松山高中 111 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (3)。兩邊同除以 $2$：$x^2+y^2+\frac{a}{2}x+\frac{b}{2}y+1=0$，圓心是 $\left(-\frac{a}{4},-\frac{b}{4}\right)=(-2,3)$，得 $a=8$、$b=-12$。

方程式為 $x^2+y^2+4x-6y+1=0$，配方得 $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=12$，半徑 $2\sqrt{3}$。

(1) 半徑是 $2\sqrt{3}$ 不是 $12$；(2) $a=8$；(3) $b=-12$ 正確；(4) $a+b=-4$；(5) $a-b=20$。只有 (3) 正確。

答案 (5)。兩條邊界線都過原點：$ax-by=0$ 即 $y=\frac{a}{b}x$，斜率 $\frac{a}{b}<0$；$bx+ay=0$ 即 $y=-\frac{b}{a}x$，斜率 $-\frac{b}{a}>0$。兩斜率相乘 $\frac{a}{b}\cdot \left(-\frac{b}{a}\right)=-1$，兩邊界線一條斜率為正、一條為負，而且互相垂直。圖 (1)(3)(4) 的兩條線斜率同號，先排除。

再看區域在哪一側：代入 $(-1,0)$，$a\cdot (-1)-b\cdot 0=-a\le 0$ 成立，$b\cdot (-1)+a\cdot 0=-b\ge 0$ 也成立（因為 $b<0$），所以解區域包含 $x$ 軸的負向部分；而 $(1,0)$ 代入第一式得 $a\le 0$，不成立。圖 (2) 的區域在 $x$ 軸的正向那一側，排除；圖 (5) 的區域在左側，符合。

例如 $a=1$、$b=-4$：兩式為 $y\le -\frac{1}{4}x$ 與 $y\ge 4x$，正是圖 (5) 的樣子。

答案 (1)(4)。圓心 $(1,-3)$，半徑 $\sqrt{5}$。

(1) 正確。 右邊 $5>0$，是圓。

(2) 錯誤。 $(0-1{)}^2+(0+3{)}^2=10\ne 5$。

(3) 錯誤。 圓的對稱軸是所有過圓心的直線；$y=3$ 不過圓心 $(1,-3)$。

(4) 正確。 $7\cdot 1+2\cdot (-3)-1=0$，直線過圓心，是對稱軸。

(5) 錯誤。 面積是 $\pi {\left(\sqrt{5}\right)}^2=5\pi$。

答案 (3)(5)。三直線圍成直角三角形，要有兩條互相垂直（斜率乘積為 $-1$，或一條水平一條鉛直），而且三條兩兩不平行（才圍得出三角形；三線交於同一點的情形可以平移避開，所以只要斜率合適就「可能」圍成）。

(1) 錯誤。 $-3\cdot 1$、$-3\cdot 3$、$1\cdot 3$ 都不是 $-1$。

(2) 錯誤。 $\frac{1}{3}\cdot 3=1$、$\frac{1}{3}\cdot (-5)$、$3\cdot (-5)$ 都不是 $-1$。

(3) 正確。 $-\frac{1}{3}\cdot 3=-1$，兩線垂直，第三條斜率 $2$ 與兩者都不平行。

(4) 錯誤。 雖然 $-\frac{1}{3}\cdot 3=-1$，但有兩條斜率都是 $3$，互相平行，三條線圍不成三角形。

(5) 正確。 斜率 $0$ 的水平線與斜率不存在的鉛直線互相垂直，斜率 $-5$ 的直線與兩者都不平行。

答案 (2)(3)。配方：$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=4$，圓心 $Q(2,-1)$，半徑 $2$，$\overline{OQ}=\sqrt{5}$。

(3) 正確。 切線與過切點的半徑垂直，$\overline{OA}=\sqrt{{\overline{OQ}}^2-2^2}=\sqrt{5-4}=1$。

(1) 錯誤。 $\angle OAQ=\angle OBQ=90^{\circ }$，所以 $A$、$B$ 都在以 $\overline{OQ}$ 為直徑的圓上，這個圓就是 $△OAB$ 的外接圓，半徑 $\frac{\sqrt{5}}{2}$，面積 $\frac{5}{4}\pi =1.25\pi$。

(2) 正確。 以 $\overline{OQ}$ 為直徑的圓：圓心是中點 $\left(1,-\frac{1}{2}\right)$，半徑平方 $\frac{5}{4}$，方程式 $(x-1{)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5}{4}$，展開即 $x^2+y^2-2x+y=0$。

(4) 錯誤。 四邊形 $OAQB$ 由兩個全等的直角三角形組成，面積 $2\times \frac{1}{2}\times 1\times 2=2$。

(5) 錯誤。 $\overline{OA}=\overline{OB}$、$\overline{QA}=\overline{QB}$，所以 $O$、$Q$ 都在 $\overline{AB}$ 的中垂線上，$AB\perp OQ$。$OQ$ 的斜率是 $-\frac{1}{2}$，所以 $AB$ 的斜率是 $2$。

答案 (2)(5)。$L:y=a(x+1)+3$ 恆過 $F_1(-1,3)$；$M:y=b(x-2)$ 恆過 $F_2(2,0)$。兩線垂直，斜率乘積 $ab=-1$，所以 $a\ne 0$、$b\ne 0$。

(1) 錯誤。 代入 $(1,3)$：$3=2a+3$，得 $a=0$，與 $ab=-1$ 矛盾，所以 $L$ 不會通過 $(1,3)$。

(2) 正確。 $M$ 寫成斜截式 $y=bx-2b$，斜率是 $b$。

(3) 錯誤。 交點 $P$ 與 $F_1$、$F_2$ 形成 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$（或 $P$ 就是 $F_1$、$F_2$ 之一），所以 $P$ 在以 $\overline{F_1{F}_2}$ 為直徑的圓 $(x+1)(x-2)+(y-3)y=0$ 上。點 $(2,3)$ 雖然在這個圓上，但要讓 $P=(2,3)$，$L$ 必須過 $(-1,3)$ 與 $(2,3)$，是水平線 $a=0$，不允許；所以 $(2,3)$ 不在 $\Gamma$ 上。

(4) 錯誤。 由 (3)，$\Gamma$ 在一個圓上，不是直線。

(5) 正確。 $\Gamma$ 是上述圓扣掉兩點：$(2,3)$（需要 $a=0$）與 $(-1,0)$（需要 $L$ 鉛直、$M$ 水平，即 $b=0$），其餘點都取得到，是圓的一部分。

答案 $\sqrt{2}$。$L_1$ 向右平移 $1$ 單位：把 $x$ 換成 $x-1$，得 $L_2:a(x-1)+2y=7$，即 $ax+2y-(7+a)=0$。兩平行線距離

$$\frac{|(7+a)-7|}{\sqrt{a^2+4}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+4}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

兩邊平方：$3a^2=a^2+4$，$a^2=2$，因 $a>0$，$a=\sqrt{2}$。

答案 $15$。圓心 $(1,-3)$，半徑 $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。設切線 $2x-y+k=0$，圓心到切線距離等於半徑：

$$\frac{|2+3+k|}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}$$

$|k+5|=15$，$k=10$ 或 $k=-20$。兩切線 $2x-y+10=0$、$2x-y-20=0$ 與 $x$ 軸交於 $(-5,0)$、$(10,0)$，$\overline{AB}=15$。

答案 $3$。平分圓面積的直線必過圓心。配方：$(x-2{)}^2+(y-6{)}^2=36$，圓心 $(2,6)$。

鉛直線 $x=2$ 會經過 $(2,-1)$ 這類第四象限的點，不合，所以斜率存在，設 $L:y=m(x-2)+6$，$y$ 截距 $6-2m$。

若 $m<0$：$x$ 很大時 $y<0$，會進入第四象限，不合。

若 $m\ge 0$：在 $x>0$ 的部分 $y$ 的值都大於（$m=0$ 時等於）$y$ 截距 $6-2m$；要不進入第四象限需 $6-2m\ge 0$，即 $m\le 3$。（$m=3$ 時直線過原點，原點不屬於任何象限。）

所以 $0\le m\le 3$，$a+b=0+3=3$。

答案 $6$。圓心 $(-1,-1)$ 到 $L$ 的距離（弦心距）

$$d=\frac{|-1+2-11|}{\sqrt{1+4}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$$

弦長 $8$，半弦長 $4$，半徑 $r=\sqrt{{\left(2\sqrt{5}\right)}^2+4^2}=\sqrt{36}=6$。

答案 (1)(5)。

(1) 正確。 由 $(x-4{)}^2+(y-7{)}^2=25$，圓心 $Q(4,7)$。

(2) 錯誤。 半徑是 $\sqrt{25}=5$。

(3) 錯誤。 切線垂直於過切點的半徑，$QS\perp AE$；兩線都不是鉛直或水平線，斜率乘積是 $-1$，不是 $1$。

(4) 錯誤。 $AC$ 與圓相切，$Q$ 到 $AC$ 的距離等於半徑 $5$。

(5) 正確。 $\angle QSA=\angle QTA=90^{\circ }$，所以 $S$、$T$ 都在以 $\overline{QA}$ 為直徑的圓上，$Q,S,A,T$ 四點共圓。

答案 $78$。

過 $A(3,0)$ 的切線若是鉛直線 $x=3$，圓心到它的距離 $|4-3|=1\ne 5$，不是切線；所以設切線斜率 $m$：$y=m(x-3)$，即 $mx-y-3m=0$。圓心 $Q(4,7)$ 到切線的距離等於半徑 $5$：

$$\frac{|4m-7-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=5$$

$(m-7{)}^2=25(m^2+1)$，$m^2-14m+49=25m^2+25$，$24m^2+14m-24=0$，$12m^2+7m-12=0$，$(4m-3)(3m+4)=0$，$m=\frac{3}{4}$ 或 $m=-\frac{4}{3}$。

由圖，$AE$ 向右上升，斜率 $\frac{3}{4}$；$AC$ 向左上升，斜率 $-\frac{4}{3}$。

$△ADE$：$\angle D=90^{\circ }$，$\frac{\overline{DE}}{\overline{AD}}=\frac{3}{4}$，斜邊 $10$，所以 $\overline{AD}=8$、$\overline{DE}=6$，面積 $\frac{1}{2}\times 8\times 6=24$。

$△ABC$：$\angle B=90^{\circ }$，$\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{4}{3}$，斜邊 $15$，所以 $\overline{AB}=9$、$\overline{BC}=12$，面積 $\frac{1}{2}\times 9\times 12=54$。

面積和 $24+54=78$。