $- 12.04$ 和 $- 12$ 只差 $0.04$ ，與其他選項的次方都差 $1.96$ 以上，最接近 $1 0^{- 12}$ ，選 (A)。

實際上

2^{- 40} \approx 9.09 \times 1 0^{- 13}

，確實非常接近

1 0^{- 12}

。

第 3 題

答案 (B)。所求比例是四項的和，用對數律把和化成乘積：

$lo g \frac{5}{4} + lo g \frac{6}{5} + lo g \frac{7}{6} + lo g \frac{8}{7} = lo g (\frac{5}{4} \times \frac{6}{5} \times \frac{7}{6} \times \frac{8}{7}) = lo g \frac{8}{4} = lo g 2$

$lo g 2 \approx 0.3010$ ，約為 $30%$ ，選 (B)。

相乘時分子分母依序約掉，只剩最後的分子

8

與最前的分母

4

。

比較指數大小先化成同底；極小的機率取常用對數看 10 的幾次方；一串對數相加先合成一個乘積的對數。

02第 4～6 題：多選題

第 4 題

答案 (A)(C)(E)。

先由圖讀出三件事：水平漸近線是 $y = - 1$ ；圖形在漸近線上方、由左往右上升；圖形與 $y$ 軸交在 $- 1$ 與 $0$ 之間（在原點下方）。

$y = k \times a^{x} + b$ 中 $a^{x} > 0$ ，當 $k \times a^{x}$ 往 $0$ 靠近時 $y$ 往 $b$ 靠近，所以漸近線是 $y = b$ ，得 $b = - 1$ 。

圖形在漸近線上方，表示 $y - b = k \times a^{x} > 0$ 恆成立，又 $a^{x} > 0$ ，所以 $k > 0$ 。

$k > 0$ 而圖形遞增，所以 $a^{x}$ 遞增， $a > 1$ 。

$x = 0$ 時 $y = k \times a^{0} + b = k - 1$ ，由圖 $- 1 < k - 1 < 0$ ，得 $0 < k < 1$ 。

(A) 正確。 $a > 1$ 。

(B) 錯誤。 與 $a > 1$ 矛盾。

(D) 錯誤。 $0 < k < 1$ 。

(E) 正確。 如上。

若只看「遞增」，

k < 0

且

0 < a < 1

也會遞增；要用「圖形在漸近線上方」先確定

k > 0

。

第 5 題

答案 (D)(E)。

(A) 錯誤。 對數律是 $lo g 4 + lo g 7 = lo g 28$ ，乘積沒有這種公式； $lo g 4 \times lo g 7 \approx 0.602 \times 0.845 \approx 0.51$ ，而 $lo g 11 \approx 1.04$ ，不相等。

(B) 錯誤。 左邊 $lo g (4 - 2) = lo g 2 \approx 0.301$ ；右邊 $\frac{l o g 4}{l o g 2} = \frac{2 l o g 2}{l o g 2} = 2$ ，不相等。

(D) 正確。 換底：

$lo g_{4} 9 = \frac{lo g 9}{lo g 4} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = \frac{lo g 3}{lo g 2}$

(E) 正確。 由對數的定義 $b^{l o g_{b} N} = N$ ，兩邊都等於 $2$ 。

第 6 題

答案 (C)。

(A) 錯誤。 $x = 0$ 時 $y = a^{0} = 1$ ，圖形通過 $(0, 1)$ ，不是 $(0, - 1)$ 。

(B) 錯誤。 要看底數： $a > 1$ 時 $y = lo g_{a} x$ 的圖形凹口向下，但 $0 < a < 1$ 時凹口向上，不是「必定」向下。

(C) 正確。 $y = 1 + lo g_{a} x$ 是 $y = lo g_{a} x$ 的圖形向上平移 $1$ ，定義域仍為 $x > 0$ ， $x$ 從右側靠近 $0$ 時 $y$ 無限增大或無限減小，漸近線仍是 $x = 0$ 。

(D) 錯誤。 $lo g_{a} 2 x = lo g_{a} 2 + lo g_{a} x$ ，兩圖形上下相差 $lo g_{a} 2$ 。 $a > 1$ 時 $lo g_{a} 2 > 0$ ，前者在上方；但 $0 < a < 1$ 時 $lo g_{a} 2 < 0$ ，前者反而在下方。

(E) 錯誤。 對直線 $y = x$ 對稱就是 $x, y$ 互換： $y = a^{- x}$ 對稱過去是 $x = a^{- y}$ ，即 $- y = lo g_{a} x$ ， $y = - lo g_{a} x$ ，定義域是 $x > 0$ 。而 $y = lo g_{a} (- x)$ 的定義域是 $x < 0$ ，兩者不是同一個圖形。

y = lo g_{a} (- x)

是

y = lo g_{a} x

對

y

軸的對稱圖形；

y = - lo g_{a} x

才是對

x

軸的對稱圖形。

由圖形求指數函數參數：漸近線給 b，在漸近線上方或下方給 k 的正負，再由遞增遞減決定底數；判斷圖形性質時，底數大於 1 與小於 1 兩種情形都要檢查。

03第 7～16 題：填充題

第 7 題

答案 $12$ 。由對數的定義 $7^{l o g_{7} 10} = 10$ 。

設 $lo g_{\frac{1}{7}} 49 = t$ ，則 $(\frac{1}{7})^{t} = 49$ ，即 $7^{- t} = 7^{2}$ ， $t = - 2$ 。

所以原式 $= 10 - (- 2) = 12$ 。

第 8 題

答案 $- 1$ 。用對數律合併：

$lo g 3 - 2 lo g 6 - lo g \frac{5}{6} = lo g 3 - lo g 36 - lo g \frac{5}{6} = lo g \frac{3}{36 \times \frac{5}{6}} = lo g \frac{3}{30} = lo g \frac{1}{10} = - 1$

第 9 題

答案 $- \frac{5}{8}$ 。兩邊化成以 $2$ 為底：

左邊 $(\frac{1}{4})^{2 x - 1} = (2^{- 2})^{2 x - 1} = 2^{- 4 x + 2}$ ；

右邊 $162 = 2^{4} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}$ 。

指數函數是一對一的，所以 $- 4 x + 2 = \frac{9}{2}$ ， $- 4 x = \frac{5}{2}$ ， $x = - \frac{5}{8}$ 。

第 10 題

答案 $x > \frac{3}{2}$ 。

真數條件： $x + 1 > 0$ 且 $2 x - 1 > 0$ ，得 $x > \frac{1}{2}$ 。

右邊 $1 - lo g 2 = lo g 10 - lo g 2 = lo g 5$ ，左邊 $= lo g [(x + 1) (2 x - 1)]$ ，原不等式化為

$lo g [(x + 1) (2 x - 1)] > lo g 5$

底數 $10 > 1$ ， $y = lo g x$ 遞增，所以 $(x + 1) (2 x - 1) > 5$ ，即 $2 x^{2} + x - 6 > 0$ ， $(2 x - 3) (x + 2) > 0$ ，得 $x > \frac{3}{2}$ 或 $x < - 2$ 。

與真數條件 $x > \frac{1}{2}$ 取交集： $x > \frac{3}{2}$ 。

第 11 題

答案 $(3, 81)$ 。化成以 $3$ 為底：

$f (x) = 9^{x - 1} = 3^{2 x - 2}$ ， $g (x) = (\frac{1}{3})^{- x - 1} = (3^{- 1})^{- x - 1} = 3^{x + 1}$ 。

交點滿足 $3^{2 x - 2} = 3^{x + 1}$ ，所以 $2 x - 2 = x + 1$ ， $x = 3$ ，此時 $y = 9^{3 - 1} = 81$ 。

交點坐標為 $(3, 81)$ 。

第 12 題

答案 $\frac{a - b - 1}{b}$ 。用換底公式化成常用對數：

$lo g_{\frac{1}{7}} 35 = \frac{lo g 35}{lo g \frac{1}{7}} = \frac{lo g 5 + lo g 7}{- lo g 7}$

其中 $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2 = 1 - a$ ，所以

$lo g_{\frac{1}{7}} 35 = \frac{( 1 - a ) + b}{- b} = \frac{a - b - 1}{b}$

代數值檢查：

a \approx 0.3010

、

b \approx 0.8451

時，

\frac{a - b - 1}{b} \approx - 1.827

，而

lo g_{\frac{1}{7}} 35 = - lo g_{7} 35 \approx - 1.827

，一致。

第 13 題

答案 $- 9$ 。

由 $\frac{1}{2} lo g y = 1$ 得 $lo g y = 2$ ， $y = 100$ 。

代入 $x^{- 3} y^{\frac{3}{2}} = 1$ ： $x^{3} = y^{\frac{3}{2}} = 10 0^{\frac{3}{2}} = (1 0^{2})^{\frac{3}{2}} = 1 0^{3}$ ， $x$ 為正實數，所以 $x = 10$ 。

$\frac{x - y}{10} = \frac{10 - 100}{10} = - 9$ 。

第 14 題

答案 $30$ 。設半衰期為 $T$ 年，經過 $180$ 年共經過 $\frac{180}{T}$ 個半衰期：

$192 \times (\frac{1}{2})^{\frac{180}{T}} = 3$

$(\frac{1}{2})^{\frac{180}{T}} = \frac{3}{192} = \frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^{6}$ ，所以 $\frac{180}{T} = 6$ ， $T = 30$ 。

第 15 題

答案 $\frac{1}{100}$ 。

酸雨： $- lo g r_{1} = 4.5$ ， $r_{1} = 1 0^{- 4.5}$ ；可樂： $- lo g r_{2} = 2.5$ ， $r_{2} = 1 0^{- 2.5}$ 。

$\frac{r _{1}}{r _{2}} = \frac{1 0 ^{- 4.5}}{1 0 ^{- 2.5}} = 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}$

酸雨的氫離子濃度是可樂的 $\frac{1}{100}$ 倍。

pH 值大

2

，氫離子濃度就小到

\frac{1}{100}

。

第 16 題

答案 $(2, 15)$ 。 $m = 7$ 時

$lo g E = 4.8 + 1.5 \times 7 = 4.8 + 10.5 = 15.3$

所以 $E = 1 0^{15.3} = 1 0^{0.3} \times 1 0^{15}$ 。

因為 $lo g 2 \approx 0.3010$ ， $1 0^{0.3}$ 非常接近 $2$ ，所以 $E \approx 2 \times 1 0^{15}$ ， $(b, n) = (2, 15)$ 。

1 0^{0.3} \approx 1.995

，取最接近整數就是

2

。

對數化簡先用對數律合成一項；指數方程式化成同底比較指數；對數不等式一定先寫真數條件再取交集；應用題把文字關係式寫成指數或對數式，再化成 10 或 2 的次方。

04第 17、18 題：計算題（投資商品與複利定存）

第 17 題

答案：約 $108834$ 元。

題目沒寫存入的時點；學校答案 $108834$ 是以每年年初存入、第 $10$ 年底領回計算，本題照這個讀法：每年年初存入 $9700$ 元、年利率 $2%$ 、每年複利一次，到第 $10$ 年底：

第 $1$ 年存的錢滾了 $10$ 年，變成 $9700 \times 1.0 2^{10}$ ；

第 $2$ 年存的錢滾了 $9$ 年，變成 $9700 \times 1.0 2^{9}$ ；

……

第 $10$ 年存的錢滾了 $1$ 年，變成 $9700 \times 1.02$ 。

本利和是首項 $9700 \times 1.02$ 、公比 $1.02$ 、共 $10$ 項的等比級數：

$S = 9700 \times 1.02 \times \frac{1.0 2 ^{10} - 1}{1.02 - 1} \approx 9700 \times 1.02 \times \frac{1.22 - 1}{0.02} = 9700 \times 1.02 \times 11$

$9700 \times 1.02 = 9894$ ， $9894 \times 11 = 108834$ 。

所以 $10$ 年後約可領回 $108834$ 元。

題目給的

1.0 2^{10} \approx 1.22

是近似值；改用較精確的

1.0 2^{10} \approx 1.21899

算，約為

108337

元，結論相同。若把每年的錢看成年底才存入（最後一筆沒有計息），本利和約

9700 \times \frac{1.22 - 1}{0.02} = 106700

元，仍大於

100000

元。

第 18 題

答案：否（不值得購買）。

用和銀行相同的算法，算出定存的投資報酬率。同樣每年拿出 $9700$ 元、共 $10$ 次，總共投入 $9700 \times 10 = 97000$ 元；由第 17 題，放在年利率 $2%$ 的複利定存， $10$ 年後約可領回 $108834$ 元。

$\frac{108834 - 9700 \times 10}{9700 \times 10} = \frac{11834}{97000} \approx 12.2%$

這項投資商品 $10$ 年的投資報酬率約 $3.09%$ ，同樣條件的定存約 $12.2%$ ，商品明顯較低，所以不值得購買。

3.09%

是

10

年合計的報酬率，

2%

是每年的利率，兩者計算的期間不同，不能直接比較大小。

每年固定存入的複利本利和是等比級數；比較投資報酬時要用相同的期間與複利方式，10 年的總報酬率不能直接和年利率比。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

松山高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

松山高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要從圖上同時讀出漸近線、遞增與 y 截距，先判斷 k 的正負再決定 a 的範圍；第 6 題選項 (E) 要分清 y 等於 a 的負 x 次方的反函數是負的 log，而不是 log 括號負 x；第 10 題解對數不等式要先取真數條件再和二次不等式取交集；第 17 題每年年初存入的錢分別滾了 10 年到 1 年，要用等比級數加總。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自松山高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數律與換底、對數函數的圖形、指對數方程式與不等式、指對數的應用）

松山高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

一、單選題：（每題 4 分，共 12 分）

試選出

a = 33

、

b = (\frac{1}{9})^{- 0.5}

、

c = 0

、

d = 43

四數的大小關係。

(A) $a > b > d > c$
(B) $a > c > d > b$
(C) $a > d > c > b$
(D) $a = d > c > b$
(E) $d > a > b > c$

一份試卷共有

20

題單選題，每題有

4

lo g 2 \approx 0.3010

）

(A) $1 0^{- 12}$
(B) $1 0^{- 14}$
(C) $1 0^{- 16}$
(D) $1 0^{- 18}$
(E) $1 0^{- 20}$

班佛定律表示：財務報表中的數據首位數字為

a

的比例約為

lo g (1 + \frac{1}{a})

。試問財務報表中首位數字為

4

或

5

或

6

或

7

的比例總共約為多少？

(A) $20%$
(B) $30%$
(C) $40%$
(D) $50%$
(E) $60%$

二、多選題：（每題 6 分，共 18 分。錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個以上或未作答不給分）

下圖表示函數

y = k \times a^{x} + b

的圖形，其中

k, a, b

為常數，試選出正確的選項：

(A) $a > 1$
(B) $0 < a < 1$
(C) $b < 0$
(D) $k > 1$
(E) $0 < k < 1$

載入中...

試選出下列關於對數運算的正確敘述：

(A) $lo g 4 \times lo g 7 = lo g 11$
(B) $lo g (4 - 2) = \frac{l o g 4}{l o g 2}$
(C) $2 lo g (- 2) = lo g (- 2)^{2}$
(D) $lo g_{4} 9 = \frac{l o g 3}{l o g 2}$
(E) $3^{l o g_{3} 2} = 5^{l o g_{5} 2}$

設實數

a > 0

，

a \neq = 1

，試選出下列關於指對數函數圖形的正確敘述：

(A) $y = a^{- x}$ 的圖形必通過 $(0, - 1)$
(B) $y = lo g_{a} x$ 的圖形凹口向下
(C) $y = 1 + lo g_{a} x$ 圖形的漸近線為 $x = 0$
(D) $y = lo g_{a} 2 x$ 的圖形恆在 $y = lo g_{a} x$ 的上方
(E) $y = a^{- x}$ 的圖形與 $y = lo g_{a} (- x)$ 對稱於直線 $y = x$

三、填充題：（每格 6 分，共 60 分）

試求

7^{l o g_{7} 10} - lo g_{\frac{1}{7}} 49 =

____。

試求

lo g 3 - 2 lo g 6 - lo g \frac{5}{6} =

____。

指數方程式

(\frac{1}{4})^{2 x - 1} = 162

，

x

的解為 ____。

對數不等式

lo g (x + 1) + lo g (2 x - 1) > 1 - lo g 2

，

x

的範圍解為 ____。

試求兩函數

f (x) = 9^{x - 1}

與

g (x) = (\frac{1}{3})^{- x - 1}

圖形的交點坐標 ____。

設

a = lo g 2

、

b = lo g 7

，試以

a, b

表示

lo g_{\frac{1}{7}} 35 =

____。

若

x, y

為兩正實數，且

x^{- 3} y^{\frac{3}{2}} = 1

及

\frac{1}{2} lo g y = 1

，則

\frac{x - y}{10} =

____。

已知某放射性物質的原始質量為

192

公克，且經過

180

年後質量剩下

3

公克，則該放射性物質的半衰期為 ____ 年。

當溶液中的氫離子濃度為

r

莫耳/公升時，定義此溶液的 pH 值為

- lo g r

。已知酸雨的 pH 值為

4.5

，可樂的 pH 值為

2.5

，則酸雨的氫離子濃度為可樂的 ____ 倍。

一個芮氏規模為

m

的地震釋放出的能量為

E

焦耳，其關係式為

lo g E = 4.8 + 1.5 m

。若以科學記號

b \times 1 0^{n}

表示規模為

7

的地震所釋放出的能量，則

(b, n) =

____。（

b

值取最接近整數）

四、計算題：（各小題 5 分，共 10 分。作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分）

計算題第 1 題（第 17～18 題）　某銀行推出一項投資商品，內容為每年繳

9700

元，共繳

10

次，

10

年後一次領回

100000

元。銀行宣稱其投資報酬率為

\frac{100000 - 9700 \times 10}{9700 \times 10} \approx 3.09%

大於銀行的定存利率

2%

。

(1) 若每年存入銀行

9700

元作複利定存，年利率

2%

，每年計息一次，試問

10

年後可領回多少本利和。（

1.0 2^{10} \approx 1.22

）

(2) 試以投資報酬率評估此投資產品是否值得購買？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(A)

第 3 題(B)

第 4 題(A)(C)(E)

第 5 題(D)(E)

第 6 題(C)

第 7 題

12

第 8 題

- 1

第 9 題

- \frac{5}{8}

第 10 題

x > \frac{3}{2}

第 11 題

(3, 81)

第 12 題

\frac{a - b - 1}{b}

第 13 題

- 9

第 14 題

30

第 15 題

\frac{1}{100}

第 16 題

(2, 15)

第 17 題約

108834

元

第 18 題否（不值得購買）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～3 題：單選題

第 1 題

答案 (A)。把 $a, b, d$ 都寫成 $3$ 的次方：

$a = 33 = 3^{1} \times 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ ；

$b = (\frac{1}{9})^{- 0.5} = (3^{- 2})^{- \frac{1}{2}} = 3^{1} = 3$ ；

$d = 43 = 3^{\frac{1}{4}}$ 。

底數 $3 > 1$ ， $y = 3^{x}$ 遞增，指數 $\frac{3}{2} > 1 > \frac{1}{4}$ ，所以 $a > b > d$ ；又 $d = 3^{\frac{1}{4}} > 0 = c$ 。

因此 $a > b > d > c$ ，選 (A)。

第 2 題

答案 (A)。每題猜對的機率是 $\frac{1}{4}$ ，各題互不影響， $20$ 題全對的機率是

$p = (\frac{1}{4})^{20} = 2^{- 40}$

取常用對數： $lo g p = - 40 lo g 2 \approx - 40 \times 0.3010 = - 12.04$ 。

實際上

2^{- 40} \approx 9.09 \times 1 0^{- 13}

，確實非常接近

1 0^{- 12}

。

第 3 題

答案 (B)。所求比例是四項的和，用對數律把和化成乘積：

$lo g \frac{5}{4} + lo g \frac{6}{5} + lo g \frac{7}{6} + lo g \frac{8}{7} = lo g (\frac{5}{4} \times \frac{6}{5} \times \frac{7}{6} \times \frac{8}{7}) = lo g \frac{8}{4} = lo g 2$

$lo g 2 \approx 0.3010$ ，約為 $30%$ ，選 (B)。

相乘時分子分母依序約掉，只剩最後的分子

8

與最前的分母

4

。

比較指數大小先化成同底；極小的機率取常用對數看 10 的幾次方；一串對數相加先合成一個乘積的對數。

02第 4～6 題：多選題

第 4 題

答案 (A)(C)(E)。

先由圖讀出三件事：水平漸近線是 $y = - 1$ ；圖形在漸近線上方、由左往右上升；圖形與 $y$ 軸交在 $- 1$ 與 $0$ 之間（在原點下方）。

$y = k \times a^{x} + b$ 中 $a^{x} > 0$ ，當 $k \times a^{x}$ 往 $0$ 靠近時 $y$ 往 $b$ 靠近，所以漸近線是 $y = b$ ，得 $b = - 1$ 。

圖形在漸近線上方，表示 $y - b = k \times a^{x} > 0$ 恆成立，又 $a^{x} > 0$ ，所以 $k > 0$ 。

$k > 0$ 而圖形遞增，所以 $a^{x}$ 遞增， $a > 1$ 。

$x = 0$ 時 $y = k \times a^{0} + b = k - 1$ ，由圖 $- 1 < k - 1 < 0$ ，得 $0 < k < 1$ 。

(A) 正確。 $a > 1$ 。

(B) 錯誤。 與 $a > 1$ 矛盾。

(D) 錯誤。 $0 < k < 1$ 。

(E) 正確。 如上。

若只看「遞增」，

k < 0

且

0 < a < 1

也會遞增；要用「圖形在漸近線上方」先確定

k > 0

。

第 5 題

答案 (D)(E)。

(A) 錯誤。 對數律是 $lo g 4 + lo g 7 = lo g 28$ ，乘積沒有這種公式； $lo g 4 \times lo g 7 \approx 0.602 \times 0.845 \approx 0.51$ ，而 $lo g 11 \approx 1.04$ ，不相等。

(B) 錯誤。 左邊 $lo g (4 - 2) = lo g 2 \approx 0.301$ ；右邊 $\frac{l o g 4}{l o g 2} = \frac{2 l o g 2}{l o g 2} = 2$ ，不相等。

(D) 正確。 換底：

$lo g_{4} 9 = \frac{lo g 9}{lo g 4} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = \frac{lo g 3}{lo g 2}$

(E) 正確。 由對數的定義 $b^{l o g_{b} N} = N$ ，兩邊都等於 $2$ 。

第 6 題

答案 (C)。

(A) 錯誤。 $x = 0$ 時 $y = a^{0} = 1$ ，圖形通過 $(0, 1)$ ，不是 $(0, - 1)$ 。

(B) 錯誤。 要看底數： $a > 1$ 時 $y = lo g_{a} x$ 的圖形凹口向下，但 $0 < a < 1$ 時凹口向上，不是「必定」向下。

y = lo g_{a} (- x)

是

y = lo g_{a} x

對

y

軸的對稱圖形；

y = - lo g_{a} x

才是對

x

軸的對稱圖形。

03第 7～16 題：填充題

第 7 題

答案 $12$ 。由對數的定義 $7^{l o g_{7} 10} = 10$ 。

設 $lo g_{\frac{1}{7}} 49 = t$ ，則 $(\frac{1}{7})^{t} = 49$ ，即 $7^{- t} = 7^{2}$ ， $t = - 2$ 。

所以原式 $= 10 - (- 2) = 12$ 。

第 8 題

答案 $- 1$ 。用對數律合併：

$lo g 3 - 2 lo g 6 - lo g \frac{5}{6} = lo g 3 - lo g 36 - lo g \frac{5}{6} = lo g \frac{3}{36 \times \frac{5}{6}} = lo g \frac{3}{30} = lo g \frac{1}{10} = - 1$

第 9 題

答案 $- \frac{5}{8}$ 。兩邊化成以 $2$ 為底：

左邊 $(\frac{1}{4})^{2 x - 1} = (2^{- 2})^{2 x - 1} = 2^{- 4 x + 2}$ ；

右邊 $162 = 2^{4} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}$ 。

指數函數是一對一的，所以 $- 4 x + 2 = \frac{9}{2}$ ， $- 4 x = \frac{5}{2}$ ， $x = - \frac{5}{8}$ 。

第 10 題

答案 $x > \frac{3}{2}$ 。

真數條件： $x + 1 > 0$ 且 $2 x - 1 > 0$ ，得 $x > \frac{1}{2}$ 。

右邊 $1 - lo g 2 = lo g 10 - lo g 2 = lo g 5$ ，左邊 $= lo g [(x + 1) (2 x - 1)]$ ，原不等式化為

$lo g [(x + 1) (2 x - 1)] > lo g 5$

底數 $10 > 1$ ， $y = lo g x$ 遞增，所以 $(x + 1) (2 x - 1) > 5$ ，即 $2 x^{2} + x - 6 > 0$ ， $(2 x - 3) (x + 2) > 0$ ，得 $x > \frac{3}{2}$ 或 $x < - 2$ 。

與真數條件 $x > \frac{1}{2}$ 取交集： $x > \frac{3}{2}$ 。

第 11 題

答案 $(3, 81)$ 。化成以 $3$ 為底：

$f (x) = 9^{x - 1} = 3^{2 x - 2}$ ， $g (x) = (\frac{1}{3})^{- x - 1} = (3^{- 1})^{- x - 1} = 3^{x + 1}$ 。

交點滿足 $3^{2 x - 2} = 3^{x + 1}$ ，所以 $2 x - 2 = x + 1$ ， $x = 3$ ，此時 $y = 9^{3 - 1} = 81$ 。

交點坐標為 $(3, 81)$ 。

第 12 題

答案 $\frac{a - b - 1}{b}$ 。用換底公式化成常用對數：

$lo g_{\frac{1}{7}} 35 = \frac{lo g 35}{lo g \frac{1}{7}} = \frac{lo g 5 + lo g 7}{- lo g 7}$

其中 $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2 = 1 - a$ ，所以

$lo g_{\frac{1}{7}} 35 = \frac{( 1 - a ) + b}{- b} = \frac{a - b - 1}{b}$

代數值檢查：

a \approx 0.3010

、

b \approx 0.8451

時，

\frac{a - b - 1}{b} \approx - 1.827

，而

lo g_{\frac{1}{7}} 35 = - lo g_{7} 35 \approx - 1.827

，一致。

第 13 題

答案 $- 9$ 。

由 $\frac{1}{2} lo g y = 1$ 得 $lo g y = 2$ ， $y = 100$ 。

代入 $x^{- 3} y^{\frac{3}{2}} = 1$ ： $x^{3} = y^{\frac{3}{2}} = 10 0^{\frac{3}{2}} = (1 0^{2})^{\frac{3}{2}} = 1 0^{3}$ ， $x$ 為正實數，所以 $x = 10$ 。

$\frac{x - y}{10} = \frac{10 - 100}{10} = - 9$ 。

第 14 題

答案 $30$ 。設半衰期為 $T$ 年，經過 $180$ 年共經過 $\frac{180}{T}$ 個半衰期：

$192 \times (\frac{1}{2})^{\frac{180}{T}} = 3$

$(\frac{1}{2})^{\frac{180}{T}} = \frac{3}{192} = \frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^{6}$ ，所以 $\frac{180}{T} = 6$ ， $T = 30$ 。

第 15 題

答案 $\frac{1}{100}$ 。

酸雨： $- lo g r_{1} = 4.5$ ， $r_{1} = 1 0^{- 4.5}$ ；可樂： $- lo g r_{2} = 2.5$ ， $r_{2} = 1 0^{- 2.5}$ 。

$\frac{r _{1}}{r _{2}} = \frac{1 0 ^{- 4.5}}{1 0 ^{- 2.5}} = 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}$

酸雨的氫離子濃度是可樂的 $\frac{1}{100}$ 倍。

pH 值大

2

，氫離子濃度就小到

\frac{1}{100}

。

第 16 題

答案 $(2, 15)$ 。 $m = 7$ 時

$lo g E = 4.8 + 1.5 \times 7 = 4.8 + 10.5 = 15.3$

所以 $E = 1 0^{15.3} = 1 0^{0.3} \times 1 0^{15}$ 。

因為 $lo g 2 \approx 0.3010$ ， $1 0^{0.3}$ 非常接近 $2$ ，所以 $E \approx 2 \times 1 0^{15}$ ， $(b, n) = (2, 15)$ 。

1 0^{0.3} \approx 1.995

，取最接近整數就是

2

。

04第 17、18 題：計算題（投資商品與複利定存）

第 17 題

答案：約 $108834$ 元。

第 $1$ 年存的錢滾了 $10$ 年，變成 $9700 \times 1.0 2^{10}$ ；

第 $2$ 年存的錢滾了 $9$ 年，變成 $9700 \times 1.0 2^{9}$ ；

……

第 $10$ 年存的錢滾了 $1$ 年，變成 $9700 \times 1.02$ 。

本利和是首項 $9700 \times 1.02$ 、公比 $1.02$ 、共 $10$ 項的等比級數：

$S = 9700 \times 1.02 \times \frac{1.0 2 ^{10} - 1}{1.02 - 1} \approx 9700 \times 1.02 \times \frac{1.22 - 1}{0.02} = 9700 \times 1.02 \times 11$

$9700 \times 1.02 = 9894$ ， $9894 \times 11 = 108834$ 。

所以 $10$ 年後約可領回 $108834$ 元。

題目給的

1.0 2^{10} \approx 1.22

是近似值；改用較精確的

1.0 2^{10} \approx 1.21899

算，約為

108337

元，結論相同。若把每年的錢看成年底才存入（最後一筆沒有計息），本利和約

9700 \times \frac{1.22 - 1}{0.02} = 106700

元，仍大於

100000

元。

第 18 題

答案：否（不值得購買）。

$\frac{108834 - 9700 \times 10}{9700 \times 10} = \frac{11834}{97000} \approx 12.2%$

這項投資商品 $10$ 年的投資報酬率約 $3.09%$ ，同樣條件的定存約 $12.2%$ ，商品明顯較低，所以不值得購買。

3.09%

是

10

年合計的報酬率，

2%

是每年的利率，兩者計算的期間不同，不能直接比較大小。

每年固定存入的複利本利和是等比級數；比較投資報酬時要用相同的期間與複利方式，10 年的總報酬率不能直接和年利率比。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

松山高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

松山高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自松山高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

松山高中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01第 1～3 題：單選題

02第 4～6 題：多選題

03第 7～16 題：填充題

04第 17、18 題：計算題（投資商品與複利定存）

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

松山高中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

松山高中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

松山高中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01第 1～3 題：單選題

02第 4～6 題：多選題

03第 7～16 題：填充題

04第 17、18 題：計算題（投資商品與複利定存）

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

松山高中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

松山高中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

松山高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

松山高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

松山高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

松山高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

松山高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

松山高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？