御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：多項式函數的微積分（導數與切線、遞增遞減與凹凸、極值與最佳化、反導函數與定積分、定積分與面積）

松山高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

下載 PDF（免註冊）對完答案，勾你錯的題號 →

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

18 題原卷全文逐題詳解 · 免註冊
0
題原卷全文
0
則逐題詳解
0
個單元，勾錯題號就知道錯在哪
0
元，不用註冊
試題答案勾錯題號逐題詳解
01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、多重選擇題 5 題（每題 7 分，錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上得 0 分，共 35 分）、填充題 8 題共 10 格（每格 5 分，共 50 分），合計 100 分。原卷三大題各自從 1 編號：本頁第 1～3 題為單選 1～3，第 4～8 題為多重選擇 1～5，第 9～18 題依序為填充 1(1)、1(2)、2、3、4、5(1)、5(2)、6、7、8。答案已與學校公布的答案逐題核對，其中填充 5(1)（本頁第 14 題）邊際利潤的算法與導數定義不同，本頁照學校答案並在詳解說明。

一、單選題（每題 5 分／共 15 分）
1
已知 f(x)=x3−2x2+5，求 x→2lim​x−2f′(x)−f′(2)​=？
  1. (A) 2
  2. (B) 4
  3. (C) 6
  4. (D) 8
  5. (E) 10
2
函數 f(x)=x4+4x3+10 在下列哪一個區間上為嚴格遞減函數？
  1. (A) [−4,−3]
  2. (B) [−3,0]
  3. (C) [0,3]
  4. (D) [3,∞)
  5. (E) [−4,3]
3
已知 ∫03​(ax2−2x−1)dx=15，求實數 a 的值為何？
  1. (A) 1
  2. (B) 2
  3. (C) 3
  4. (D) 4
  5. (E) 5
二、多重選擇題（每題 7 分／共 35 分）
4
設函數 f(x)=3x2−2x+1，請問下列哪些選項是 f(x) 的反導函數？
  1. (A) 6x−2
  2. (B) x3−x2
  3. (C) x3−x2+x−2
  4. (D) x3−x2+x+21​
  5. (E) x3−x2+1
5
設 [x] 表示不大於 x 的最大整數，下列哪些函數在 x=0 處可微分？
  1. (A) f(x)=x
  2. (B) f(x)=∣x∣
  3. (C) f(x)=∣x−1∣
  4. (D) f(x)=[x]
  5. (E) f(x)={3,x2+3,​x≤0x>0​
6
已知 P(2,6) 為二次函數 f(x)=−x2+4x+1 圖形外一點，過 P 點對圖形做切線，請問下列選項何者正確？
  1. (A) 切線方程式為 2x−y+2=0
  2. (B) 切線方程式為 2x+y+10=0
  3. (C) 切點為 (1,4)
  4. (D) 切點為 (3,4)
  5. (E) 兩條切線交於第三象限
7
下圖為三次函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的圖形，其中點 (0,−2) 為圖形的反曲點，虛線為過反曲點的切線，請問下列選項何者正確？
  1. (A) a<0
  2. (B) b<0
  3. (C) c>0
  4. (D) b2−3ac>0
  5. (E) a+b+c+d<0
載入中...
8
如下圖，R1​ 與 R2​ 是函數 y=f(x) 的圖形與 x 軸、x=0，x=2 所圍成的兩個區域。已知 R1​ 的面積等於 3，R2​ 的面積等於 5，請問下列選項何者正確？
  1. (A) ∫01​f(x)dx=3
  2. (B) ∫12​f(x)dx=5
  3. (C) ∫02​f(x)dx=2
  4. (D) ∫10​f(x)dx=3
  5. (E) ∫02​(3f(x)+x)dx=26
載入中...
三、填充題（每格 5 分／共 50 分）
填充第 1 題（第 9～10 題）　已知函數 f(x)=x3+3x2−4x−5，試求滿足下列條件的切線方程式（以 y=ax+b 的形式表示）：
9
(1) 以點 P(2,7) 為切點的切線方程式為 ____
10
(2) 與直線 5x−y+1=0 平行的切線方程式為 ____（有兩解）
11
設函數 f(x)=x3+ax2+bx+2 在區間 [−1,3] 上為遞減函數，在區間 [−5.−1]（卷面印作句點，依題意應為 [−5,−1]）與 [3,7] 上為遞增函數，求數對 (a,b)= ____
12
已知點 P(−1,3) 為三次函數 f(x)=x3+ax2+bx+c 圖形的反曲點，且以 P 點為切點的切線斜率為 2，求序對 (a,b,c)= ____
13
已知三次函數 f(x) 在 x=0 處有極大值 2，在 x=1 處有極小值 1，求 f(x)= ____
填充第 5 題（第 14～15 題）　已知賣出 x 件產品的利潤函數為 f(x)=−x3+21x2+45x（元），其中 0≤x≤50，試求：
14
(1) 賣出 2 件產品的邊際利潤為 ____ 元
15
(2) 利潤達到最大時，賣出的產品件數 x= ____
16
已知 ∫13​(2x+b)dx=14 且 ∫26​(ax+b)dx=8，求數對 (a,b)= ____
17
設函數 f(x)=3x2−6x 的圖形與直線 y=0，x=−1 及 x=4 所圍成的區域面積為 r，如下圖所示。令 ∫−14​f(x)dx=s，求 r−s 為 ____
載入中...
18
設函數 f(x)=x+1(x−1)(x−2)3(x−3)2​，則 f′(1)= ____
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)
第 2 題(A)
第 3 題(C)
第 4 題(C)(D)
第 5 題(A)(C)(E)
第 6 題(A)(C)(D)
第 7 題(A)(E)
第 8 題(B)(C)(D)
第 9 題y=20x−33
第 10 題y=5x−10 或 y=5x+22
第 11 題(−3,−9)
第 12 題(3,5,6)
第 13 題2x3−3x2+2
第 14 題131（照學校公布的答案；以導數 f′(2) 計算為 117，見詳解）
第 15 題15
第 16 題(−41​,3)
第 17 題8
第 18 題−2
03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。
下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊
04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：導函數的導數、嚴格遞減區間、定積分求係數

第 1 題答案 (D)。f′(x)=3x2−4x，f′(2)=12−8=4。分子 f′(x)−f′(2)=3x2−4x−4=(3x+2)(x−2)，所以 x→2lim​x−2f′(x)−f′(2)​=x→2lim​(3x+2)=8。
這個極限就是函數 f′(x) 在 x=2 的導數，也就是二階導數 f′′(2)：f′′(x)=6x−4，f′′(2)=8，結果相同。
第 2 題答案 (A)。f′(x)=4x3+12x2=4x2(x+3)。x2≥0，所以 f′(x) 的正負由 x+3 決定：x<−3 時 f′(x)<0，x>−3 時 f′(x)≥0（只在 x=0 等於 0）。f 在 (−∞,−3] 上嚴格遞減、在 [−3,∞) 上嚴格遞增。五個區間中只有 (A) [−4,−3] 整段落在 (−∞,−3] 內。(B)(C)(D) 都在 x≥−3，是遞增；(E) [−4,3] 跨過 x=−3，前段遞減、後段遞增。
x=0 處 f′(0)=0，但左右兩側 f′ 都是正的，f 仍然一路遞增，不是極值。
第 3 題答案 (C)。∫03​(ax2−2x−1)dx=[3a​x3−x2−x]03​=9a−9−3=9a−12。由 9a−12=15 得 a=3。
求某區間上嚴格遞增或遞減，先把導函數因式分解，再看整個區間是否落在同一個正負段內。

02多重選擇題（第 4～8 題）：反導函數、可微分、切線、三次函數圖形、有號面積

第 4 題答案 (C)(D)。把每個選項微分，看是不是等於 3x2−2x+1。(A) 錯誤。(6x−2)′=6；6x−2 其實是 f(x) 的導函數。(B) 錯誤。(x3−x2)′=3x2−2x，少了常數 1。(C) 正確。(x3−x2+x−2)′=3x2−2x+1。(D) 正確。(x3−x2+x+21​)′=3x2−2x+1。(E) 錯誤。(x3−x2+1)′=3x2−2x。
f(x) 的反導函數都是 x3−x2+x+C 的形式，C 是任意常數；(C)、(D) 只差在常數。
第 5 題答案 (A)(C)(E)。(A) 正確。hf(0+h)−f(0)​=hh​=1，f′(0)=1。(B) 錯誤。h∣h∣−0​ 在 h>0 時為 1、h<0 時為 −1，左右極限不相等，f′(0) 不存在（圖形在原點是尖角）。(C) 正確。x 在 0 附近時 x−1<0，f(x)=∣x−1∣=1−x，是一條直線，f′(0)=−1。(D) 錯誤。h 是很小的負數時 [h]=−1，f(h) 不趨近 f(0)=0，函數在 x=0 不連續，所以不可微分。(E) 正確。f(0)=3。h<0 時 hf(h)−f(0)​=h3−3​=0；h>0 時 hf(h)−f(0)​=hh2+3−3​=h，趨近 0。左右極限都是 0，f′(0)=0。
可微分一定連續，所以 (D) 一看不連續就可以排除；分段函數要分別算左右兩側的差商極限。
第 6 題答案 (A)(C)(D)。f(2)=−4+8+1=5=6，P 不在圖形上，要先設切點 (t,f(t))。f′(x)=−2x+4，切線為 y=(−t2+4t+1)+(−2t+4)(x−t)。代入 P(2,6)：6=−t2+4t+1+(−2t+4)(2−t)=t2−4t+9，得 t2−4t+3=0，t=1 或 t=3。t=1：切點 (1,4)，斜率 2，切線 y=2x+2，即 2x−y+2=0。t=3：切點 (3,4)，斜率 −2，切線 y=−2x+10，即 2x+y−10=0。(A) 正確。(B) 錯誤。另一條是 2x+y−10=0，常數項的正負不對。(C) 正確。(D) 正確。(E) 錯誤。兩條切線都通過 P，所以交點就是 P(2,6)，在第一象限。
過圖形外一點的切線，不可以直接用 f′(2) 當斜率；f′(2)=0 是以 (2,5) 為切點的切線斜率，那條切線 y=5 不過 P。
第 7 題答案 (A)(E)。f′(x)=3ax2+2bx+c，f′′(x)=6ax+2b。反曲點 (0,−2)：f′′(0)=2b=0，b=0；f(0)=d=−2。(A) 正確。圖形往右一路往下（x 很大時 f(x) 為負），三次項係數 a<0。(B) 錯誤。b=0。(C) 錯誤。c=f′(0) 是反曲點處切線（虛線）的斜率，虛線往右下降，斜率為負，c<0。(D) 錯誤。b2−3ac=0−3ac，而 a<0、c<0，ac>0，所以 b2−3ac<0。(E) 正確。a+b+c+d=f(1)=a+c−2，a<0、c<0，所以 f(1)<−2<0；圖上 x=1 處的點也在 x 軸下方。
b2−3ac 是 f′(x)=3ax2+2bx+c 判別式的四分之一。它小於 0 表示 f′(x) 恆不為 0（這裡恆為負），圖形一路遞減、沒有極值，與圖相符。
第 8 題答案 (B)(C)(D)。由圖，R1​ 在 0≤x≤1、位於 x 軸下方；R2​ 在 1≤x≤2、位於 x 軸上方。所以 ∫01​f(x)dx=−3，∫12​f(x)dx=5。(A) 錯誤。應為 −3。(B) 正確。(C) 正確。∫02​f(x)dx=−3+5=2。(D) 正確。∫10​f(x)dx=−∫01​f(x)dx=3。(E) 錯誤。∫02​(3f(x)+x)dx=3×2+[2x2​]02​=6+2=8=26。
定積分是「有號面積」：在 x 軸上方算正、下方算負；上下限對調，值變號。(E) 若誤把 3×(3+5)+2 當成 26，就是把面積當成定積分。
判斷反導函數就微分回去；用定積分表示面積前，先看圖形在 x 軸的上方還是下方。

03填充 1、8（第 9、10、18 題）：切線方程式與導數值

第 9 題f(2)=8+12−8−5=7，P(2,7) 在圖形上。f′(x)=3x2+6x−4，f′(2)=12+12−4=20。切線 y−7=20(x−2)，即 y=20x−33。
第 10 題直線 5x−y+1=0 即 y=5x+1，斜率 5。令 f′(x)=3x2+6x−4=5，得 x2+2x−3=0，(x+3)(x−1)=0，x=1 或 x=−3。f(1)=1+3−4−5=−5，切線 y+5=5(x−1)，即 y=5x−10；f(−3)=−27+27+12−5=7，切線 y−7=5(x+3)，即 y=5x+22。
兩條切線的截距都不是 1，不會和原直線重合，兩解都成立。
第 18 題f(1)=0（分子有因式 x−1）。依導數定義，f′(1)=x→1lim​x−1f(x)−f(1)​=x→1lim​x+1(x−2)3(x−3)2​=2(−1)3×(−2)2​=2−4​=−2。
把 f(x) 寫成 (x−1)⋅g(x)，g(x)=x+1(x−2)3(x−3)2​，則 x−1f(x)−f(1)​=g(x)，f′(1)=g(1)；不必展開，也不必用商的微分。
切線三步：切點、斜率（導數）、點斜式；函數有因式 x−a 時，在 a 的導數就是把這個因式拿掉再代 a。

04填充 2～5（第 11～15 題）：由單調性、反曲點、極值求係數，邊際利潤與最大利潤

第 11 題f′(x)=3x2+2ax+b。f 在 [−1,3] 遞減、在 [−5,−1] 與 [3,7] 遞增，所以 f′(x) 在 x=−1 與 x=3 由正變負、再由負變正，x=−1、3 是 f′(x)=0 的兩根。f′(x)=3(x+1)(x−3)=3x2−6x−9，比較係數 2a=−6、b=−9，得 (a,b)=(−3,−9)。
驗證：f′(x)=3(x+1)(x−3) 在 −1<x<3 時為負、在 x<−1 或 x>3 時為正，符合題意。卷面區間「[−5.−1]」的句點是逗號的誤植，不影響作答。
第 12 題f′(x)=3x2+2ax+b，f′′(x)=6x+2a。反曲點的 x 坐標是 −1：f′′(−1)=−6+2a=0，a=3。切線斜率 f′(−1)=3−2a+b=3−6+b=2，b=5。P 在圖形上：f(−1)=−1+a−b+c=−1+3−5+c=3，c=6。所以 (a,b,c)=(3,5,6)。
三次函數 f′′(x) 是一次式，在根的兩側一定變號，所以 x=−1 確實是反曲點。
第 13 題設 f(x)=ax3+bx2+cx+d，f′(x)=3ax2+2bx+c。x=0 有極大值 2：f′(0)=c=0，f(0)=d=2。x=1 有極小值 1：f′(1)=3a+2b=0，f(1)=a+b+2=1，即 a+b=−1。解得 a=2、b=−3。所以 f(x)=2x3−3x2+2。
檢查：f′(x)=6x2−6x=6x(x−1)，在 x=0 由正變負（極大）、在 x=1 由負變正（極小），f(0)=2、f(1)=1，都符合。
第 14 題學校答案是 131，這是把「賣出 2 件時的邊際利潤」算成再多賣一件（第 3 件）所增加的利潤：f(3)−f(2)=(−27+189+135)−(−8+84+90)=297−166=131（元）。若以導數定義邊際利潤，則是 f′(2)：f′(x)=−3x2+42x+45，f′(2)=−12+84+45=117（元），它是 f(3)−f(2) 的近似值。本頁照學校公布的答案寫 131。
兩種算法都常見：「多賣一件所增加的利潤」是 f(x+1)−f(x)；也有教材直接以導數 f′(x) 定義邊際利潤，兩者數值相近。作答時以老師上課採用的定義為準。
第 15 題f′(x)=−3x2+42x+45=−3(x2−14x−15)=−3(x−15)(x+1)。在 0≤x≤50 內，0≤x<15 時 f′(x)>0，f 遞增；15<x≤50 時 f′(x)<0，f 遞減。所以 x=15 時利潤最大，f(15)=−3375+4725+675=2025（元）。
比較端點：f(0)=0，f(50)=−125000+52500+2250=−70250，都小於 f(15)。閉區間上的最大值要把端點一起比較。
遞增遞減的分界點、極值點都是 f'(x)=0 的根；反曲點是 f''(x)=0 且變號的點。用這些條件列方程式就能反求係數。

05填充 6、7（第 16、17 題）：定積分求係數、面積與定積分

第 16 題∫13​(2x+b)dx=[x2+bx]13​=(9+3b)−(1+b)=8+2b=14，得 b=3。∫26​(ax+3)dx=[2a​x2+3x]26​=(18a+18)−(2a+6)=16a+12=8，得 a=−41​。所以 (a,b)=(−41​,3)。
第 17 題f(x)=3x2−6x=3x(x−2)，在 0<x<2 時為負，在 −1≤x<0 與 2<x≤4 時為正。反導函數取 F(x)=x3−3x2。s=F(4)−F(−1)=16−(−4)=20。面積 r=∫−10​f(x)dx−∫02​f(x)dx+∫24​f(x)dx=(0−(−4))−(−4−0)+(16−(−4))=4+4+20=28。所以 r−s=28−20=8。
更快的看法：r 與 s 只差在 0≤x≤2 那一段——r 算 +4、s 算 −4，所以 r−s=2×4=8。
面積永遠是正的；定積分在 x 軸下方的部分是負的。兩者的差，只來自圖形在 x 軸下方的那幾段。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

  • 建國中學數甲微分；內容含導數的定義、可微分與連續、微分公式、函數的遞增遞減、極值與反曲點、凹向16 題
  • 建國中學選修數學乙第二章 微分15 題
  • 北一女中數甲14 題
  • 北一女中綜合範圍；卷面未印範圍，依題目內容整理15 題
  • 松山高中數甲18 題
  • 基隆高中數甲數學甲上＋高一高二複習16 題
  • 基隆高中卷頭印範圍：複習第 6 單元～第 9 單元；內容為循環小數、排列組合與機率、三角比與正餘弦定理、弧度量、週期性數學模型、指數與對數的應用16 題
  • 南山高中數B數學B U11～U1320 題
  • 南山高中數A平面向量、空間向量、空間中的平面與直線20 題
  • 武陵高中數甲微分與多項式函數的極限16 題
  • 武陵高中數乙：多項式函數的微分21 題
  • 平鎮高中數B高一數學第一、二冊與高二數學B 第三冊總複習22 題
  • 平鎮高中數甲選修數學甲上冊單元 319 題
  • 苑裡高中數甲微分22 題
  • 苑裡高中高三數學乙30 題
  • 興大附中數甲導函數的應用與積分17 題
  • 興大附中高二內容複習14 題
  • 興大附中數學B 第四冊內容15 題
  • 溪湖高中數甲微分的應用與積分16 題
  • 臺南二中數甲複數平面、複數的極式、棣美弗定理與 n 次方根，以及拋物線21 題
  • 臺南二中函數的極限與連續、勘根定理、多項式函數的導數與導函數22 題
  • 高師大附中數甲複數與多項式方程式17 題
  • 高師大附中複數、多項式方程式；卷面未印範圍，依題目內容整理19 題
  • 高雄新興高中數甲複數平面、複數的極式、棣美弗定理與 n 次方根，以及拋物線20 題
  • 高雄新興高中複數的運算、共軛複數、負數的平方根、實係數多項式方程式與虛根成對、二次函數與判別式21 題
  • 屏東高中數B數B範圍複習：指數與對數函數、平面向量、弧度與三角函數22 題
  • 屏東高中學測數A範圍複習：和角、倍角與疊合、三角函數的圖形、指數與對數、平面向量、二階行列式20 題
  • 屏東高中數甲數學甲上冊 導數與微分及第三冊複習24 題

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

松山高中 111 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

松山高中 111 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 3 題（本頁第 6 題）的 P 不在圖形上，要先設切點再代入，不能直接用 x=2 的導數；多重選擇第 5 題（本頁第 8 題）在 x 軸下方的區域定積分是負的；填充 5(1)（本頁第 14 題）邊際利潤有兩種算法，學校答案用的是多賣一件所增加的利潤；填充 7（本頁第 17 題）面積與定積分的差只來自 x 軸下方那一段。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自松山高中 111 學年度上學期 高三第二次段考 數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

免責聲明：本站段考卷為各校定期考原卷，由御藍教育重新打字排版，供學生練習與檢討使用；答案與詳解為御藍教育撰寫，不是學校的官方版本。 如有學校、命題老師或出版社認為內容不宜公開，請來信 service@royalblue-education.com，我們會在收到後一週內下架處理。

御藍教育 首頁｜所有段考卷｜方案與價格｜學習方法指南

加 LINE 客服好友
LINE 客服 @royalblue_edu 加入好友 QR code
用手機掃描加入 LINE 客服
@royalblue_edu
找不到？我帶你去