段考詳解範圍：弧度量、扇形、正弦函數的圖形與週期

台中女中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單一選擇題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、填充題 10 格（每格 7 分，共 70 分）、混合題 3 題（第 13 至 15 題為題組題，依序是單選題 5 分、做圖題 7 分、計算題 8 分，共 20 分）。卷面大題編號由二直接跳到四，答案卷則把第 13 至 15 題列為「三、計算題」，並註明填充題全對才給分，本頁照卷面原樣。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單一選擇題（每題 5 分，共 10 分。）

設

a = sin 2

，

b = sin 4

、

c = cos 6

、

d = cos 8

，則

a

、

b

、

c

、

d

的大小順序為

(A) $a > b > c > d$
(B) $c > a > d > b$
(C) $a > c > b > d$
(D) $c > d > b > a$
(E) $d > c > b > a$

在太陽系中除了地球之外還有眾多行星，每個行星各有獨特的環境與地貌，公轉、自轉方式也不盡相同，這也表示這些行星在計算一日與一年的單位時間也大不相同。地球的一天有

24

小時，一年

365

天，你已經習慣了用地球時間計算自己的生日與年紀，那在其他星球上你的年齡又會是多少呢？在 Exploratorium 的年齡計算網站上面，你只需要輸入你的西元出生年月日，就會自動計算出你在各星球上的年齡、日齡。例如甲生在某天輸入他的生日為西元

2004

年

3

月

19

日出生，得到下列的資料（即輸入的時間距離他的出生日約為

6009.6

日，換算後約為

16.4

年，即

16.4

歲）：

星球 日齡 年齡 水星 102.5 68.3 金星 24.7 26.7 地球 6009.6 16.4 火星 5834.5 8.7 木星 14657.5 1.38 土星 13354.6 0.55 天王星 8346.6 0.19 海王星 8969.5 0.09

因此，若甲生居住在火星上，以火星繞行太陽一圈為一火星年，則甲生在火星上就是

8.7

歲。而相傳巴比倫人是因為地球繞行太陽一圈約需

365

天，因此取一概數，將圓的周角做

360

等分，每一等分的圓心角定義為

1

度。若按照此想法，以該星球繞行太陽一圈所需的天數來做為圓之周角等分的份數，並定義出該星球上的角度測量單位。例如火星繞行太陽公轉一週約需

668

火星日，則可能定義圓的周角為

660

火星度。請問根據上述表格的資料，在海王星上圓的周角最可能是多少海王星度？

(A) $1$
(B) $9000$
(C) $10000$
(D) $90000$
(E) $100000$

二、填充題（每格 7 分，共 70 分。）

sin \frac{3 π}{2} + cos \frac{5 π}{6} \cdot tan \frac{4 π}{3} - cos π =

____。

已知

tan θ = 3

且

π < θ < \frac{3 π}{2}

，則

sin θ =

____。

設

O

為地球球心，已知

A

與

B

兩地測得的距離為

900

公里，且兩地的太陽光入射角分別為

8^{\circ}

與

0^{\circ}

（示意圖如下圖），則地球的半徑約為 ____ 公里。（圓周率

π

以

3.14

計算，四捨五入取到整數位）

載入中...

已知有一扇形的半徑為

10

，周長為

50

，則此扇形的面積為 ____。

若

y = sin (x - h)

的圖形與

y = sin (x + \frac{π}{3})

的圖形重合，且

0 \leq h \leq 10 π

，則

h

的值有 ____ 種可能。

方程式

10 sin x + x = 0

的實根有 ____ 個。

下圖為

y = a + b sin (c x)

的部分圖形，其中

b > 0

，

c > 0

。已知圖形的最大值為

3

，最小值為

- 1

，則數對

(a, b, c) =

____。

載入中...

設

0 \leq x \leq 4 π

，則方程式

sin x = - \frac{3}{2}

的所有解之和為 ____。

已知

\frac{13}{7}

可化成有

6

位循環節的循環小數，則小數點後第

2020

位的數字是 ____。

如下圖所示，在邊長為

4

公分與

43

公分的矩形中，以左下角與右下角為圓心，矩形的短邊為半徑畫四分之一圓，則斜線區域之面積為 ____ 平方公分。

載入中...

四、混合題：（13 至 15 題為題組題，依各小題配分，共 20 分。）

設函數

f (x) = 2 sin (3 x + \frac{π}{3})

，下列哪些選項是正確的？（單選題，5 分。）

(A) $f (x)$ 的週期為 $6 π$
(B) $f (x)$ 的振幅為 $4$
(C) $f (θ) = f (θ + 3 π)$
(D) $f (x)$ 的圖形為 $y = 2 sin (3 x)$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 單位
(E) $f (x)$ 的圖形為 $y = 2 sin (3 x)$ 向右平移 $\frac{5 π}{9}$ 單位

試描繪

f (x) = 2 sin (3 x + \frac{π}{3})

的圖形（至少一個完整週期），並在圖上標示最高點與最低點的座標。（做圖題，7 分。）

設

0 \leq x \leq π

，試求

2 sin (3 x + \frac{π}{3}) - 1 \geq 0

的解。（計算題，8 分；請詳列過程，否則不予計分。）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(E)（依表列數字

8969.5 \div 0.09

計算；表上的 0.09 若是捨去尾數的值，一年約 9 萬日，會是 (D)，見詳解）

第 3 題

- \frac{3}{2}

第 4 題

- \frac{3 10}{10}

第 5 題

6449

第 6 題

150

第 7 題

5

第 8 題

5

第 9 題

(1, 2, π)

第 10 題

10 π

第 11 題

1

第 12 題

83 - \frac{8 π}{3}

第 13 題(E)

第 14 題圖形見詳解；週期

\frac{2 π}{3}

，一個週期內的最高點

(\frac{π}{18}, 2)

、最低點

(\frac{7 π}{18}, - 2)

第 15 題

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{11 π}{18} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：弧度量與弧度角的三角函數值

第 1 題答案 (B)。角度沒有寫單位就是弧度，

1

弧度

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，先把四個角換成度，再化成銳角的正弦來比：

a = sin 2

：

2

弧度

\approx 114. 6^{\circ}

，

a = sin 114. 6^{\circ} = sin 65. 4^{\circ}

。

b = sin 4

：

4

弧度

\approx 229. 2^{\circ}

，在第三象限，

b = - sin 49. 2^{\circ}

。

c = cos 6

：

6

弧度

\approx 343. 8^{\circ}

，在第四象限，

c = cos 16. 2^{\circ} = sin 73. 8^{\circ}

。

d = cos 8

：

8

弧度

\approx 458. 4^{\circ}

，減去

36 0^{\circ}

是

98. 4^{\circ}

，在第二象限，

d = - cos 81. 6^{\circ} = - sin 8. 4^{\circ}

。銳角愈大正弦值愈大：

sin 73. 8^{\circ} > sin 65. 4^{\circ} > 0

，所以

c > a > 0

；

sin 8. 4^{\circ} < sin 49. 2^{\circ}

，所以

0 > d > b

。合起來

c > a > d > b

。

近似值：

a \approx 0.91

、

b \approx - 0.76

、

c \approx 0.96

、

d \approx - 0.15

。只要先分出正負（

a, c

為正，

b, d

為負），就只剩 (B) 與 (C) 要比。

第 2 題答案 (E)。表格同一欄的「日齡」與「年齡」是同一段時間用兩種單位量出來的，所以

該星球一年的天數 = \frac{日齡}{年齡}

先用火星檢查這個看法：

5834.5 \div 8.7 \approx 670.6

，和題目說的「一週約需

668

火星日」相符。海王星：

8969.5 \div 0.09 \approx 99661

，也就是海王星繞太陽一圈大約是十萬個海王星日。仿照「

365

取成

360

」「

668

取成

660

」取一個概數，五個選項中最接近的是

100000

。

表上的年齡

0.09

只有一位有效數字，算出來的

99661

只是大約的數；直接用表列數字計算，最接近的選項是 (E)。（若表上的

0.09

是由

0.099 \dots

捨去尾數而來，一年的天數會接近九萬，那就會選 (D)。本卷沒有學校公布的答案，這一題依表列數字計算作答。）

第 3 題逐項求值：

sin \frac{3 π}{2} = - 1

；

cos \frac{5 π}{6} = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}

（第二象限，餘弦為負）；

tan \frac{4 π}{3} = tan \frac{π}{3} = 3

（第三象限，正切為正）；

cos π = - 1

。

(- 1) + (- \frac{3}{2}) \cdot 3 - (- 1) = - 1 - \frac{3}{2} + 1 = - \frac{3}{2}

先乘後加減；最後的

- cos π

是

- (- 1) = + 1

。

第 4 題

π < θ < \frac{3 π}{2}

表示

θ

在第三象限，

x

、

y

坐標都是負的。

tan θ = \frac{y}{x} = 3

，在終邊上取點

(- 1, - 3)

，到原點的距離

r = (- 1)^{2} + (- 3)^{2} = 10

。

sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- 3}{10} = - \frac{3 10}{10}

第三象限的正弦值是負的，答案要帶負號。

沒有寫單位的角就是弧度；先換成度或用

π \approx 3.14

判斷落在第幾象限，決定正負，再化成銳角來算。

02第 5、6、12 題：弧長與扇形面積

第 5 題太陽光可以看成互相平行的光線。

B

地的入射角是

0^{\circ}

，表示光線沿著直線

O B

射入；

A

地的入射角是

8^{\circ}

，表示光線與直線

O A

的夾角是

8^{\circ}

。兩條光線平行，由同位角相等，

∠ A O B = 8^{\circ}

。

A

、

B

兩地的距離

900

公里是圓心角

8^{\circ}

所對的弧長。把角化成弧度：

8^{\circ} = 8 \times \frac{π}{180} = \frac{2 π}{45}

。由弧長

s = r θ

：

r = \frac{s}{θ} = 900 \times \frac{45}{2 π} = \frac{20250}{π} \approx \frac{20250}{3.14} \approx 6449.04

四捨五入到整數位，地球半徑約為

6449

公里。

弧長公式裡的圓心角要用弧度，不能直接代

8

。附圖的圓心角是示意大小，不是真的

8^{\circ}

。

第 6 題扇形的周長是兩條半徑加上弧長：

2 \times 10 + s = 50

，所以弧長

s = 30

。面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} \times 10 \times 30 = 150

。

圓心角

θ = \frac{s}{r} = 3

（弧度），小於

2 π

，這個扇形確實存在。

第 12 題設矩形左下角為

A

、右下角為

B

，

\overline{A B} = 43

，短邊是

4

，所以兩個四分之一圓的半徑都是

4

。設兩弧交於

P

，

M

為

\overline{A B}

的中點。 交點的位置。

\overline{P A} = \overline{P B} = 4

，所以

P

在

\overline{A B}

的中垂線上，

\overline{A M} = 23

，

\overline{P M} = 4^{2} - (23)^{2} = 2

。直角三角形

A M P

的三邊是

2

、

23

、

4

，所以

∠ P A M = 3 0^{\circ}

，化成弧度是

\frac{π}{6}

弧度。 下方的斜線區域（兩個四分之一圓重疊的部分）。 它被

\overline{P M}

分成左右對稱的兩塊。右邊那一塊是「以

A

為圓心、圓心角

\frac{π}{6}

的扇形」減去

△ A M P

：

\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{π}{6} - \frac{1}{2} \times 23 \times 2 = \frac{4 π}{3} - 23

所以重疊部分的面積是這一塊的兩倍，即

\frac{8 π}{3} - 43

平方公分。 上方的斜線區域（矩形內、兩個四分之一圓之外）。 兩個四分之一圓合起來蓋住的面積是

4 π + 4 π

扣掉重複算的重疊部分，所以

163 - [8 π - (\frac{8 π}{3} - 43)] = 123 - \frac{16 π}{3}

合計。 兩塊相加：

(\frac{8 π}{3} - 43) + (123 - \frac{16 π}{3}) = 83 - \frac{8 π}{3}

近似值約

5.48

平方公分（下方約

1.45

、上方約

4.03

）。重疊部分在「矩形減兩個四分之一圓」時被多扣了一次，要加回來；它本身又是斜線區域，所以總共出現兩次。

弧長

s = r θ

、扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r s

，角一律用弧度；不規則的區域拆成扇形與三角形的加減。

03第 7～10 題：正弦函數的圖形

第 7 題

y = sin (x - h)

是把

y = sin x

的圖形向右平移

h

單位；

y = sin (x + \frac{π}{3})

是把

y = sin x

向左平移

\frac{π}{3}

單位，也就是向右平移

- \frac{π}{3}

單位。

y = sin x

的週期是

2 π

，平移量相差

2 π

的整數倍時圖形才會重合：

h = - \frac{π}{3} + 2 k π

（

k

為整數）。在

0 \leq h \leq 10 π

內：

k = 1, 2, 3, 4, 5

得

h = \frac{5 π}{3}, \frac{11 π}{3}, \frac{17 π}{3}, \frac{23 π}{3}, \frac{29 π}{3}

；

k = 0

時

h < 0

，

k = 6

時

h = \frac{35 π}{3} > 10 π

，都不合。共

5

種。

最大的一個

\frac{29 π}{3} \approx 9.67 π

，還在

10 π

之內。

第 8 題把方程式改寫成

sin x = - \frac{x}{10}

，實根的個數就是

y = sin x

與直線

y = - \frac{x}{10}

的交點個數。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，交點只會出現在

- 10 \leq x \leq 10

。 原點。

x = 0

時兩邊都是

0

，是一個根。 右半邊。

x > 0

時，直線在

x

軸下方，交點只可能出現在

sin x < 0

的區間。

π \approx 3.14

、

2 π \approx 6.28

、

3 π \approx 9.42

，在

0 < x \leq 10

內

sin x < 0

的地方是

π < x < 2 π

與

3 π < x \leq 10

。 ①

π < x < 2 π

：

sin x

由

0

降到

- 1

再回到

0

；直線的高度由約

- 0.31

降到約

- 0.63

，一直在

- 1

與

0

之間。正弦曲線下去時穿過直線一次、回來時再穿過一次，有

2

個交點。 ②

3 π < x \leq 10

：

10 - 3 π \approx 0.58

弧度（約

3 3^{\circ}

），還不到

\frac{π}{2}

，這一段

sin x

最低只到

- sin 3 3^{\circ} \approx - 0.54

；直線的高度卻已經在

- 0.94

以下，碰不到，沒有交點。 左半邊。

x < 0

時，

y = sin x

與

y = - \frac{x}{10}

的圖形都對稱於原點，所以負的根與正的根一樣多，也是

2

個。合計

1 + 2 + 2 = 5

個。

畫圖時先標出

x = \pm 10

這兩條界線，再看界線內有幾個「波谷」（右半邊）碰得到直線。

第 9 題中線與振幅。

b > 0

時，

a + b sin (c x)

的最大值是

a + b

、最小值是

a - b

：

a + b = 3

、

a - b = - 1

，解得

a = 1

、

b = 2

。 週期。

x = 0

時

y = a = 1

，所以圖形與

y

軸交在高度

1

的地方，而且由圖看是往上走。圖上的點

(- 2, 1)

也在高度

1

、也是往上走，兩點之間的圖形恰好是一個完整的波（一個波峰、一個波谷），所以週期是

0 - (- 2) = 2

。週期

= \frac{2 π}{c} = 2

（

c > 0

），得

c = π

。檢查另一個點：

x = \frac{1}{2}

時

y = 1 + 2 sin \frac{π}{2} = 3

，確實是最高點

(\frac{1}{2}, 3)

。所以

(a, b, c) = (1, 2, π)

。

也可以從

y

軸到右邊第一個最高點是四分之一個週期來看：

\frac{1}{2} = \frac{1}{4} \times

週期，週期同樣是

2

。

第 10 題

sin x = - \frac{3}{2}

，參考角是

\frac{π}{3}

，正弦為負的角在第三、四象限。

0 \leq x \leq 2 π

內的解：

x = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3}

、

x = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3}

。

2 π \leq x \leq 4 π

內的解是上面兩個各加

2 π

：

\frac{10 π}{3}

、

\frac{11 π}{3}

。總和

= \frac{4 π + 5 π + 10 π + 11 π}{3} = \frac{30 π}{3} = 10 π

。

用圖形的對稱也可以：每個波谷的兩個解對稱於波谷的位置，第一對的和是

2 \times \frac{3 π}{2} = 3 π

，第二對的和是

2 \times \frac{7 π}{2} = 7 π

。

y = a + b sin (c x)

：

a

是中線高度，

∣ b ∣

是振幅，週期是

\frac{2 π}{∣ c ∣}

；解方程式或數實根時先畫出正弦曲線，再看交點。

04第 11 題：週期性現象

第 11 題用直式除法：

13 \div 7 = 1.857142 857142 \dots

，循環節是

857142

這

6

位，從小數點後第

1

位就開始循環。

2020 \div 6 = 336

餘

4

，所以小數點後第

2020

位與第

4

位相同。循環節的第

4

個數字是

1

。

\frac{13}{7} = 1 + \frac{6}{7}

，而

\frac{6}{7} = 0. \overline{857142}

。餘數若是

0

要取循環節的最後一位。

每隔固定的位數就重複，用位數除以週期的餘數決定落在第幾個位置。

05第 13～15 題（混合題）：正弦函數的週期、圖形與不等式

第 13 題答案 (E)。 (A) 不對：週期是

\frac{2 π}{3}

，不是

6 π

。 (B) 不對：振幅是

2

；最大值

2

與最小值

- 2

相差

4

，振幅是它的一半。 (C) 不對：

3 π

不是週期

\frac{2 π}{3}

的整數倍（

3 π \div \frac{2 π}{3} = 4.5

），多走了半個週期，函數值變號：

f (θ + 3 π) = - f (θ)

。例如

f (0) = 2 sin \frac{π}{3} = 3

，而

f (3 π) = 2 sin (9 π + \frac{π}{3}) = - 3

。 (D) 不對：

3 x + \frac{π}{3} = 3 (x + \frac{π}{9})

，所以

f (x)

的圖形是

y = 2 sin (3 x)

向左平移

\frac{π}{9}

單位，不是

\frac{π}{3}

。 (E) 對：向左平移

\frac{π}{9}

，再向右平移一整個週期

\frac{2 π}{3} = \frac{6 π}{9}

圖形不變，合起來就是向右平移

\frac{6 π}{9} - \frac{π}{9} = \frac{5 π}{9}

單位。

平移量要看

x

本身加減多少，所以先把

x

的係數

3

提出來。題幹問「哪些選項」，但卷面註明這一題是單選題。

第 14 題

f (x) = 2 sin (3 x + \frac{π}{3}) = 2 sin 3 (x + \frac{π}{9})

：振幅

2

，週期

\frac{2 π}{3}

，是

y = 2 sin (3 x)

向左平移

\frac{π}{9}

單位。令

3 x + \frac{π}{3}

依序等於

0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, 2 π

，得到一個週期的五個關鍵點：

3 x + \frac{π}{3} x f (x) 0 - \frac{π}{9} 0 \frac{π}{2} \frac{π}{18} 2 π \frac{2 π}{9} 0 \frac{3 π}{2} \frac{7 π}{18} - 2 2 π \frac{5 π}{9} 0

把這五點用平滑的波形連起來，再往左右重複。最高點是

(\frac{π}{18}, 2)

，最低點是

(\frac{7 π}{18}, - 2)

；其他週期的最高點、最低點是把

x

坐標再加減

\frac{2 π}{3}

的整數倍。圖形與

y

軸交於

(0, 3)

。

載入中...

附圖為了看得清楚，橫軸的單位長比縱軸大。作答時橫軸要標出

- \frac{π}{9}

、

\frac{π}{18}

、

\frac{2 π}{9}

、

\frac{7 π}{18}

、

\frac{5 π}{9}

這些位置，並寫出最高點與最低點的坐標。

第 15 題原式即

sin (3 x + \frac{π}{3}) \geq \frac{1}{2}

。 換變數。 令

t = 3 x + \frac{π}{3}

。由

0 \leq x \leq π

得

\frac{π}{3} \leq t \leq \frac{10 π}{3}

。 先解新的不等式。 要解的是

sin t \geq \frac{1}{2}

。在

y = sin t

的圖形上畫水平線

y = \frac{1}{2}

：

0 \leq t \leq 2 π

內，

sin t = \frac{1}{2}

的解是

t = \frac{π}{6}

與

\frac{5 π}{6}

，曲線在水平線上方（含交點）的範圍是

\frac{π}{6} \leq t \leq \frac{5 π}{6}

；下一個週期是

\frac{13 π}{6} \leq t \leq \frac{17 π}{6}

。 與範圍取共同部分。

\frac{π}{3} \leq t \leq \frac{10 π}{3}

之內：

\frac{π}{3} \leq t \leq \frac{5 π}{6} 或 \frac{13 π}{6} \leq t \leq \frac{17 π}{6}

（

\frac{17 π}{6} < \frac{10 π}{3} = \frac{20 π}{6}

，第二段完整保留；再下一段從

\frac{25 π}{6}

開始，已經超出範圍。） 換回原來的變數。

x = \frac{1}{3} (t - \frac{π}{3})

：第一段：

0 \leq x \leq \frac{1}{3} (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}) = \frac{π}{6}

。第二段：

\frac{1}{3} (\frac{13 π}{6} - \frac{π}{3}) = \frac{11 π}{18} \leq x \leq \frac{1}{3} (\frac{17 π}{6} - \frac{π}{3}) = \frac{5 π}{6}

。所以解是

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{11 π}{18} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

。

t

的範圍從

\frac{π}{3}

開始，不是從

0

開始，所以第一段的左端是

x = 0

（此時

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2} \geq \frac{1}{2}

成立）。

括號裡是

3 x + \frac{π}{3}

時，先把整個括號當成一個角

t

，連範圍一起換過去，解完再換回

x

。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

台中女中 109 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

台中女中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 8 題要把方程式看成正弦曲線與直線的交點，並確認第二個波谷已經碰不到直線；第 12 題兩個四分之一圓重疊的部分要算兩次；第 15 題要連同範圍一起換成括號裡的角再解；第 2 題要看出日齡除以年齡就是該星球一年的天數。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自台中女中 109 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：弧度量、扇形、正弦函數的圖形與週期

台中女中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

一、單一選擇題（每題 5 分，共 10 分。）

設

a = sin 2

，

b = sin 4

、

c = cos 6

、

d = cos 8

，則

a

、

b

、

c

、

d

的大小順序為

(A) $a > b > c > d$
(B) $c > a > d > b$
(C) $a > c > b > d$
(D) $c > d > b > a$
(E) $d > c > b > a$

24

小時，一年

365

2004

年

3

月

19

日出生，得到下列的資料（即輸入的時間距離他的出生日約為

6009.6

日，換算後約為

16.4

年，即

16.4

歲）：

星球 日齡 年齡 水星 102.5 68.3 金星 24.7 26.7 地球 6009.6 16.4 火星 5834.5 8.7 木星 14657.5 1.38 土星 13354.6 0.55 天王星 8346.6 0.19 海王星 8969.5 0.09

因此，若甲生居住在火星上，以火星繞行太陽一圈為一火星年，則甲生在火星上就是

8.7

歲。而相傳巴比倫人是因為地球繞行太陽一圈約需

365

天，因此取一概數，將圓的周角做

360

等分，每一等分的圓心角定義為

1

668

火星日，則可能定義圓的周角為

660

火星度。請問根據上述表格的資料，在海王星上圓的周角最可能是多少海王星度？

(A) $1$
(B) $9000$
(C) $10000$
(D) $90000$
(E) $100000$

二、填充題（每格 7 分，共 70 分。）

sin \frac{3 π}{2} + cos \frac{5 π}{6} \cdot tan \frac{4 π}{3} - cos π =

____。

已知

tan θ = 3

且

π < θ < \frac{3 π}{2}

，則

sin θ =

____。

設

O

為地球球心，已知

A

與

B

兩地測得的距離為

900

公里，且兩地的太陽光入射角分別為

8^{\circ}

與

0^{\circ}

（示意圖如下圖），則地球的半徑約為 ____ 公里。（圓周率

π

以

3.14

計算，四捨五入取到整數位）

載入中...

已知有一扇形的半徑為

10

，周長為

50

，則此扇形的面積為 ____。

若

y = sin (x - h)

的圖形與

y = sin (x + \frac{π}{3})

的圖形重合，且

0 \leq h \leq 10 π

，則

h

的值有 ____ 種可能。

方程式

10 sin x + x = 0

的實根有 ____ 個。

下圖為

y = a + b sin (c x)

的部分圖形，其中

b > 0

，

c > 0

。已知圖形的最大值為

3

，最小值為

- 1

，則數對

(a, b, c) =

____。

載入中...

設

0 \leq x \leq 4 π

，則方程式

sin x = - \frac{3}{2}

的所有解之和為 ____。

已知

\frac{13}{7}

可化成有

6

位循環節的循環小數，則小數點後第

2020

位的數字是 ____。

如下圖所示，在邊長為

4

公分與

43

公分的矩形中，以左下角與右下角為圓心，矩形的短邊為半徑畫四分之一圓，則斜線區域之面積為 ____ 平方公分。

載入中...

四、混合題：（13 至 15 題為題組題，依各小題配分，共 20 分。）

設函數

f (x) = 2 sin (3 x + \frac{π}{3})

，下列哪些選項是正確的？（單選題，5 分。）

(A) $f (x)$ 的週期為 $6 π$
(B) $f (x)$ 的振幅為 $4$
(C) $f (θ) = f (θ + 3 π)$
(D) $f (x)$ 的圖形為 $y = 2 sin (3 x)$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 單位
(E) $f (x)$ 的圖形為 $y = 2 sin (3 x)$ 向右平移 $\frac{5 π}{9}$ 單位

試描繪

f (x) = 2 sin (3 x + \frac{π}{3})

的圖形（至少一個完整週期），並在圖上標示最高點與最低點的座標。（做圖題，7 分。）

設

0 \leq x \leq π

，試求

2 sin (3 x + \frac{π}{3}) - 1 \geq 0

的解。（計算題，8 分；請詳列過程，否則不予計分。）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(E)（依表列數字

8969.5 \div 0.09

計算；表上的 0.09 若是捨去尾數的值，一年約 9 萬日，會是 (D)，見詳解）

第 3 題

- \frac{3}{2}

第 4 題

- \frac{3 10}{10}

第 5 題

6449

第 6 題

150

第 7 題

5

第 8 題

5

第 9 題

(1, 2, π)

第 10 題

10 π

第 11 題

1

第 12 題

83 - \frac{8 π}{3}

第 13 題(E)

第 14 題圖形見詳解；週期

\frac{2 π}{3}

，一個週期內的最高點

(\frac{π}{18}, 2)

、最低點

(\frac{7 π}{18}, - 2)

第 15 題

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{11 π}{18} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：弧度量與弧度角的三角函數值

第 1 題答案 (B)。角度沒有寫單位就是弧度，

1

弧度

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，先把四個角換成度，再化成銳角的正弦來比：

a = sin 2

：

2

弧度

\approx 114. 6^{\circ}

，

a = sin 114. 6^{\circ} = sin 65. 4^{\circ}

。

b = sin 4

：

4

弧度

\approx 229. 2^{\circ}

，在第三象限，

b = - sin 49. 2^{\circ}

。

c = cos 6

：

6

弧度

\approx 343. 8^{\circ}

，在第四象限，

c = cos 16. 2^{\circ} = sin 73. 8^{\circ}

。

d = cos 8

：

8

弧度

\approx 458. 4^{\circ}

，減去

36 0^{\circ}

是

98. 4^{\circ}

，在第二象限，

d = - cos 81. 6^{\circ} = - sin 8. 4^{\circ}

。銳角愈大正弦值愈大：

sin 73. 8^{\circ} > sin 65. 4^{\circ} > 0

，所以

c > a > 0

；

sin 8. 4^{\circ} < sin 49. 2^{\circ}

，所以

0 > d > b

。合起來

c > a > d > b

。

近似值：

a \approx 0.91

、

b \approx - 0.76

、

c \approx 0.96

、

d \approx - 0.15

。只要先分出正負（

a, c

為正，

b, d

為負），就只剩 (B) 與 (C) 要比。

第 2 題答案 (E)。表格同一欄的「日齡」與「年齡」是同一段時間用兩種單位量出來的，所以

該星球一年的天數 = \frac{日齡}{年齡}

先用火星檢查這個看法：

5834.5 \div 8.7 \approx 670.6

，和題目說的「一週約需

668

火星日」相符。海王星：

8969.5 \div 0.09 \approx 99661

，也就是海王星繞太陽一圈大約是十萬個海王星日。仿照「

365

取成

360

」「

668

取成

660

」取一個概數，五個選項中最接近的是

100000

。

表上的年齡

0.09

只有一位有效數字，算出來的

99661

只是大約的數；直接用表列數字計算，最接近的選項是 (E)。（若表上的

0.09

是由

0.099 \dots

捨去尾數而來，一年的天數會接近九萬，那就會選 (D)。本卷沒有學校公布的答案，這一題依表列數字計算作答。）

第 3 題逐項求值：

sin \frac{3 π}{2} = - 1

；

cos \frac{5 π}{6} = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}

（第二象限，餘弦為負）；

tan \frac{4 π}{3} = tan \frac{π}{3} = 3

（第三象限，正切為正）；

cos π = - 1

。

(- 1) + (- \frac{3}{2}) \cdot 3 - (- 1) = - 1 - \frac{3}{2} + 1 = - \frac{3}{2}

先乘後加減；最後的

- cos π

是

- (- 1) = + 1

。

第 4 題

π < θ < \frac{3 π}{2}

表示

θ

在第三象限，

x

、

y

坐標都是負的。

tan θ = \frac{y}{x} = 3

，在終邊上取點

(- 1, - 3)

，到原點的距離

r = (- 1)^{2} + (- 3)^{2} = 10

。

sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- 3}{10} = - \frac{3 10}{10}

第三象限的正弦值是負的，答案要帶負號。

沒有寫單位的角就是弧度；先換成度或用

π \approx 3.14

判斷落在第幾象限，決定正負，再化成銳角來算。

02第 5、6、12 題：弧長與扇形面積

第 5 題太陽光可以看成互相平行的光線。

B

地的入射角是

0^{\circ}

，表示光線沿著直線

O B

射入；

A

地的入射角是

8^{\circ}

，表示光線與直線

O A

的夾角是

8^{\circ}

。兩條光線平行，由同位角相等，

∠ A O B = 8^{\circ}

。

A

、

B

兩地的距離

900

公里是圓心角

8^{\circ}

所對的弧長。把角化成弧度：

8^{\circ} = 8 \times \frac{π}{180} = \frac{2 π}{45}

。由弧長

s = r θ

：

r = \frac{s}{θ} = 900 \times \frac{45}{2 π} = \frac{20250}{π} \approx \frac{20250}{3.14} \approx 6449.04

四捨五入到整數位，地球半徑約為

6449

公里。

弧長公式裡的圓心角要用弧度，不能直接代

8

。附圖的圓心角是示意大小，不是真的

8^{\circ}

。

第 6 題扇形的周長是兩條半徑加上弧長：

2 \times 10 + s = 50

，所以弧長

s = 30

。面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} \times 10 \times 30 = 150

。

圓心角

θ = \frac{s}{r} = 3

（弧度），小於

2 π

，這個扇形確實存在。

第 12 題設矩形左下角為

A

、右下角為

B

，

\overline{A B} = 43

，短邊是

4

，所以兩個四分之一圓的半徑都是

4

。設兩弧交於

P

，

M

為

\overline{A B}

的中點。 交點的位置。

\overline{P A} = \overline{P B} = 4

，所以

P

在

\overline{A B}

的中垂線上，

\overline{A M} = 23

，

\overline{P M} = 4^{2} - (23)^{2} = 2

。直角三角形

A M P

的三邊是

2

、

23

、

4

，所以

∠ P A M = 3 0^{\circ}

，化成弧度是

\frac{π}{6}

弧度。 下方的斜線區域（兩個四分之一圓重疊的部分）。 它被

\overline{P M}

分成左右對稱的兩塊。右邊那一塊是「以

A

為圓心、圓心角

\frac{π}{6}

的扇形」減去

△ A M P

：

\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{π}{6} - \frac{1}{2} \times 23 \times 2 = \frac{4 π}{3} - 23

所以重疊部分的面積是這一塊的兩倍，即

\frac{8 π}{3} - 43

平方公分。 上方的斜線區域（矩形內、兩個四分之一圓之外）。 兩個四分之一圓合起來蓋住的面積是

4 π + 4 π

扣掉重複算的重疊部分，所以

163 - [8 π - (\frac{8 π}{3} - 43)] = 123 - \frac{16 π}{3}

合計。 兩塊相加：

(\frac{8 π}{3} - 43) + (123 - \frac{16 π}{3}) = 83 - \frac{8 π}{3}

近似值約

5.48

平方公分（下方約

1.45

、上方約

4.03

）。重疊部分在「矩形減兩個四分之一圓」時被多扣了一次，要加回來；它本身又是斜線區域，所以總共出現兩次。

弧長

s = r θ

、扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r s

，角一律用弧度；不規則的區域拆成扇形與三角形的加減。

03第 7～10 題：正弦函數的圖形

第 7 題

y = sin (x - h)

是把

y = sin x

的圖形向右平移

h

單位；

y = sin (x + \frac{π}{3})

是把

y = sin x

向左平移

\frac{π}{3}

單位，也就是向右平移

- \frac{π}{3}

單位。

y = sin x

的週期是

2 π

，平移量相差

2 π

的整數倍時圖形才會重合：

h = - \frac{π}{3} + 2 k π

（

k

為整數）。在

0 \leq h \leq 10 π

內：

k = 1, 2, 3, 4, 5

得

h = \frac{5 π}{3}, \frac{11 π}{3}, \frac{17 π}{3}, \frac{23 π}{3}, \frac{29 π}{3}

；

k = 0

時

h < 0

，

k = 6

時

h = \frac{35 π}{3} > 10 π

，都不合。共

5

種。

最大的一個

\frac{29 π}{3} \approx 9.67 π

，還在

10 π

之內。

第 8 題把方程式改寫成

sin x = - \frac{x}{10}

，實根的個數就是

y = sin x

與直線

y = - \frac{x}{10}

的交點個數。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，交點只會出現在

- 10 \leq x \leq 10

。 原點。

x = 0

時兩邊都是

0

，是一個根。 右半邊。

x > 0

時，直線在

x

軸下方，交點只可能出現在

sin x < 0

的區間。

π \approx 3.14

、

2 π \approx 6.28

、

3 π \approx 9.42

，在

0 < x \leq 10

內

sin x < 0

的地方是

π < x < 2 π

與

3 π < x \leq 10

。 ①

π < x < 2 π

：

sin x

由

0

降到

- 1

再回到

0

；直線的高度由約

- 0.31

降到約

- 0.63

，一直在

- 1

與

0

之間。正弦曲線下去時穿過直線一次、回來時再穿過一次，有

2

個交點。 ②

3 π < x \leq 10

：

10 - 3 π \approx 0.58

弧度（約

3 3^{\circ}

），還不到

\frac{π}{2}

，這一段

sin x

最低只到

- sin 3 3^{\circ} \approx - 0.54

；直線的高度卻已經在

- 0.94

以下，碰不到，沒有交點。 左半邊。

x < 0

時，

y = sin x

與

y = - \frac{x}{10}

的圖形都對稱於原點，所以負的根與正的根一樣多，也是

2

個。合計

1 + 2 + 2 = 5

個。

畫圖時先標出

x = \pm 10

這兩條界線，再看界線內有幾個「波谷」（右半邊）碰得到直線。

第 9 題中線與振幅。

b > 0

時，

a + b sin (c x)

的最大值是

a + b

、最小值是

a - b

：

a + b = 3

、

a - b = - 1

，解得

a = 1

、

b = 2

。 週期。

x = 0

時

y = a = 1

，所以圖形與

y

軸交在高度

1

的地方，而且由圖看是往上走。圖上的點

(- 2, 1)

也在高度

1

、也是往上走，兩點之間的圖形恰好是一個完整的波（一個波峰、一個波谷），所以週期是

0 - (- 2) = 2

。週期

= \frac{2 π}{c} = 2

（

c > 0

），得

c = π

。檢查另一個點：

x = \frac{1}{2}

時

y = 1 + 2 sin \frac{π}{2} = 3

，確實是最高點

(\frac{1}{2}, 3)

。所以

(a, b, c) = (1, 2, π)

。

也可以從

y

軸到右邊第一個最高點是四分之一個週期來看：

\frac{1}{2} = \frac{1}{4} \times

週期，週期同樣是

2

。

第 10 題

sin x = - \frac{3}{2}

，參考角是

\frac{π}{3}

，正弦為負的角在第三、四象限。

0 \leq x \leq 2 π

內的解：

x = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3}

、

x = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3}

。

2 π \leq x \leq 4 π

內的解是上面兩個各加

2 π

：

\frac{10 π}{3}

、

\frac{11 π}{3}

。總和

= \frac{4 π + 5 π + 10 π + 11 π}{3} = \frac{30 π}{3} = 10 π

。

用圖形的對稱也可以：每個波谷的兩個解對稱於波谷的位置，第一對的和是

2 \times \frac{3 π}{2} = 3 π

，第二對的和是

2 \times \frac{7 π}{2} = 7 π

。

y = a + b sin (c x)

：

a

是中線高度，

∣ b ∣

是振幅，週期是

\frac{2 π}{∣ c ∣}

；解方程式或數實根時先畫出正弦曲線，再看交點。

04第 11 題：週期性現象

第 11 題用直式除法：

13 \div 7 = 1.857142 857142 \dots

，循環節是

857142

這

6

位，從小數點後第

1

位就開始循環。

2020 \div 6 = 336

餘

4

，所以小數點後第

2020

位與第

4

位相同。循環節的第

4

個數字是

1

。

\frac{13}{7} = 1 + \frac{6}{7}

，而

\frac{6}{7} = 0. \overline{857142}

。餘數若是

0

要取循環節的最後一位。

每隔固定的位數就重複，用位數除以週期的餘數決定落在第幾個位置。

05第 13～15 題（混合題）：正弦函數的週期、圖形與不等式

第 13 題答案 (E)。 (A) 不對：週期是

\frac{2 π}{3}

，不是

6 π

。 (B) 不對：振幅是

2

；最大值

2

與最小值

- 2

相差

4

，振幅是它的一半。 (C) 不對：

3 π

不是週期

\frac{2 π}{3}

的整數倍（

3 π \div \frac{2 π}{3} = 4.5

），多走了半個週期，函數值變號：

f (θ + 3 π) = - f (θ)

。例如

f (0) = 2 sin \frac{π}{3} = 3

，而

f (3 π) = 2 sin (9 π + \frac{π}{3}) = - 3

。 (D) 不對：

3 x + \frac{π}{3} = 3 (x + \frac{π}{9})

，所以

f (x)

的圖形是

y = 2 sin (3 x)

向左平移

\frac{π}{9}

單位，不是

\frac{π}{3}

。 (E) 對：向左平移

\frac{π}{9}

，再向右平移一整個週期

\frac{2 π}{3} = \frac{6 π}{9}

圖形不變，合起來就是向右平移

\frac{6 π}{9} - \frac{π}{9} = \frac{5 π}{9}

單位。

平移量要看

x

本身加減多少，所以先把

x

的係數

3

提出來。題幹問「哪些選項」，但卷面註明這一題是單選題。

第 14 題

f (x) = 2 sin (3 x + \frac{π}{3}) = 2 sin 3 (x + \frac{π}{9})

：振幅

2

，週期

\frac{2 π}{3}

，是

y = 2 sin (3 x)

向左平移

\frac{π}{9}

單位。令

3 x + \frac{π}{3}

依序等於

0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, 2 π

，得到一個週期的五個關鍵點：

3 x + \frac{π}{3} x f (x) 0 - \frac{π}{9} 0 \frac{π}{2} \frac{π}{18} 2 π \frac{2 π}{9} 0 \frac{3 π}{2} \frac{7 π}{18} - 2 2 π \frac{5 π}{9} 0

把這五點用平滑的波形連起來，再往左右重複。最高點是

(\frac{π}{18}, 2)

，最低點是

(\frac{7 π}{18}, - 2)

；其他週期的最高點、最低點是把

x

坐標再加減

\frac{2 π}{3}

的整數倍。圖形與

y

軸交於

(0, 3)

。

載入中...

附圖為了看得清楚，橫軸的單位長比縱軸大。作答時橫軸要標出

- \frac{π}{9}

、

\frac{π}{18}

、

\frac{2 π}{9}

、

\frac{7 π}{18}

、

\frac{5 π}{9}

這些位置，並寫出最高點與最低點的坐標。

第 15 題原式即

sin (3 x + \frac{π}{3}) \geq \frac{1}{2}

。 換變數。 令

t = 3 x + \frac{π}{3}

。由

0 \leq x \leq π

得

\frac{π}{3} \leq t \leq \frac{10 π}{3}

。 先解新的不等式。 要解的是

sin t \geq \frac{1}{2}

。在

y = sin t

的圖形上畫水平線

y = \frac{1}{2}

：

0 \leq t \leq 2 π

內，

sin t = \frac{1}{2}

的解是

t = \frac{π}{6}

與

\frac{5 π}{6}

，曲線在水平線上方（含交點）的範圍是

\frac{π}{6} \leq t \leq \frac{5 π}{6}

；下一個週期是

\frac{13 π}{6} \leq t \leq \frac{17 π}{6}

。 與範圍取共同部分。

\frac{π}{3} \leq t \leq \frac{10 π}{3}

之內：

\frac{π}{3} \leq t \leq \frac{5 π}{6} 或 \frac{13 π}{6} \leq t \leq \frac{17 π}{6}

（

\frac{17 π}{6} < \frac{10 π}{3} = \frac{20 π}{6}

，第二段完整保留；再下一段從

\frac{25 π}{6}

開始，已經超出範圍。） 換回原來的變數。

x = \frac{1}{3} (t - \frac{π}{3})

：第一段：

0 \leq x \leq \frac{1}{3} (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}) = \frac{π}{6}

。第二段：

\frac{1}{3} (\frac{13 π}{6} - \frac{π}{3}) = \frac{11 π}{18} \leq x \leq \frac{1}{3} (\frac{17 π}{6} - \frac{π}{3}) = \frac{5 π}{6}

。所以解是

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{11 π}{18} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

。

t

的範圍從

\frac{π}{3}

開始，不是從

0

開始，所以第一段的左端是

x = 0

（此時

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2} \geq \frac{1}{2}

成立）。

括號裡是

3 x + \frac{π}{3}

時，先把整個括號當成一個角

t

，連範圍一起換過去，解完再換回

x

。

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高二第一次段考
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