段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用）

新店高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 新店高中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 新店高中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要注意對數函數在 0 與 1 之間取負值，乘上負的係數後圖形會跑到 x 軸上方，凹口與增減也都反過來；第 11 題要分段數交點，原點那一個最容易漏掉；第 7 題第三、四小題要先寫真數條件把多出來的根排除；第 14 題換成同底後不等號要反向。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題（每題 5 分，共 20 分）、填充題 10 題共 16 格（共 72 分，依答對格數給分：1 格 9 分、2 格 17 分、3 格 23 分、4 格 28 分、5 格 33 分、6 格 38 分、7 格 43 分、8 格 47 分、9 格 51 分、10 格 55 分、11 格 59 分、12 格 62 分、13 格 65 分、14 格 68 分、15 格 70 分、16 格 72 分）、計算題 1 題（8 分）。原卷填充題 1～10 本頁編為第 5～14 題，計算題 1 編為第 15 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題（每題 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，共 20 分）

已知指數函數

y = a^{x}

上有三點

A (- 2, \frac{1}{4})

、

B (0, b)

、

C (c, 8)

，則下列敘述何者正確？

(A) $a = \frac{1}{2}$
(B) $b = 1$
(C) $c = - 3$
(D) 點 $D (\frac{1}{4}, - 2)$ 也在對數函數 $y = lo g_{a} x$ 的圖形上
(E) $\overline{A B}$ 、 $\overline{B C}$ 與 $\overline{A C}$ 中， $\overline{A C}$ 的斜率最大

已知

(a, b)

是對數函數

y = lo g x

圖形上一點，問：下列那些選項中的點也會在

y = lo g x

的圖形上？

(A) $(100 a, b + 2)$
(B) $(\frac{a}{10}, b + 1)$
(C) $(10 a, 10 b)$
(D) $(a^{3}, 3 b)$
(E) $(\frac{10}{a}, 1 - b)$

設

0 < a < 1

，關於函數

f (x) = a^{x}

，選出正確的選項。

(A) $f (0) = 1$
(B) $f (x)$ 的圖形在 $x$ 軸的上方
(C) $f (x) = a^{x}$ 與 $g (x) = (\frac{1}{a})^{x}$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(D) 若 $α < β$ ，則 $f (α) < f (β)$
(E) $f (x)$ 的圖形凹口向下

設

t < 0

，關於函數

f (x) = t lo g x

，選出正確的選項。

(A) $f (3) > 0$
(B) $f (x)$ 的圖形恆在 $x$ 軸的下方
(C) $f (x) = t lo g x$ 與 $g (x) = - t lo g x$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(D) $f (x)$ 的圖形凹口向下
(E) 若 $α < β$ ，則 $f (α) > f (β)$

二、填充題（共 72 分）

求下列各式的值： (1)

3 lo g 5 + 4 lo g 8 - 9 lo g 2 =

____ (2)

(lo g_{4} \frac{1}{5} + lo g_{2} 35) \times (lo g_{5} 4 + lo g_{25} \frac{1}{8}) =

____

設

lo g_{(x - 2)} (- 2 x^{2} + 11 x - 5)

有意義，求

x

的範圍 ____

解下列各方程式： (1)

1 6^{x^{2}} = 2^{10 x + 6}

____ (2)

2^{2 x} - 11 \times 2^{x} + 24 = 0

____ (3)

lo g (x - 3) + lo g (x - 10) = 3 - 3 lo g 5

____ (4)

2 lo g_{2} (x - 4) - lo g_{2} (x - 1) = 2

____

已知

f (x) = - 4^{x} + 6 \times 2^{x} - 5

，且

0 \leq x \leq 2

。 (1) 令

t = 2^{x}

，求

t

的範圍 ____ (2) 若

f (x)

的最大值為

M

，最小值為

m

，求數對

(M, m) =

____

設直線

L_{1}

：

y = 2

與

L_{2}

：

y = 18

，分別與

y = 3^{x}

的圖形交於

P

、

Q

兩點，求直線

P Q

的斜率 ____

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則： (1)

1 0^{3 a + b} =

____ (2) 以

a

、

b

表示

lo g_{8} 18 =

____

在

- 2 π \leq x \leq π

的範圍內，

y = sin (x + \frac{π}{2})

與

y = 2^{x}

的圖形有幾個交點 ____

某核電廠發生銫 134 輻射外洩事件，事故當下偵測到周圍環境的銫 134 殘留量為 10000 單位；已知銫 134 的半衰期為 2 年，若

n

年後（

n

為正整數），在同一地點偵測到銫 134 的殘留量需低於 1 單位，求

n

的最小值 ____（已知

lo g 2 \approx 0.301

）

地震矩規模

M_{w}

是測量地震大小的一種指標，其公式為

M_{w} = - 10.73 + \frac{2}{3} lo g M_{0}

，其中

M_{0}

為地震矩，是地震學家用來表示地震所釋放出能量的數據。已知 1960 年智利大地震的

M_{w} = 9.5

，2010 年海地大地震的

M_{w} = 7.0

，問：智利大地震所釋放的能量是海地大地震的幾倍？____ （已知

1 0^{0.75} \approx 5.6

，請選出最接近的答案）

(A) $56$ 倍
(B) $560$ 倍
(C) $5600$ 倍
(D) $56000$ 倍

解不等式

1 + lo g_{\frac{1}{2}} (x - 3) > lo g_{\frac{1}{4}} (6 - x)

____

三、計算題（8 分，需書寫計算過程，否則不予計分！）

政府推出「新青安」優惠房貸方案，補貼後的年利率為

1.775%

，假設小明貸款 1000 萬元 40 年，以複利計息，每年計息一次，求 40 年期滿他還款的本利和為多少萬元？（已知

lo g 1.01775 \approx 0.00764

，

1 0^{0.3056} \approx 2.021

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(D)

第 2 題(A)(D)(E)

第 3 題(A)(B)(C)

第 4 題(C)(E)

第 5 題(1)

3

；(2)

- \frac{1}{12}

第 6 題

2 < x < 5

且

x \neq = 3

第 7 題(1)

x = 3

或

- \frac{1}{2}

；(2)

x = 3

或

lo g_{2} 3

；(3)

x = 11

；(4)

x = 10

第 8 題(1)

1 \leq t \leq 4

；(2)

(4, 0)

第 9 題

8

第 10 題(1)

24

；(2)

\frac{a + 2 b}{3 a}

第 11 題

3

第 12 題

27

第 13 題(C)

第 14 題

3 < x < 5

第 15 題約

2021

萬元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1、3 與填充 4、5：指數函數的圖形與極值

第 1 題

由 $A$ 在圖形上， $a^{- 2} = \frac{1}{4}$ ，又底數 $a > 0$ ，所以 $a^{2} = 4$ ， $a = 2$ 。

(A) 錯誤。 $a = 2$ 。

(B) 正確。 $b = 2^{0} = 1$ 。

(D) 正確。 $lo g_{2} \frac{1}{4} = - 2$ ，所以 $D (\frac{1}{4}, - 2)$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上。

(E) 錯誤。 $A (- 2, \frac{1}{4})$ 、 $B (0, 1)$ 、 $C (3, 8)$ ： $\overline{A B}$ 斜率 $\frac{1 - \frac{1}{4}}{2} = \frac{3}{8}$ ； $\overline{B C}$ 斜率 $\frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{3}$ ； $\overline{A C}$ 斜率 $\frac{8 - \frac{1}{4}}{5} = \frac{31}{20}$ 。最大的是 $\overline{B C}$ 。

指數函數凹口向上，越往右的弦越陡，所以右邊那一段

\overline{B C}

的斜率最大，跨在兩段之間的

\overline{A C}

不會是最大。

第 3 題

$0 < a < 1$ 。

(A) 正確。 $f (0) = a^{0} = 1$ 。

(B) 正確。 對任意實數 $x$ ， $a^{x} > 0$ ，圖形在 $x$ 軸上方。

(C) 正確。 $g (x) = (\frac{1}{a})^{x} = a^{- x} = f (- x)$ ，點 $(x, y)$ 在 $f$ 的圖形上時， $(- x, y)$ 就在 $g$ 的圖形上，兩圖形對稱於 $y$ 軸。

(D) 錯誤。 底數 $0 < a < 1$ ， $f (x) = a^{x}$ 是遞減函數： $α < β$ 時 $f (α) > f (β)$ 。例如 $a = \frac{1}{2}$ ： $f (0) = 1 > f (1) = \frac{1}{2}$ 。

(E) 錯誤。 指數函數的圖形不論底數大於 $1$ 或介於 $0$ 與 $1$ ，凹口都向上。例如 $a = \frac{1}{2}$ ： $f (0) = 1$ 、 $f (2) = \frac{1}{4}$ ，中點 $(1, \frac{5}{8})$ 在 $f (1) = \frac{1}{2}$ 的上方，弦在圖形上方。

第 8 題

(1) $y = 2^{x}$ 遞增， $0 \leq x \leq 2$ 時 $2^{0} \leq t \leq 2^{2}$ ，即 $1 \leq t \leq 4$ 。

(2) $4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}$ ，所以 $f = - t^{2} + 6 t - 5 = - (t - 3)^{2} + 4$ 。頂點 $t = 3$ 在範圍內，最大值 $M = 4$ 。開口向下，最小值在離 $t = 3$ 較遠的端點 $t = 1$ ： $f = - 1 + 6 - 5 = 0$ （另一端 $t = 4$ 時 $f = 3$ ）。所以 $(M, m) = (4, 0)$ 。

第 9 題

P

：

3^{x} = 2

，

x = lo g_{3} 2

，

P (lo g_{3} 2, 2)

。

Q

：

3^{x} = 18

，

x = lo g_{3} 18 = lo g_{3} 9 + lo g_{3} 2 = 2 + lo g_{3} 2

，

Q (2 + lo g_{3} 2, 18)

。兩點橫坐標差

2

、縱坐標差

16

，斜率

= \frac{16}{2} = 8

。

指數函數的圖形一定過 (0, 1)、恆在 x 軸上方、凹口向上；底數大於 1 遞增，介於 0 與 1 遞減。碰到 4 的 x 次方與 2 的 x 次方同時出現，就令 t＝2 的 x 次方，並先寫出 t 的範圍。

02多選 2、4 與填充 7：對數函數的圖形與交點個數

第 2 題

已知 $b = lo g a$ （ $a > 0$ ），逐項看橫坐標的常用對數是否等於縱坐標。

(A) 正確。 $lo g (100 a) = 2 + lo g a = b + 2$ 。

(B) 錯誤。 $lo g \frac{a}{10} = b - 1$ ，不是 $b + 1$ 。

(D) 正確。 $lo g a^{3} = 3 lo g a = 3 b$ 。

(E) 正確。 $lo g \frac{10}{a} = 1 - lo g a = 1 - b$ 。

第 4 題

$t < 0$ ，定義域是 $x > 0$ 。

(A) 錯誤。 $lo g 3 > 0$ ， $f (3) = t lo g 3 < 0$ 。

(B) 錯誤。 $0 < x < 1$ 時 $lo g x < 0$ ， $f (x) = t lo g x > 0$ ，圖形在 $x$ 軸上方。例如 $f (\frac{1}{10}) = - t > 0$ 。

(D) 錯誤。 $y = lo g x$ 的圖形凹口向下；乘上負數 $t$ 等於先上下翻轉（對 $x$ 軸對稱）再伸縮，凹口變成向上。

(E) 正確。 這裡的 $α$ 、 $β$ 指定義域 $x > 0$ 內的數。 $lo g x$ 在定義域內遞增、 $t < 0$ ，所以 $f$ 遞減： $0 < α < β$ 時 $lo g α < lo g β$ ，乘上負數 $t$ 不等號反向， $f (α) > f (β)$ 。

第 11 題

$y = sin (x + \frac{π}{2})$ 的圖形是 $y = sin x$ 向左平移 $\frac{π}{2}$ （由廣義角的關係 $sin (θ + \frac{π}{2}) = cos θ$ ，它也就是 $y = cos x$ 的圖形），函數值介於 $- 1$ 與 $1$ 。分段看兩圖在 $- 2 π \leq x \leq π$ 的交點。

$x = 0$ ： $sin \frac{π}{2} = 1 = 2^{0}$ ，是一個交點。

$0 < x \leq π$ ： $2^{x} > 1 \geq sin (x + \frac{π}{2})$ ，沒有交點。

$- \frac{3 π}{2} \leq x \leq - \frac{π}{2}$ ： $x + \frac{π}{2}$ 介於 $- π$ 與 $0$ ，正弦值 $\leq 0 < 2^{x}$ ，沒有交點。

$- 2 π \leq x < - \frac{3 π}{2}$ ： $x + \frac{π}{2}$ 從 $- \frac{3 π}{2}$ 變到 $- π$ ， $sin (x + \frac{π}{2})$ 從 $1$ 遞減到 $0$ ； $2^{x}$ 遞增且都小於 $2^{- 4}$ （因為 $- \frac{3 π}{2} < - 4$ ）。左端正弦值 $1$ 比 $2^{x}$ 大， $x = - \frac{3 π}{2}$ 時正弦值 $sin (- π) = 0$ ，比 $2^{x}$ 小，一個遞減、一個遞增，恰交 $1$ 點。

$- \frac{π}{2} < x < 0$ ： $x = - \frac{π}{2}$ 時正弦值 $sin 0 = 0 < 2^{x}$ ； $x = - \frac{π}{3}$ 時正弦值 $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ ，而 $2^{- \frac{π}{3}} < 2^{- 1} = \frac{1}{2}$ （因為 $- \frac{π}{3} < - 1$ ），所以正弦值比 $2^{x}$ 大。兩圖在 $- \frac{π}{2}$ 與 $- \frac{π}{3}$ 之間至少交 $1$ 點。

在 $- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}$ ， $x + \frac{π}{2}$ 介於 $0$ 與 $π$ ，正弦曲線的這一拱凹口向下； $y = 2^{x}$ 的圖形凹口向上。若兩圖在這段交於三點 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ （ $Q$ 在中間），則 $Q$ 在正弦曲線上不會低於弦 $\overline{P R}$ ，在 $2^{x}$ 的圖形上卻一定低於弦 $\overline{P R}$ ，矛盾；所以這段最多兩個交點。已知有 $x = 0$ 與 $- \frac{π}{2}$ 、 $- \frac{π}{3}$ 之間的一個，恰好兩個。

共 $1 + 1 + 1 = 3$ 個交點。

凹口相反的兩條曲線在同一段上最多交兩點，這是數交點個數時常用的判斷。

判斷點在不在 y＝log x 上，就把橫坐標取常用對數看是不是等於縱坐標；乘負的係數，正負、增減與凹口都會反過來。數交點先分段，用函數值的範圍排除，再用遞增遞減與凹口方向確定個數。

03填充 1、2、6：對數律、換底公式與有意義的條件

第 5 題

(1) $4 lo g 8 = 12 lo g 2$ ，所以原式 $= 3 lo g 5 + 12 lo g 2 - 9 lo g 2 = 3 lo g 5 + 3 lo g 2 = 3 lo g 10 = 3$ 。

(2) 都換成以 $2$ 或以 $5$ 為底： $lo g_{4} \frac{1}{5} = \frac{l o g _{2} 5 ^{- 1}}{l o g _{2} 4} = - \frac{1}{2} lo g_{2} 5$ ， $lo g_{2} 35 = \frac{1}{3} lo g_{2} 5$ ，第一個括號 $= - \frac{1}{6} lo g_{2} 5$ 。

$lo g_{5} 4 = 2 lo g_{5} 2$ ， $lo g_{25} \frac{1}{8} = \frac{l o g _{5} 2 ^{- 3}}{l o g _{5} 25} = - \frac{3}{2} lo g_{5} 2$ ，第二個括號 $= \frac{1}{2} lo g_{5} 2$ 。

相乘： $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \cdot lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 2 = - \frac{1}{12}$ 。

第 6 題

底數條件： $x - 2 > 0$ 且 $x - 2 \neq = 1$ ，即 $x > 2$ 且 $x \neq = 3$ 。

真數條件： $- 2 x^{2} + 11 x - 5 > 0$ ，即 $2 x^{2} - 11 x + 5 < 0$ ， $(2 x - 1) (x - 5) < 0$ ， $\frac{1}{2} < x < 5$ 。

取交集： $2 < x < 5$ 且 $x \neq = 3$ 。

第 10 題

(1) $1 0^{3 a + b} = (1 0^{a})^{3} \cdot 1 0^{b} = 2^{3} \cdot 3 = 24$ 。

(2) 換底： $lo g_{8} 18 = \frac{l o g 18}{l o g 8} = \frac{l o g ( 2 \cdot 3 ^{2} )}{l o g 2 ^{3}} = \frac{a + 2 b}{3 a}$ 。

對數的底數要大於 0 且不等於 1、真數要大於 0，三個條件取交集；不同底的對數先換成同一個底再合併。

04填充 3、10：指數、對數方程式與不等式

第 7 題

(1) $1 6^{x^{2}} = 2^{4 x^{2}}$ ，所以 $4 x^{2} = 10 x + 6$ ， $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ ， $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ ， $x = 3$ 或 $- \frac{1}{2}$ 。

(2) 令 $t = 2^{x} > 0$ ： $t^{2} - 11 t + 24 = 0$ ， $(t - 3) (t - 8) = 0$ ， $t = 3$ 或 $8$ ，兩個都是正數。 $2^{x} = 8$ 得 $x = 3$ ； $2^{x} = 3$ 得 $x = lo g_{2} 3$ 。

(3) 真數條件： $x > 3$ 且 $x > 10$ ，即 $x > 10$ 。右邊 $3 - 3 lo g 5 = lo g \frac{1000}{125} = lo g 8$ ，所以 $(x - 3) (x - 10) = 8$ ， $x^{2} - 13 x + 22 = 0$ ， $(x - 2) (x - 11) = 0$ 。 $x = 2$ 不合， $x = 11$ 。

(4) 真數條件： $x > 4$ 且 $x > 1$ ，即 $x > 4$ 。 $lo g_{2} \frac{( x - 4 ) ^{2}}{x - 1} = 2$ ， $(x - 4)^{2} = 4 (x - 1)$ ， $x^{2} - 12 x + 20 = 0$ ， $(x - 2) (x - 10) = 0$ 。 $x = 2$ 不合， $x = 10$ 。

第 14 題

真數條件： $x - 3 > 0$ 且 $6 - x > 0$ ，即 $3 < x < 6$ 。

換成以 $\frac{1}{2}$ 為底： $lo g_{\frac{1}{4}} (6 - x) = \frac{l o g _{\frac{1}{2}} ( 6 - x )}{l o g _{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} lo g_{\frac{1}{2}} (6 - x)$ 。兩邊乘 $2$ ： $2 + 2 lo g_{\frac{1}{2}} (x - 3) > lo g_{\frac{1}{2}} (6 - x)$ 。

$2 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}$ ，左邊 $= lo g_{\frac{1}{2}} \frac{( x - 3 ) ^{2}}{4}$ 。底數小於 $1$ ，函數遞減，不等號反向： $\frac{( x - 3 ) ^{2}}{4} < 6 - x$ ， $x^{2} - 6 x + 9 < 24 - 4 x$ ， $x^{2} - 2 x - 15 < 0$ ， $(x - 5) (x + 3) < 0$ ， $- 3 < x < 5$ 。

與真數條件取交集： $3 < x < 5$ 。

對數方程式、不等式先寫真數條件，最後一定回頭取交集；底數小於 1 時，去掉對數不等號要反向。

05填充 8、9 與計算題：指數與對數的應用

第 12 題每過

2

年剩一半，

n

年後殘留量為

10000 (\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}}

。要求

10000 (\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}} < 1

，即

2^{\frac{n}{2}} > 1 0^{4}

。兩邊取常用對數：

\frac{n}{2} \times 0.301 > 4

，

n > \frac{8}{0.301} \approx 26.6

。

n

為正整數，最小值

27

。

第 13 題設智利、海地的地震矩分別為

M_{1}

、

M_{2}

。

9.5 = - 10.73 + \frac{2}{3} lo g M_{1}

、

7.0 = - 10.73 + \frac{2}{3} lo g M_{2}

，兩式相減：

2.5 = \frac{2}{3} (lo g M_{1} - lo g M_{2})

，所以

lo g \frac{M _{1}}{M _{2}} = 3.75

。

\frac{M _{1}}{M _{2}} = 1 0^{3.75} = 1 0^{3} \times 1 0^{0.75} \approx 5.6 \times 1000 = 5600

，選 (C)。

第 15 題

複利每年計息一次， $40$ 年後本利和為 $1000 \times (1 + 0.01775)^{40} = 1000 \times 1.0177 5^{40}$ 萬元。

取常用對數： $lo g 1.0177 5^{40} = 40 lo g 1.01775 \approx 40 \times 0.00764 = 0.3056$ ，所以 $1.0177 5^{40} \approx 1 0^{0.3056} \approx 2.021$ 。

本利和 $\approx 1000 \times 2.021 = 2021$ （萬元）。

衰退、成長、複利都是同一個指數模型；要求次數或倍數時兩邊取常用對數，再用題目給的近似值計算。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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新店高中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

新店高中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要注意對數函數在 0 與 1 之間取負值，乘上負的係數後圖形會跑到 x 軸上方，凹口與增減也都反過來；第 11 題要分段數交點，原點那一個最容易漏掉；第 7 題第三、四小題要先寫真數條件把多出來的根排除；第 14 題換成同底後不等號要反向。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自新店高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用）

新店高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

一、多重選擇題（每題 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，共 20 分）

已知指數函數

y = a^{x}

上有三點

A (- 2, \frac{1}{4})

、

B (0, b)

、

C (c, 8)

，則下列敘述何者正確？

(A) $a = \frac{1}{2}$
(B) $b = 1$
(C) $c = - 3$
(D) 點 $D (\frac{1}{4}, - 2)$ 也在對數函數 $y = lo g_{a} x$ 的圖形上
(E) $\overline{A B}$ 、 $\overline{B C}$ 與 $\overline{A C}$ 中， $\overline{A C}$ 的斜率最大

已知

(a, b)

是對數函數

y = lo g x

圖形上一點，問：下列那些選項中的點也會在

y = lo g x

的圖形上？

(A) $(100 a, b + 2)$
(B) $(\frac{a}{10}, b + 1)$
(C) $(10 a, 10 b)$
(D) $(a^{3}, 3 b)$
(E) $(\frac{10}{a}, 1 - b)$

設

0 < a < 1

，關於函數

f (x) = a^{x}

，選出正確的選項。

(A) $f (0) = 1$
(B) $f (x)$ 的圖形在 $x$ 軸的上方
(C) $f (x) = a^{x}$ 與 $g (x) = (\frac{1}{a})^{x}$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(D) 若 $α < β$ ，則 $f (α) < f (β)$
(E) $f (x)$ 的圖形凹口向下

設

t < 0

，關於函數

f (x) = t lo g x

，選出正確的選項。

(A) $f (3) > 0$
(B) $f (x)$ 的圖形恆在 $x$ 軸的下方
(C) $f (x) = t lo g x$ 與 $g (x) = - t lo g x$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(D) $f (x)$ 的圖形凹口向下
(E) 若 $α < β$ ，則 $f (α) > f (β)$

二、填充題（共 72 分）

求下列各式的值： (1)

3 lo g 5 + 4 lo g 8 - 9 lo g 2 =

____ (2)

(lo g_{4} \frac{1}{5} + lo g_{2} 35) \times (lo g_{5} 4 + lo g_{25} \frac{1}{8}) =

____

設

lo g_{(x - 2)} (- 2 x^{2} + 11 x - 5)

有意義，求

x

的範圍 ____

解下列各方程式： (1)

1 6^{x^{2}} = 2^{10 x + 6}

____ (2)

2^{2 x} - 11 \times 2^{x} + 24 = 0

____ (3)

lo g (x - 3) + lo g (x - 10) = 3 - 3 lo g 5

____ (4)

2 lo g_{2} (x - 4) - lo g_{2} (x - 1) = 2

____

已知

f (x) = - 4^{x} + 6 \times 2^{x} - 5

，且

0 \leq x \leq 2

。 (1) 令

t = 2^{x}

，求

t

的範圍 ____ (2) 若

f (x)

的最大值為

M

，最小值為

m

，求數對

(M, m) =

____

設直線

L_{1}

：

y = 2

與

L_{2}

：

y = 18

，分別與

y = 3^{x}

的圖形交於

P

、

Q

兩點，求直線

P Q

的斜率 ____

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則： (1)

1 0^{3 a + b} =

____ (2) 以

a

、

b

表示

lo g_{8} 18 =

____

在

- 2 π \leq x \leq π

的範圍內，

y = sin (x + \frac{π}{2})

與

y = 2^{x}

的圖形有幾個交點 ____

某核電廠發生銫 134 輻射外洩事件，事故當下偵測到周圍環境的銫 134 殘留量為 10000 單位；已知銫 134 的半衰期為 2 年，若

n

年後（

n

為正整數），在同一地點偵測到銫 134 的殘留量需低於 1 單位，求

n

的最小值 ____（已知

lo g 2 \approx 0.301

）

地震矩規模

M_{w}

是測量地震大小的一種指標，其公式為

M_{w} = - 10.73 + \frac{2}{3} lo g M_{0}

，其中

M_{0}

為地震矩，是地震學家用來表示地震所釋放出能量的數據。已知 1960 年智利大地震的

M_{w} = 9.5

，2010 年海地大地震的

M_{w} = 7.0

，問：智利大地震所釋放的能量是海地大地震的幾倍？____ （已知

1 0^{0.75} \approx 5.6

，請選出最接近的答案）

(A) $56$ 倍
(B) $560$ 倍
(C) $5600$ 倍
(D) $56000$ 倍

解不等式

1 + lo g_{\frac{1}{2}} (x - 3) > lo g_{\frac{1}{4}} (6 - x)

____

三、計算題（8 分，需書寫計算過程，否則不予計分！）

政府推出「新青安」優惠房貸方案，補貼後的年利率為

1.775%

，假設小明貸款 1000 萬元 40 年，以複利計息，每年計息一次，求 40 年期滿他還款的本利和為多少萬元？（已知

lo g 1.01775 \approx 0.00764

，

1 0^{0.3056} \approx 2.021

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(D)

第 2 題(A)(D)(E)

第 3 題(A)(B)(C)

第 4 題(C)(E)

第 5 題(1)

3

；(2)

- \frac{1}{12}

第 6 題

2 < x < 5

且

x \neq = 3

第 7 題(1)

x = 3

或

- \frac{1}{2}

；(2)

x = 3

或

lo g_{2} 3

；(3)

x = 11

；(4)

x = 10

第 8 題(1)

1 \leq t \leq 4

；(2)

(4, 0)

第 9 題

8

第 10 題(1)

24

；(2)

\frac{a + 2 b}{3 a}

第 11 題

3

第 12 題

27

第 13 題(C)

第 14 題

3 < x < 5

第 15 題約

2021

萬元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1、3 與填充 4、5：指數函數的圖形與極值

第 1 題

由 $A$ 在圖形上， $a^{- 2} = \frac{1}{4}$ ，又底數 $a > 0$ ，所以 $a^{2} = 4$ ， $a = 2$ 。

(A) 錯誤。 $a = 2$ 。

(B) 正確。 $b = 2^{0} = 1$ 。

(D) 正確。 $lo g_{2} \frac{1}{4} = - 2$ ，所以 $D (\frac{1}{4}, - 2)$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上。

指數函數凹口向上，越往右的弦越陡，所以右邊那一段

\overline{B C}

的斜率最大，跨在兩段之間的

\overline{A C}

不會是最大。

第 3 題

$0 < a < 1$ 。

(A) 正確。 $f (0) = a^{0} = 1$ 。

(B) 正確。 對任意實數 $x$ ， $a^{x} > 0$ ，圖形在 $x$ 軸上方。

(C) 正確。 $g (x) = (\frac{1}{a})^{x} = a^{- x} = f (- x)$ ，點 $(x, y)$ 在 $f$ 的圖形上時， $(- x, y)$ 就在 $g$ 的圖形上，兩圖形對稱於 $y$ 軸。

(D) 錯誤。 底數 $0 < a < 1$ ， $f (x) = a^{x}$ 是遞減函數： $α < β$ 時 $f (α) > f (β)$ 。例如 $a = \frac{1}{2}$ ： $f (0) = 1 > f (1) = \frac{1}{2}$ 。

第 8 題

(1) $y = 2^{x}$ 遞增， $0 \leq x \leq 2$ 時 $2^{0} \leq t \leq 2^{2}$ ，即 $1 \leq t \leq 4$ 。

第 9 題

P

：

3^{x} = 2

，

x = lo g_{3} 2

，

P (lo g_{3} 2, 2)

。

Q

：

3^{x} = 18

，

x = lo g_{3} 18 = lo g_{3} 9 + lo g_{3} 2 = 2 + lo g_{3} 2

，

Q (2 + lo g_{3} 2, 18)

。兩點橫坐標差

2

、縱坐標差

16

，斜率

= \frac{16}{2} = 8

。

02多選 2、4 與填充 7：對數函數的圖形與交點個數

第 2 題

已知 $b = lo g a$ （ $a > 0$ ），逐項看橫坐標的常用對數是否等於縱坐標。

(A) 正確。 $lo g (100 a) = 2 + lo g a = b + 2$ 。

(B) 錯誤。 $lo g \frac{a}{10} = b - 1$ ，不是 $b + 1$ 。

(D) 正確。 $lo g a^{3} = 3 lo g a = 3 b$ 。

(E) 正確。 $lo g \frac{10}{a} = 1 - lo g a = 1 - b$ 。

第 4 題

$t < 0$ ，定義域是 $x > 0$ 。

(A) 錯誤。 $lo g 3 > 0$ ， $f (3) = t lo g 3 < 0$ 。

(B) 錯誤。 $0 < x < 1$ 時 $lo g x < 0$ ， $f (x) = t lo g x > 0$ ，圖形在 $x$ 軸上方。例如 $f (\frac{1}{10}) = - t > 0$ 。

(D) 錯誤。 $y = lo g x$ 的圖形凹口向下；乘上負數 $t$ 等於先上下翻轉（對 $x$ 軸對稱）再伸縮，凹口變成向上。

第 11 題

$x = 0$ ： $sin \frac{π}{2} = 1 = 2^{0}$ ，是一個交點。

$0 < x \leq π$ ： $2^{x} > 1 \geq sin (x + \frac{π}{2})$ ，沒有交點。

$- \frac{3 π}{2} \leq x \leq - \frac{π}{2}$ ： $x + \frac{π}{2}$ 介於 $- π$ 與 $0$ ，正弦值 $\leq 0 < 2^{x}$ ，沒有交點。

共 $1 + 1 + 1 = 3$ 個交點。

凹口相反的兩條曲線在同一段上最多交兩點，這是數交點個數時常用的判斷。

03填充 1、2、6：對數律、換底公式與有意義的條件

第 5 題

(1) $4 lo g 8 = 12 lo g 2$ ，所以原式 $= 3 lo g 5 + 12 lo g 2 - 9 lo g 2 = 3 lo g 5 + 3 lo g 2 = 3 lo g 10 = 3$ 。

$lo g_{5} 4 = 2 lo g_{5} 2$ ， $lo g_{25} \frac{1}{8} = \frac{l o g _{5} 2 ^{- 3}}{l o g _{5} 25} = - \frac{3}{2} lo g_{5} 2$ ，第二個括號 $= \frac{1}{2} lo g_{5} 2$ 。

相乘： $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \cdot lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 2 = - \frac{1}{12}$ 。

第 6 題

底數條件： $x - 2 > 0$ 且 $x - 2 \neq = 1$ ，即 $x > 2$ 且 $x \neq = 3$ 。

真數條件： $- 2 x^{2} + 11 x - 5 > 0$ ，即 $2 x^{2} - 11 x + 5 < 0$ ， $(2 x - 1) (x - 5) < 0$ ， $\frac{1}{2} < x < 5$ 。

取交集： $2 < x < 5$ 且 $x \neq = 3$ 。

第 10 題

(1) $1 0^{3 a + b} = (1 0^{a})^{3} \cdot 1 0^{b} = 2^{3} \cdot 3 = 24$ 。

(2) 換底： $lo g_{8} 18 = \frac{l o g 18}{l o g 8} = \frac{l o g ( 2 \cdot 3 ^{2} )}{l o g 2 ^{3}} = \frac{a + 2 b}{3 a}$ 。

對數的底數要大於 0 且不等於 1、真數要大於 0，三個條件取交集；不同底的對數先換成同一個底再合併。

04填充 3、10：指數、對數方程式與不等式

第 7 題

(1) $1 6^{x^{2}} = 2^{4 x^{2}}$ ，所以 $4 x^{2} = 10 x + 6$ ， $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ ， $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ ， $x = 3$ 或 $- \frac{1}{2}$ 。

(2) 令 $t = 2^{x} > 0$ ： $t^{2} - 11 t + 24 = 0$ ， $(t - 3) (t - 8) = 0$ ， $t = 3$ 或 $8$ ，兩個都是正數。 $2^{x} = 8$ 得 $x = 3$ ； $2^{x} = 3$ 得 $x = lo g_{2} 3$ 。

第 14 題

真數條件： $x - 3 > 0$ 且 $6 - x > 0$ ，即 $3 < x < 6$ 。

與真數條件取交集： $3 < x < 5$ 。

對數方程式、不等式先寫真數條件，最後一定回頭取交集；底數小於 1 時，去掉對數不等號要反向。

05填充 8、9 與計算題：指數與對數的應用

第 12 題每過

2

年剩一半，

n

年後殘留量為

10000 (\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}}

。要求

10000 (\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}} < 1

，即

2^{\frac{n}{2}} > 1 0^{4}

。兩邊取常用對數：

\frac{n}{2} \times 0.301 > 4

，

n > \frac{8}{0.301} \approx 26.6

。

n

為正整數，最小值

27

。

第 13 題設智利、海地的地震矩分別為

M_{1}

、

M_{2}

。

9.5 = - 10.73 + \frac{2}{3} lo g M_{1}

、

7.0 = - 10.73 + \frac{2}{3} lo g M_{2}

，兩式相減：

2.5 = \frac{2}{3} (lo g M_{1} - lo g M_{2})

，所以

lo g \frac{M _{1}}{M _{2}} = 3.75

。

\frac{M _{1}}{M _{2}} = 1 0^{3.75} = 1 0^{3} \times 1 0^{0.75} \approx 5.6 \times 1000 = 5600

，選 (C)。

第 15 題

複利每年計息一次， $40$ 年後本利和為 $1000 \times (1 + 0.01775)^{40} = 1000 \times 1.0177 5^{40}$ 萬元。

取常用對數： $lo g 1.0177 5^{40} = 40 lo g 1.01775 \approx 40 \times 0.00764 = 0.3056$ ，所以 $1.0177 5^{40} \approx 1 0^{0.3056} \approx 2.021$ 。

本利和 $\approx 1000 \times 2.021 = 2021$ （萬元）。

衰退、成長、複利都是同一個指數模型；要求次數或倍數時兩邊取常用對數，再用題目給的近似值計算。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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05填充 8、9 與計算題：指數與對數的應用

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