段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

松山高中 111 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 松山高中 111 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 松山高中 111 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 2 題的選項 B、C 要用有理數的四則運算仍是有理數來推理；多重選擇第 4 題要同時考慮內分與外分兩個位置，選項 B、D 才判斷得出來；填充第 6 格要分三段討論並和每一段的範圍取共同部分；填充第 10 格的 pH 值不能直接按比例平均，要先換回濃度再換回 pH 值。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 5 分，共 20 分）、多重選擇題 4 題（每題 5 分，共 20 分）、填充題 10 格（每格 6 分，共 60 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對：18 題中 17 題相同；填充第 (6) 格（本頁第 14 題）學校印的答案代入卷面式子檢查不合，本頁寫本站計算的結果，並在答案與詳解附上學校印的答案。

一、單選題：（每題 5 分，共 20 分）

若

a = 2^{\frac{1}{2}}

、

b = 3^{\frac{1}{3}}

、

c = 6^{\frac{1}{6}}

，試選出

a

、

b

、

c

的大小關係。

(A) $b > a > c$
(B) $a > b > c$
(C) $c > a > b$
(D) $b > c > a$
(E) $c > b > a$

試問

17 + 23

介在哪兩個連續正整數之間？

(A) $3$ 、 $4$
(B) $4$ 、 $5$
(C) $5$ 、 $6$
(D) $6$ 、 $7$
(E) $7$ 、 $8$

若

A (a)

、

B (b)

兩點在數線上的位置如下圖所示，則下列敘述何者正確？

(A) $∣ b ∣ > ∣ a ∣$
(B) $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$
(C) $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ - ∣ b ∣$
(D) $∣ a + b ∣ = ∣ b ∣ - ∣ a ∣$
(E) $∣ a - b ∣ = ∣ a ∣ - ∣ b ∣$

載入中...

若不等式

∣ x - 1∣ < k

恰有

7

個整數解，且

k

為正整數，則

k

的值為何？

(A) $2$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $5$
(E) $6$

二、多重選擇題：（每題 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個以上與未作答得 0 分，共 20 分）（本頁第 5～8 題為卷面多重選擇題第 1～4 題）

若已知

a > 0

，

b > 0

，下列哪些選項是正確的？

(A) $a + b + 2 ab = a + b$
(B) $a + b - 2 ab = a - b$
(C) $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
(D) $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
(E) 若 $x$ 為任意實數，則 $x + \frac{1}{x} \geq 2$

下列選項何者為真？

(A) $6$ 和 $7$ 之間有無限多個有理數
(B) 若 $x - y$ 為有理數且 $x y$ 為無理數，則 $x + y$ 為無理數
(C) 若 $x$ 為非 $0$ 實數，且 $x^{3}$ 、 $x^{7}$ 亦為有理數，則 $x$ 是有理數
(D) $34. \overline{109}$ 是有理數
(E) $10$ 可化成分數 $\frac{q}{p}$ ，其中 $p$ 、 $q$ 為整數，且 $p \neq = 0$

關於常用對數的敘述，下列哪些選項是正確的？

(A) 若 $lo g a = 4.8$ ，則 $a$ 的整數部分為 $4$ 位數
(B) 若 $lo g a = - 4.8$ ，則 $a$ 的小點後第 $5$ 位開始不為 $0$
(C) 若 $lo g (lo g a) = 2$ ，則 $a$ 的整數部分為 $101$ 位數
(D) 若 $1 0^{x} = 4.8$ ，則 $x = lo g 4.8$
(E) 若 $lo g a = 4.8$ ， $lo g b = 2.8$ ，則 $a$ 是 $b$ 的 $100$ 倍

在數線上有三點

A (a)

、

B (b)

、

P (x)

，已知

a < b

，且

3∣ x - a ∣ = 2∣ x - b ∣

，試問下列選項哪些正確？

(A) 絕對值 $∣ x - a ∣$ 的幾何意義可視為數線上 $P (x)$ 與 $A (a)$ 的距離
(B) $P$ 在 $\overline{A B}$ 上
(C) $\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 3$
(D) $5∣ x - a ∣ = 3∣ a - b ∣$
(E) $x < \frac{a + b}{2}$

三、填充題：（每格 6 分，共 60 分）（本頁第 9～18 題為卷面填充題的第 (1)～(10) 格；卷面填充題第 1 題有 (1)(2) 兩格，第 2～9 題各一格）

填充第 1 題（第 9～10 題）　化簡下列各式：

(1)

9 - 42 =

____。

(2)

(37 + 1) (349 - 37 + 1) =

____。

已知

x

、

y

皆為有理數，

(2 - 2) x + (1 + 22) y = 4 + 32

，則數對

(x, y)

為 ____。

已知在數線上有

A (- 2)

、

B (5)

、

P (x)

三點，若

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 2

，則

x =

____。

方程式

∣ x + 2∣ + ∣ x - 5∣ = 19

的解為 ____。

不等式

∣ x + 2∣ + 2∣ x - 5∣ \leq 22

的解為 ____。

已知

a

、

b

為實數且

b > 0

，若

∣ a x - 1∣ \leq lo g b

的解為

- 4 \leq x \leq 0

，則數對

(a, b)

為 ____。

若

x

、

y

為實數，且

a > 0

，

b > 0

，已知

2 x + 3 y = 4

，且

lo g a = 2 x

、

lo g b = 3 y

，則

a + b

的最小值為 ____。

若

2^{x} + 2^{- x} = 6

，則

8^{x} + 8^{- x} =

____。

為了準備某校 11 月 12 日的校慶園遊會活動，某班自信推出黃金比例的特調飲料，其中一款是 pH 值為

2

的梅子汁和 pH 值為

3

的可樂以

1 : 8

的比例調製而成，請問這款「梅子可樂」的 pH 值為 ____。（答案需四捨五入至小數點後

1

位）（液體的氫離子濃度為

x

莫耳/公升，pH 值定為

- lo g x

，

lo g 2 \approx 0.3010

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(B)

第 3 題(C)

第 4 題(C)

第 5 題(A)(C)(D)

第 6 題(A)(B)(C)(D)

第 7 題(B)(C)(D)(E)

第 8 題(A)(C)(E)

第 9 題

22 - 1

第 10 題

8

第 11 題

(1, 2)

第 12 題

\frac{11}{5}

或

19

第 13 題

- 8

或

11

第 14 題

- \frac{14}{3} \leq x \leq 10

（學校公布的答案印作

5 \leq x \leq 10

或

- 10 \leq x \leq - 2

，代入檢查不合，見詳解）

第 15 題

(- \frac{1}{2}, 10)

第 16 題

200

第 17 題

198

第 18 題

2.7

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：指數比大小、根式估計、絕對值

第 1 題答案 (A)。三個數都是正數，把它們同時

6

次方再比：

a^{6} = (2^{\frac{1}{2}})^{6} = 2^{3} = 8

，

b^{6} = (3^{\frac{1}{3}})^{6} = 3^{2} = 9

，

c^{6} = 6

。因為

9 > 8 > 6

，且正數的

6

次方愈大、原數愈大，所以

b > a > c

。

指數的分母是

2

、

3

、

6

，取最小公倍數

6

次方，就能把分數指數全部消掉。

第 2 題答案 (B)。

16 < 23 < 25

，所以

4 < 23 < 5

，

21 < 17 + 23 < 22

。而

16 < 21

且

22 < 25

，所以

4 < 17 + 23 < 5

，介在

4

與

5

之間。

第 3 題答案 (C)。由圖，

B

在原點左邊、

A

在原點右邊，所以

b < 0 < a

；且

A

離原點比

B

遠，所以

∣ a ∣ > ∣ b ∣

。(A) 錯：

∣ b ∣ < ∣ a ∣

。

a

是正的、

b

是負的，

a + b = ∣ a ∣ - ∣ b ∣ > 0

，所以

∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ - ∣ b ∣

，(C) 對，(B)、(D) 都錯（

∣ b ∣ - ∣ a ∣

是負數，不可能是絕對值）。(E) 錯：

a - b

是

A

、

B

兩點的距離，等於

∣ a ∣ + ∣ b ∣

，不是

∣ a ∣ - ∣ b ∣

。

可以代一組符合圖的數檢查，例如

a = 3

、

b = - 1

：

∣ a + b ∣ = 2 = ∣ a ∣ - ∣ b ∣

，

∣ a - b ∣ = 4 = ∣ a ∣ + ∣ b ∣

。

第 4 題答案 (C)。

∣ x - 1∣ < k

即

1 - k < x < 1 + k

。

k

是正整數，兩端都是整數且不含端點，區間內的整數是

2 - k, 3 - k, \dots, k

，共

k - (2 - k) + 1 = 2 k - 1

個。

2 k - 1 = 7

，

k = 4

。

驗算：

∣ x - 1∣ < 4

即

- 3 < x < 5

，整數解是

- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4

，恰好

7

個。

02多重選擇 1～2（本頁第 5～6 題）：根式、乘法公式、有理數與無理數

第 5 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：

a + b + 2 ab = (a + b)^{2}

，而

a + b > 0

，所以開根號後就是

a + b

。(B) 錯：

a + b - 2 ab = (a - b)^{2}

，開根號得

∣ a - b ∣

；當

a < b

時

a - b

是負的，等式不成立（例如

a = 1

、

b = 4

，左邊是

1

，右邊是

- 1

）。(C) 對：這是立方差公式，把右邊乘開，

a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3}

。(D) 對：這是和的立方公式。(E) 錯：算幾不等式要求兩數都是正數，

x > 0

時才有

x + \frac{1}{x} \geq 2 x \cdot \frac{1}{x} = 2

；

x < 0

時

x + \frac{1}{x}

是負數（例如

x = - 1

時值為

- 2

），

x = 0

時

\frac{1}{x}

沒有意義。

t^{2} = ∣ t ∣

，不是

t

；(A) 因為括號裡一定是正的才可以直接拿掉根號，(B) 則不行。

第 6 題答案 (A)(B)(C)(D)。(A) 對：任意兩個不相等的實數之間都有無限多個有理數（例如

6 < 2.45

、

2.64 < 7

，所以

2.45

與

2.64

之間的

2.5, 2.51, 2.511, \dots

都在

6

與

7

之間）。(B) 對：

(x + y)^{2} = (x - y)^{2} + 4 x y

。假設

x + y

是有理數，則

4 x y = (x + y)^{2} - (x - y)^{2}

是有理數減有理數，仍是有理數，

x y

也就是有理數，和條件矛盾；所以

x + y

是無理數。(C) 對：

x \neq = 0

，

x = \frac{x ^{7}}{( x ^{3} ) ^{2}}

，是有理數除以不為

0

的有理數，所以是有理數。(D) 對：循環小數都可以化成分數，

34. \overline{109} = 34 + \frac{109}{999}

。(E) 錯：

10

是無理數（

10

不是完全平方數），不能寫成整數相除的分數。

7 = 2 \times 3 + 1

，用

x^{7}

和

x^{3}

把指數「湊」成

1

。

03多重選擇 3～4（本頁第 7～8 題）：常用對數、數線上的分點

第 7 題答案 (B)(C)(D)(E)。(A) 錯：

a = 1 0^{4.8} = 1 0^{0.8} \times 1 0^{4}

，其中

1 < 1 0^{0.8} < 10

，所以

1 0^{4} < a < 1 0^{5}

，整數部分是

5

位數。(B) 對：

- 4.8 = - 5 + 0.2

，

a = 1 0^{0.2} \times 1 0^{- 5}

，其中

1 < 1 0^{0.2} < 10

，所以

0.00001 < a < 0.0001

，小數點後前四位都是

0

，第

5

位開始不為

0

。(C) 對：

lo g (lo g a) = 2

表示

lo g a = 1 0^{2} = 100

，

a = 1 0^{100}

，是

1

後面接

100

個

0

，共

101

位數。(D) 對：這就是

lo g

的定義，

1 0^{x} = 4.8

的

x

記作

lo g 4.8

。(E) 對：

a = 1 0^{4.8}

、

b = 1 0^{2.8}

，

\frac{a}{b} = 1 0^{4.8 - 2.8} = 1 0^{2} = 100

。

把

lo g a

拆成「整數＋介於

0

與

1

之間的小數」，整數部分決定位數或小數點後第幾位開始不為

0

。負數要拆成

- 5 + 0.2

，不是

- 4 - 0.8

。

第 8 題答案 (A)(C)(E)。(A) 對：

∣ x - a ∣

就是數線上

P (x)

與

A (a)

的距離。(C) 對：條件是

3 \overline{P A} = 2 \overline{P B}

，所以

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 3

。滿足這個比的

P

有兩個位置：①

P

在

A

、

B

之間（內分），

\overline{P A} = \frac{2}{5} \overline{A B}

，

x = \frac{3 a + 2 b}{5}

；②

P

在

A

的左邊（外分，離

A

較近所以在

A

那一側），

\overline{P A} = 2 \overline{A B}

，

x = a - 2 (b - a) = 3 a - 2 b

。(B) 錯：情形 ② 的

P

不在

\overline{A B}

上。(D) 錯：情形 ① 是

5∣ x - a ∣ = 2∣ a - b ∣

，情形 ② 是

∣ x - a ∣ = 2∣ a - b ∣

，都不是

5∣ x - a ∣ = 3∣ a - b ∣

。(E) 對：

\overline{P A} < \overline{P B}

表示

P

離

A

比離

B

近，所以

P

在

\overline{A B}

中點的左邊，

x < \frac{a + b}{2}

，兩種情形都成立。

代數檢查：取

a = 0

、

b = 5

，

3∣ x ∣ = 2∣ x - 5∣

的解是

x = 2

或

x = - 10

，都小於中點

2.5

；

x = - 10

不在

\overline{A B}

上。

∣ x - a ∣

看成距離；給定距離比的點要同時想內分與外分兩個位置。

04填充第 (1)～(4) 格（本頁第 9～12 題）：根式化簡、比較係數、分點

第 9 題先把根號裡整理成「

- 2

」的形式：

42 = 28

，所以

9 - 42 = 9 - 28

。找兩數相加為

9

、相乘為

8

：

8

和

1

。

9 - 28 = (8 - 1)^{2}

，而

8 - 1 > 0

，所以

9 - 42 = 8 - 1 = 22 - 1

。

驗算：

(22 - 1)^{2} = 8 - 42 + 1 = 9 - 42

。答案要寫大的減小的，結果才是正數。

第 10 題令

t = 37

，則

349 = t^{2}

，原式

= (t + 1) (t^{2} - t + 1)

。由立方和公式

(t + 1) (t^{2} - t + 1) = t^{3} + 1

，而

t^{3} = 7

，所以答案是

7 + 1 = 8

。

第 11 題左邊整理成

(2 x + y) + (- x + 2 y) 2

。

x

、

y

是有理數，

2

是無理數，所以兩邊的有理數部分、

2

的係數要分別相等：

2 x + y = 4

，

- x + 2 y = 3

。第二式乘以

2

再和第一式相加：

5 y = 10

，

y = 2

，代回得

x = 1

。數對

(x, y) = (1, 2)

。

驗算：

(2 - 2) + 2 (1 + 22) = 4 + 32

。

第 12 題

\overline{A P} = ∣ x + 2∣

，

\overline{B P} = ∣ x - 5∣

，條件是

2∣ x + 2∣ = 3∣ x - 5∣

。

2 (x + 2) = 3 (x - 5)

得

x = 19

；

2 (x + 2) = - 3 (x - 5)

得

5 x = 11

，

x = \frac{11}{5}

。

x = \frac{11}{5}

是

\overline{A B}

的內分點（

\overline{A P} = \frac{21}{5}

、

\overline{B P} = \frac{14}{5}

），

x = 19

是外分點（

\overline{A P} = 21

、

\overline{B P} = 14

）。

題目沒有說

P

在

A

、

B

之間，內分和外分兩種情形都要算。

05填充第 (5)～(7) 格（本頁第 13～15 題）：絕對值方程式與不等式

第 13 題

∣ x + 2∣ + ∣ x - 5∣

是

P (x)

到

- 2

與到

5

的距離和。

P

在

- 2

與

5

之間時距離和恆為

7

，不可能是

19

，所以

P

在外側。①

x > 5

：

(x + 2) + (x - 5) = 2 x - 3 = 19

，

x = 11

。②

x < - 2

：

- (x + 2) - (x - 5) = - 2 x + 3 = 19

，

x = - 8

。解為

x = - 8

或

11

。

也可以這樣想：距離和比

7

多出

12

，

P

要從端點往外走

6

，即

5 + 6 = 11

或

- 2 - 6 = - 8

。

第 14 題分界點是

x = - 2

和

x = 5

，分三段討論。①

x \geq 5

：

(x + 2) + 2 (x - 5) = 3 x - 8 \leq 22

，

x \leq 10

，這一段的解是

5 \leq x \leq 10

。②

- 2 \leq x < 5

：

(x + 2) + 2 (5 - x) = 12 - x \leq 22

，

x \geq - 10

，這一段裡的

x

全部符合，解是

- 2 \leq x < 5

。③

x < - 2

：

- (x + 2) + 2 (5 - x) = 8 - 3 x \leq 22

，

x \geq - \frac{14}{3}

，這一段的解是

- \frac{14}{3} \leq x < - 2

。三段合起來是

- \frac{14}{3} \leq x \leq 10

。學校公布的答案印作「

5 \leq x \leq 10

或

- 10 \leq x \leq - 2

」，本頁答案欄寫的是依卷面式子計算的結果；照卷面印的式子，

x = 0

時左邊是

2 + 10 = 12 \leq 22

成立，

x = - 10

時左邊是

8 + 30 = 38 > 22

不成立，和公布的範圍不合。訂正時請以老師的說明為準。

每一段解出來的範圍都要和那一段本身的範圍取共同部分，最後再把三段合併。第 ② 段解出的

x \geq - 10

要和

- 2 \leq x < 5

取共同部分。

第 15 題解

- 4 \leq x \leq 0

的中點是

- 2

、半徑是

2

，可寫成

∣ x + 2∣ \leq 2

。另一方面，解是有限的區間，所以

a \neq = 0

，

∣ a x - 1∣ = ∣ a ∣ x - \frac{1}{a}

，原不等式即

x - \frac{1}{a} \leq \frac{lo g b}{∣ a ∣}

。比較中點：

\frac{1}{a} = - 2

，

a = - \frac{1}{2}

。比較半徑：

\frac{lo g b}{∣ a ∣} = 2

，

lo g b = 2 \times \frac{1}{2} = 1

，

b = 10

。所以

(a, b) = (- \frac{1}{2}, 10)

。

驗算：

- \frac{1}{2} x - 1 \leq 1

即

- 1 \leq \frac{1}{2} x + 1 \leq 1

，

- 4 \leq x \leq 0

。

絕對值不等式的解是一個區間時，用「中點、半徑」去對；有兩個以上的絕對值就分段討論，每段都要和該段範圍取共同部分。

06填充第 (8)～(10) 格（本頁第 16～18 題）：算幾不等式、指數求值、pH 值

第 16 題由

lo g

的定義，

a = 1 0^{2 x}

，

b = 1 0^{3 y}

，都是正數，而且

ab = 1 0^{2 x} \times 1 0^{3 y} = 1 0^{2 x + 3 y} = 1 0^{4}

。由算幾不等式

\frac{a + b}{2} \geq ab = 1 0^{4} = 100

，所以

a + b \geq 200

。等號在

a = b = 100

時成立，這時

2 x = 3 y = 2

，即

x = 1

、

y = \frac{2}{3}

，確實滿足

2 x + 3 y = 4

。最小值是

200

。

兩數的乘積固定時，和的最小值用算幾不等式求，並要確認等號成立的

x

、

y

存在。

第 17 題設

t = 2^{x}

，則

t + \frac{1}{t} = 6

，所求是

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}}

。把

t + \frac{1}{t}

三次方：

(t + \frac{1}{t})^{3} = t^{3} + 3 t + \frac{3}{t} + \frac{1}{t ^{3}} = t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} + 3 (t + \frac{1}{t})

。所以

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = 6^{3} - 3 \times 6 = 216 - 18 = 198

。

8^{x} = (2^{3})^{x} = (2^{x})^{3}

，所以

8^{x} + 8^{- x}

就是

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}}

。

第 18 題pH 值是

- lo g x

，所以 pH 值為

2

的梅子汁氫離子濃度是

1 0^{- 2}

莫耳/公升，pH 值為

3

的可樂是

1 0^{- 3}

莫耳/公升。取梅子汁

1

公升、可樂

8

公升混合：氫離子共

1 \times 1 0^{- 2} + 8 \times 1 0^{- 3} = 0.018

莫耳，體積

9

公升，濃度是

\frac{0.018}{9} = 0.002 = 2 \times 1 0^{- 3}

莫耳/公升。

lo g 2 \approx 0.3010

表示

2 \approx 1 0^{0.3010}

，所以

2 \times 1 0^{- 3} \approx 1 0^{0.3010 - 3} = 1 0^{- 2.699}

，pH 值

\approx 2.699

，四捨五入到小數點後

1

位是

2.7

。

pH 值不能直接按比例平均（

\frac{2 + 8 \times 3}{9} \approx 2.9

是錯的），要先換回濃度，算出混合後的濃度再取

lo g

。這裡把

1 : 8

當作體積比，混合後體積相加。

lo g

與

10

的次方互換：

lo g a = k

就是

a = 1 0^{k}

。遇到

lo g

的條件，先換成指數式再用指數律。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

松山高中 111 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

松山高中 111 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 2 題的選項 B、C 要用有理數的四則運算仍是有理數來推理；多重選擇第 4 題要同時考慮內分與外分兩個位置，選項 B、D 才判斷得出來；填充第 6 格要分三段討論並和每一段的範圍取共同部分；填充第 10 格的 pH 值不能直接按比例平均，要先換回濃度再換回 pH 值。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

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題目取自松山高中 111 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

松山高中 111 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

一、單選題：（每題 5 分，共 20 分）

若

a = 2^{\frac{1}{2}}

、

b = 3^{\frac{1}{3}}

、

c = 6^{\frac{1}{6}}

，試選出

a

、

b

、

c

的大小關係。

(A) $b > a > c$
(B) $a > b > c$
(C) $c > a > b$
(D) $b > c > a$
(E) $c > b > a$

試問

17 + 23

介在哪兩個連續正整數之間？

(A) $3$ 、 $4$
(B) $4$ 、 $5$
(C) $5$ 、 $6$
(D) $6$ 、 $7$
(E) $7$ 、 $8$

若

A (a)

、

B (b)

兩點在數線上的位置如下圖所示，則下列敘述何者正確？

(A) $∣ b ∣ > ∣ a ∣$
(B) $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$
(C) $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ - ∣ b ∣$
(D) $∣ a + b ∣ = ∣ b ∣ - ∣ a ∣$
(E) $∣ a - b ∣ = ∣ a ∣ - ∣ b ∣$

載入中...

若不等式

∣ x - 1∣ < k

恰有

7

個整數解，且

k

為正整數，則

k

的值為何？

(A) $2$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $5$
(E) $6$

若已知

a > 0

，

b > 0

，下列哪些選項是正確的？

(A) $a + b + 2 ab = a + b$
(B) $a + b - 2 ab = a - b$
(C) $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
(D) $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
(E) 若 $x$ 為任意實數，則 $x + \frac{1}{x} \geq 2$

下列選項何者為真？

(A) $6$ 和 $7$ 之間有無限多個有理數
(B) 若 $x - y$ 為有理數且 $x y$ 為無理數，則 $x + y$ 為無理數
(C) 若 $x$ 為非 $0$ 實數，且 $x^{3}$ 、 $x^{7}$ 亦為有理數，則 $x$ 是有理數
(D) $34. \overline{109}$ 是有理數
(E) $10$ 可化成分數 $\frac{q}{p}$ ，其中 $p$ 、 $q$ 為整數，且 $p \neq = 0$

關於常用對數的敘述，下列哪些選項是正確的？

(A) 若 $lo g a = 4.8$ ，則 $a$ 的整數部分為 $4$ 位數
(B) 若 $lo g a = - 4.8$ ，則 $a$ 的小點後第 $5$ 位開始不為 $0$
(C) 若 $lo g (lo g a) = 2$ ，則 $a$ 的整數部分為 $101$ 位數
(D) 若 $1 0^{x} = 4.8$ ，則 $x = lo g 4.8$
(E) 若 $lo g a = 4.8$ ， $lo g b = 2.8$ ，則 $a$ 是 $b$ 的 $100$ 倍

在數線上有三點

A (a)

、

B (b)

、

P (x)

，已知

a < b

，且

3∣ x - a ∣ = 2∣ x - b ∣

，試問下列選項哪些正確？

(A) 絕對值 $∣ x - a ∣$ 的幾何意義可視為數線上 $P (x)$ 與 $A (a)$ 的距離
(B) $P$ 在 $\overline{A B}$ 上
(C) $\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 3$
(D) $5∣ x - a ∣ = 3∣ a - b ∣$
(E) $x < \frac{a + b}{2}$

三、填充題：（每格 6 分，共 60 分）（本頁第 9～18 題為卷面填充題的第 (1)～(10) 格；卷面填充題第 1 題有 (1)(2) 兩格，第 2～9 題各一格）

填充第 1 題（第 9～10 題）　化簡下列各式：

(1)

9 - 42 =

____。

(2)

(37 + 1) (349 - 37 + 1) =

____。

已知

x

、

y

皆為有理數，

(2 - 2) x + (1 + 22) y = 4 + 32

，則數對

(x, y)

為 ____。

已知在數線上有

A (- 2)

、

B (5)

、

P (x)

三點，若

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 2

，則

x =

____。

方程式

∣ x + 2∣ + ∣ x - 5∣ = 19

的解為 ____。

不等式

∣ x + 2∣ + 2∣ x - 5∣ \leq 22

的解為 ____。

已知

a

、

b

為實數且

b > 0

，若

∣ a x - 1∣ \leq lo g b

的解為

- 4 \leq x \leq 0

，則數對

(a, b)

為 ____。

若

x

、

y

為實數，且

a > 0

，

b > 0

，已知

2 x + 3 y = 4

，且

lo g a = 2 x

、

lo g b = 3 y

，則

a + b

的最小值為 ____。

若

2^{x} + 2^{- x} = 6

，則

8^{x} + 8^{- x} =

____。

為了準備某校 11 月 12 日的校慶園遊會活動，某班自信推出黃金比例的特調飲料，其中一款是 pH 值為

2

的梅子汁和 pH 值為

3

的可樂以

1 : 8

的比例調製而成，請問這款「梅子可樂」的 pH 值為 ____。（答案需四捨五入至小數點後

1

位）（液體的氫離子濃度為

x

莫耳/公升，pH 值定為

- lo g x

，

lo g 2 \approx 0.3010

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(B)

第 3 題(C)

第 4 題(C)

第 5 題(A)(C)(D)

第 6 題(A)(B)(C)(D)

第 7 題(B)(C)(D)(E)

第 8 題(A)(C)(E)

第 9 題

22 - 1

第 10 題

8

第 11 題

(1, 2)

第 12 題

\frac{11}{5}

或

19

第 13 題

- 8

或

11

第 14 題

- \frac{14}{3} \leq x \leq 10

（學校公布的答案印作

5 \leq x \leq 10

或

- 10 \leq x \leq - 2

，代入檢查不合，見詳解）

第 15 題

(- \frac{1}{2}, 10)

第 16 題

200

第 17 題

198

第 18 題

2.7

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：指數比大小、根式估計、絕對值

第 1 題答案 (A)。三個數都是正數，把它們同時

6

次方再比：

a^{6} = (2^{\frac{1}{2}})^{6} = 2^{3} = 8

，

b^{6} = (3^{\frac{1}{3}})^{6} = 3^{2} = 9

，

c^{6} = 6

。因為

9 > 8 > 6

，且正數的

6

次方愈大、原數愈大，所以

b > a > c

。

指數的分母是

2

、

3

、

6

，取最小公倍數

6

次方，就能把分數指數全部消掉。

第 2 題答案 (B)。

16 < 23 < 25

，所以

4 < 23 < 5

，

21 < 17 + 23 < 22

。而

16 < 21

且

22 < 25

，所以

4 < 17 + 23 < 5

，介在

4

與

5

之間。

第 3 題答案 (C)。由圖，

B

在原點左邊、

A

在原點右邊，所以

b < 0 < a

；且

A

離原點比

B

遠，所以

∣ a ∣ > ∣ b ∣

。(A) 錯：

∣ b ∣ < ∣ a ∣

。

a

是正的、

b

是負的，

a + b = ∣ a ∣ - ∣ b ∣ > 0

，所以

∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ - ∣ b ∣

，(C) 對，(B)、(D) 都錯（

∣ b ∣ - ∣ a ∣

是負數，不可能是絕對值）。(E) 錯：

a - b

是

A

、

B

兩點的距離，等於

∣ a ∣ + ∣ b ∣

，不是

∣ a ∣ - ∣ b ∣

。

可以代一組符合圖的數檢查，例如

a = 3

、

b = - 1

：

∣ a + b ∣ = 2 = ∣ a ∣ - ∣ b ∣

，

∣ a - b ∣ = 4 = ∣ a ∣ + ∣ b ∣

。

第 4 題答案 (C)。

∣ x - 1∣ < k

即

1 - k < x < 1 + k

。

k

是正整數，兩端都是整數且不含端點，區間內的整數是

2 - k, 3 - k, \dots, k

，共

k - (2 - k) + 1 = 2 k - 1

個。

2 k - 1 = 7

，

k = 4

。

驗算：

∣ x - 1∣ < 4

即

- 3 < x < 5

，整數解是

- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4

，恰好

7

個。

02多重選擇 1～2（本頁第 5～6 題）：根式、乘法公式、有理數與無理數

第 5 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：

a + b + 2 ab = (a + b)^{2}

，而

a + b > 0

，所以開根號後就是

a + b

。(B) 錯：

a + b - 2 ab = (a - b)^{2}

，開根號得

∣ a - b ∣

；當

a < b

時

a - b

是負的，等式不成立（例如

a = 1

、

b = 4

，左邊是

1

，右邊是

- 1

）。(C) 對：這是立方差公式，把右邊乘開，

a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3}

。(D) 對：這是和的立方公式。(E) 錯：算幾不等式要求兩數都是正數，

x > 0

時才有

x + \frac{1}{x} \geq 2 x \cdot \frac{1}{x} = 2

；

x < 0

時

x + \frac{1}{x}

是負數（例如

x = - 1

時值為

- 2

），

x = 0

時

\frac{1}{x}

沒有意義。

t^{2} = ∣ t ∣

，不是

t

；(A) 因為括號裡一定是正的才可以直接拿掉根號，(B) 則不行。

第 6 題答案 (A)(B)(C)(D)。(A) 對：任意兩個不相等的實數之間都有無限多個有理數（例如

6 < 2.45

、

2.64 < 7

，所以

2.45

與

2.64

之間的

2.5, 2.51, 2.511, \dots

都在

6

與

7

之間）。(B) 對：

(x + y)^{2} = (x - y)^{2} + 4 x y

。假設

x + y

是有理數，則

4 x y = (x + y)^{2} - (x - y)^{2}

是有理數減有理數，仍是有理數，

x y

也就是有理數，和條件矛盾；所以

x + y

是無理數。(C) 對：

x \neq = 0

，

x = \frac{x ^{7}}{( x ^{3} ) ^{2}}

，是有理數除以不為

0

的有理數，所以是有理數。(D) 對：循環小數都可以化成分數，

34. \overline{109} = 34 + \frac{109}{999}

。(E) 錯：

10

是無理數（

10

不是完全平方數），不能寫成整數相除的分數。

7 = 2 \times 3 + 1

，用

x^{7}

和

x^{3}

把指數「湊」成

1

。

03多重選擇 3～4（本頁第 7～8 題）：常用對數、數線上的分點

第 7 題答案 (B)(C)(D)(E)。(A) 錯：

a = 1 0^{4.8} = 1 0^{0.8} \times 1 0^{4}

，其中

1 < 1 0^{0.8} < 10

，所以

1 0^{4} < a < 1 0^{5}

，整數部分是

5

位數。(B) 對：

- 4.8 = - 5 + 0.2

，

a = 1 0^{0.2} \times 1 0^{- 5}

，其中

1 < 1 0^{0.2} < 10

，所以

0.00001 < a < 0.0001

，小數點後前四位都是

0

，第

5

位開始不為

0

。(C) 對：

lo g (lo g a) = 2

表示

lo g a = 1 0^{2} = 100

，

a = 1 0^{100}

，是

1

後面接

100

個

0

，共

101

位數。(D) 對：這就是

lo g

的定義，

1 0^{x} = 4.8

的

x

記作

lo g 4.8

。(E) 對：

a = 1 0^{4.8}

、

b = 1 0^{2.8}

，

\frac{a}{b} = 1 0^{4.8 - 2.8} = 1 0^{2} = 100

。

把

lo g a

拆成「整數＋介於

0

與

1

之間的小數」，整數部分決定位數或小數點後第幾位開始不為

0

。負數要拆成

- 5 + 0.2

，不是

- 4 - 0.8

。

第 8 題答案 (A)(C)(E)。(A) 對：

∣ x - a ∣

就是數線上

P (x)

與

A (a)

的距離。(C) 對：條件是

3 \overline{P A} = 2 \overline{P B}

，所以

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 3

。滿足這個比的

P

有兩個位置：①

P

在

A

、

B

之間（內分），

\overline{P A} = \frac{2}{5} \overline{A B}

，

x = \frac{3 a + 2 b}{5}

；②

P

在

A

的左邊（外分，離

A

較近所以在

A

那一側），

\overline{P A} = 2 \overline{A B}

，

x = a - 2 (b - a) = 3 a - 2 b

。(B) 錯：情形 ② 的

P

不在

\overline{A B}

上。(D) 錯：情形 ① 是

5∣ x - a ∣ = 2∣ a - b ∣

，情形 ② 是

∣ x - a ∣ = 2∣ a - b ∣

，都不是

5∣ x - a ∣ = 3∣ a - b ∣

。(E) 對：

\overline{P A} < \overline{P B}

表示

P

離

A

比離

B

近，所以

P

在

\overline{A B}

中點的左邊，

x < \frac{a + b}{2}

，兩種情形都成立。

代數檢查：取

a = 0

、

b = 5

，

3∣ x ∣ = 2∣ x - 5∣

的解是

x = 2

或

x = - 10

，都小於中點

2.5

；

x = - 10

不在

\overline{A B}

上。

∣ x - a ∣

看成距離；給定距離比的點要同時想內分與外分兩個位置。

04填充第 (1)～(4) 格（本頁第 9～12 題）：根式化簡、比較係數、分點

第 9 題先把根號裡整理成「

- 2

」的形式：

42 = 28

，所以

9 - 42 = 9 - 28

。找兩數相加為

9

、相乘為

8

：

8

和

1

。

9 - 28 = (8 - 1)^{2}

，而

8 - 1 > 0

，所以

9 - 42 = 8 - 1 = 22 - 1

。

驗算：

(22 - 1)^{2} = 8 - 42 + 1 = 9 - 42

。答案要寫大的減小的，結果才是正數。

第 10 題令

t = 37

，則

349 = t^{2}

，原式

= (t + 1) (t^{2} - t + 1)

。由立方和公式

(t + 1) (t^{2} - t + 1) = t^{3} + 1

，而

t^{3} = 7

，所以答案是

7 + 1 = 8

。

第 11 題左邊整理成

(2 x + y) + (- x + 2 y) 2

。

x

、

y

是有理數，

2

是無理數，所以兩邊的有理數部分、

2

的係數要分別相等：

2 x + y = 4

，

- x + 2 y = 3

。第二式乘以

2

再和第一式相加：

5 y = 10

，

y = 2

，代回得

x = 1

。數對

(x, y) = (1, 2)

。

驗算：

(2 - 2) + 2 (1 + 22) = 4 + 32

。

第 12 題

\overline{A P} = ∣ x + 2∣

，

\overline{B P} = ∣ x - 5∣

，條件是

2∣ x + 2∣ = 3∣ x - 5∣

。

2 (x + 2) = 3 (x - 5)

得

x = 19

；

2 (x + 2) = - 3 (x - 5)

得

5 x = 11

，

x = \frac{11}{5}

。

x = \frac{11}{5}

是

\overline{A B}

的內分點（

\overline{A P} = \frac{21}{5}

、

\overline{B P} = \frac{14}{5}

），

x = 19

是外分點（

\overline{A P} = 21

、

\overline{B P} = 14

）。

題目沒有說

P

在

A

、

B

之間，內分和外分兩種情形都要算。

05填充第 (5)～(7) 格（本頁第 13～15 題）：絕對值方程式與不等式

第 13 題

∣ x + 2∣ + ∣ x - 5∣

是

P (x)

到

- 2

與到

5

的距離和。

P

在

- 2

與

5

之間時距離和恆為

7

，不可能是

19

，所以

P

在外側。①

x > 5

：

(x + 2) + (x - 5) = 2 x - 3 = 19

，

x = 11

。②

x < - 2

：

- (x + 2) - (x - 5) = - 2 x + 3 = 19

，

x = - 8

。解為

x = - 8

或

11

。

也可以這樣想：距離和比

7

多出

12

，

P

要從端點往外走

6

，即

5 + 6 = 11

或

- 2 - 6 = - 8

。

第 14 題分界點是

x = - 2

和

x = 5

，分三段討論。①

x \geq 5

：

(x + 2) + 2 (x - 5) = 3 x - 8 \leq 22

，

x \leq 10

，這一段的解是

5 \leq x \leq 10

。②

- 2 \leq x < 5

：

(x + 2) + 2 (5 - x) = 12 - x \leq 22

，

x \geq - 10

，這一段裡的

x

全部符合，解是

- 2 \leq x < 5

。③

x < - 2

：

- (x + 2) + 2 (5 - x) = 8 - 3 x \leq 22

，

x \geq - \frac{14}{3}

，這一段的解是

- \frac{14}{3} \leq x < - 2

。三段合起來是

- \frac{14}{3} \leq x \leq 10

。學校公布的答案印作「

5 \leq x \leq 10

或

- 10 \leq x \leq - 2

」，本頁答案欄寫的是依卷面式子計算的結果；照卷面印的式子，

x = 0

時左邊是

2 + 10 = 12 \leq 22

成立，

x = - 10

時左邊是

8 + 30 = 38 > 22

不成立，和公布的範圍不合。訂正時請以老師的說明為準。

每一段解出來的範圍都要和那一段本身的範圍取共同部分，最後再把三段合併。第 ② 段解出的

x \geq - 10

要和

- 2 \leq x < 5

取共同部分。

第 15 題解

- 4 \leq x \leq 0

的中點是

- 2

、半徑是

2

，可寫成

∣ x + 2∣ \leq 2

。另一方面，解是有限的區間，所以

a \neq = 0

，

∣ a x - 1∣ = ∣ a ∣ x - \frac{1}{a}

，原不等式即

x - \frac{1}{a} \leq \frac{lo g b}{∣ a ∣}

。比較中點：

\frac{1}{a} = - 2

，

a = - \frac{1}{2}

。比較半徑：

\frac{lo g b}{∣ a ∣} = 2

，

lo g b = 2 \times \frac{1}{2} = 1

，

b = 10

。所以

(a, b) = (- \frac{1}{2}, 10)

。

驗算：

- \frac{1}{2} x - 1 \leq 1

即

- 1 \leq \frac{1}{2} x + 1 \leq 1

，

- 4 \leq x \leq 0

。

絕對值不等式的解是一個區間時，用「中點、半徑」去對；有兩個以上的絕對值就分段討論，每段都要和該段範圍取共同部分。

06填充第 (8)～(10) 格（本頁第 16～18 題）：算幾不等式、指數求值、pH 值

第 16 題由

lo g

的定義，

a = 1 0^{2 x}

，

b = 1 0^{3 y}

，都是正數，而且

ab = 1 0^{2 x} \times 1 0^{3 y} = 1 0^{2 x + 3 y} = 1 0^{4}

。由算幾不等式

\frac{a + b}{2} \geq ab = 1 0^{4} = 100

，所以

a + b \geq 200

。等號在

a = b = 100

時成立，這時

2 x = 3 y = 2

，即

x = 1

、

y = \frac{2}{3}

，確實滿足

2 x + 3 y = 4

。最小值是

200

。

兩數的乘積固定時，和的最小值用算幾不等式求，並要確認等號成立的

x

、

y

存在。

第 17 題設

t = 2^{x}

，則

t + \frac{1}{t} = 6

，所求是

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}}

。把

t + \frac{1}{t}

三次方：

(t + \frac{1}{t})^{3} = t^{3} + 3 t + \frac{3}{t} + \frac{1}{t ^{3}} = t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} + 3 (t + \frac{1}{t})

。所以

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = 6^{3} - 3 \times 6 = 216 - 18 = 198

。

8^{x} = (2^{3})^{x} = (2^{x})^{3}

，所以

8^{x} + 8^{- x}

就是

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}}

。

第 18 題pH 值是

- lo g x

，所以 pH 值為

2

的梅子汁氫離子濃度是

1 0^{- 2}

莫耳/公升，pH 值為

3

的可樂是

1 0^{- 3}

莫耳/公升。取梅子汁

1

公升、可樂

8

公升混合：氫離子共

1 \times 1 0^{- 2} + 8 \times 1 0^{- 3} = 0.018

莫耳，體積

9

公升，濃度是

\frac{0.018}{9} = 0.002 = 2 \times 1 0^{- 3}

莫耳/公升。

lo g 2 \approx 0.3010

表示

2 \approx 1 0^{0.3010}

，所以

2 \times 1 0^{- 3} \approx 1 0^{0.3010 - 3} = 1 0^{- 2.699}

，pH 值

\approx 2.699

，四捨五入到小數點後

1

位是

2.7

。

pH 值不能直接按比例平均（

\frac{2 + 8 \times 3}{9} \approx 2.9

是錯的），要先換回濃度，算出混合後的濃度再取

lo g

。這裡把

1 : 8

當作體積比，混合後體積相加。

lo g

與

10

的次方互換：

lo g a = k

就是

a = 1 0^{k}

。遇到

lo g

的條件，先換成指數式再用指數律。

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