段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數與 e、對數律與換底、指數與對數函數的圖形、指對數方程式與不等式、常用對數與應用）

松山高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 松山高中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 松山高中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要記得底數小於 1 時不等號反向，還要和真數條件取交集；第 7 題要逐一判斷解的個數，指數方程式代換後要捨去負根、對數方程式要檢查真數；第 11 題要看出兩個 337 必須分在兩個不同的數裡；第 17 題要數清高音 D 比中央 C 高 14 個半音。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 5 分）、多選題 5 題（每題 8 分，答錯 1 個選項得 5 分、答錯 2 個得 2 分、答錯多於 2 個或未作答 0 分）、填充題 5 題（每題 5 分，各空格皆填答正確才給分）、混合題或非選擇題 1 題組 3 小題（第 15、16 題各 4 分，第 17 題 7 分），合計 100 分；題號與卷面相同。卷末印有參考公式（等差、等比數列前 n 項和）與參考數值：2^(1/12)≈1.059、2^(1/6)≈1.122、2^(1/4)≈1.189、2^(5/12)≈1.335、√2≈1.414、√3≈1.732、√5≈2.236、√6≈2.449、√10≈3.162、π≈3.14159、e≈2.71828、log 2≈0.3010、log 3≈0.4771、log 7≈0.8451。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（占 20 分）｜第 1 題至第 4 題，每題 5 分。每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得該題的分數；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。

在坐標平面上，將

y = (\frac{1}{2})^{x}

的圖形以

y = x

為對稱軸，作出線對稱圖形

Γ_{1}

；再將

Γ_{1}

以

x

軸為對稱軸，作出線對稱圖形

Γ_{2}

。試問

Γ_{2}

應為下列何者？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

設

x = lo g_{13} 2357

，請選出正確的選項。

(1) $2 \leq x < 2.5$
(2) $2.5 \leq x < 3$
(3) $3 \leq x < 3.5$
(4) $3.5 \leq x < 4$
(5) $x \geq 4$

解不等式

lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) > lo g_{\frac{1}{2}} (5 - 2 x)

，可求得

x

的解為下列何者？

(1) $x < 2$
(2) $x > 2$
(3) $1 < x < \frac{5}{2}$
(4) $2 < x < \frac{5}{2}$
(5) $1 < x < 2$

在一個

64

格的西洋棋盤上放置麥粒，第

1

格放

1

粒、第

2

格放

2

粒、第

3

格放

4

粒，此後每一格放置的麥粒數量是前一格的

2

倍，假設棋盤夠大且麥粒足夠多，共需要

x

粒麥粒便可放置完所有格子。在下列選項中，請選出最接近

x

的選項。

(1) $9.2 \times 1 0^{18}$
(2) $1.8 \times 1 0^{19}$
(3) $5.4 \times 1 0^{19}$
(4) $3.6 \times 1 0^{20}$
(5) $7.2 \times 1 0^{21}$

二、多選題（占 40 分）｜第 5 題至第 9 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 5 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

設數列

⟨ a_{n} ⟩

之一般項

a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}

，其中

n

為正整數。試選出正確的選項。

(1) $a_{1} = 2$
(2) $a_{2} < a_{3}$
(3) 當 $n$ 很大時，因為括號內的 $1 + \frac{1}{n}$ 會很接近 $1$ ，於是 $a_{n}$ 會愈來愈接近 $1^{n} = 1$
(4) 當 $n$ 很大時，因為括號內的 $1 + \frac{1}{n}$ 總是大於 $1$ ，而大於 $1$ 的實數不斷自乘會愈來愈大，故 $a_{n}$ 也會愈來愈大，從某一項起 $a_{n}$ 將超過 $1 0^{10}$
(5) 當 $n$ 很大時，儘管括號內的 $1 + \frac{1}{n}$ 會很接近 $1$ ，但同時自乘的次數也隨之增加，隨著 $n$ 的增加， $a_{n}$ 會愈來愈接近一個常數，這個常數不超過 $3$ 。

設

a, b, c

為等比數列滿足

0 < a < 1 < b < c

。試選出正確的選項。

(1) $lo g a > 0$
(2) $lo g a, lo g b, lo g c$ 是等差數列
(3) $lo g a + lo g c < 2 lo g b$
(4) $\frac{2 ^{l o g a} + 2 ^{l o g c}}{2} > 2^{l o g b}$
(5) $lo g \frac{a + c}{2} > lo g b$ 。

下列各方程式中，試選出恰有一實數解的選項。

(1) $2^{x} = 2 x$
(2) $2^{x} = x^{2}$
(3) $x + lo g x = 0$
(4) $4^{x + 1} - 11 \times 2^{x} - 3 = 0$
(5) $lo g (3 x + 1) + lo g (x - 2) = 1$ 。

下列關於指數與對數函數及其圖形的特性，試選出正確的選項。

(1) $y = 3^{x}$ 為嚴格遞增函數
(2) $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 的圖形凹口向下
(3) $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的圖形凹口向上
(4) 對任意 $a > 1$ ， $y = lo g_{a} x$ 的圖形必通過點 $(1, 0)$
(5) $y = lo g x$ 有一條水平漸近線。

已知 pH 值的定義為

pH = - lo g [H^{+}]

，其中

[H^{+}]

為氫離子濃度（單位：莫耳/升）。試選出正確的選項。（以下各數值計算皆四捨五入取至小數點後第二位）

(1) 某清潔劑的 pH 值為 $8.5$ ，此清潔劑的氫離子濃度約為 $3.16 \times 1 0^{- 9}$ 莫耳/升
(2) 某飲料氫離子濃度為 $3 \times 1 0^{- 4}$ 莫耳/升，這杯飲料的 pH 值約為 $3.52$
(3) 若檸檬汁 pH 值為 $2$ 、牛奶 pH 值為 $6$ ，則檸檬汁的氫離子濃度約為牛奶的 $10000$ 倍
(4) 將 pH 值為 $1$ 的溶液與 pH 值為 $7$ 的溶液各取 $1$ 公升，兩溶液混合後 pH 值為 $4$
(5) 將 pH 值為 $6$ 的溶液與 pH 值為 $8$ 的溶液各取 $1$ 公升，兩溶液混合後 pH 值為 $14$ 。

三、填充題（占 25 分）｜第 10 題至第 14 題，每題有若干空格，各空格可能填入 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, −, ± 這些數字或符號其中一者。各題中之空格皆填答正確給 5 分，答錯或未完全答對不給分。

解不等式

(\frac{1}{4})^{x} + 2^{1 - x} - 8 \geq 0

得

x \leq

____。

設正整數

a, b, c

滿足

lo g a < lo g b < lo g c < 3

且

lo g_{2022} a + lo g_{2022} b + lo g_{2022} c = 2

，則

a =

____。

解聯立方程式

{(lo g_{3} 2) x + lo g_{2} y = lo g_{2} 3 (lo g_{3} 4) x + 3 (lo g_{2} y) = lo g_{2} 8

，可得

y =

____。

數學家知道一個估算前

n

個自然數的倒數和的近似公式：

\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \approx lo g_{e} n + γ

其中

e \approx 2.71828

及

γ \approx 0.5772

皆為常數且

lo g e \approx 0.4343

。試運用此公式，估算

\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \frac{1}{103} + \dots + \frac{1}{10000} \approx

____（四捨五入至小數點後第一位）

已知兩質數

p, q

滿足

p < q

，若

4.6 < lo g p < 4.7

且

p q^{2} = 10, 479, 510, 080, 569, 031

，則

p

是 ____ 位數、

q

是 ____ 位數。

四、混合題或非選擇題（占 15 分）｜本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

15-17 題為題組（第 15～17 題）　樂理上，所謂的「十二平均律」，是指將一個八度音細分成十二個半音，並使這些音的頻率（單位：Hz）形成等比數列，亦即下個半音的頻率都是前一個半音的

2^{\frac{1}{12}}

倍。如下圖是鋼琴鍵盤一部分，愈往右邊音愈高，左側的 C 與中間高八度的 C 之間共差了

12

個半音，因此後者的頻率為前者的頻率的

(2^{\frac{1}{12}})^{12} = 2

倍。例如 C 與 D 之間夾了一個黑鍵 C♯/D♭（升 C 或降 D），因此 C 和 D 之間差了

2

個半音；再例如 E 與 F 的兩個白鍵相鄰，它們之間差了

1

個半音。

C 和 D 之間差了

2

個半音，後者的頻率是前者的頻率的幾倍？（單選題，4 分）

(1) $2^{\frac{1}{12}}$ 倍
(2) $2^{\frac{1}{6}}$ 倍
(3) $2^{\frac{1}{4}}$ 倍
(4) $2^{\frac{1}{3}}$ 倍
(5) $2^{\frac{1}{2}}$ 倍

載入中...

已知中央 A 的頻率為

440

Hz，中央 C（如上圖箭頭所示）的頻率最接近何者？（單選題，4 分）

(1) $220$ Hz
(2) $247$ Hz
(3) $262$ Hz
(4) $294$ Hz
(5) $330$ Hz

已知松山高中校歌中，最低音是中央 C、最高音是高音 D（如上圖箭頭所示），若高音 D 的頻率是中央 C 的頻率的

k

倍，試求

lo g k

的值。（四捨五入至小數點後第三位）（非選擇題，7 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(3)

第 3 題(5)

第 4 題(2)

第 5 題(1)(2)(5)

第 6 題(2)(4)(5)

第 7 題(3)(4)(5)

第 8 題(1)(3)(4)

第 9 題(1)(2)(3)

第 10 題

- 1

第 11 題

18

第 12 題

\frac{8}{9}

第 13 題

4.6

第 14 題

p

是

5

位數、

q

是

6

位數

第 15 題(2)

第 16 題(3)

第 17 題

lo g k \approx 0.351

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：單選題

第 1 題

答案 (4)。 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 以 $y = x$ 為對稱軸的對稱圖形，就是它的反函數 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的圖形，所以 $Γ_{1}$ 是 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ （定義域 $x > 0$ ，遞減，通過 $(1, 0)$ ），也就是圖 (3)。

再以 $x$ 軸為對稱軸：點 $(x, y)$ 對稱到 $(x, - y)$ ，所以 $Γ_{2}$ 是 $y = - lo g_{\frac{1}{2}} x = lo g_{2} x$ 的圖形：定義域仍是 $x > 0$ 、通過 $(1, 0)$ 、嚴格遞增，靠近 $y$ 軸時往下無限延伸。

五張圖中只有圖 (4) 符合。圖 (1) 是 $y = 2^{x}$ ，圖 (2) 與圖 (5) 的圖形在 $y$ 軸左側（ $x < 0$ ），都不對。

檢查一個點最快：

y = (\frac{1}{2})^{x}

過

(- 1, 2)

，對

y = x

對稱到

(2, - 1)

，再對

x

軸對稱到

(2, 1)

，而

lo g_{2} 2 = 1

。

第 2 題

答案 (3)。 $x = lo g_{13} 2357$ 表示 $1 3^{x} = 2357$ 。

$1 3^{3} = 2197 < 2357$ ，所以 $x > 3$ 。

$1 3^{3.5} = 1 3^{3} \times 13$ ，而 $13 > 9 = 3$ ，所以 $1 3^{3.5} > 2197 \times 3 = 6591 > 2357$ ，得 $x < 3.5$ 。

底數 $13 > 1$ ， $1 3^{x}$ 遞增，所以 $3 < x < 3.5$ ，選 (3)。

第 3 題

答案 (5)。先看真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $5 - 2 x > 0$ ，得 $1 < x < \frac{5}{2}$ 。

底數 $\frac{1}{2} < 1$ ， $y = lo g_{\frac{1}{2}} t$ 是遞減函數，函數值大的真數反而小，所以 $x - 1 < 5 - 2 x$ ，即 $3 x < 6$ ， $x < 2$ 。

兩個條件同時成立： $1 < x < 2$ 。

底數小於 1 時不等號要反向；真數條件也不能忘，否則會誤選 (1)。

第 4 題

答案 (2)。所需麥粒是首項 $1$ 、公比 $2$ 的等比數列前 $64$ 項的和：

$x = 1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{63} = \frac{1 \cdot ( 1 - 2 ^{64} )}{1 - 2} = 2^{64} - 1$

$lo g 2^{64} = 64 lo g 2 \approx 64 \times 0.3010 = 19.264$ ，所以 $x \approx 2^{64} \approx 1 0^{19.264} = 1 0^{0.264} \times 1 0^{19}$ 。

比較選項的首數部分： $lo g 1.8 = lo g 2 + 2 lo g 3 - 1 \approx 0.2552$ ， $lo g 5.4 = lo g 2 + 3 lo g 3 - 1 \approx 0.7323$ ，而 $lo g 9.2 > lo g 9 \approx 0.9542$ 。 $0.264$ 最接近 $0.2552$ ，且次方同為 $19$ ，所以最接近 $1.8 \times 1 0^{19}$ 。

2^{64} - 1 \approx 1.845 \times 1 0^{19}

，與

1.8 \times 1 0^{19}

相差不到

3%

。

對數值的範圍用相鄰的整數或半整數次方夾；底數小於 1 的對數不等式要把不等號反向，再與真數條件取交集。

02第 5～9 題：多選題

第 5 題

答案 (1)(2)(5)。

(1) 正確。 $a_{1} = (1 + 1)^{1} = 2$ 。

(2) 正確。 $a_{2} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4} = 2.25$ ， $a_{3} = (\frac{4}{3})^{3} = \frac{64}{27} \approx 2.370$ ，所以 $a_{2} < a_{3}$ 。

(3) 錯誤。 用二項式定理展開，前兩項就有 $a_{n} = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \dots \geq 2$ （其餘各項都是正的），所以每一項都至少是 $2$ ，不會接近 $1$ 。

(4) 錯誤。 二項式展開的第 $k + 1$ 項是 $C_{k}^{n} \cdot \frac{1}{n ^{k}} = \frac{1}{k !} \cdot \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{n ^{k}} \leq \frac{1}{k !}$ ，所以

$a_{n} \leq 1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \dots + \frac{1}{n !} \leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 ^{n - 1}} < 3$

每一項都小於 $3$ ，不可能超過 $1 0^{10}$ 。

(5) 正確。 課本介紹過： $a_{n}$ 隨 $n$ 增加而遞增，且愈來愈接近常數 $e \approx 2.71828$ ；上一個選項也說明了每一項都小於 $3$ ，所以這個常數不超過 $3$ 。

(4) 錯在「底數固定」的直覺：

1 + \frac{1}{n}

會隨

n

變小，底數往

1

靠、次數變大，兩股力量拉扯的結果是收斂到

e

。

第 6 題

答案 (2)(4)(5)。 $a, b, c$ 成等比，所以 $b^{2} = a c$ ，且三數都是正數。

(1) 錯誤。 $0 < a < 1$ ，所以 $lo g a < 0$ 。

(2) 正確。 設公比 $r$ ，則 $b = a r$ ， $c = a r^{2}$ ， $lo g b = lo g a + lo g r$ ， $lo g c = lo g a + 2 lo g r$ ，是公差為 $lo g r$ 的等差數列。

(3) 錯誤。 $lo g a + lo g c = lo g (a c) = lo g b^{2} = 2 lo g b$ ，兩邊相等，不是小於。

(4) 正確。 $2^{l o g a}$ 與 $2^{l o g c}$ 都是正數，由算幾不等式

$\frac{2 ^{l o g a} + 2 ^{l o g c}}{2} \geq 2^{l o g a} \cdot 2^{l o g c} = 2^{\frac{l o g a + l o g c}{2}} = 2^{l o g b}$

等號只在 $2^{l o g a} = 2^{l o g c}$ ，即 $a = c$ 時成立；但 $a < c$ ，所以是嚴格的大於。

(5) 正確。 由算幾不等式， $\frac{a + c}{2} > a c = b$ （ $a \neq = c$ 所以不取等號）； $y = lo g x$ 遞增，所以 $lo g \frac{a + c}{2} > lo g b$ 。

第 7 題

答案 (3)(4)(5)。

(1) 錯誤。 $x = 1$ 時 $2^{1} = 2 = 2 \cdot 1$ ， $x = 2$ 時 $2^{2} = 4 = 2 \cdot 2$ ，至少有兩個實數解（畫 $y = 2^{x}$ 與直線 $y = 2 x$ ，正好交於這兩點）。

(2) 錯誤。 $x = 2$ 時 $4 = 4$ ， $x = 4$ 時 $16 = 16$ ，都是解；另外 $x = - 1$ 時 $2^{- 1} = \frac{1}{2} < 1 = (- 1)^{2}$ ， $x = 0$ 時 $2^{0} = 1 > 0 = 0^{2}$ ，在 $- 1$ 與 $0$ 之間兩圖形還交一次。至少三個實數解。

(3) 正確。 改寫為 $lo g x = - x$ ： $y = lo g x$ 嚴格遞增， $y = - x$ 嚴格遞減，兩圖形最多交一點；又 $x = 0.1$ 時 $lo g x = - 1 < - 0.1$ ， $x = 1$ 時 $lo g x = 0 > - 1$ ，所以恰交一點，恰有一實數解。

(4) 正確。 $4^{x + 1} = 4 \cdot (2^{x})^{2}$ 。令 $t = 2^{x} > 0$ ，得 $4 t^{2} - 11 t - 3 = 0$ ，即 $(4 t + 1) (t - 3) = 0$ ， $t = 3$ 或 $t = - \frac{1}{4}$ （不合， $2^{x} > 0$ ）。 $2^{x} = 3$ 只有一解 $x = lo g_{2} 3$ 。

(5) 正確。 真數條件 $3 x + 1 > 0$ 且 $x - 2 > 0$ ，即 $x > 2$ 。由對數律， $lo g ((3 x + 1) (x - 2)) = 1$ ， $(3 x + 1) (x - 2) = 10$ ， $3 x^{2} - 5 x - 12 = 0$ ， $(x - 3) (3 x + 4) = 0$ ， $x = 3$ 或 $x = - \frac{4}{3}$ ；只有 $x = 3$ 滿足 $x > 2$ ，恰一解。

第 8 題

答案 (1)(3)(4)。

(1) 正確。 底數 $3 > 1$ ， $x_{1} < x_{2}$ 時 $3^{x_{1}} < 3^{x_{2}}$ ，是嚴格遞增函數。

(2) 錯誤。 任取 $x_{1} \neq = x_{2}$ ，由算幾不等式 $\frac{1}{2} [(\frac{1}{3})^{x_{1}} + (\frac{1}{3})^{x_{2}}] > (\frac{1}{3})^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}$ ：兩點連線的中點在圖形上方，圖形凹口向上，不是向下。

(3) 正確。 任取正數 $x_{1} \neq = x_{2}$ ， $\frac{x _{1} + x _{2}}{2} > x_{1} x_{2}$ ；底數 $\frac{1}{2} < 1$ 時對數遞減，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{x _{1} + x _{2}}{2} < lo g_{\frac{1}{2}} x_{1} x_{2} = \frac{1}{2} (lo g_{\frac{1}{2}} x_{1} + lo g_{\frac{1}{2}} x_{2})$ ：中點的函數值比兩端函數值的平均小，圖形凹口向上。

(4) 正確。 對任意 $a > 1$ ， $lo g_{a} 1 = 0$ ，圖形必過 $(1, 0)$ 。

(5) 錯誤。 $lo g 1 0^{n} = n$ ， $x$ 夠大時 $lo g x$ 可以超過任何數，圖形不會靠近任何水平線； $y = lo g x$ 只有鉛直漸近線 $x = 0$ （ $y$ 軸）。

第 9 題

答案 (1)(2)(3)。

(1) 正確。 $[H^{+}] = 1 0^{- 8.5} = 1 0^{0.5} \times 1 0^{- 9} = 10 \times 1 0^{- 9} \approx 3.16 \times 1 0^{- 9}$ 莫耳/升。

(2) 正確。 $pH = - lo g (3 \times 1 0^{- 4}) = 4 - lo g 3 \approx 4 - 0.4771 = 3.5229 \approx 3.52$ 。

(3) 正確。 檸檬汁 $[H^{+}] = 1 0^{- 2}$ ，牛奶 $[H^{+}] = 1 0^{- 6}$ ，比值 $\frac{1 0 ^{- 2}}{1 0 ^{- 6}} = 1 0^{4} = 10000$ 倍。

(4) 錯誤。 pH 值不能直接平均。即使只把兩邊的氫離子量相加： $1$ 公升 pH 為 $1$ 的溶液有 $1 0^{- 1}$ 莫耳，pH 為 $7$ 的有 $1 0^{- 7}$ 莫耳，混合成 $2$ 公升後 $[H^{+}] \approx \frac{0.1}{2} = 0.05$ ， $pH \approx - lo g 0.05 = 2 - lo g 5 = 1 + lo g 2 \approx 1.30$ ，遠不是 $4$ 。

(5) 錯誤。 pH 為 $6$ 的溶液偏酸，每公升含 $1 0^{- 6}$ 莫耳的 $H^{+}$ ；pH 為 $8$ 的溶液偏鹼， $[H^{+}] = 1 0^{- 8}$ ，而每公升含 $1 0^{- 6}$ 莫耳的 $OH^{-}$ 。兩杯混合後， $H^{+}$ 與 $OH^{-}$ 互相中和，結果接近中性（pH 約為 $7$ ），落在 $6$ 與 $8$ 之間。pH 為 $14$ 代表 $[H^{+}] = 1 0^{- 14}$ ，比兩杯原液都小得多，是強鹼，兩杯接近中性的溶液混合不可能變成這樣。

等比取對數成等差；兩數的平均與等比中項比大小用算幾不等式；判斷方程式解的個數，先代換或改寫成兩個熟悉函數的交點，再看單調性。

03第 10～14 題：填充題

第 10 題

答案 $- 1$ 。 $(\frac{1}{4})^{x} = (2^{- x})^{2}$ ， $2^{1 - x} = 2 \cdot 2^{- x}$ 。令 $t = 2^{- x} > 0$ ：

$t^{2} + 2 t - 8 \geq 0 \Rightarrow (t + 4) (t - 2) \geq 0$

因為 $t + 4 > 0$ ，所以 $t - 2 \geq 0$ ，即 $2^{- x} \geq 2 = 2^{1}$ 。底數 $2 > 1$ ， $y = 2^{x}$ 嚴格遞增，得 $- x \geq 1$ ， $x \leq - 1$ 。

第 11 題

答案 $18$ 。由對數律 $lo g_{2022} (ab c) = 2$ ，所以 $ab c = 202 2^{2}$ 。分解質因數 $2022 = 2 \times 3 \times 337$ （ $337$ 是質數）， $ab c = 2^{2} \times 3^{2} \times 33 7^{2}$ 。

又 $lo g a < lo g b < lo g c < 3$ ，即 $a < b < c < 1000$ 。 $33 7^{2} = 113569 > 1000$ ，所以每一個數最多只含一個因數 $337$ ，兩個 $337$ 一定分在兩個不同的數裡。

小於 $1000$ 的 $337$ 的倍數只有 $337$ 與 $674$ （ $3 \times 337 = 1011 > 1000$ ）。兩個含 $337$ 的數不能相等（ $a < b < c$ ），只能是 $337$ 和 $674$ ，它們的乘積是 $2 \times 33 7^{2}$ ，剩下的數是 $\frac{2 ^{2} \times 3 ^{2} \times 33 7 ^{2}}{2 \times 33 7 ^{2}} = 18$ 。

$18 < 337 < 674$ ，所以 $a = 18$ （ $b = 337$ ， $c = 674$ ）。

第 12 題

答案 $\frac{8}{9}$ 。 $lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2$ ， $lo g_{2} 8 = 3$ 。令 $s = (lo g_{3} 2) x$ ， $u = lo g_{2} y$ ，聯立式變成

${s + u = lo g_{2} 3 2 s + 3 u = 3$

第二式減去第一式的 $2$ 倍： $u = 3 - 2 lo g_{2} 3$ ，即 $lo g_{2} y = lo g_{2} 8 - lo g_{2} 9 = lo g_{2} \frac{8}{9}$ ，所以 $y = \frac{8}{9}$ 。

不必解出

x

；若要求，

s = lo g_{2} 3 - u = 3 lo g_{2} 3 - 3

，

x = \frac{s}{l o g _{3} 2}

。

第 13 題

答案 $4.6$ 。所求等於前 $10000$ 項的倒數和減去前 $100$ 項的倒數和：

$\frac{1}{101} + \dots + \frac{1}{10000} \approx (lo g_{e} 10000 + γ) - (lo g_{e} 100 + γ) = lo g_{e} \frac{10000}{100} = lo g_{e} 100$

換成常用對數： $lo g_{e} 100 = \frac{l o g 100}{l o g e} \approx \frac{2}{0.4343} \approx 4.605$ ，四捨五入至小數點後第一位為 $4.6$ 。

常數

γ

在相減時消掉了；直接把

9900

個倒數加起來約是

4.6002

，與估計相符。

第 14 題

答案 $p$ 是 $5$ 位數、 $q$ 是 $6$ 位數。

$4.6 < lo g p < 4.7$ ，所以 $1 0^{4} < p < 1 0^{5}$ ， $p$ 是 $5$ 位數。

$p q^{2} = 10, 479, 510, 080, 569, 031$ 是 $17$ 位數，且小於 $2 \times 1 0^{16}$ ，所以 $16 < lo g (p q^{2}) < 16 + lo g 2 \approx 16.301$ 。

$lo g (p q^{2}) = lo g p + 2 lo g q$ ，所以 $2 lo g q = lo g (p q^{2}) - lo g p$ ：

下界 $2 lo g q > 16 - 4.7 = 11.3$ ，上界 $2 lo g q < 16.301 - 4.6 = 11.701$ ，得 $5.65 < lo g q < 5.85$ ， $1 0^{5} < q < 1 0^{6}$ ， $q$ 是 $6$ 位數。

對數和先合成乘積；換底後把同一種對數設成新未知數，聯立式就變成一次方程組；位數問題就是看常用對數落在哪兩個整數之間。

04第 15～17 題：混合題或非選擇題（十二平均律）

第 15 題答案 (2)。每差一個半音頻率乘

2^{\frac{1}{12}}

，差

2

個半音就乘兩次：

(2^{\frac{1}{12}})^{2} = 2^{\frac{2}{12}} = 2^{\frac{1}{6}}

倍。

第 16 題

答案 (3)。從中央 C 往右數到中央 A：C→D 差 $2$ 個半音、D→E 差 $2$ 個、E→F 差 $1$ 個（相鄰白鍵）、F→G 差 $2$ 個、G→A 差 $2$ 個，共 $9$ 個半音。

所以中央 A 的頻率是中央 C 的 $2^{\frac{9}{12}} = 2^{\frac{3}{4}}$ 倍，中央 C 的頻率為

$\frac{440}{2 ^{\frac{3}{4}}} = \frac{440 \times 2 ^{\frac{1}{4}}}{2} = 220 \times 2^{\frac{1}{4}} \approx 220 \times 1.189 = 261.58$

最接近 $262$ Hz。

第 17 題

答案 $lo g k \approx 0.351$ 。

中央 C 與高八度的 C 差 $12$ 個半音，高八度的 C 與它右邊的高音 D 又差 $2$ 個半音，所以高音 D 比中央 C 高 $14$ 個半音。

$k = (2^{\frac{1}{12}})^{14} = 2^{\frac{14}{12}} = 2^{\frac{7}{6}}$

$lo g k = \frac{7}{6} lo g 2 \approx \frac{7}{6} \times 0.3010 \approx 0.35117$

四捨五入至小數點後第三位， $lo g k \approx 0.351$ 。

另一種算法：高音 D 是中央 D 的

2

倍，中央 D 是中央 C 的

2^{\frac{1}{6}}

倍，

k = 2 \times 2^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{7}{6}}

，結果相同。

十二平均律就是公比

2^{\frac{1}{12}}

的等比數列：先數兩個音差幾個半音，倍數就是

2

的「半音數除以 12」次方，取對數後變成乘法。

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第 3 題要記得底數小於 1 時不等號反向，還要和真數條件取交集；第 7 題要逐一判斷解的個數，指數方程式代換後要捨去負根、對數方程式要檢查真數；第 11 題要看出兩個 337 必須分在兩個不同的數裡；第 17 題要數清高音 D 比中央 C 高 14 個半音。詳解逐題寫在本頁。

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