松山高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (1)。由乘積的微分，${\left((3x-1{)}^2\right)}^{\prime }={\left(9x^2-6x+1\right)}^{\prime }=18x-6=6(3x-1)$，所以

$$f^{\prime }(x)=6(3x-1)(x^2-2x)+(3x-1{)}^2(2x-2)$$

代入 $x=1$：$f^{\prime }(1)=6\times 2\times (-1)+2^2\times 0=-12$。

答案 (3)。逐項看條件：

- $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ 的判別式 $(2b{)}^2-4\cdot 3a\cdot c=4(b^2-3ac)<0$，又 $a<0$，所以 $f^{\prime }(x)<0$ 對所有實數 $x$ 都成立，$f(x)$ 處處遞減，沒有極值。圖 (4)、圖 (5) 都有極大值與極小值，不合。 - $f(0)=d>0$，圖形與 $y$ 軸交在 $x$ 軸上方。圖 (1) 的曲線交 $y$ 軸於 $x$ 軸下方；圖 (2) 的曲線在 $y$ 軸左側就已穿過 $x$ 軸，交 $y$ 軸於 $x$ 軸下方，兩者都不合。 - 再對照反曲點：$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b=0$ 得 $x=-\frac{b}{3a}$，$a$、$b$ 同為負數，所以 $-\frac{b}{3a}<0$，反曲點在 $y$ 軸左側，圖 (3) 的黑點也在 $y$ 軸左側，相符。

所以可能的圖形只有圖 (3)。

答案 (2)。因為 $(\sin x-x{)}^{\prime }=\cos x-1$，由微積分基本定理

$${\int }_0^{2\pi }(\cos x-1)dx=[\sin x-x{]}_0^{2\pi }=(0-2\pi )-(0-0)=-2\pi$$

答案 (2)(5)。逐一用導數的定義 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(0)}{h}$ 判斷。

(1) 錯誤。 $\frac{|h|}{h}$ 在 $h\to 0^{+}$ 時為 $1$，$h\to 0^{-}$ 時為 $-1$，左右極限不同，不可微分。

(2) 正確。 $\frac{h|h|-0}{h}=\left|h\right|\to 0$，可微分且 $f_2^{\prime }(0)=0$。

(3) 錯誤。 $f_3(x)=\sqrt{x}$ 在 $x<0$ 沒有定義，$x=0$ 左側取不到極限；右側 $\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$ 在 $h\to 0^{+}$ 時也趨近無限大，不可微分。

(4) 錯誤。 $0<h<1$ 時 $[h]=0$，$f_4(h)=0$，$\frac{f_4(h)-f_4(0)}{h}=0$；$-1<h<0$ 時 $[h]=-1$，$f_4(h)=-h$，$\frac{f_4(h)-f_4(0)}{h}=-1$。右極限 $0$、左極限 $-1$，不可微分。

(5) 正確。 分子有理化：

$$\frac{\sqrt{1-h^2}-1}{h}=\frac{(1-h^2)-1}{h\left(\sqrt{1-h^2}+1\right)}=\frac{-h}{\sqrt{1-h^2}+1}\to \frac{0}{2}=0$$

可微分且 $f_5^{\prime }(0)=0$。

答案 (2)(5)。

(1) 錯誤。 反例：$f(x)=x^3-3x$，$f^{\prime \prime }(x)=6x$ 在 $x=0$ 左右變號，$(0,0)$ 是反曲點，但 $f^{\prime }(0)=-3\ne 0$，切線 $y=-3x$ 不是水平線。

(2) 正確。 反曲點是凹凸改變的點，$f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=a$ 兩側異號。多項式函數的 $f^{\prime \prime }(x)$ 仍是多項式，是連續函數；一側附近 $f^{\prime \prime }(x)>0$、另一側附近 $f^{\prime \prime }(x)<0$，令 $x\to a$ 取極限，$f^{\prime \prime }(a)$ 同時 $\ge 0$ 且 $\le 0$，所以 $f^{\prime \prime }(a)=0$。

(3) 錯誤。 極大值只是「附近最大」，不一定比別處的極小值大。反例：

$$f(x)=-3x^5+45x^4-205x^3+225x^2$$

$f^{\prime }(x)=-15x(x-1)(x-5)(x-6)$。$f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 兩側由負變正，$x=0$ 是極小值點，$f(0)=0$；在 $x=6$ 兩側由正變負，$x=6$ 是極大值點，$f(6)=-1188$。取 $a=6$、$b=0$，得 $f(a)=-1188<0=f(b)$。

(4) 錯誤。 反例：$f(x)=-x^4$ 在 $x=0$ 有極大值 $0$，$f^{\prime }(0)=0$，但 $f^{\prime \prime }(x)=-12x^2$，$f^{\prime \prime }(0)=0$，不小於 $0$。

(5) 正確。 設 $f(x)=p{x}^3+q{x}^2+rx+s$（$p\ne 0$）。有極大值與極小值時，$a$、$b$ 是 $f^{\prime }(x)=3p{x}^2+2qx+r=0$ 的兩根，由根與係數的關係 $a+b=-\frac{2q}{3p}$，所以 $\frac{a+b}{2}=-\frac{q}{3p}$；而 $f^{\prime \prime }(x)=6px+2q=0$ 的解正是 $x=-\frac{q}{3p}$，所以 $f^{\prime \prime }\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$（三次函數的反曲點在兩極值點的正中間）。

答案 (1)(5)。$f(x)=x^2$ 在 $[1,2]$ 上遞增，所以每個小區間的最小值在左端點、最大值在右端點：下和用左端點、上和用右端點。

(1) 正確。 $n=2$，寬 $\frac{1}{2}$，左端點 $1$、$\frac{3}{2}$：

$$L_2=\frac{1}{2}\left(1+\frac{9}{4}\right)=\frac{13}{8}$$

(2) 錯誤。 $n=4$，寬 $\frac{1}{4}$，右端點 $\frac{5}{4},\frac{6}{4},\frac{7}{4},\frac{8}{4}$：

$$U_4=\frac{1}{4}\cdot \frac{25+36+49+64}{16}=\frac{174}{64}=\frac{87}{32}\ne \frac{43}{32}$$

(3) 錯誤。 $64$ 等分是把 $32$ 等分的每個小區間再對分。原來一個小長方形的高是該小區間右端點的函數值，對分後左半段的高變成中點的函數值（較小），右半段不變，所以上和變小：$U_{64}<U_{32}$。

(4) 錯誤。 同理，$36$ 等分是把 $18$ 等分的每個小區間再對分，右半段的高由左端點的函數值換成中點的函數值（較大），下和變大：$L_{36}>L_{18}$。

(5) 正確。 面積 $={\int }_1^2{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_1^2=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$。

答案 $-2$。令 $k=2h$，$h\to 0$ 時 $k\to 0$：

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2h-1)-f(-1)}{h}=2\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(-1+k)-f(-1)}{k}=2f^{\prime }(-1)$$

$f^{\prime }(x)=4x+3$，$f^{\prime }(-1)=-1$，所求 $=2\times (-1)=-2$。

答案 $f(x)=2x^3+6x^2-3$。定積分 ${\int }_0^{1}f(x)dx$ 是一個常數，設為 $k$，則

$$f(x)=2x^3+6x^2-4-2k$$

兩邊從 $0$ 積分到 $1$：

$$k={\int }_0^1\left(2x^3+6x^2-4-2k\right)dx=\frac{1}{2}+2-4-2k=-\frac{3}{2}-2k$$

解得 $3k=-\frac{3}{2}$，$k=-\frac{1}{2}$，所以 $f(x)=2x^3+6x^2-4+1=2x^3+6x^2-3$。

答案 $(-6,-5)$。$f(x)$ 在 $x=-1$ 附近的一次估計就是在 $x=-1$ 的切線。

$f(-1)=-2+6-3=1$，$f^{\prime }(x)=6x^2+12x$，$f^{\prime }(-1)=6-12=-6$。切線為 $y-1=-6(x+1)$，即 $y=-6x-5$，所以 $(a,b)=(-6,-5)$。

答案 $12$。兩圖形相切於 $P$：$P$ 在兩圖形上，且兩者在 $x=1$ 的導數相等，都等於切線斜率 $m$。

- $P$ 在 $y=g(x)$ 上：$c=g(1)=2$。 - $g^{\prime }(x)=3x^2$，$m=g^{\prime }(1)=3$。 - $f^{\prime }(x)=2ax-5$，$f^{\prime }(1)=2a-5=3$，得 $a=4$。 - $P$ 在 $y=f(x)$ 上：$f(1)=a-5+b=2$，得 $b=3$。

所以 $a+b+c+m=4+3+2+3=12$。

答案 $-4\le k\le 4$。$f^{\prime }(x)=4x^3+3k{x}^2+12x$，$f^{\prime \prime }(x)=12x^2+6kx+12$。

沒有反曲點，表示 $f^{\prime \prime }(x)$ 沒有在任何點左右變號。$f^{\prime \prime }(x)$ 是首項係數為正的二次式，只要判別式 $\le 0$，$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 恆成立、不會變號：

$$(6k{)}^2-4\cdot 12\cdot 12\le 0⟺k^2\le 16⟺-4\le k\le 4$$

若判別式 $>0$，$f^{\prime \prime }(x)$ 有兩個相異實根，在根的兩側變號，就有反曲點。等號 $k=\pm 4$ 時 $f^{\prime \prime }(x)=12(x\pm 1{)}^2\ge 0$，不變號，所以端點要包含。

答案 $(4,48)$。$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$，在 $1<x\le 4$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，所以 $f(x)$ 在 $[1,4]$ 上遞增。

最小值 $f(1)=1-3-a=-2-a=-6$，得 $a=4$；最大值 $M=f(4)=64-12-4=48$。

答案 $0<a<2$。$f(x)=0$ 等價於 $x^3-3x=a$，即 $y=h(x)=x^3-3x$ 與水平線 $y=a$ 的交點。

$h^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$：$h(x)$ 在 $x<-1$ 遞增、在 $-1<x<1$ 遞減、在 $x>1$ 遞增；極大值 $h(-1)=2$，極小值 $h(1)=-2$，且 $h(0)=0$。

- 在 $x<0$ 的部分：$h(x)$ 從 $-\infty$ 遞增到 $h(-1)=2$，再遞減到 $h(0)=0$。要有兩個相異負根，水平線 $y=a$ 要在 $0<a<2$ 之間（$a=2$ 時兩根重合於 $-1$；$a=0$ 時其中一根是 $0$，不是負根）。 - 在 $x>0$ 的部分：$h(x)$ 從 $0$ 遞減到 $-2$ 再遞增到 $+\infty$，當 $a>0$ 時恰有一個正根。

所以 $0<a<2$。

答案 $8$。由圖，$2\le x\le 3$ 時 $f(x)\le 0$，灰色區域在 $x$ 軸下方，面積為 $3$，所以

$${\int }_2^{3}f(t)dt=-3$$

$g(3)={\int }_0^{3}f(t)dt={\int }_0^{2}f(t)dt+{\int }_2^{3}f(t)dt=g(2)-3=5$，得 $g(2)=8$。

答案 $V(x)=\pi (x^3-18x^2+81x)$。以 $\overline{AB}$ 為軸旋轉，$\overline{AB}=x$ 是直圓柱的高，$\overline{AD}=9-x$ 是底面半徑，所以

$$V(x)=\pi (9-x{)}^2\cdot x=\pi (x^3-18x^2+81x),0<x<9$$

答案 $108\pi$（立方單位）。

$$V^{\prime }(x)=\pi (3x^2-36x+81)=3\pi (x-3)(x-9)$$

在 $0<x<9$ 內：$0<x<3$ 時 $V^{\prime }(x)>0$，$V(x)$ 遞增；$3<x<9$ 時 $V^{\prime }(x)<0$，$V(x)$ 遞減。所以 $V(x)$ 在 $x=3$ 有最大值

$$V(3)=\pi \times 6^2\times 3=108\pi$$

此時高 $3$、底面半徑 $6$。