段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮等比級數、函數的定義域、函數的極限與連續、數學歸納法）

鳳山高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 鳳山高中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 鳳山高中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題的 E：x 趨近 100000 時左右極限只差十萬分之一，但不相等就是不存在。單選第 4 題：負數取高斯符號要往小的方向取。填充第 6 題（本頁第 15 題）：x 很大時方程式的根幾乎就是正弦等於 0 的位置，相鄰間隔是五分之 π。填充第 10 題（本頁第 19 題）：分子有 n 項，要先用等比求和公式收起來，再把一加 n 分之二的 n 次方湊成 e 的平方。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

單選題 6 題（每題 5 分，共 30 分）、多選題 2 題（每題 7 分，共 14 分）、填充題共 11 格（共 48 分；卷面給分表：答對 1～11 格依序得 5、10、15、20、25、29、33、37、45、45、48 分，9 格與 10 格都印 45 分，照卷面所印）、計算證明題 1 題（共 8 分），合計 100 分。題號對照：本頁第 7～8 題為原卷多選第 1～2 題，第 9～10 題為原卷填充第 1 題的 (1)(2)，第 11～19 題為原卷填充第 2～10 題，第 20～21 題為原卷計算證明題的 (1)(2)。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題(6 題，每題 5 分，共 30 分)

下列何者為真？

(A) $x \to 1 lim \frac{[ x ]}{x} = 1$
(B) $x \to \infty lim \frac{[ x ]}{x} = 1$
(C) $x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x} = 1$
(D) $x \to 1 lim \frac{x + 1}{x - 1} = 1$
(E) $x \to 100000 lim \frac{[ x ]}{x} = 1$

下列哪一個數列的極限值不為

0

？

(A) $⟨ \frac{9527 + ( - 1 ) ^{n}}{n} ⟩$
(B) $⟨ \frac{3 ^{n - 8} + 3 ^{n + 8}}{5 ^{n}} ⟩$
(C) $⟨ \frac{2 ^{n}}{n !} ⟩$
(D) $⟨ n + 823 - n - 823 ⟩$
(E) $⟨ \frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \frac{3}{n ^{2}} + \dots\dots + \frac{n}{n ^{2}} ⟩$

下列無窮級數，何者收斂(存在極限)？

(A) $k = 1 \sum \infty 0.00001$
(B) $k = 1 \sum \infty \frac{k}{1000000}$
(C) $k = 1 \sum \infty (\frac{- 9}{10})^{k}$
(D) $k = 1 \sum \infty (\frac{- 9}{10})^{2025}$
(E) $k = 1 \sum \infty \frac{k - 823}{1980 k - 8}$

肥貓市計程車收費方式依規定為按錶計價，起跳運價

1500

公尺

850

元，續跳運價每

250

公尺加

50

元，則行駛

x

公里的運費

f (x)

元的公式為：

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 850, 850 - 50 [\frac{1.5 - x}{0.25}], x \leq 1.5 x > 1.5

求

x \to 3.14 lim f (x^{2})

之值為？

(A) $2250$
(B) $2350$
(C) $2450$
(D) $2550$
(E) $2650$

若

f (x) = ∣ x + 1∣ + ∣ x - 2∣

，則

x \to 2 lim \frac{f ( x ) - 3}{x - 2} =

？

(A) $- 1$
(B) $0$
(C) $1$
(D) $2$
(E) 不存在

x \to - 2 lim \frac{( x + 1 ) ^{5} + 1}{x + 2} =

？

(A) $- 2$
(B) $- 1$
(C) $0$
(D) $4$
(E) $5$

二、多選題(2 題，每題 7 分，錯一個得 5 分，錯兩個得 3 分，錯三個不給分，共 14 分)

關於數列的極限，下列哪些選項的敘述是正確的？

(A) 若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，則數列 $⟨ a_{n} + \frac{1}{n} ⟩$ 為收斂數列
(B) 若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，則數列 $⟨ a_{n} + n ⟩$ 為發散數列
(C) 若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，則數列 $⟨ \frac{a _{n}}{( 0.1 ) ^{n}} ⟩$ 為收斂數列
(D) 若 $n \to \infty lim (a_{n} + b_{n}) = 0$ ，則 $n \to \infty lim a_{n} + n \to \infty lim b_{n} = 0$
(E) 若 $0 < a_{n} < 1$ ，若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $0 < n \to \infty lim a_{n} < 1$

下列敘述哪些是正確的？

(A) 若 $x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )}$ 存在，且 $x \to a lim g (x) = 0$ ，則 $x \to a lim f (x) = 0$
(B) 若 $x \to a lim (f (x) + g (x))$ 存在，則 $x \to a lim f (x)$ 及 $x \to a lim g (x)$ 也存在
(C) 若 $f (x)$ 在 $x = a$ 處不連續，則 $x \to a lim f (x)$ 不存在
(D) 若 $f (x)$ 在 $x = a$ 處連續，則 $f (a)$ 有意義且 $x \to a lim f (x)$ 存在
(E) 若 $x \to a lim f (x)$ 存在，則 $x \to a lim ∣ f (x) ∣$ 也存在

三、填充題(11 題，共 48 分)

填充第 1 題（第 9～10 題）　試求：

(1)

n \to \infty lim \frac{2 ^{n} - 1}{3 ^{n}} =

____。

(2)

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n} - 1}{3 ^{n}} =

____。

設

n

是正整數，座標平面上有一等腰三角形

A B C

，三頂點分別為

A (- \frac{1}{n}, 0), B (\frac{1}{n}, 0), C (0, 10)

令

R_{n}

為

△ A B C

的外接圓半徑，求

n \to \infty lim R_{n} =

____。

n \to \infty lim (sin 2025)^{n} =

____。

若點

P_{n} (4 n^{2} + 2, 4 n^{2})

到直線

y = x

的距離為

d_{n}

（

n

為正整數），則

n \to \infty lim (n \cdot d_{n}) =

____。

設多項式函數

f (x) = (x + 823)^{16}

，則

k \to \infty lim \frac{f ( k )}{f ( k - 1113 )} =

____。

將

x \cdot sin (5 x) = 1

的所有正實根由小到大排列，得一無窮數列

x_{1}

，

x_{2}

，

x_{3}

，

\dots\dots

，

x_{n}

，

\dots\dots

，則

n \to \infty lim (x_{n + 1} - x_{n}) =

____。

求

0.56 + 0.0506 + 0.005006 + 0.00050006 + \dots\dots

加到無窮項之和

=

____。

在邊長

2

的正方形

S_{1}

內作一內切圓

C_{1}

，接著作圓

C_{1}

的內接正方形

S_{2}

，再繼續作正方形

S_{2}

的內切圓

C_{2}

，如此不斷作下去，則這無窮多個圓的面積和

=

____。

函數

f (x) = - 6 + 5 x - x^{2} + \frac{1}{3 - x}

的定義域為

=

____。

歷史上第一次提到常數

e

是約翰．納皮爾於 1618 年出版的對數著作中所附錄的一張表。但是表中並沒有對常數

e

有任何描述，只是由

e

為底數計算出的一張對數表而已。後來

e

在對數相關研究文獻中都有被提及與應用，但一直沒有被正式定義。直到 1683 年瑞士數學家雅各布．伯努利嘗試計算

n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n}

的值，發現其極限在

2

與

3

之間，儘管當時他沒有發現這個值與常數

e

之間的關係，但仍被後世公認是真正發現

e

的數學家。但為什麼常數

e

會被稱為尤拉數呢？那是為了紀念致力研究常數

e

，並且是第一個將常數

e

寫進書裡的作者尤拉，而這本書是 1736 年所出版的尤拉的《力學》(Mechanica)。在瞭解常數

e

的歷史後，可知

n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

。求

n \to \infty lim \frac{( \frac{n + 2}{n} ) + ( \frac{n + 2}{n} ) ^{2} + ( \frac{n + 2}{n} ) ^{3} + \dots\dots ( \frac{n + 2}{n} ) ^{2}}{n}

之值

=

____（以

e

表示）（分子最後一項的指數卷面印作

2

，刪節號後面也沒有加號；依前後文應為

+ (\frac{n + 2}{n})^{n}

，一共

n

項）

四、計算證明題：共 8 分(請詳列過程，否則不予計分)

計算證明題第 1 題（第 20～21 題）　已知兩數列

⟨ a_{n} ⟩

與

⟨ b_{n} ⟩

之一般項為

a_{n} = 2^{n}

，

b_{n} = (n + 1)^{2}

。

(1) 試推測從哪一項開始

a_{n} > b_{n}

恆成立？(2 分)

(2) 利用數學歸納法證明 (1) 的推測是正確的(6 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(E)

第 3 題(C)

第 4 題(D)

第 5 題(E)

第 6 題(E)

第 7 題(A)(B)

第 8 題(A)(D)(E)

第 9 題

0

第 10 題

\frac{3}{2}

第 11 題

5

第 12 題

0

第 13 題

\frac{2}{4}

第 14 題

1

第 15 題

\frac{π}{5}

第 16 題

\frac{61}{99}

第 17 題

2 π

第 18 題

{x ∣ 2 \leq x < 3, x \in R}

第 19 題

\frac{e ^{2} - 1}{2}

（分子最後一項的指數卷面印作 2，依前後文當作 n 次方計算，見詳解）

第 20 題從第

6

項開始（

n \geq 6

時

a_{n} > b_{n}

恆成立）

第 21 題證明見詳解

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～6：極限的基本計算與判斷

第 1 題答案 (B)。

[x]

是高斯符號（不超過

x

的最大整數）。(A)

0 < x < 1

時

[x] = 0

，左極限為

0

；

1 < x < 2

時

[x] = 1

，右極限為

x \to 1^{+} lim \frac{1}{x} = 1

。左右極限不相等，極限不存在。(B) 由

x - 1 < [x] \leq x

，

x > 0

時各除以

x

得

1 - \frac{1}{x} < \frac{[ x ]}{x} \leq 1

；

x \to \infty

時兩邊都趨近

1

，由夾擠定理極限為

1

，正確。(C)

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

，

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = - 1

，左右極限不相等，極限不存在。(D)

x \to 1

時分子趨近

2

、分母趨近

0

，分式的絕對值愈來愈大，極限不存在。(E)

x

略小於

100000

時

[x] = 99999

，左極限為

\frac{99999}{100000}

；

x

略大於

100000

時

[x] = 100000

，右極限為

1

。兩者不相等，極限不存在。

(E) 的左右極限只差

\frac{1}{100000}

，但只要不相等，極限就不存在。

第 2 題答案 (E)。(A)

\frac{9526}{n} \leq \frac{9527 + ( - 1 ) ^{n}}{n} \leq \frac{9528}{n}

，兩邊都趨近

0

，由夾擠定理極限為

0

。(B)

\frac{3 ^{n - 8} + 3 ^{n + 8}}{5 ^{n}} = (3^{- 8} + 3^{8}) (\frac{3}{5})^{n}

，而

(\frac{3}{5})^{n} \to 0

，極限為

0

。(C)

n \geq 3

時

\frac{2 ^{n}}{n !} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{3} \dots \frac{2}{n} \leq \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{n} = \frac{4}{n}

（中間各項都不超過

1

），又

\frac{2 ^{n}}{n !} > 0

，由夾擠定理極限為

0

。(D) 有理化：

n + 823 - n - 823 = \frac{1646}{n + 823 + n - 823}

，分母愈來愈大，極限為

0

。(E) 先求和：

\frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} = \frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2}} = \frac{n + 1}{2 n}

，極限為

\frac{1}{2}

，不為

0

。

(E) 的項數隨

n

增加，不能把每一項各自取極限再相加（那樣會得到

0

）；要先求和再取極限。

第 3 題答案 (C)。無窮級數收斂時，一般項一定趨近

0

；所以一般項不趨近

0

的級數必發散。(A) 每一項都是

0.00001

，不趨近

0

，發散（前

n

項的和是

0.00001 n

，沒有上限）。(B) 一般項

\frac{k}{1000000}

愈來愈大，發散。(C) 首項

- \frac{9}{10}

、公比

- \frac{9}{10}

的無窮等比級數，公比的絕對值小於

1

，收斂，和為

\frac{- \frac{9}{10}}{1 + \frac{9}{10}} = - \frac{9}{19}

。(D) 指數是固定的

2025

，與

k

無關，每一項都是同一個不為

0

的常數

(\frac{- 9}{10})^{2025}

，發散。(E) 一般項

\frac{k - 823}{1980 k - 8} = \frac{1 - \frac{823}{k}}{1980 - \frac{8}{k}} \to \frac{1}{1980}

，不為

0

，發散。

k

還是固定的

2025

；(D) 其實是常數相加。

第 4 題答案 (D)。

x \to 3.14

時

x^{2} \to 3.1 4^{2} = 9.8596

，大於

1.5

，用第二式。

\frac{1.5 - 9.8596}{0.25} = - 33.4384

，不是整數；所以

x

夠接近

3.14

時，

\frac{1.5 - x ^{2}}{0.25}

都落在

- 34

與

- 33

之間，高斯符號的值固定是

- 34

。因此

x \to 3.14 lim f (x^{2}) = 850 - 50 \times (- 34) = 850 + 1700 = 2550

。

負數取高斯符號要往小的方向取：

[- 33.4384] = - 34

，不是

- 33

。高斯符號只在括號內的值是整數的地方跳動，這裡不是整數，所以極限就是代入的值。

第 5 題答案 (E)。

x

在

2

附近時

x + 1 > 0

，所以

∣ x + 1∣ = x + 1

。

x > 2

時

f (x) = (x + 1) + (x - 2) = 2 x - 1

，

\frac{f ( x ) - 3}{x - 2} = \frac{2 x - 4}{x - 2} = 2

，右極限為

2

。

- 1 < x < 2

時

f (x) = (x + 1) + (2 - x) = 3

，

\frac{f ( x ) - 3}{x - 2} = 0

，左極限為

0

。左右極限不相等，所以極限不存在。

含絕對值的式子在絕對值內為

0

的點（這裡是

x = 2

）兩側要分開討論。

第 6 題答案 (E)。令

t = x + 1

，則

x \to - 2

時

t \to - 1

，原式

= t \to - 1 lim \frac{t ^{5} + 1}{t + 1}

。因為

t^{5} + 1 = (t + 1) (t^{4} - t^{3} + t^{2} - t + 1)

，約去

t + 1

後代入

t = - 1

：

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

。

直接代入是

\frac{0}{0}

，表示分子有因式

x + 2

；也可以用綜合除法把

(x + 1)^{5} + 1

除以

x + 2

。

高斯符號與絕對值的極限先分左右兩側；分子分母同時趨近 0 就先約去公因式；項數會變多的和要先求和再取極限。

02多選 1～2：極限性質的判斷

7 (A)正確。設

n \to \infty lim a_{n} = α

，又

n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0

。兩個收斂數列的和仍收斂，極限為

α + 0 = α

。

7 (B)正確。假設

⟨ a_{n} + n ⟩

收斂，則

n = (a_{n} + n) - a_{n}

是兩個收斂數列的差，也要收斂；但

⟨ n ⟩

發散，矛盾。所以

⟨ a_{n} + n ⟩

發散。

7 (C)錯誤。

\frac{a _{n}}{( 0.1 ) ^{n}} = a_{n} \cdot 1 0^{n}

。反例：

a_{n} = 1

收斂，但

⟨ 1 0^{n} ⟩

發散。

7 (D)錯誤。反例：

a_{n} = n

、

b_{n} = - n

，則

a_{n} + b_{n} = 0

，極限為

0

；但

n \to \infty lim a_{n}

與

n \to \infty lim b_{n}

都不存在，等號左邊沒有意義。

極限的加法性質要在兩個極限各自存在時才能拆開。

7 (E)錯誤。反例：

a_{n} = \frac{1}{n + 1}

，每一項都滿足

0 < a_{n} < 1

，但極限是

0

。

每一項都嚴格介於

0

與

1

之間，極限只能得到

0 \leq n \to \infty lim a_{n} \leq 1

，等號可能成立。

8 (A)正確。設

x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = L

。因為

f (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )} \cdot g (x)

，右邊兩個極限都存在，所以

x \to a lim f (x) = L \cdot 0 = 0.

這是常用的結論：分式的極限存在而分母趨近

0

時，分子也一定趨近

0

。

8 (B)錯誤。反例：

f (x) = \frac{1}{x - a}

、

g (x) = - \frac{1}{x - a}

，則

f (x) + g (x) = 0

，極限存在；但

f (x)

與

g (x)

在

x \to a

時極限都不存在。

8 (C)錯誤。反例：

x \neq = a

時

f (x) = x

，另外規定

f (a) = a + 1

。則

x \to a lim f (x) = a

存在，但不等於

f (a)

，所以在

x = a

不連續。

8 (D)正確。這就是連續的定義：

f (a)

有定義、

x \to a lim f (x)

存在，而且兩者相等。

8 (E)正確。設

x \to a lim f (x) = L

。由

∣ ∣ f (x) ∣ - ∣ L ∣ ∣ \leq ∣ f (x) - L ∣

，右邊趨近

0

，所以

∣ f (x) ∣

趨近

∣ L ∣

。

反過來不成立：

\frac{∣ x ∣}{x}

在

x \to 0

時極限不存在，但它的絕對值恆為

1

。

對的敘述用極限的運算性質說明，錯的敘述舉一個反例；運算性質都要在各個極限存在的前提下才能用。

03填充 1～6（本頁第 9～15 題）：數列的極限

第 9 題

\frac{2 ^{n} - 1}{3 ^{n}} = (\frac{2}{3})^{n} - (\frac{1}{3})^{n}

。兩個公比的絕對值都小於

1

，各自趨近

0

，所以極限為

0 - 0 = 0

。

第 10 題拆成兩個無窮等比級數：

n = 1 \sum \infty (\frac{2}{3})^{n} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = 2

，

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{3})^{n} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}

。兩個都收斂，所以原級數的和為

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

。

求和符號從

n = 1

開始，首項分別是

\frac{2}{3}

與

\frac{1}{3}

，不是

1

。

第 11 題

\overline{A B}

的中垂線是

y

軸，所以外接圓圓心在

y

軸上，設為

(0, k)

。圓心到

A

與到

C

的距離相等：

\frac{1}{n ^{2}} + k^{2} = (10 - k)^{2}

，展開得

\frac{1}{n ^{2}} = 100 - 20 k

，所以

k = 5 - \frac{1}{20 n ^{2}}

。半徑

R_{n} = 10 - k = 5 + \frac{1}{20 n ^{2}}

，因此

n \to \infty lim R_{n} = 5

。

n

愈大，

A

、

B

愈靠近原點，三角形愈扁，外接圓愈接近以

(0, 0)

與

(0, 10)

的連線為直徑的圓。

第 12 題

⟨(sin 2025)^{n} ⟩

是公比為

sin 2025

的等比數列。

sin 2025

的絕對值不超過

1

；若絕對值等於

1

，則

2025

弧度要等於

\frac{π}{2}

的奇數倍，也就是

π = \frac{4050}{2 m + 1}

（

m

為整數）是有理數，與

π

是無理數矛盾。所以

- 1 < sin 2025 < 1

，極限為

0

。

卷面的

2025

沒有單位，照慣例是弧度。即使看成

202 5^{\circ}

，

sin 202 5^{\circ} = sin 22 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

，絕對值也小於

1

，極限同樣是

0

。

第 13 題

n

為正整數，

4 n^{2} = 2 n

。直線

x - y = 0

，所以

d_{n} = \frac{4 n ^{2} + 2 - 2 n}{2}

。有理化：

4 n^{2} + 2 - 2 n = \frac{2}{4 n ^{2} + 2 + 2 n}

。於是

n \cdot d_{n} = \frac{2 n}{2 ( 4 n ^{2} + 2 + 2 n )}

，分子分母同除以

n

得

\frac{2}{2 ( 4 + \frac{2}{n ^{2}} + 2 )}

，極限為

\frac{2}{2 \times 4} = \frac{2}{4}

。

第 14 題

f (k - 1113) = (k - 1113 + 823)^{16} = (k - 290)^{16}

，所以

\frac{f ( k )}{f ( k - 1113 )} = (\frac{k + 823}{k - 290})^{16} = (\frac{1 + \frac{823}{k}}{1 - \frac{290}{k}})^{16} .

k \to \infty

時括號內趨近

1

，而

16

是固定的次數，所以極限為

1^{16}

，也就是

1

這個值。

分子分母都是

k

的

16

次多項式，最高次項係數都是

1

，極限就是係數的比。

第 15 題

x > 0

時原式等價於

sin (5 x) = \frac{1}{x}

，也就是

y = sin (5 x)

與

y = \frac{1}{x}

的圖形交點。

y = sin (5 x)

的週期是

\frac{2 π}{5}

；

x

夠大時

0 < \frac{1}{x} < 1

，在每一個

sin (5 x) > 0

的拱形（

2 mπ < 5 x < (2 m + 1) π

）上恰有兩個交點（左半段

sin (5 x)

遞增而

\frac{1}{x}

遞減，所以恰有一個交點；右半段由圖形可看出

sin (5 x)

下降得比

\frac{1}{x}

快得多，也恰有一個交點），一個在拱形左端附近、一個在右端附近。設左邊的根滿足

5 x = 2 mπ + α_{m}

、右邊的根滿足

5 x = (2 m + 1) π - β_{m}

，其中

0 < α_{m} < \frac{π}{2}

、

0 < β_{m} < \frac{π}{2}

，則

sin α_{m} = \frac{1}{x}

、

sin β_{m} = \frac{1}{x}

。根愈來愈大時

\frac{1}{x} \to 0

，所以

α_{m} \to 0

、

β_{m} \to 0

。相鄰兩根的差只有兩種：同一個拱形內是

\frac{π - α _{m} - β _{m}}{5}

，跨到下一個拱形是

\frac{π + β _{m} + α _{m + 1}}{5}

，兩種都趨近

\frac{π}{5}

。所以

n \to \infty lim (x_{n + 1} - x_{n}) = \frac{π}{5}

。

x

很大時

\frac{1}{x}

幾乎是

0

，根就幾乎是

sin (5 x) = 0

的解

x = \frac{k π}{5}

，相鄰的間隔是

\frac{π}{5}

。

指數型看公比的絕對值是否小於 1；根式相減先有理化；與圖形有關的數列先把一般項寫出來再取極限。

04填充 7～10（本頁第 16～19 題）：無窮等比級數、定義域、與 e 有關的極限

第 16 題各項拆開：

0.56 = 0.5 + 0.06

，

0.0506 = 0.05 + 0.0006

，

0.005006 = 0.005 + 0.000006

，

0.00050006 = 0.0005 + 0.00000006

。所以第

n

項是

\frac{5}{1 0 ^{n}} + \frac{6}{10 0 ^{n}}

。兩個無窮等比級數都收斂：

\frac{\frac{5}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{5}{9}

，

\frac{\frac{6}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{6}{99}

。總和為

\frac{5}{9} + \frac{6}{99} = \frac{55}{99} + \frac{6}{99} = \frac{61}{99}

。

5

每次往後移一位（公比

\frac{1}{10}

），

6

每次往後移兩位（公比

\frac{1}{100}

），兩個公比不同，要拆開各自求和。

第 17 題正方形

S_{1}

邊長

2

，內切圓

C_{1}

的半徑是

1

，面積為

π

。圓

C_{1}

的內接正方形

S_{2}

以直徑

2

為對角線，邊長是

2

；

S_{2}

的內切圓

C_{2}

半徑是

\frac{2}{2}

，面積為

\frac{π}{2}

。每作一次，半徑變成

\frac{2}{2}

倍，面積變成

\frac{1}{2}

倍，所以面積成首項

π

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，和為

\frac{π}{1 - \frac{1}{2}} = 2 π

。

面積的公比是邊長（或半徑）公比的平方。

第 18 題根號內要大於或等於

0

：

- 6 + 5 x - x^{2} \geq 0

，即

x^{2} - 5 x + 6 \leq 0

，

(x - 2) (x - 3) \leq 0

，所以

x

的範圍是

2 \leq x \leq 3

這一段。分母的根號內要大於

0

（在分母，不能等於

0

）：由

3 - x > 0

知道

x < 3

才可以。兩個條件同時成立的範圍是

2 \leq x < 3.

x = 3

時第一個根號沒問題，但

3 - x = 0

在分母，所以右端不含等號。

第 19 題分子最後一項的指數卷面印作

2

；分子從

1

次方、

2

次方、

3

次方依序寫下去，題目又要求以

e

表示，所以當作加到

n

次方，一共

n

項。令

r = \frac{n + 2}{n} = 1 + \frac{2}{n}

，分子是首項

r

、公比

r

的等比數列前

n

項的和

\frac{r ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}

。因為

r - 1 = \frac{2}{n}

，分子

= \frac{n}{2} \cdot r (r^{n} - 1)

，除以

n

後整個式子是

\frac{r ( r ^{n} - 1 )}{2}

。

n \to \infty

時

r \to 1

；而

r^{n} = (\frac{n + 2}{n})^{n} = (\frac{n + 2}{n + 1})^{n} (\frac{n + 1}{n})^{n} = \frac{( 1 + \frac{1}{n + 1} ) ^{n + 1}}{1 + \frac{1}{n + 1}} \cdot (1 + \frac{1}{n})^{n}

n \to \infty

時前一個分式趨近

\frac{e}{1}

、後一個趨近

e

，所以

r^{n} \to e^{2}

。極限為

\frac{1 \cdot ( e ^{2} - 1 )}{2} = \frac{e ^{2} - 1}{2}

。

若照卷面的字面讀成最後一項是

2

次方，分子的項數就說不通，所以採用

n

次方的讀法；學校公布的答案也是

\frac{e ^{2} - 1}{2}

。分子有

n

項，不可以把每一項各自取極限。

看起來不是等比的級數先把每一項拆開；定義域把每個根號與分母的條件都列出來再取交集；項數隨 n 變多的和先用等比求和公式收起來。

05計算證明題（本頁第 20～21 題）：先推測再用數學歸納法證明

第 20 題列出前幾項比較：

a_{1} = 2

、

b_{1} = 4

；

a_{2} = 4

、

b_{2} = 9

；

a_{3} = 8

、

b_{3} = 16

；

a_{4} = 16

、

b_{4} = 25

；

a_{5} = 32

、

b_{5} = 36

；

a_{6} = 64

、

b_{6} = 49

；

a_{7} = 128

、

b_{7} = 64

。前五項都是

a_{n} < b_{n}

，從第

6

項起

a_{n} > b_{n}

，而且差距愈來愈大。推測：

n \geq 6

時

a_{n} > b_{n}

恆成立。

第

5

項是

32 < 36

，還不成立，所以起點是第

6

項。

第 21 題要證明：對所有正整數

n \geq 6

，

2^{n} > (n + 1)^{2}

。①

n = 6

時，

2^{6} = 64 > 49 = 7^{2}

，成立。② 設

n = k

（

k \geq 6

）時成立，即

2^{k} > (k + 1)^{2}

。則

n = k + 1

時，

2^{k + 1} = 2 \cdot 2^{k} > 2 (k + 1)^{2}

。而

2 (k + 1)^{2} - (k + 2)^{2} = (2 k^{2} + 4 k + 2) - (k^{2} + 4 k + 4) = k^{2} - 2

，

k \geq 6

時

k^{2} - 2 > 0

，所以

2 (k + 1)^{2} > (k + 2)^{2}

。因此

2^{k + 1} > (k + 2)^{2}

，即

n = k + 1

時也成立。由 ①② 與數學歸納法，對所有正整數

n \geq 6

，

a_{n} > b_{n}

都成立。

學校答案卷印的給分：

n = 6

的檢驗 1 分、寫出

n = k

的假設 1 分、推到

n = k + 1

4 分。第二步的關鍵是再比較

2 (k + 1)^{2}

與

(k + 2)^{2}

。

數學歸納法的起點不一定是 1，要從推測開始成立的那一項驗起；推到下一項時先用歸納假設，再補一個簡單的不等式。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

鳳山高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題的 E：x 趨近 100000 時左右極限只差十萬分之一，但不相等就是不存在。單選第 4 題：負數取高斯符號要往小的方向取。填充第 6 題（本頁第 15 題）：x 很大時方程式的根幾乎就是正弦等於 0 的位置，相鄰間隔是五分之 π。填充第 10 題（本頁第 19 題）：分子有 n 項，要先用等比求和公式收起來，再把一加 n 分之二的 n 次方湊成 e 的平方。

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題目取自鳳山高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

鳳山高中 114 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～6：極限的基本計算與判斷

02多選 1～2：極限性質的判斷

03填充 1～6（本頁第 9～15 題）：數列的極限

04填充 7～10（本頁第 16～19 題）：無窮等比級數、定義域、與 e 有關的極限

05計算證明題（本頁第 20～21 題）：先推測再用數學歸納法證明

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鳳山高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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