段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

台中女中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 台中女中 109 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 台中女中 109 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要一段一段數交點，選項 (C) 在 x 等於 2 的地方剛好有一個根、旁邊還緊鄰一個，最容易數錯；第 1 題選項 (C)(D) 要先把 π 的平方減去一圈再判斷落在哪一段；第 4 題的最小值發生在範圍的端點，不是疊合後的負根號 5 加 1；第 14 題平移後範圍不對稱，要逐一檢查每個根有沒有落在範圍內。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題（每題 8 分，共 32 分）、填充題 10 格（依答對格數計分，共 57 分）、計算題 1 大題 2 小題（3 分與 8 分，共 11 分）。本頁第 5 至 14 題依序是卷面填充題第 1 至 10 題（答案格 A 至 J），第 15、16 題是卷面計算題第 1 題的第 (1)、(2) 小題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多重選擇題【所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 5 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。共 4 題，總分 32 分】

關於三角函數值的大小，下列哪些選項是正確的？

(A) $cos 2 > cos 1$
(B) $sin 2 > sin 1$
(C) $cos π^{2} < cos \frac{4}{3} π$
(D) $sin π^{2} < sin \frac{4}{3} π$
(E) $tan 3 > tan 3^{\circ}$

下列方程式那些有

5

個實根？

(A) $8 cos x = x$
(B) $8∣ sin x ∣ = x + 4$
(C) $2 cos π x = x$
(D) $0 < x < 2 π$ 的範圍中， $tan x = 1 - x$
(E) $0 < x < 4 π$ 的範圍中， $sin x = 3 cos x$ 。

右圖為函數

y = a sin (b x + c)

的圖形，其中

a

，

b > 0

，

0 \leq c < 2 π

，下列敘述哪些正確？

(A) $a = 2$
(B) $b = \frac{1}{2}$
(C) $c = \frac{π}{3}$
(D) 將函數 $y = 2 sin 2 x$ 之圖形向左平移 $\frac{π}{6}$ 所得圖形與函數與右圖重合
(E) 右圖亦為函數 $y = 2 cos (2 x - \frac{π}{6})$ 之圖形。

載入中...

設函數

f (x) = sin x + 2 cos x + 1 = r sin (x + θ) + 1

，其中

r > 0

，

0 \leq θ < 2 π

，若

f (x)

在

0 \leq x \leq π

的範圍中，最大值

M

發生於

x = α

時，最小值

m

發生於

x = β

時，試選出正確的選項。

(A) $r = 5$
(B) $cos 2 θ = - \frac{3}{5}$
(C) $cos α = \frac{1}{5}$
(D) $β = π$
(E) 數對 $(M, m)$ 為 $(5 + 1, - 5 + 1)$ 。

二、填充題【共 10 格，總分 57 分，計分公式如下：】答對格數 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 格，分數依序為 7、14、20、26、32、37、42、47、52、57 分。

若

\frac{π}{2} < α < π

，

\frac{π}{2} < β < π

，且

sin α = \frac{2}{5}

，

cos β = - \frac{1}{10}

，則

α + β

為 ____（弧度）。

tan \frac{π}{8} =

____。（答案需化簡到不含雙根號）

如右圖，正方形

A B C D

的邊長為

6

，分別以

A

和

B

為圓心，

6

為半徑畫弧，兩弧交於

E

點，則陰影區域的面積為 ____。

載入中...

設

0 \leq θ \leq 2 π

，且

sin θ \leq \frac{1}{2}

，則

θ

的範圍為 ____。

化簡

\frac{3}{sin 5 0 ^{\circ}} + \frac{3}{cos 5 0 ^{\circ}}

之後，其值為 ____。

如右圖，在

△ A B C

中，

∠ C = 9 0^{\circ}

且

∠ B A D = ∠ D A C = θ

，若

cos θ - sin θ = \frac{1}{5}

，且

\overline{A D} = 5

，則

\overline{B D} =

____。

載入中...

有一扇形的半徑為

r

，圓心角為

θ

，若此扇形的周長為

12

，面積為

9

，則數對

(r, θ)

為 ____。

若

△ A B C

中，

tan \frac{A}{2} = \frac{1}{3}

，

tan B = \frac{1}{2}

，則

tan C

之值為 ____。

設兩直線

L_{1}

：

2 x - y - 2 = 0

與

L_{2}

：

a x + 4 y + 8 = 0

的銳夾角為

4 5^{\circ}

且

a > 0

，則

a

之值為 ____。

在

- 2 π \leq x \leq 2 π

範圍內，方程式

3 cos (x - \frac{π}{6}) = - 1

所有實根之和為 ____。

三、計算題：【一大題，共 11 分，請列出計算過程】

計算題第 1 題（第 15～16 題）　如下圖，已知扇形

O A B

的圓心角為

\frac{π}{3}

，半徑為

6

，

P

為

A B

弧上的一個動點，

∠ P O A = θ

，且

0 < θ < \frac{π}{3}

，試回答下列問題：

(1) 以

θ

表示四邊形

O A P B

的面積。（3 分）

載入中...

(2) 求四邊形

O A P B

的最大面積，此時

θ

為何？（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(C)

第 2 題(A)(B)(C)

第 3 題(A)(C)(D)(E)

第 4 題(A)(B)(D)

第 5 題

\frac{5 π}{4}

第 6 題

2 - 1

第 7 題

12 π - 93

第 8 題

0 \leq θ \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq θ \leq 2 π

第 9 題

43

第 10 題

\frac{5}{3}

第 11 題

(3, 2)

第 12 題

- 2

第 13 題

12

第 14 題

\frac{2 π}{3}

第 15 題

18 sin θ + 18 sin (\frac{π}{3} - θ)

，化簡後為

18 sin (θ + \frac{π}{3})

第 16 題最大面積

18

，此時

θ = \frac{π}{6}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～2：弧度比大小、用圖形數實根

第 1 題答案 (B)(C)。沒有度的符號的角都是弧度，用

π \approx 3.14

、

\frac{π}{2} \approx 1.57

判斷角落在哪裡，再用正弦、餘弦在那一段是遞增還是遞減來比。

1 (A)錯誤。

0 < 1 < 2 < π

，而餘弦在

0

到

π

之間遞減，角愈大值愈小，所以

cos 2 < cos 1

。（其實

2 > \frac{π}{2}

，

cos 2 < 0 < cos 1

。）

1 (B)正確。

sin 2 = sin (π - 2)

，

π - 2 \approx 1.14

。

1

與

1.14

都在

0

到

\frac{π}{2}

之間，正弦在這一段遞增，所以

sin (π - 2) > sin 1

，即

sin 2 > sin 1

。

1 (C)正確。

π^{2} \approx 9.87

超過一圈，先減

2 π

：

π^{2} - 2 π = π (π - 2)

。因為

1 < π - 2 < \frac{4}{3}

，所以

π < π^{2} - 2 π < \frac{4}{3} π

。餘弦在

π

到

2 π

之間遞增，所以

cos π^{2} = cos (π^{2} - 2 π) < cos \frac{4}{3} π

。

數值上

cos π^{2} \approx - 0.90

，

cos \frac{4}{3} π = - \frac{1}{2}

。

1 (D)錯誤。同 (C)，

π < π^{2} - 2 π < \frac{4}{3} π

。正弦在

\frac{π}{2}

到

\frac{3 π}{2}

之間遞減，角比較小的值比較大，所以

sin π^{2} = sin (π^{2} - 2 π) > sin \frac{4}{3} π

，不等號方向相反。

數值上

sin π^{2} \approx - 0.43

，

sin \frac{4}{3} π = - \frac{3}{2} \approx - 0.87

。

1 (E)錯誤。

\frac{π}{2} < 3 < π

，

3

弧度是第二象限角，

tan 3 < 0

；而

3^{\circ}

是第一象限角，

tan 3^{\circ} > 0

。所以

tan 3 < tan 3^{\circ}

。

第 2 題答案 (A)(B)(C)。把方程式兩邊各看成一個函數，畫圖數交點；直線超出三角函數值域的地方不會有交點，所以先找出只需要看的

x

範圍。

2 (A)正確。即

cos x = \frac{x}{8}

，只需看

- 8 \leq x \leq 8

（

\frac{5 π}{2} \approx 7.85 < 8 < 3 π

）。

x > 0

時直線在

x

軸上方，只會和

cos x > 0

的部分相交：

0 < x < \frac{π}{2}

餘弦由

1

降到

0

、直線由

0

上升，交

1

點；

\frac{3 π}{2} < x < 2 π

餘弦由

0

升到

1

，而

x = 2 π

時直線高度

\frac{2 π}{8} \approx 0.79 < 1

，交

1

點；

2 π < x < \frac{5 π}{2}

餘弦由

1

降到

0

，直線由

0.79

升到

0.98

，交

1

點。

x < 0

時直線在

x

軸下方，只會和

cos x < 0

的部分相交：

- \frac{3 π}{2} < x < - \frac{π}{2}

兩端

cos x = 0

在直線上方，中間

x = - π

時

cos x = - 1 < - \frac{π}{8}

在直線下方，交

2

點；

- 8 \leq x < - \frac{5 π}{2}

時直線高度不超過

- 0.98

，而這一小段

cos x \geq cos 8 \approx - 0.15

，沒有交點。共

3 + 2 = 5

個實根。

2 (B)正確。即

∣ sin x ∣ = \frac{x + 4}{8}

，右邊要在

0

到

1

之間，只需看

- 4 \leq x \leq 4

；直線由

(- 4, 0)

上升到

(4, 1)

。

y = ∣ sin x ∣

在

x = - π

、

0

、

π

碰到

x

軸，分四段看。

- 4 \leq x \leq - π

：

∣ sin x ∣

由

∣ sin 4∣ \approx 0.76

降到

0

，直線由

0

升到

\frac{4 - π}{8} \approx 0.11

，交

1

點。

- π \leq x \leq 0

這一拱：兩端

∣ sin x ∣ = 0

在直線下方，頂點

x = - \frac{π}{2}

處高度

1

，直線高度約

0.30

，交

2

點。

0 \leq x \leq π

這一拱：兩端在直線下方，頂點

x = \frac{π}{2}

處直線高度約

0.70 < 1

，交

2

點。

π \leq x \leq 4

：

∣ sin x ∣ \leq ∣ sin 4∣ \approx 0.76

，直線高度至少

\frac{π + 4}{8} \approx 0.89

，沒有交點。共

1 + 2 + 2 = 5

個實根。

2 (C)正確。即

cos π x = \frac{x}{2}

，只需看

- 2 \leq x \leq 2

；

y = cos π x

的週期是

2

。

x = 2

時兩邊都是

1

，

x = 2

本身是一個根。

0 < x < \frac{1}{2}

：餘弦由

1

降到

0

，直線由

0

上升，交

1

點。

\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}

：這一段餘弦為負、直線為正，沒有交點。

\frac{3}{2} < x < 2

：

x = \frac{3}{2}

時

cos π x = 0 < \frac{3}{4}

，曲線在直線下方；但曲線在

x = 2

到達最高點

1

，頂點附近很平，直線卻是斜著穿過

(2, 1)

，所以

x

比

2

略小時曲線在直線上方（例如

x = 1.95

：

cos 9^{\circ} \approx 0.988 > 0.975

），中間交

1

點。

x < 0

時直線在

x

軸下方：

- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{2}

兩端

cos π x = 0

在直線上方，

x = - 1

時

cos π x = - 1 < - \frac{1}{2}

在直線下方，交

2

點。共

1 + 1 + 1 + 2 = 5

個實根。

容易漏掉

x = 2

這個端點上的根，或漏掉它左邊緊鄰的那一個，而數成

3

或

4

個。

2 (D)錯誤。

y = tan x

在

0 < x < 2 π

分成三段：

0 < x < \frac{π}{2}

、

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

、

\frac{3 π}{2} < x < 2 π

，每一段都是遞增的，而

y = 1 - x

是遞減的直線，所以每一段最多交

1

點。第一段正切由

0

升到無限大，直線由

1

往下，交

1

點；第二段正切由負無限大升到正無限大，交

1

點；第三段正切由負無限大升到

0

，直線在

- 3.7

到

- 5.3

之間，交

1

點。共

3

個實根，不是

5

個。

2 (E)錯誤。

cos x = 0

時

sin x = \pm 1

不滿足方程式，所以可同除以

cos x

，得

tan x = 3

，

x = \frac{π}{3} + k π

（

k

為整數）。在

0 < x < 4 π

內是

\frac{π}{3}

、

\frac{4 π}{3}

、

\frac{7 π}{3}

、

\frac{10 π}{3}

，共

4

個實根。

弧度的角先用 π 約 3.14 定出落在哪一段，再用增減性比大小；數實根時先用值域把 x 的範圍框出來，一段一段數，端點要另外代入檢查。

02多選 3～4：由圖形定出函數、疊合後的極值

第 3 題答案 (A)(C)(D)(E)。先由圖形定出函數：最大值

2

、最小值

- 2

，且

a > 0

，所以

a = 2

。相鄰的最高點與最低點

x

坐標相差

\frac{7 π}{12} - \frac{π}{12} = \frac{π}{2}

，是半個週期，週期為

π = \frac{2 π}{b}

，

b = 2

。最高點在

x = \frac{π}{12}

：

2 \cdot \frac{π}{12} + c = \frac{π}{2} + 2 k π

，

c = \frac{π}{3} + 2 k π

，配合

0 \leq c < 2 π

得

c = \frac{π}{3}

。所以圖形是

y = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})

。

3 (A)正確。振幅是

2

且

a > 0

，

a = 2

。

3 (B)錯誤。週期是

π

，

b = \frac{2 π}{π} = 2

，不是

\frac{1}{2}

。

3 (C)正確。由最高點的位置得

c = \frac{π}{3}

。

3 (D)正確。向左平移

\frac{π}{6}

是把

x

換成

x + \frac{π}{6}

：

y = 2 sin 2 (x + \frac{π}{6}) = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})

，與右圖相同。

3 (E)正確。用

cos t = sin (t + \frac{π}{2})

：

2 cos (2 x - \frac{π}{6}) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6} + \frac{π}{2}) = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})

。也可以直接檢查：

x = \frac{π}{12}

時

2 cos 0 = 2

是最高點，週期同為

π

。

第 4 題答案 (A)(B)(D)。疊合：

sin x + 2 cos x = 5 (\frac{1}{5} sin x + \frac{2}{5} cos x) = 5 sin (x + θ)

，其中

cos θ = \frac{1}{5}

、

sin θ = \frac{2}{5}

，

θ

是第一象限角（

0 < θ < \frac{π}{2}

）。

0 \leq x \leq π

時，

θ \leq x + θ \leq π + θ

，而

π + θ < \frac{3 π}{2}

。這一段裡正弦先升到

1

（角為

\frac{π}{2}

），之後一路下降到角為

π + θ

為止。所以最大值在

x + θ = \frac{π}{2}

，最小值要比兩個端點：

x = 0

時

sin θ = \frac{2}{5}

，

x = π

時

sin (π + θ) = - \frac{2}{5}

，後者較小。

4 (A)正確。

r = 1^{2} + 2^{2} = 5

。

4 (B)正確。

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{2}{5} - 1 = - \frac{3}{5}

。

4 (C)錯誤。最大值發生在

α + θ = \frac{π}{2}

，

α = \frac{π}{2} - θ

，所以

cos α = sin θ = \frac{2}{5}

，不是

\frac{1}{5}

。

4 (D)正確。最小值發生在右端點

x = π

，

β = π

。

4 (E)錯誤。

M = 5 \cdot 1 + 1 = 5 + 1

沒錯，但

m = f (π) = 0 + 2 \cdot (- 1) + 1 = - 1

。

- 5 + 1

是

x

不受限制時的最小值，要

x + θ = \frac{3 π}{2}

才取得到，這時

x = \frac{3 π}{2} - θ > π

，不在範圍內。

由圖形求函數的順序是振幅、週期、再用一個最高點定出平移量；疊合之後求極值，一定要回頭看角的範圍有沒有涵蓋到正弦等於 1 或 −1 的位置。

03填充 5～9（卷面 A～E）：和角、半角、弧形面積、不等式與疊合求值

第 5 題

α

、

β

都是第二象限角，所以

cos α = - 1 - \frac{4}{5} = - \frac{1}{5}

，

sin β = 1 - \frac{1}{10} = \frac{3}{10}

。由和角公式，

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{1}{50} - \frac{6}{50} = - \frac{5}{5 2} = - \frac{1}{2}

。又

π < α + β < 2 π

，在這個範圍內餘弦等於

- \frac{1}{2}

的角只有

\frac{5 π}{4}

，所以

α + β = \frac{5 π}{4}

。

只算

cos (α + β)

而不看範圍，會誤答

\frac{3 π}{4}

。也可以算

sin (α + β) = - \frac{2}{50} - \frac{3}{50} = - \frac{1}{2} < 0

來確認在第三象限。

第 6 題令

t = tan \frac{π}{8}

，

t > 0

。由正切的倍角公式

tan \frac{π}{4} = \frac{2 t}{1 - t ^{2}} = 1

，得

t^{2} + 2 t - 1 = 0

，

t = - 1 \pm 2

，取正值

t = 2 - 1

。

用半角公式也可以：

tan \frac{π}{8} = \frac{1 - cos \frac{π}{4}}{sin \frac{π}{4}} = \frac{1 - \frac{2}{2}}{\frac{2}{2}} = 2 - 1

。

第 7 題連

\overline{A E}

、

\overline{B E}

。

E

在以

A

為圓心與以

B

為圓心的兩弧上，所以

\overline{A E} = \overline{B E} = \overline{A B} = 6

，

△ A B E

是正三角形，

∠ E A B = ∠ E B A = \frac{π}{3}

。陰影區域是「以

A

為圓心、圓心角

\frac{π}{3}

的扇形

A B E

」與「以

B

為圓心、圓心角

\frac{π}{3}

的扇形

B A E

」合起來的範圍，兩個扇形重疊的部分正好是

△ A B E

。每個扇形面積

\frac{1}{2} \cdot 6^{2} \cdot \frac{π}{3} = 6 π

，正三角形面積

\frac{3}{4} \cdot 6^{2} = 93

，所以陰影面積

= 6 π + 6 π - 93 = 12 π - 93

。

扇形面積公式

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。答案約

22.1

，比正方形面積

36

的一半多一些，與圖相符。

第 8 題在

0 \leq θ \leq 2 π

內，

sin θ = \frac{1}{2}

的角是

\frac{π}{6}

與

\frac{5 π}{6}

。由

y = sin θ

的圖形，介於這兩個角之間時

sin θ > \frac{1}{2}

，其餘的地方

sin θ \leq \frac{1}{2}

。所以

0 \leq θ \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq θ \leq 2 π

。

不等式含等號，四個端點都要包含；解是兩段，不要漏掉

\frac{5 π}{6}

到

2 π

這一段（其中

π

到

2 π

的正弦值不是正的，當然滿足）。

第 9 題通分：原式

= \frac{3 cos 5 0 ^{\circ} + 3 sin 5 0 ^{\circ}}{sin 5 0 ^{\circ} cos 5 0 ^{\circ}}

。分子提出

23

：

23 (\frac{1}{2} cos 5 0^{\circ} + \frac{3}{2} sin 5 0^{\circ}) = 23 (sin 3 0^{\circ} cos 5 0^{\circ} + cos 3 0^{\circ} sin 5 0^{\circ}) = 23 sin 8 0^{\circ}

。分母用倍角公式：

sin 5 0^{\circ} cos 5 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 10 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 8 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{2 3 sin 8 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 8 0 ^{\circ}} = 43

。

04填充 10～14（卷面 F～J）：倍角與直角三角形、扇形、正切公式、夾角與方程式的根

第 10 題

∠ B A C = 2 θ

是直角三角形的銳角，所以

0 < 2 θ < \frac{π}{2}

。把

cos θ - sin θ = \frac{1}{5}

平方：

1 - 2 sin θ cos θ = \frac{1}{5}

，

sin 2 θ = \frac{4}{5}

，於是

cos 2 θ = \frac{3}{5}

，

tan 2 θ = \frac{4}{3}

。再由

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{3}{5}

得

cos θ = \frac{2}{5}

，

sin θ = \frac{1}{5}

。在直角

△ A C D

中，

\overline{A C} = \overline{A D} cos θ = 5 \cdot \frac{2}{5} = 2

，

\overline{C D} = \overline{A D} sin θ = 1

。在直角

△ A B C

中，

\overline{B C} = \overline{A C} tan 2 θ = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}

。所以

\overline{B D} = \overline{B C} - \overline{C D} = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}

。

驗算：

cos θ - sin θ = \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{1}{5}

，符合題目條件。本頁的圖是示意圖，角度不是實際大小。

第 11 題扇形的弧長是

r θ

，周長

2 r + r θ = 12

，所以

r θ = 12 - 2 r

。面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r \cdot (r θ) = \frac{1}{2} r (12 - 2 r) = 9

，整理得

r^{2} - 6 r + 9 = 0

，

(r - 3)^{2} = 0

，

r = 3

。代回

r θ = 6

，

θ = 2

。數對

(r, θ) = (3, 2)

。

θ = 2

是弧度；周長要記得加兩條半徑。

第 12 題先用正切的倍角公式：

tan A = \frac{2 tan \frac{A}{2}}{1 - tan ^{2} \frac{A}{2}} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{4}

。三角形內角和為

π

，

C = π - (A + B)

，所以

tan C = - tan (A + B) = - \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = - \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{8}} = - \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = - 2

。

tan C < 0

表示

∠ C

是鈍角；

tan A

、

tan B

都是正的，

∠ A

、

∠ B

是銳角，三角形確實存在。

第 13 題

L_{1}

的斜率是

2

，

L_{2}

的斜率是

m = - \frac{a}{4}

。兩直線夾角為

4 5^{\circ}

，由正切的差角公式，

\frac{m - 2}{1 + 2 m} = tan 4 5^{\circ} = 1

。

m - 2 = 1 + 2 m

得

m = - 3

；

m - 2 = - (1 + 2 m)

得

m = \frac{1}{3}

。因為

a > 0

，

m = - \frac{a}{4} < 0

，所以

m = - 3

，

a = 12

。

m = \frac{1}{3}

對應

a = - \frac{4}{3}

，不合

a > 0

。

第 14 題令

u = x - \frac{π}{6}

，方程式是

cos u = - \frac{1}{3}

，範圍變成

- \frac{13 π}{6} \leq u \leq \frac{11 π}{6}

。設

φ

是滿足

cos φ = - \frac{1}{3}

且

\frac{π}{2} < φ < π

的角，則所有解是

u = \pm φ + 2 k π

（

k

為整數）。逐一看哪些落在範圍內：

φ

與

- φ

在範圍內；

φ - 2 π

介於

- \frac{3 π}{2}

與

- π

之間，在範圍內；

2 π - φ

介於

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，在範圍內；

- φ - 2 π < - \frac{5 π}{2}

與

φ + 2 π > \frac{5 π}{2}

都超出範圍。四個解的

u

相加為

φ - φ + (φ - 2 π) + (2 π - φ) = 0

。每個

x = u + \frac{π}{6}

，所以實根之和

= 0 + 4 \cdot \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

。

不需要知道

φ

是多少，四個根兩兩相消。要小心的是平移之後範圍不再對稱於原點，每個候選解都要檢查有沒有落在範圍內。

看到 cos θ − sin θ 或 sin θ ＋ cos θ 的值，先平方得到 sin 2θ；題目要的角若是 2θ、A＋B 這類組合，就直接算它的三角函數值，再用範圍決定是哪一個角。

05計算 15～16（卷面計算題第 1 題）：扇形內四邊形 OAPB 的面積

第 15 題連

\overline{O P}

，把四邊形

O A P B

分成

△ O A P

與

△ O P B

，其中

\overline{O A} = \overline{O P} = \overline{O B} = 6

，

∠ A O P = θ

，

∠ P O B = \frac{π}{3} - θ

。用兩邊夾角的面積公式：

△ O A P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 sin θ = 18 sin θ

，

△ O P B = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 sin (\frac{π}{3} - θ) = 18 sin (\frac{π}{3} - θ)

。所以四邊形

O A P B

的面積

= 18 sin θ + 18 sin (\frac{π}{3} - θ)

。

寫到這裡就是用

θ

表示的面積；下一小題再把它化成一個正弦。寫成

18 cos (θ - \frac{π}{6})

也對。

第 16 題用差角公式展開：

sin (\frac{π}{3} - θ) = \frac{3}{2} cos θ - \frac{1}{2} sin θ

，所以面積

= 18 (sin θ + \frac{3}{2} cos θ - \frac{1}{2} sin θ) = 18 (\frac{1}{2} sin θ + \frac{3}{2} cos θ) = 18 sin (θ + \frac{π}{3})

。因為

0 < θ < \frac{π}{3}

，所以

\frac{π}{3} < θ + \frac{π}{3} < \frac{2 π}{3}

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

。當

θ + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，即

θ = \frac{π}{6}

時，正弦值為

1

，面積有最大值

18

。

θ = \frac{π}{6}

時

P

是弧

A B

的中點，兩個三角形全等，各為

18 sin \frac{π}{6} = 9

，合計

18

，與結果相符。本頁的圖裡

P

的位置是示意，不在面積最大的位置。

圓或扇形裡的面積先連半徑切成三角形，用二分之一兩邊乘夾角的正弦寫出來，再疊合成一個正弦，最後看角的範圍決定極值。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

台中女中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要一段一段數交點，選項 (C) 在 x 等於 2 的地方剛好有一個根、旁邊還緊鄰一個，最容易數錯；第 1 題選項 (C)(D) 要先把 π 的平方減去一圈再判斷落在哪一段；第 4 題的最小值發生在範圍的端點，不是疊合後的負根號 5 加 1；第 14 題平移後範圍不對稱，要逐一檢查每個根有沒有落在範圍內。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自台中女中 109 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

台中女中 109 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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03填充 5～9（卷面 A～E）：和角、半角、弧形面積、不等式與疊合求值

04填充 10～14（卷面 F～J）：倍角與直角三角形、扇形、正切公式、夾角與方程式的根

05計算 15～16（卷面計算題第 1 題）：扇形內四邊形 OAPB 的面積

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高二第一次段考
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