段考詳解範圍：對數與對數函數（對數律與換底、對數函數的圖形與平移、對數方程式與不等式、指數與對數的應用）

松山高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題（每題 8 分，共 32 分；錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上不得分）、填充題 10 格（每格 5 分，共 50 分）、混合題 2 題（共 18 分，原卷未印各題配分），合計 100 分。本頁改成全卷連續編號：第 1～4 題是卷面多選第 1～4 題，第 5～14 題是卷面填充第 1～9 題（填充第 2 題的 (1)(2) 是第 6、7 題），第 15、16 題是卷面混合題第 1、2 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題：每題 8 分，共 32 分

下列哪些對數的計算是正確的？

(1) $lo g_{2} (- 3) + lo g_{2} (- 5) = lo g_{2} 15$
(2) $lo g_{2} (- 3)^{2} = 2 lo g_{2} 3$
(3) $(lo g 5) \times (lo g 5) = lo g 25$
(4) $\frac{l o g 27}{l o g 9} = 3$
(5) $2^{l o g_{2} 9} = 9$

關於常用對數函數

y = lo g x

的圖形，試問下列哪些選項是正確的？

(1) 過點 $(1, 0)$
(2) 為嚴格遞增函數
(3) 與任一鉛直線 $x = h$ 恰交於一點
(4) 與 $y = - lo g x$ 的圖形上下對稱於 $x$ 軸
(5) 與 $y = 1 0^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$

對數函數

y = a lo g x

、

y = b lo g x

與

y = c lo g x

的圖形如下，試問下列哪些選項是正確的？

(1) $a > 0$
(2) $c < 0$
(3) $a > b$
(4) $lo g_{a} b > 0$
(5) $lo g_{a} b < 1$

載入中...

關於指數與對數函數的圖形，下列選項哪些是正確的？（多選）

(1) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = 1 0^{- x}$ 對稱於 $y$ 軸
(2) $y = lo g x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 對稱於 $x$ 軸
(3) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 對稱於原點
(4) $y = ∣ lo g x ∣$ 的圖形與 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 沒有交點
(5) 任取 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 圖形上兩不同點 $A$ ， $B$ ，則直線 $A B$ 的斜率為負

二、填充題：每格 5 分，共 50 分

欲使對數

lo g_{x - 1} (- x^{2} + 2 x + 3)

有意義，求實數

x

的範圍 ____

填充第 2 題（第 6～7 題）　設

a = lo g 2

、

b = lo g 3

，將下列各式用

a

、

b

表示：

(1)

lo g 1.2 =

____

(2)

lo g_{0.1} \frac{1}{15} =

____

設

a = lo g_{2} 3

，

b = lo g_{3} 7

，試以

a

，

b

表

lo g_{6} 21 =

____。

y = a lo g x

向右平移

2

單位，向上平移

b

單位，可得函數

y = 3 lo g (x - c) + 4

，其中

b > 0

，則序組

(a, b, c) =

____。

計算

(lo g_{2} 3 + lo g_{8} 27) (lo g_{3} 4 + lo g_{9} 4) =

____。

解下列對數方程式：

lo g (2 x + 1) - lo g (x - 2) = lo g 3

，則

x =

____。

解不等式

\frac{1}{2} lo g_{10} (x + 1) + 2 lo g_{100} (x - 2) > 1

，得

x

的範圍為 ____。

解方程式

lo g (1 0^{x} + 100) = \frac{x}{2} + 1 + lo g 2

。

下圖為眼睛的「亮度感覺」

y

與「照度」

x

（勒克斯）之間的關係圖；其關係為對數函數

y = \frac{a}{l o g 2} \cdot lo g x

，其中

a

是常數。若想讓眼睛的亮度感覺由

1

提升為

2

，則照度須變為原照度的 ____ 倍

載入中...

三、混合題：18 分

放射性物質的半衰期

T

定義為：每經過時間

T

，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質

A

，

B

，開始記錄時，容器中物質

A

的質量為物質

B

的兩倍，而

120

小時後，兩種物質的質量相同。已知物質

A

的半衰期

7.5

小時，請問物質

B

的半衰期為幾小時？（單選）

(1) $8$ 小時
(2) $10$ 小時
(3) $12$ 小時
(4) $15$ 小時
(5) $20$ 小時

某人工作

10

年後，好不容易存到第一桶金（

100

萬元），但靠薪水存錢要買房，恐怕有點困難，於是決定將

100

萬元投入基金和股票的投資。假設此人運氣不錯，每個月結算時都有

2%

的獲利。若買房需要頭期款

300

萬元，則此人至少需要幾個月後（取整數），才有足夠的頭期款買房。（已知

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 1.02 \approx 0.0086

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(5)

第 2 題(1)(2)(4)(5)

第 3 題(1)(2)(3)

第 4 題(1)(2)(5)

第 5 題

1 < x < 3

且

x \neq = 2

第 6 題

2 a + b - 1

第 7 題

b + 1 - a

第 8 題

\frac{a + ab}{1 + a}

第 9 題

(3, 4, 2)

第 10 題

6

第 11 題

7

第 12 題

x > 4

第 13 題

x = 2

第 14 題

10

第 15 題(1)

第 16 題

56

個月

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：多重選擇題

第 1 題

(1) 錯誤。 對數的真數必須是正數， $- 3$ 、 $- 5$ 都不是正數， $lo g_{2} (- 3)$ 、 $lo g_{2} (- 5)$ 沒有意義。

(2) 正確。 先算括號的平方： $(- 3)^{2} = 9$ ，所以 $lo g_{2} (- 3)^{2} = lo g_{2} 9 = lo g_{2} 3^{2} = 2 lo g_{2} 3$ 。

(3) 錯誤。 $lo g 25 = lo g 5^{2} = 2 lo g 5$ ；而 $0 < lo g 5 < 1$ ，所以 $(lo g 5) \times (lo g 5) < lo g 5 < 2 lo g 5$ ，兩邊不相等。

(4) 錯誤。 $lo g 27 = 3 lo g 3$ 、 $lo g 9 = 2 lo g 3$ ，所以 $\frac{l o g 27}{l o g 9} = \frac{3 l o g 3}{2 l o g 3} = \frac{3}{2}$ ，不是 $3$ 。

(5) 正確。 由對數的定義， $2^{l o g_{2} 9}$ 就是「 $2$ 的幾次方等於 $9$ 」的那個次方再放回去，結果是 $9$ 。

答案 (2)(5)。

選項 (2) 常見的錯誤是寫成

2 lo g_{2} (- 3)

：對數律

lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x

只在

x > 0

時才能用。

第 2 題

(1) 正確。 $lo g 1 = 0$ ，所以圖形過 $(1, 0)$ 。

(2) 正確。 底數 $10 > 1$ ， $x$ 越大 $lo g x$ 越大，是嚴格遞增函數。

(3) 錯誤。 $y = lo g x$ 的定義域只有 $x > 0$ 。例如 $h = - 1$ 時，鉛直線 $x = - 1$ 和圖形沒有交點。

(4) 正確。 $y = - lo g x$ 是把 $y = lo g x$ 上每一點 $(x, y)$ 換成 $(x, - y)$ ，所以兩圖形上下對稱於 $x$ 軸。

(5) 正確。 $y = lo g x$ 與 $y = 1 0^{x}$ 互為反函數： $(p, q)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上，則 $(q, p)$ 在 $y = lo g x$ 上，所以兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

答案 (1)(2)(4)(5)。

載入中...

第 3 題

① 取 $x = 10$ ，這時 $lo g x = 1$ ，三條圖形的高度分別是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 。

② 從圖上看， $x = 10$ 時 $y = a lo g x$ 最高、 $y = b lo g x$ 次之且在 $x$ 軸上方、 $y = c lo g x$ 在 $x$ 軸下方，所以 $a > b > 0 > c$ 。

(1) 正確。 $a > 0$ 。

(2) 正確。 $c < 0$ 。

(3) 正確。 $a > b$ 。

(4) 錯誤。 圖只告訴我們 $a > b > 0$ ，看不出 $a$ 、 $b$ 是否大於 $1$ 。例如 $a = 2$ 、 $b = \frac{1}{2}$ 也符合圖形，但 $lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1 < 0$ 。

(5) 錯誤。 例如 $a = \frac{1}{2}$ 、 $b = \frac{1}{4}$ 也符合 $a > b > 0$ ，但 $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2 > 1$ 。

答案 (1)(2)(3)。

載入中...

a > 1

時，由

0 < b < a

可得

lo g_{a} b < 1

；

0 < a < 1

時，

0 < b < a

反而得到

lo g_{a} b > 1

。圖形沒有給刻度，兩種情形都可能，所以 (4)(5) 都不一定成立。

第 4 題

(1) 正確。 $y = 1 0^{- x}$ 是把 $y = 1 0^{x}$ 的 $x$ 換成 $- x$ ，兩圖形左右對稱於 $y$ 軸。

(2) 正確。 換底： $lo g_{\frac{1}{10}} x = \frac{l o g x}{l o g \frac{1}{10}} = \frac{l o g x}{- 1} = - lo g x$ ，所以和 $y = lo g x$ 對稱於 $x$ 軸。

(3) 錯誤。 兩者互為反函數，是對稱於直線 $y = x$ 。反例： $(0, 1)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上，它對原點的對稱點 $(0, - 1)$ 不在 $y = lo g x$ 上（ $x = 0$ 時 $lo g x$ 沒有意義）。

(4) 錯誤。 取 $x = \frac{1}{100}$ ： $∣ lo g x ∣ = 2$ ，直線的高度是 $\frac{1}{200} + 2$ ，直線在上方。

取 $x = \frac{1}{1000}$ ： $∣ lo g x ∣ = 3$ ，直線的高度是 $\frac{1}{2000} + 2$ ，曲線在上方。

$x$ 從 $\frac{1}{1000}$ 走到 $\frac{1}{100}$ 時兩個圖形上下位置互換，中間一定相交（如下圖的交點 $P$ ；圖中方框是 $P$ 附近的放大，可以看出 $P$ 在 $y$ 軸右側）。

(5) 正確。 底數 $\frac{1}{10}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，函數嚴格遞減：若 $x_{1} < x_{2}$ ，則 $y_{1} > y_{2}$ ，所以斜率 $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} < 0$ 。

答案 (1)(2)(5)。

載入中...

(4) 的交點非常靠近

y

軸（

x

介於

\frac{1}{1000}

與

\frac{1}{100}

之間），只看大致的圖形容易誤以為沒有交點。

對數律只對正的真數成立；判斷圖形對稱先看「把 x 換成 −x」「把 y 換成 −y」或「x、y 互換」；由圖形判斷係數時，取 x＝10 讓 log x 等於 1 最方便。

02第 5～14 題：填充題

第 5 題

① 底數要大於 $0$ 且不等於 $1$ ： $x - 1 > 0$ 且 $x - 1 \neq = 1$ ，得 $x > 1$ 且 $x \neq = 2$ 。

② 真數要大於 $0$ ： $- x^{2} + 2 x + 3 > 0$ ，即 $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 。

$(x - 3) (x + 1) < 0 \Rightarrow - 1 < x < 3$

③ 兩個條件取交集（如下圖）。

答案 $1 < x < 3$ 且 $x \neq = 2$ 。

載入中...

第 6 題

① $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{2 ^{2} \times 3}{10}$ 。

② $lo g 1.2 = 2 lo g 2 + lo g 3 - lo g 10 = 2 a + b - 1$ 。

答案 $2 a + b - 1$ 。

第 7 題

① 換成常用對數： $lo g_{0.1} \frac{1}{15} = \frac{l o g \frac{1}{15}}{l o g 0.1} = \frac{- l o g 15}{- 1} = lo g 15$ 。

② $15 = 3 \times \frac{10}{2}$ ，所以 $lo g 15 = lo g 3 + lo g 10 - lo g 2 = b + 1 - a$ 。

答案 $b + 1 - a$ 。

第 8 題

① 用換底公式換成以 $2$ 為底：

$lo g_{6} 21 = \frac{lo g _{2} 21}{lo g _{2} 6} = \frac{lo g _{2} 3 + lo g _{2} 7}{lo g _{2} 2 + lo g _{2} 3}$

② $lo g_{2} 7 = lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 7 = ab$ ，且 $lo g_{2} 2 = 1$ 。

③ 代入得 $lo g_{6} 21 = \frac{a + ab}{1 + a}$ 。

答案 $\frac{a + ab}{1 + a}$ 。

第 9 題

① 向右平移 $2$ 單位： $x$ 換成 $x - 2$ ，得 $y = a lo g (x - 2)$ 。

② 再向上平移 $b$ 單位：得 $y = a lo g (x - 2) + b$ 。

③ 和 $y = 3 lo g (x - c) + 4$ 比較： $a = 3$ ， $b = 4$ ， $c = 2$ ，且 $b = 4 > 0$ 符合條件。

答案 $(3, 4, 2)$ 。

載入中...

平移時圖形上每一點都跟著移動，例如

(1, 0)

移到

(3, 4)

；鉛直漸近線也由

x = 0

移到

x = 2

。

第 10 題

① $lo g_{8} 27 = lo g_{2^{3}} 3^{3} = lo g_{2} 3$ ，所以第一個括號是 $2 lo g_{2} 3$ 。

② $lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2$ ， $lo g_{9} 4 = lo g_{3^{2}} 2^{2} = lo g_{3} 2$ ，所以第二個括號是 $3 lo g_{3} 2$ 。

③ 相乘： $2 lo g_{2} 3 \times 3 lo g_{3} 2 = 6 \times (lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2) = 6 \times 1 = 6$ 。

答案 $6$ 。

第 11 題

① 真數條件： $2 x + 1 > 0$ 且 $x - 2 > 0$ ，所以 $x > 2$ 。

② 左邊合併： $lo g \frac{2 x + 1}{x - 2} = lo g 3$ ，所以 $\frac{2 x + 1}{x - 2} = 3$ 。

③ $2 x + 1 = 3 x - 6$ ，得 $x = 7$ ，符合 $x > 2$ 。

答案 $7$ 。

第 12 題

① 真數條件： $x + 1 > 0$ 且 $x - 2 > 0$ ，所以 $x > 2$ 。

② 換成常用對數： $lo g_{10} (x + 1) = \frac{l o g ( x + 1 )}{\frac{1}{2}} = 2 lo g (x + 1)$ ， $lo g_{100} (x - 2) = \frac{l o g ( x - 2 )}{2}$ 。

③ 不等式變成 $lo g (x + 1) + lo g (x - 2) > 1$ ，即 $lo g [(x + 1) (x - 2)] > lo g 10$ 。

④ 底數 $10 > 1$ ，所以 $(x + 1) (x - 2) > 10$ ：

$x^{2} - x - 12 > 0 \Rightarrow (x - 4) (x + 3) > 0 \Rightarrow x < - 3 或 x > 4$

⑤ 和 $x > 2$ 取交集（如下圖）。

答案 $x > 4$ 。

載入中...

第 13 題

① 右邊寫成一個對數： $\frac{x}{2} + 1 + lo g 2 = lo g 1 0^{\frac{x}{2}} + lo g 10 + lo g 2 = lo g (20 \times 1 0^{\frac{x}{2}})$ 。

② 所以 $1 0^{x} + 100 = 20 \times 1 0^{\frac{x}{2}}$ 。

③ 令 $t = 1 0^{\frac{x}{2}} > 0$ ，則 $1 0^{x} = t^{2}$ ：

$t^{2} - 20 t + 100 = 0 \Rightarrow (t - 10)^{2} = 0 \Rightarrow t = 10$

④ $1 0^{\frac{x}{2}} = 10$ ，得 $\frac{x}{2} = 1$ ， $x = 2$ 。

答案 $x = 2$ 。

載入中...

t

的方程式是完全平方（重根），所以兩邊的圖形只在

x = 2

碰在一起，如下圖。

第 14 題

① 圖形過 $(10, 1)$ ： $1 = \frac{a}{l o g 2} \times lo g 10 = \frac{a}{l o g 2}$ ，所以 $a = lo g 2$ 。

② 代回得關係式 $y = lo g x$ 。

③ 亮度感覺 $1$ ： $lo g x = 1$ ， $x = 10$ ；亮度感覺 $2$ ： $lo g x = 2$ ， $x = 100$ 。

④ $100 \div 10 = 10$ 。

答案 $10$ 倍。

載入中...

也可以不先求

a

：亮度感覺增加

1

，就是

lo g x_{2} - lo g x_{1} = lo g \frac{x _{2}}{x _{1}} = 1

，所以

\frac{x _{2}}{x _{1}} = 10

。

對數題先寫底數與真數的條件；不同底的對數先換成同一個底再合併；方程式裡同時有 10 的 x 次方與 x/2 次方時，令 t 等於 10 的 x/2 次方化成二次方程式。

03第 15、16 題：混合題

第 15 題

① 設開始時物質 $B$ 的質量為 $m$ ，則物質 $A$ 為 $2 m$ 。

② $120$ 小時是 $A$ 的 $\frac{120}{7.5} = 16$ 個半衰期，所以 $A$ 剩下 $2 m \times (\frac{1}{2})^{16} = m \times (\frac{1}{2})^{15}$ 。

③ 設 $B$ 的半衰期為 $T$ 小時， $B$ 剩下 $m \times (\frac{1}{2})^{\frac{120}{T}}$ 。

④ 兩者相等： $\frac{120}{T} = 15$ ，得 $T = 8$ 。

答案 (1)， $8$ 小時。

載入中...

下圖把兩種物質的質量取以

2

為底的對數（以

m

為

1

），質量的變化就變成直線：

A

從

1

開始、每

7.5

小時下降

1

；

B

從

0

開始，兩線在第

120

小時交於

- 15

。

第 16 題

① 每個月獲利 $2%$ ， $n$ 個月後本利和為 $100 \times 1.0 2^{n}$ 萬元。

② 要 $100 \times 1.0 2^{n} \geq 300$ ，即 $1.0 2^{n} \geq 3$ 。

③ 兩邊取常用對數： $n lo g 1.02 \geq lo g 3$ ，所以

$n \geq \frac{lo g 3}{lo g 1.02} \approx \frac{0.4771}{0.0086} \approx 55.48$

④ $n$ 是整數，最小取 $56$ 。

答案 $56$ 個月。

載入中...

半衰期問題把經過的時間除以半衰期，得到乘了幾次二分之一；複利問題寫成本金乘上 1 加利率的 n 次方，再取常用對數求 n。

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常見問題

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本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

松山高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題由圖只能看出 a 大於 b 大於 0 大於 c，看不出 a、b 是否大於 1，所以 log 以 a 為底的 b 兩個選項都不一定成立；第 4 題 y 等於 log x 的絕對值在 x 很接近 0 時會變得很大，一定和直線相交；第 12 題要先把兩個對數換成常用對數，再和真數條件取交集；第 13 題移項後是 10 的 x/2 次方的完全平方式。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自松山高中 110 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：對數與對數函數（對數律與換底、對數函數的圖形與平移、對數方程式與不等式、指數與對數的應用）

松山高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、多重選擇題：每題 8 分，共 32 分

下列哪些對數的計算是正確的？

(1) $lo g_{2} (- 3) + lo g_{2} (- 5) = lo g_{2} 15$
(2) $lo g_{2} (- 3)^{2} = 2 lo g_{2} 3$
(3) $(lo g 5) \times (lo g 5) = lo g 25$
(4) $\frac{l o g 27}{l o g 9} = 3$
(5) $2^{l o g_{2} 9} = 9$

關於常用對數函數

y = lo g x

的圖形，試問下列哪些選項是正確的？

(1) 過點 $(1, 0)$
(2) 為嚴格遞增函數
(3) 與任一鉛直線 $x = h$ 恰交於一點
(4) 與 $y = - lo g x$ 的圖形上下對稱於 $x$ 軸
(5) 與 $y = 1 0^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$

對數函數

y = a lo g x

、

y = b lo g x

與

y = c lo g x

的圖形如下，試問下列哪些選項是正確的？

(1) $a > 0$
(2) $c < 0$
(3) $a > b$
(4) $lo g_{a} b > 0$
(5) $lo g_{a} b < 1$

載入中...

關於指數與對數函數的圖形，下列選項哪些是正確的？（多選）

(1) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = 1 0^{- x}$ 對稱於 $y$ 軸
(2) $y = lo g x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 對稱於 $x$ 軸
(3) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 對稱於原點
(4) $y = ∣ lo g x ∣$ 的圖形與 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 沒有交點
(5) 任取 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 圖形上兩不同點 $A$ ， $B$ ，則直線 $A B$ 的斜率為負

二、填充題：每格 5 分，共 50 分

欲使對數

lo g_{x - 1} (- x^{2} + 2 x + 3)

有意義，求實數

x

的範圍 ____

填充第 2 題（第 6～7 題）　設

a = lo g 2

、

b = lo g 3

，將下列各式用

a

、

b

表示：

(1)

lo g 1.2 =

____

(2)

lo g_{0.1} \frac{1}{15} =

____

設

a = lo g_{2} 3

，

b = lo g_{3} 7

，試以

a

，

b

表

lo g_{6} 21 =

____。

y = a lo g x

向右平移

2

單位，向上平移

b

單位，可得函數

y = 3 lo g (x - c) + 4

，其中

b > 0

，則序組

(a, b, c) =

____。

計算

(lo g_{2} 3 + lo g_{8} 27) (lo g_{3} 4 + lo g_{9} 4) =

____。

解下列對數方程式：

lo g (2 x + 1) - lo g (x - 2) = lo g 3

，則

x =

____。

解不等式

\frac{1}{2} lo g_{10} (x + 1) + 2 lo g_{100} (x - 2) > 1

，得

x

的範圍為 ____。

解方程式

lo g (1 0^{x} + 100) = \frac{x}{2} + 1 + lo g 2

。

下圖為眼睛的「亮度感覺」

y

與「照度」

x

（勒克斯）之間的關係圖；其關係為對數函數

y = \frac{a}{l o g 2} \cdot lo g x

，其中

a

是常數。若想讓眼睛的亮度感覺由

1

提升為

2

，則照度須變為原照度的 ____ 倍

載入中...

三、混合題：18 分

放射性物質的半衰期

T

定義為：每經過時間

T

，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質

A

，

B

，開始記錄時，容器中物質

A

的質量為物質

B

的兩倍，而

120

小時後，兩種物質的質量相同。已知物質

A

的半衰期

7.5

小時，請問物質

B

的半衰期為幾小時？（單選）

(1) $8$ 小時
(2) $10$ 小時
(3) $12$ 小時
(4) $15$ 小時
(5) $20$ 小時

某人工作

10

年後，好不容易存到第一桶金（

100

萬元），但靠薪水存錢要買房，恐怕有點困難，於是決定將

100

萬元投入基金和股票的投資。假設此人運氣不錯，每個月結算時都有

2%

的獲利。若買房需要頭期款

300

萬元，則此人至少需要幾個月後（取整數），才有足夠的頭期款買房。（已知

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 1.02 \approx 0.0086

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(5)

第 2 題(1)(2)(4)(5)

第 3 題(1)(2)(3)

第 4 題(1)(2)(5)

第 5 題

1 < x < 3

且

x \neq = 2

第 6 題

2 a + b - 1

第 7 題

b + 1 - a

第 8 題

\frac{a + ab}{1 + a}

第 9 題

(3, 4, 2)

第 10 題

6

第 11 題

7

第 12 題

x > 4

第 13 題

x = 2

第 14 題

10

第 15 題(1)

第 16 題

56

個月

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：多重選擇題

第 1 題

(1) 錯誤。 對數的真數必須是正數， $- 3$ 、 $- 5$ 都不是正數， $lo g_{2} (- 3)$ 、 $lo g_{2} (- 5)$ 沒有意義。

(2) 正確。 先算括號的平方： $(- 3)^{2} = 9$ ，所以 $lo g_{2} (- 3)^{2} = lo g_{2} 9 = lo g_{2} 3^{2} = 2 lo g_{2} 3$ 。

(3) 錯誤。 $lo g 25 = lo g 5^{2} = 2 lo g 5$ ；而 $0 < lo g 5 < 1$ ，所以 $(lo g 5) \times (lo g 5) < lo g 5 < 2 lo g 5$ ，兩邊不相等。

(4) 錯誤。 $lo g 27 = 3 lo g 3$ 、 $lo g 9 = 2 lo g 3$ ，所以 $\frac{l o g 27}{l o g 9} = \frac{3 l o g 3}{2 l o g 3} = \frac{3}{2}$ ，不是 $3$ 。

(5) 正確。 由對數的定義， $2^{l o g_{2} 9}$ 就是「 $2$ 的幾次方等於 $9$ 」的那個次方再放回去，結果是 $9$ 。

答案 (2)(5)。

選項 (2) 常見的錯誤是寫成

2 lo g_{2} (- 3)

：對數律

lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x

只在

x > 0

時才能用。

第 2 題

(1) 正確。 $lo g 1 = 0$ ，所以圖形過 $(1, 0)$ 。

(2) 正確。 底數 $10 > 1$ ， $x$ 越大 $lo g x$ 越大，是嚴格遞增函數。

(3) 錯誤。 $y = lo g x$ 的定義域只有 $x > 0$ 。例如 $h = - 1$ 時，鉛直線 $x = - 1$ 和圖形沒有交點。

(4) 正確。 $y = - lo g x$ 是把 $y = lo g x$ 上每一點 $(x, y)$ 換成 $(x, - y)$ ，所以兩圖形上下對稱於 $x$ 軸。

(5) 正確。 $y = lo g x$ 與 $y = 1 0^{x}$ 互為反函數： $(p, q)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上，則 $(q, p)$ 在 $y = lo g x$ 上，所以兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

答案 (1)(2)(4)(5)。

載入中...

第 3 題

① 取 $x = 10$ ，這時 $lo g x = 1$ ，三條圖形的高度分別是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 。

② 從圖上看， $x = 10$ 時 $y = a lo g x$ 最高、 $y = b lo g x$ 次之且在 $x$ 軸上方、 $y = c lo g x$ 在 $x$ 軸下方，所以 $a > b > 0 > c$ 。

(1) 正確。 $a > 0$ 。

(2) 正確。 $c < 0$ 。

(3) 正確。 $a > b$ 。

(4) 錯誤。 圖只告訴我們 $a > b > 0$ ，看不出 $a$ 、 $b$ 是否大於 $1$ 。例如 $a = 2$ 、 $b = \frac{1}{2}$ 也符合圖形，但 $lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1 < 0$ 。

(5) 錯誤。 例如 $a = \frac{1}{2}$ 、 $b = \frac{1}{4}$ 也符合 $a > b > 0$ ，但 $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2 > 1$ 。

答案 (1)(2)(3)。

載入中...

a > 1

時，由

0 < b < a

可得

lo g_{a} b < 1

；

0 < a < 1

時，

0 < b < a

反而得到

lo g_{a} b > 1

。圖形沒有給刻度，兩種情形都可能，所以 (4)(5) 都不一定成立。

第 4 題

(1) 正確。 $y = 1 0^{- x}$ 是把 $y = 1 0^{x}$ 的 $x$ 換成 $- x$ ，兩圖形左右對稱於 $y$ 軸。

(2) 正確。 換底： $lo g_{\frac{1}{10}} x = \frac{l o g x}{l o g \frac{1}{10}} = \frac{l o g x}{- 1} = - lo g x$ ，所以和 $y = lo g x$ 對稱於 $x$ 軸。

(4) 錯誤。 取 $x = \frac{1}{100}$ ： $∣ lo g x ∣ = 2$ ，直線的高度是 $\frac{1}{200} + 2$ ，直線在上方。

取 $x = \frac{1}{1000}$ ： $∣ lo g x ∣ = 3$ ，直線的高度是 $\frac{1}{2000} + 2$ ，曲線在上方。

(5) 正確。 底數 $\frac{1}{10}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，函數嚴格遞減：若 $x_{1} < x_{2}$ ，則 $y_{1} > y_{2}$ ，所以斜率 $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} < 0$ 。

答案 (1)(2)(5)。

載入中...

(4) 的交點非常靠近

y

軸（

x

介於

\frac{1}{1000}

與

\frac{1}{100}

之間），只看大致的圖形容易誤以為沒有交點。

對數律只對正的真數成立；判斷圖形對稱先看「把 x 換成 −x」「把 y 換成 −y」或「x、y 互換」；由圖形判斷係數時，取 x＝10 讓 log x 等於 1 最方便。

02第 5～14 題：填充題

第 5 題

① 底數要大於 $0$ 且不等於 $1$ ： $x - 1 > 0$ 且 $x - 1 \neq = 1$ ，得 $x > 1$ 且 $x \neq = 2$ 。

② 真數要大於 $0$ ： $- x^{2} + 2 x + 3 > 0$ ，即 $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 。

$(x - 3) (x + 1) < 0 \Rightarrow - 1 < x < 3$

③ 兩個條件取交集（如下圖）。

答案 $1 < x < 3$ 且 $x \neq = 2$ 。

載入中...

第 6 題

① $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{2 ^{2} \times 3}{10}$ 。

② $lo g 1.2 = 2 lo g 2 + lo g 3 - lo g 10 = 2 a + b - 1$ 。

答案 $2 a + b - 1$ 。

第 7 題

① 換成常用對數： $lo g_{0.1} \frac{1}{15} = \frac{l o g \frac{1}{15}}{l o g 0.1} = \frac{- l o g 15}{- 1} = lo g 15$ 。

② $15 = 3 \times \frac{10}{2}$ ，所以 $lo g 15 = lo g 3 + lo g 10 - lo g 2 = b + 1 - a$ 。

答案 $b + 1 - a$ 。

第 8 題

① 用換底公式換成以 $2$ 為底：

$lo g_{6} 21 = \frac{lo g _{2} 21}{lo g _{2} 6} = \frac{lo g _{2} 3 + lo g _{2} 7}{lo g _{2} 2 + lo g _{2} 3}$

② $lo g_{2} 7 = lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 7 = ab$ ，且 $lo g_{2} 2 = 1$ 。

③ 代入得 $lo g_{6} 21 = \frac{a + ab}{1 + a}$ 。

答案 $\frac{a + ab}{1 + a}$ 。

第 9 題

① 向右平移 $2$ 單位： $x$ 換成 $x - 2$ ，得 $y = a lo g (x - 2)$ 。

② 再向上平移 $b$ 單位：得 $y = a lo g (x - 2) + b$ 。

③ 和 $y = 3 lo g (x - c) + 4$ 比較： $a = 3$ ， $b = 4$ ， $c = 2$ ，且 $b = 4 > 0$ 符合條件。

答案 $(3, 4, 2)$ 。

載入中...

平移時圖形上每一點都跟著移動，例如

(1, 0)

移到

(3, 4)

；鉛直漸近線也由

x = 0

移到

x = 2

。

第 10 題

① $lo g_{8} 27 = lo g_{2^{3}} 3^{3} = lo g_{2} 3$ ，所以第一個括號是 $2 lo g_{2} 3$ 。

② $lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2$ ， $lo g_{9} 4 = lo g_{3^{2}} 2^{2} = lo g_{3} 2$ ，所以第二個括號是 $3 lo g_{3} 2$ 。

③ 相乘： $2 lo g_{2} 3 \times 3 lo g_{3} 2 = 6 \times (lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2) = 6 \times 1 = 6$ 。

答案 $6$ 。

第 11 題

① 真數條件： $2 x + 1 > 0$ 且 $x - 2 > 0$ ，所以 $x > 2$ 。

② 左邊合併： $lo g \frac{2 x + 1}{x - 2} = lo g 3$ ，所以 $\frac{2 x + 1}{x - 2} = 3$ 。

③ $2 x + 1 = 3 x - 6$ ，得 $x = 7$ ，符合 $x > 2$ 。

答案 $7$ 。

第 12 題

① 真數條件： $x + 1 > 0$ 且 $x - 2 > 0$ ，所以 $x > 2$ 。

② 換成常用對數： $lo g_{10} (x + 1) = \frac{l o g ( x + 1 )}{\frac{1}{2}} = 2 lo g (x + 1)$ ， $lo g_{100} (x - 2) = \frac{l o g ( x - 2 )}{2}$ 。

③ 不等式變成 $lo g (x + 1) + lo g (x - 2) > 1$ ，即 $lo g [(x + 1) (x - 2)] > lo g 10$ 。

④ 底數 $10 > 1$ ，所以 $(x + 1) (x - 2) > 10$ ：

$x^{2} - x - 12 > 0 \Rightarrow (x - 4) (x + 3) > 0 \Rightarrow x < - 3 或 x > 4$

⑤ 和 $x > 2$ 取交集（如下圖）。

答案 $x > 4$ 。

載入中...

第 13 題

① 右邊寫成一個對數： $\frac{x}{2} + 1 + lo g 2 = lo g 1 0^{\frac{x}{2}} + lo g 10 + lo g 2 = lo g (20 \times 1 0^{\frac{x}{2}})$ 。

② 所以 $1 0^{x} + 100 = 20 \times 1 0^{\frac{x}{2}}$ 。

③ 令 $t = 1 0^{\frac{x}{2}} > 0$ ，則 $1 0^{x} = t^{2}$ ：

$t^{2} - 20 t + 100 = 0 \Rightarrow (t - 10)^{2} = 0 \Rightarrow t = 10$

④ $1 0^{\frac{x}{2}} = 10$ ，得 $\frac{x}{2} = 1$ ， $x = 2$ 。

答案 $x = 2$ 。

載入中...

t

的方程式是完全平方（重根），所以兩邊的圖形只在

x = 2

碰在一起，如下圖。

第 14 題

① 圖形過 $(10, 1)$ ： $1 = \frac{a}{l o g 2} \times lo g 10 = \frac{a}{l o g 2}$ ，所以 $a = lo g 2$ 。

② 代回得關係式 $y = lo g x$ 。

③ 亮度感覺 $1$ ： $lo g x = 1$ ， $x = 10$ ；亮度感覺 $2$ ： $lo g x = 2$ ， $x = 100$ 。

④ $100 \div 10 = 10$ 。

答案 $10$ 倍。

載入中...

也可以不先求

a

：亮度感覺增加

1

，就是

lo g x_{2} - lo g x_{1} = lo g \frac{x _{2}}{x _{1}} = 1

，所以

\frac{x _{2}}{x _{1}} = 10

。

03第 15、16 題：混合題

第 15 題

① 設開始時物質 $B$ 的質量為 $m$ ，則物質 $A$ 為 $2 m$ 。

② $120$ 小時是 $A$ 的 $\frac{120}{7.5} = 16$ 個半衰期，所以 $A$ 剩下 $2 m \times (\frac{1}{2})^{16} = m \times (\frac{1}{2})^{15}$ 。

③ 設 $B$ 的半衰期為 $T$ 小時， $B$ 剩下 $m \times (\frac{1}{2})^{\frac{120}{T}}$ 。

④ 兩者相等： $\frac{120}{T} = 15$ ，得 $T = 8$ 。

答案 (1)， $8$ 小時。

載入中...

下圖把兩種物質的質量取以

2

為底的對數（以

m

為

1

），質量的變化就變成直線：

A

從

1

開始、每

7.5

小時下降

1

；

B

從

0

開始，兩線在第

120

小時交於

- 15

。

第 16 題

① 每個月獲利 $2%$ ， $n$ 個月後本利和為 $100 \times 1.0 2^{n}$ 萬元。

② 要 $100 \times 1.0 2^{n} \geq 300$ ，即 $1.0 2^{n} \geq 3$ 。

③ 兩邊取常用對數： $n lo g 1.02 \geq lo g 3$ ，所以

$n \geq \frac{lo g 3}{lo g 1.02} \approx \frac{0.4771}{0.0086} \approx 55.48$

④ $n$ 是整數，最小取 $56$ 。

答案 $56$ 個月。

載入中...

半衰期問題把經過的時間除以半衰期，得到乘了幾次二分之一；複利問題寫成本金乘上 1 加利率的 n 次方，再取常用對數求 n。

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