段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數）

台中女中 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多重選擇題 1 題（10 分）、填充題 15 格（每格 6 分，共 90 分）。本頁第 2 至 16 題依序是卷面填充題 A 至 N 的第 (1) 至 (15) 格，其中 E 題有兩格。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多重選擇題：每題 10 分，每個選項 2 分，答錯不倒扣，未作答不給分，共 10 分。

下列敘述哪些是正確？

(1) 若 $a$ 為一非 $0$ 實數，且 $a^{8}$ 與 $a^{109}$ 都是有理數，則 $a$ 是有理數
(2) 若 $a$ 是一非 $0$ 有理數， $b$ 是無理數，則 $ab$ 是無理數
(3) 若 $a, b$ 為實數，若 $a + 3 b$ 為有理數且 $ab$ 為無理數，則 $3 a + b$ 為無理數
(4) 若 $a, b$ 為實數，且 $a + b 2 = 0$ ，則 $a = b = 0$
(5) 若 $a, b$ 皆為非 $0$ 實數，則 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 之最小值為 $2$ 。

二、填充題：每格 6 分，每格全對才給分，共 90 分。

（A）如右圖，

△ A B C

的兩邊

\overline{A B} = 10

、

\overline{A C} = 6

，將

\overline{B C}

邊貼在數線上，使

B

、

C

兩點分別對齊數線上

(- 3)

、

(10)

兩點，

∠ A

的角平分線交數線於

P

點，試問

P

點在數線上的坐標為 ____。

載入中...

（B）設

23 - 87

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，則

\frac{3}{a + b} - \frac{1}{b} =

____。

（C）化簡：

(\frac{1}{16})^{- 0.75} - 2 5^{6} \cdot 24 3^{0.4} \cdot (125)^{\frac{1 - 2 6}{3}} =

____。

（D）已知

n

為正整數，且

\frac{10 n + 4}{n + 1} < 97 < \frac{10 n + 14}{n + 2}

，則

n =

____。

填充題 E（第 6、7 題）（第 6～7 題）　設

x, y

皆為實數，且滿足

∣ x - 2∣ \leq 3

及

∣ y + 7∣ \leq 4

，則：

（E）(1) 令

p = 2 x^{2} - y^{2}

，則

p

的範圍為 ____。

（E）(2) 令

q = x y - x + 2 y + 3

，則

q

的範圍為 ____。

（F）設

a, b

為實數，若

∣ a x + 5∣ \geq b

之解為

x \geq 7

或

x \leq - 3

，則數對

(a, b) =

____。

（G）設

x

為整數，且滿足方程式

∣2 x + 3∣ + 2∣ x - 7∣ \leq 17

，則滿足這個條件的

x

共有 ____ 個。

（H）某實驗室在一項細菌繁殖實驗中，細菌數每經過一天增加為

a

倍，已知從一開始的

2 \frac{2}{3}

天後細菌數為

10800

隻，從一開始的

4

天後細菌數為

172800

隻。則從一開始的

5

天後細菌數為 ____ 隻。

（I）若

x^{2} - 5 x - 1 = 0

，則

(x^{3} - x^{- 3})^{- 1} + (x - x^{- 1})^{- 2} =

____。

（J）設正實數

a

的小數部分為

b

，且

a^{2} + b^{2} = 109

，則

a

之值為 ____。

（K）

x, y, z

為非零實數，已知

5^{x} = 9^{y} = 1 5^{z}

，若

\frac{8}{x} + \frac{4}{y} = \frac{k}{z}

，則實數

k =

____。

（L）求滿足不等式

4 x^{2} + 20 x + 25 + 3∣ x - 4∣ - x \leq 18

之所有實數解的區間為 ____。（請以區間符號表示）

（M）設

A B C D

為梯形，其中

\overline{A D} ∥ \overline{B C}

且

\overline{C D} = \overline{A D} = 2

、

∠ C = 6 0^{\circ}

，

P

為

\overline{C D}

上一點，直線

A P

與邊

\overline{B C}

之延長線相交於

Q

點。則

△ A D P

與

△ C QP

面積和之最小值為 ____。

（N）已知恰有

3

個整數

x

滿足不等式

{∣3 x + 7∣ < a ∣ x + 3∣ \geq 2

，則實數

a

的範圍為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(2)(3)

第 2 題

\frac{41}{8}

第 3 題

- \frac{1 + 7}{6}

第 4 題

- 37

第 5 題

38

第 6 題

- 121 \leq p \leq 41

第 7 題

- 79 \leq q \leq 1

第 8 題

(- \frac{5}{2}, \frac{25}{2})

第 9 題

9

第 10 題

1382400

第 11 題

\frac{33}{700}

第 12 題

\frac{10 + 118}{2}

第 13 題

8

第 14 題

[- \frac{1}{2}, \frac{25}{4}]

第 15 題

26 - 23

第 16 題

8 < a \leq 10

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題：有理數與無理數

第 1 題答案 (1)(2)(3)。 (1) 對：

a \neq = 0

，所以

a^{8} \neq = 0

，有理數相除（除數不為

0

）仍是有理數。

109 = 8 \times 13 + 5

，

a^{5} = a^{109} \div (a^{8})^{13}

是有理數；接著

a^{3} = a^{8} \div a^{5}

、

a^{2} = a^{5} \div a^{3}

、

a = a^{3} \div a^{2}

依序都是有理數。 (2) 對：假設

ab = r

是有理數，因為

a

是非

0

有理數，

b = \frac{r}{a}

就是有理數，與

b

是無理數矛盾。 (3) 對：假設

3 a + b

也是有理數，則

8 a = 3 (3 a + b) - (a + 3 b)

與

8 b = 3 (a + 3 b) - (3 a + b)

都是有理數，

a, b

都是有理數，

ab

就是有理數，與

ab

為無理數矛盾。 (4) 錯：題目只說

a, b

是實數，取

a = - 2

、

b = 1

就有

a + b 2 = 0

。 (5) 錯：

a, b

異號時

\frac{a}{b} + \frac{b}{a}

是負的，例如

a = 1

、

b = - 1

得

- 2

，比

2

小。進一步看，異號時

- \frac{a}{b}

與

- \frac{b}{a}

都是正數，由算幾不等式

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \leq - 2

，而且可以任意小（例如

a = 100

、

b = - 1

得

- 100.01

），所以這個式子沒有最小值。

(4) 要

a, b

都是有理數才能推出

a = b = 0

；(5) 的算幾不等式只能用在

\frac{a}{b}

與

\frac{b}{a}

都是正數（

a, b

同號）的時候。

要說「一定成立」先找反例；找不到反例時，用「有理數加減乘除（除數不為 0）仍是有理數」配合反證法。

02第 2、3、5、11、12 題（填充 A、B、D、I、J）：分點、根式與乘法公式

第 2 題角平分線把對邊分成與兩鄰邊相同的比：

\overline{B P} : \overline{P C} = \overline{A B} : \overline{A C} = 10 : 6 = 5 : 3

。

\overline{B C} = 10 - (- 3) = 13

，所以

\overline{B P} = 13 \times \frac{5}{8} = \frac{65}{8}

，

P

的坐標是

- 3 + \frac{65}{8} = \frac{41}{8}

。

也可以直接用分點公式：

P = \frac{3 \times ( - 3 ) + 5 \times 10}{5 + 3} = \frac{41}{8}

。圖是示意圖，

P

的位置沒有照實際比例畫。

第 3 題

23 - 87 = 23 - 2112

，找兩數和為

23

、積為

112

：

16

與

7

，所以

23 - 87 = 16 - 7 = 4 - 7

。因為

2 < 7 < 3

，

1 < 4 - 7 < 2

，整數部分

a = 1

，小數部分

b = 3 - 7

，

a + b = 4 - 7

。分別有理化：

\frac{3}{4 - 7} = \frac{3 ( 4 + 7 )}{16 - 7} = \frac{4 + 7}{3}, \frac{1}{3 - 7} = \frac{3 + 7}{9 - 7} = \frac{3 + 7}{2}

相減並通分：

\frac{2 ( 4 + 7 ) - 3 ( 3 + 7 )}{6} = \frac{- 1 - 7}{6} = - \frac{1 + 7}{6}

第 5 題把兩個分式都寫成「

10

減去一個數」：

\frac{10 n + 4}{n + 1} = 10 - \frac{6}{n + 1}, \frac{10 n + 14}{n + 2} = 10 - \frac{6}{n + 2}

原式變成

\frac{6}{n + 2} < 10 - 97 < \frac{6}{n + 1}

。而

10 - 97 = \frac{( 10 - 97 ) ( 10 + 97 )}{10 + 97} = \frac{3}{10 + 97}

，各項都是正數，取倒數再乘以

6

，不等號方向反過來：

n + 1 < 2 (10 + 97) < n + 2

297 = 388

，而

1 9^{2} = 361 < 388 < 400 = 2 0^{2}

，所以

39 < 20 + 388 < 40

。

n + 1

與

n + 2

是相鄰整數，只能是

n + 1 = 39

、

n + 2 = 40

，

n = 38

。

驗算：

n = 38

時左邊

\frac{384}{39} \approx 9.846

，右邊

\frac{394}{40} = 9.85

，而

97 \approx 9.849

確實夾在中間。

第 11 題

x = 0

不滿足方程式，兩邊同除以

x

得

x - 5 - \frac{1}{x} = 0

，即

x - x^{- 1} = 5

。平方：

x^{2} + x^{- 2} = 5^{2} + 2 = 27

。由立方差公式

x^{3} - x^{- 3} = (x - x^{- 1}) (x^{2} + 1 + x^{- 2}) = 5 \times 28 = 140

所求

= \frac{1}{140} + \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{5}{700} + \frac{28}{700} = \frac{33}{700}

。

這裡要的是

x - x^{- 1}

，方程式的兩個根都給出同一個值

5

，不必分開討論。

第 12 題設

a

的整數部分為

n

（

n

是非負整數），則

a = n + b

，

0 \leq b < 1

。先決定

n

：若

n \leq 9

，則

a < 10

、

b < 1

，

a^{2} + b^{2} < 101

，不合；若

n \geq 11

，則

a^{2} \geq 121

，也不合。所以

n = 10

。代入

(10 + b)^{2} + b^{2} = 109

，整理得

2 b^{2} + 20 b - 9 = 0

，

b = \frac{- 20 \pm 472}{4} = \frac{- 10 \pm 118}{2}

。取正的：

b = \frac{118 - 10}{2}

，因為

10 < 118 < 11

，

0 < b < \frac{1}{2}

，符合。

a = 10 + b = \frac{10 + 118}{2}

。

先用大小估計把整數部分鎖定，再解二次方程式；解出來的

b

要檢查是否落在

0 \leq b < 1

。

雙重根號先把根號內寫成

2

的形式；整數部分、小數部分的題目先估計範圍，再代回去算。

03第 6～9、14、16 題（填充 E、F、G、L、N）：絕對值

第 6 題

∣ x - 2∣ \leq 3

即

- 1 \leq x \leq 5

；

∣ y + 7∣ \leq 4

即

- 11 \leq y \leq - 3

。

x

的範圍含

0

，所以

0 \leq x^{2} \leq 25

，

0 \leq 2 x^{2} \leq 50

；

y

都是負數，

9 \leq y^{2} \leq 121

。

x

與

y

各自獨立取值：

p

最大是

50 - 9 = 41

（

x = 5

、

y = - 3

），最小是

0 - 121 = - 121

（

x = 0

、

y = - 11

），所以

- 121 \leq p \leq 41

。

x

的範圍跨過

0

，

x^{2}

的最小值是

0

，不是

(- 1)^{2} = 1

。

第 7 題把

q

配成乘積：

q = x y - x + 2 y - 2 + 5 = (x + 2) (y - 1) + 5

。由上一題的範圍，

1 \leq x + 2 \leq 7

（正數），

- 12 \leq y - 1 \leq - 4

（負數）。正數乘負數：乘積最小是

7 \times (- 12) = - 84

，最大是

1 \times (- 4) = - 4

。所以

- 84 \leq (x + 2) (y - 1) \leq - 4

，

- 79 \leq q \leq 1

。

第 8 題解是

x \geq 7

或

x \leq - 3

，兩個端點的中點是

2

、到中點的距離是

5

，也就是

∣ x - 2∣ \geq 5

。解的形狀是兩側，可知

a \neq = 0

、

b > 0

。

∣ a x + 5∣ = ∣ a ∣ \cdot x + \frac{5}{a}

，中心在

- \frac{5}{a}

，所以

- \frac{5}{a} = 2

，

a = - \frac{5}{2}

。此時

- \frac{5}{2} x + 5 = \frac{5}{2} ∣ x - 2∣ \geq b

，即

∣ x - 2∣ \geq \frac{2}{5} b

，與

∣ x - 2∣ \geq 5

比較得

\frac{2}{5} b = 5

，所以

b = \frac{25}{2}

就是所求的另一個數。

驗算：

x = 7

時

- \frac{35}{2} + 5 = \frac{25}{2}

，

x = - 3

時

\frac{15}{2} + 5 = \frac{25}{2}

，兩個端點都剛好等於

b

。

第 9 題

∣2 x + 3∣ = 2 x + \frac{3}{2}

，原式同除以

2

：

x + \frac{3}{2} + ∣ x - 7∣ \leq \frac{17}{2}

。左邊是

x

到

- \frac{3}{2}

與到

7

的距離和，而這兩點相距

7 + \frac{3}{2} = \frac{17}{2}

。距離和最小就是

\frac{17}{2}

，只有

x

在兩點之間（含端點）時才達到，所以解是

- \frac{3}{2} \leq x \leq 7

。整數

x = - 1, 0, 1, \dots, 7

，共

9

個。

題目寫「方程式」，實際上是不等式，照卷面原字。

第 14 題

4 x^{2} + 20 x + 25 = (2 x + 5)^{2}

，所以

4 x^{2} + 20 x + 25 = ∣2 x + 5∣

，原式是

∣2 x + 5∣ + 3∣ x - 4∣ - x \leq 18

。以

x = - \frac{5}{2}

與

x = 4

分三段： ①

x \geq 4

：

(2 x + 5) + 3 (x - 4) - x = 4 x - 7 \leq 18

，

x \leq \frac{25}{4}

，得

4 \leq x \leq \frac{25}{4}

。 ②

- \frac{5}{2} \leq x < 4

：

(2 x + 5) - 3 (x - 4) - x = - 2 x + 17 \leq 18

，

x \geq - \frac{1}{2}

，得

- \frac{1}{2} \leq x < 4

。 ③

x < - \frac{5}{2}

：

- (2 x + 5) - 3 (x - 4) - x = - 6 x + 7 \leq 18

，

x \geq - \frac{11}{6}

，與

x < - \frac{5}{2}

沒有共同部分，無解。合起來

- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{25}{4}

，寫成區間

[- \frac{1}{2}, \frac{25}{4}]

。

(2 x + 5)^{2}

是

∣2 x + 5∣

，不是

2 x + 5

。

第 16 題

∣ x + 3∣ \geq 2

即

x \geq - 1

或

x \leq - 5

。把這些整數的

∣3 x + 7∣

列出來：

x ∣3 x + 7∣ - 1 4 07 - 5 8 110 - 6 11 213 - 7 14

往兩側走，

∣3 x + 7∣

只會愈來愈大，由小到大依序是

4, 7, 8, 10, 11, \dots

。要「恰有

3

個」整數滿足

∣3 x + 7∣ < a

，就是最小的三個值

4, 7, 8

都小於

a

，而第四個值

10

不小於

a

：

a > 8

且

a \leq 10

。所以

8 < a \leq 10

。

端點：

a = 8

時

x = - 5

不合（

8 < 8

不成立），只有

2

個；

a = 10

時

x = 1

不合（

10 < 10

不成立），仍是

3

個，所以左邊不含等號、右邊含等號。

絕對值不等式先翻成數線上的範圍；兩個絕對值相加想成距離和；有等號的端點一定要代回去檢查。

04第 4、10、13、15 題（填充 C、H、K、M）：指數與算幾不等式

第 4 題逐項化成質數的次方：

(\frac{1}{16})^{- 0.75} = (2^{- 4})^{- \frac{3}{4}} = 2^{3} = 8

。

2 5^{6} = 5^{26}

，

24 3^{0.4} = (3^{5})^{\frac{2}{5}} = 3^{2} = 9

，

(125)^{\frac{1 - 2 6}{3}} = (5^{3})^{\frac{1 - 2 6}{3}} = 5^{1 - 26}

。後三項相乘：

5^{26} \cdot 5^{1 - 26} \cdot 9 = 5^{1} \cdot 9 = 45

。所求

= 8 - 45 = - 37

。

第 10 題設一開始有

N

隻，則

t

天後是

N \cdot a^{t}

隻：

N \cdot a^{\frac{8}{3}} = 10800

，

N \cdot a^{4} = 172800

。兩式相除：

a^{4 - \frac{8}{3}} = a^{\frac{4}{3}} = \frac{172800}{10800} = 16 = 2^{4}

，所以

a = (2^{4})^{\frac{3}{4}} = 2^{3} = 8

。

5

天後的細菌數是

4

天後的

a

倍：

172800 \times 8 = 1382400

隻。

不必求出一開始的數量，直接由第

4

天再乘一次

a

。

第 13 題設

5^{x} = 9^{y} = 1 5^{z} = t

。因為

x \neq = 0

，

t \neq = 1

，且

t > 0

。由指數律：

5 = t^{\frac{1}{x}}

，

9 = t^{\frac{1}{y}}

，

15 = t^{\frac{1}{z}}

。

t^{\frac{8}{x} + \frac{4}{y}} = (t^{\frac{1}{x}})^{8} (t^{\frac{1}{y}})^{4} = 5^{8} \cdot 9^{4} = 5^{8} \cdot 3^{8} = 1 5^{8} = t^{\frac{8}{z}}

底數

t

是不等於

1

的正數，指數必須相等：

\frac{8}{x} + \frac{4}{y} = \frac{8}{z}

，所以

k = 8

。

關鍵是

9^{4} = 3^{8}

，才能和

5^{8}

湊成

1 5^{8}

。

第 15 題先求兩平行線的距離。 從

D

向直線

B C

作垂線，垂足為

H

。直角三角形

D H C

中

∠ C = 6 0^{\circ}

、斜邊

\overline{C D} = 2

，是

3 0^{\circ}

6 0^{\circ}

9 0^{\circ}

三角形，所以

\overline{D H} = 3

，即

\overline{A D}

與

\overline{B C}

的距離是

3

。 設變數。 令

\overline{D P} = t

，則

\overline{P C} = 2 - t

。

P

在

\overline{C D}

上，所以

t \leq 2

；又

t \neq = 0

，因為

P

與

D

重合時直線

A P

就是直線

A D

，與

\overline{B C}

平行、沒有交點

Q

。所以

0 < t \leq 2

。

P

把

\overline{D C}

分成

t : (2 - t)

，所以

P

到直線

A D

的距離是

\frac{3}{2} t

，到直線

B C

的距離是

\frac{3}{2} (2 - t)

。 兩個三角形。

△ A D P

的面積

= \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{3}{2} t = \frac{3}{2} t

。因為

\overline{A D} ∥ \overline{C Q}

，

△ A D P

與

△ QC P

相似，

\overline{C Q} : \overline{A D} = \overline{P C} : \overline{D P}

，所以

\overline{C Q} = \frac{2 ( 2 - t )}{t}

，

△ C QP 的面積 = \frac{1}{2} \times \frac{2 ( 2 - t )}{t} \times \frac{3}{2} (2 - t) = \frac{3}{2} \cdot \frac{( 2 - t ) ^{2}}{t}

面積和。

\frac{3}{2} (t + \frac{4 - 4 t + t ^{2}}{t}) = \frac{3}{2} (2 t + \frac{4}{t} - 4)

由算幾不等式，

2 t + \frac{4}{t} \geq 2 2 t \cdot \frac{4}{t} = 42

，等號在

2 t = \frac{4}{t}

，即

t = 2

時成立（

2

在

0 < t \leq 2

內）。最小值

= \frac{3}{2} (42 - 4) = 26 - 23

。

用算幾不等式求極值，最後要確認等號成立的

t

真的取得到；這裡

t = 2

表示

P

在

\overline{C D}

上離

D

的距離是

2

。答案與

\overline{B C}

的長度無關。

指數的題目先化成同一個底數；兩項乘積是定值時，用算幾不等式求和的最小值，並檢查等號成立的條件。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

台中女中 109 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

台中女中 109 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要把兩個分式都改寫成 10 減去一個數再取倒數估計、第 7 題要先配成乘積才能求範圍、第 15 題要自己設線段長並用算幾不等式求最小值，以及第 16 題兩端的等號要分別代回去檢查。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自台中女中 109 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

台中女中 109 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01多重選擇題：有理數與無理數

02第 2、3、5、11、12 題（填充 A、B、D、I、J）：分點、根式與乘法公式

03第 6～9、14、16 題（填充 E、F、G、L、N）：絕對值

04第 4、10、13、15 題（填充 C、H、K、M）：指數與算幾不等式

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台中女中 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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