01 · 試題原卷 9 題，照原卷順序
本頁只收錄試題第 1 頁的 9 題（合計 70 分），不是全卷：原卷共 2 頁 14 題、滿分 100 分，試題第 2 頁（填充題第 8～12 題，K～P 共 6 格、30 分）從缺。原卷配分：多重選擇題 2 題（每答對一個選項得 2 分，共 20 分，答錯不倒扣）、填充題 16 格（每格 5 分，共 80 分）；本頁收錄多重選擇題 2 題與填充題第 1～7 題（A～J 共 10 格）。本頁題號 1～9 依序是卷面的多重選擇 1～2、填充 1～7。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。
一、多重選擇題：共 2 題，每答對一個選項得 2 分，總分 20 分。答錯不倒扣。
1
（多重選擇第 1 題）設 a、b、c 都為實數，則下列各敘述哪些是正確的？- (1) 若 a7 為有理數且 a9 為有理數，則 a 必為有理數
- (2) 若 a2+b2、b2+c2、c2+a2 都為有理數，則 a、b、c 都為有理數
- (3) 若 a、b 為相異的有理數，則在 a、b 之間必有至少一個無理數
- (4) 若 a2+b2+c2+ab+bc+ca=0，則 a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca=0
- (5) 若已知 c0=1 成立，則 c−32=3c21 成立
2
（多重選擇第 2 題）設 x2−5x+1=0，則下列哪些結果是正確的？- (1) x+x−1=5
- (2) x2+x−2=27
- (3) x3+x−3=110
- (4) x21+x−21=±7
- (5) x−x−1=±21
二、填充題：共 16 格，每格 5 分，總分 80 分。※注意：(1) 答案若為分數或根號，請化至最簡；答案不可用循環小數、次方形式表示。(2) 每格須完全答對才給分。（本頁只收錄試題第 1 頁的填充第 1～7 題，A～J 共 10 格、50 分；第 2 頁的第 8～12 題從缺）
3
（填充第 1 題）設 a、b 為有理數，且已知 3 是無理數，若 (3+1)a+(2−3)b=7−23，則數對 (a,b)= (A) ____。 4
（填充第 2 題）設方程式 x2−2x−6=0 的兩根為 α、β，且 α<β。若 α=n+b，其中 n 為整數，b 為一個正的純小數，則 α2+b1 之值為 (B) ____。
5
（填充第 3 題）一位農夫有 120 公尺的圍籬，想用這些圍籬圍出如下圖的農地以種植三種不同的作物，且圖中三塊為全等的矩形。則當 (a,b)= (C) ____（單位為公尺）時，可圍出最大農地面積為 (D) ____ 平方公尺。 6
（填充第 4 題）因式分解下列各式：(1) x6−1= (E) ____。(2) 4x4+11x2+9= (F) ____。
7
（填充第 5 題）設 x=2+12−1，y=2−12+1，則 x3+y3= (G) ____。 8
（填充第 6 題）(1) 解方程式 −4x=∣2x+3∣ 得 x 的解為 (H) ____。(2) 解不等式 {∣2x−3∣≤5∣−2x+1∣≥7 得 x 的解為 (I) ____。
9
（填充第 7 題）甲、乙兩人分別位在高鐵站的西方 6 公里、東方 21 公里處，今兩人同時開著車以等速在東西方向上移動，若甲、乙的速率比為 4:5，且已知他們會相遇，則他們會在距離高鐵站 x 公里的地方相遇，x 的值為 (J) ____。
第 1 題(1)(3)(4)（選項 (5)：分數指數只在底數為正時有定義，c 可為負，判為錯；若把負底數配奇數分母的分數指數也算有定義，(5) 會成立）
第 2 題(1)(3)(5)
第 3 題(1,3)
第 5 題(C) (15,10)；(D) 450（圍籬含中間兩道隔間；若隔間不用圍籬、只圍外框，則為 (30,10)、900）
第 6 題(E) (x−1)(x+1)(x2+x+1)(x2−x+1)；(F) (2x2+x+3)(2x2−x+3)
第 7 題198
第 8 題(H) x=−21；(I) x=4
第 9 題6 或 114（相向而行在東方相遇；兩人同向西行、乙追上甲在西方相遇）
03 · 勾錯題號勾出錯的題號，看錯在哪幾章
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01多重選擇題：實數的性質與乘法公式
1 (1)正確。 a=0 時當然成立；a=0 時 a2=a7a9 是有理數，所以 a6=(a2)3 是有理數，a=a6a7 也是有理數。
1 (2)錯誤。 取 a=b=c=2，三個和都是 4，但 a、b、c 都是無理數。 1 (3)正確。 設 a<b，取 t=a+2b−a。因為 0<21<1，所以 a<t<b；又 b−a 是不為 0 的有理數，2b−a 是無理數，有理數加無理數仍是無理數，所以 t 是 a、b 之間的無理數。 1 (4)正確。 條件兩邊乘以 2 可配成 (a+b)2+(b+c)2+(c+a)2=0，實數的平方和為 0，只能 a+b=b+c=c+a=0；三式相加得 a+b+c=0，再分別減去各式得 a=b=c=0，代入後式得 0。
1 (5)錯誤。 c0=1 只告訴我們 c=0，c 可以是負數；分數指數只在底數為正時才有定義，例如 c=−8 時右邊是 3641=41，左邊 (−8)−32 沒有定義。 c>0 時等式成立；題目只給 c0=1，推不出 c>0。本題答案 (1)(3)(4)。
2 (1)正確。 x=0 不是根，方程式同除以 x 得 x−5+x−1=0，即 x+x−1=5。
2 (2)錯誤。 x2+x−2=(x+x−1)2−2=25−2=23。
2 (3)正確。 x3+x−3=(x+x−1)3−3(x+x−1)=125−15=110。
2 (4)錯誤。 兩根的和是 5、積是 1，所以兩根都是正數，x21+x−21 也是正數。它的平方是 x+x−1+2=7。因此值只會是 7 而不會是 −7。 2 (5)正確。 (x−x−1)2=(x+x−1)2−4=21。兩根互為倒數，大的那一根代入得 21，小的那一根代入得 −21，兩個值都會出現。 和的形式只有一個值；差的形式要看 x 取哪一根。本題答案 (1)(3)(5)。
判斷「必」成立的敘述先找反例；由 x+x−1 出發，平方、立方就能得到其他式子的值。
02填充第 1～3 題（本頁第 3、4、5 題）：實數與算幾不等式
第 3 題展開整理成 (a+2b)+(a−b)3=7−23。a、b 是有理數而 3 是無理數，有理部分與 3 的係數分別相等：a+2b=7、a−b=−2。兩式相減得 3b=9，b=3，a=1，所以 (a,b)=(1,3)。 第 4 題由公式解得兩根為 1±7，α=1−7。因為 2<7<3，所以 −2<α<−1，整數 n=−2，b=α−n=3−7（介於 0 與 1 之間）。α2=(1−7)2=8−27。b1=3−71=(3−7)(3+7)3+7=23+7。相加得 8−27+23+7=219−37。 α 是負數，
7≈2.646，
α≈−1.646，整數部分要取
−2 而不是
−1，小數部分才會是正的。
第 5 題圖中圍籬有上下兩條長 3b 的橫邊，以及含中間兩道隔間在內共四條長 a 的直邊，所以 4a+6b=120。農地面積是 3ab。a、b 都是正數，由算幾不等式 24a+6b≥4a⋅6b，即 60≥24ab，平方得 ab≤150，所以面積 3ab≤450。等號在 4a=6b=60 時成立，即 a=15、b=10。所以 (a,b)=(15,10) 時，最大面積為 450 平方公尺。 這裡把中間兩道隔間也算進圍籬（圖上畫成與外框相同的線）。圖是示意圖，沒有照實際比例畫。若隔間不算圍籬，只圍外框，則
2a+6b=120。由
22a+6b≥2a⋅6b 得
ab≤300，面積
3ab≤900。等號在
2a=6b=60 時成立，即
(a,b)=(30,10)。
負數的整數部分往小的方向取；用算幾不等式求極值要寫出等號成立的條件。
03填充第 4～7 題（本頁第 6、7、8、9 題）：因式分解、根式、絕對值與分點
第 6 題(E) 先用平方差：x6−1=(x3−1)(x3+1)，再用立方差公式 x3−1=(x−1)(x2+x+1) 與立方和公式 x3+1=(x+1)(x2−x+1)。所以 x6−1=(x−1)(x+1)(x2+x+1)(x2−x+1)。(F) 補成完全平方再用平方差：4x4+11x2+9=(4x4+12x2+9)−x2=(2x2+3)2−x2=(2x2+x+3)(2x2−x+3)。
x2±x+1 與 2x2±x+3 的判別式都是負的，不能再分解。
第 7 題有理化分母：x=(2+1)(2−1)(2−1)2=3−22，同理 y=3+22。所以 x+y=6，xy=9−8=1。x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)=216−18=198。 x 與 y 互為倒數，一眼就知道 xy=1。
第 8 題(H) 右邊是絕對值，不會是負的，所以 −4x≥0，即 x≤0。去掉絕對值：2x+3=−4x 得 x=−21（符合 x≤0）；2x+3=4x 得 x=23（不合）。所以 x=−21。(I) 第一式：−5≤2x−3≤5，得 −1≤x≤4。第二式：∣−2x+1∣=∣2x−1∣≥7，得 2x−1≥7 或 2x−1≤−7，即 x≥4 或 x≤−3。兩式的共同範圍只有 x=4。
(H) 把 x=23 代回去，左邊是 −6，右邊是 6，不相等，一定要檢查。
第 9 題把高鐵站當作數線的原點、向東為正，甲在 −6，乙在 21，兩人相距 27 公里。相同時間內甲、乙走的路程比是 4:5，設甲走 4t、乙走 5t。情形一：兩人相向而行（甲向東、乙向西）。由 4t+5t=27 得 t=3。甲走了 12 公里，在 −6+12=6 相遇，距高鐵站 6 公里。情形二：兩人都向西，乙從後面追上甲。由 5t−4t=27 得 t=27。甲走了 108 公里，在 −6−108=−114 相遇，距高鐵站 114 公里。其餘情形（兩人都向東，或背向而行）速率較慢的甲追不上乙，不會相遇。所以 x=6 或 114。
相遇點 P 滿足 PA:PB=4:5（A、B 是甲、乙的起點），情形一是內分點，情形二是外分點。題目沒有說兩人的方向，兩種都要算。
絕對值方程式解完要代回檢查；聯立不等式把兩個範圍畫在同一條數線上找重疊的部分；題目沒指定方向時，相向與同向都要討論。
同一次段考的其他學校
同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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上傳考卷常見問題
台中女中 108 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 9 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
台中女中 108 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？
多重選擇第 1 題的選項 (5) 要注意零次方等於 1 只能得到底數不是 0、底數可能是負數；多重選擇第 2 題的選項 (4) 兩個正數相加不會是負的；填充第 2 題負數的整數部分要取負 2；填充第 7 題沒有指定方向，相向與同向追上兩種情形都要算。詳解逐題寫在本頁。
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題目取自台中女中 108 學年度上學期 高一第一次段考 數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。
