段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮等比級數、函數的概念、函數的極限與連續）

基隆高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單一選擇題 4 題（每題 6 分，共 24 分）、多重選擇題 4 題（每題 7 分，共 28 分；全對得 7 分，錯一個選項得 4.5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個以上選項或未作答得 0 分）、填充題 8 題（每題 6 分，共 48 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，16 題中 15 題一致；第 6 題學校公布的是 (A)(D)(E)，本頁答案欄寫的是本站依題目計算的 (A)(B)(D)(E)，並在附註與詳解註明。

一、單一選擇題（每題 6 分，共 24 分）

設

2 n - 100 < 3 n a_{n} < (n + 1)^{2} - n^{2}

，則

n \to \infty lim a_{n}

之值為何？

(A) $2$
(B) $3$
(C) $5$
(D) $\frac{2}{3}$
(E) $\frac{2}{5}$

n \to \infty lim ((\frac{100}{2 n} + 4) (\frac{n - 3}{2 n + 4} + 1)) =

？

(A) $1$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $6$
(E) 不存在

設

f (x) = {x^{2} - 7, - x + 8, 0 \leq x < 3 3 \leq x < 9

，且

f (x + 9) = f (x)

，則

f (41)

之值為何？

(A) $3$
(B) $4$
(C) $- 6$
(D) $- 3$
(E) $0$

試求無窮等比級數

6 - 2 + \frac{2}{3} - \frac{2}{9} + \dots\dots + 6 \times (- \frac{1}{3})^{n - 1} + \dots\dots =

？

(A) $\frac{14}{5}$
(B) $\frac{13}{4}$
(C) $\frac{9}{2}$
(D) $4$
(E) $5$

二、多重選擇題（每題 7 分，共 28 分；每題全對得 7 分，錯一個選項得 4.5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個以上選項或未作答得 0 分）

下列哪些選項表示「首項為

- 1

，公差為

3

，最後一項為

101

的等差級數」？

(A) $k = 0 \sum 34 (- 3 k - 1)$
(B) $k = 0 \sum 34 (3 k - 1)$
(C) $k = 1 \sum 35 (3 k - 4)$
(D) $k = 1 \sum 52 (2 k - 3)$
(E) $k = 2 \sum 36 (3 k - 7)$

已知實數數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

a_{1} = 1

，

a_{n + 1} = \frac{2 n + 1}{2 n - 1} a_{n}

，

n

為正整數。試選出正確的選項。

(A) $a_{2} = 3$
(B) $a_{3} = 5$
(C) $⟨ a_{n} ⟩$ 為等比數列
(D) $n = 1 \sum 10 a_{n} = 100$
(E) $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{2 n} = 1$

設

f (x)

之圖形如圖，則下列何者正確？

(A) $f (2)$ 不存在
(B) $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
(C) $x \to 3 lim f (x) = 5$
(D) $f (x)$ 在 $x = 5$ 連續
(E) $x \to 2^{+} lim f (x)$ 不存在

載入中...

假設

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 3

，已知

f (x) = 0

有

3

個根，則

f (x) = 0

在哪些連續整數之間有實根？

(A) $- 1$ ， $0$ 之間
(B) $0$ ， $1$ 之間
(C) $1$ ， $2$ 之間
(D) $2$ ， $3$ 之間
(E) $3$ ， $4$ 之間

三、填充題（每題 6 分，共 48 分）

設

f (x) = 10 + 6 x - x^{2}

，

g (x) = x

，試求

(f \circ g) (9)

的值為 ____。

設

a

，

b \in R

，函數

f (x) = - x^{2} + a x + b

，若

f (x)

的定義域為

{x ∣ x \in R, - 1 \leq x \leq 3}

，則數對

(a, b) =

____。

函數

f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x - 8}{x - 2}

的定義域為 ____。

若

f (x) = 2 x - 4

的反函數為

g (x)

，則

g (x) =

____。

設

f (x) = {5, 5 x + 3, x = 0 x \neq = 0

，則

x \to 0 lim f (x) =

____。

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x - 1, a x + b, 3 x, x < 1 1 \leq x < 2 x \geq 2

，已知

a

，

b

為實數常數且

f (x)

為連續函數，則

a + b =

____。

已知對任意實數

x

，函數

f (x)

滿足

- x^{2} + 5 \leq f (x) \leq x^{2} + 3 x + 6

，試求

x \to - 1 lim f (x) =

____。

已知

f (x)

是三次多項式，且

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = 3

，

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x - 3} = 6

，試求

f (1)

之值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(D)

第 3 題(A)

第 4 題(C)

第 5 題(B)(C)(E)

第 6 題(A)(B)(D)(E)（學校公布的答案是 (A)(D)(E)，沒有列 (B)；依題目

a_{3} = \frac{5}{3} \times 3 = 5

，(B) 成立，見詳解）

第 7 題(A)(B)(D)

第 8 題(A)(C)(E)

第 9 題

19

第 10 題

(2, 3)

第 11 題

{x ∣ x \in R, x \leq - 4 或 x > 2}

第 12 題

\frac{x + 4}{2}

第 13 題

3

第 14 題

0

第 15 題

4

（題目的不等式在

- 1 < x < - \frac{1}{2}

不可能成立；照題意用夾擠定理得 4，見詳解）

第 16 題

0

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：夾擠定理、極限的四則運算

第 1 題答案 (D)。右邊

(n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1

，所以條件是

2 n - 100 < 3 n a_{n} < 2 n + 1

。

n

是正整數，

3 n > 0

，三邊同除以

3 n

：

\frac{2 n - 100}{3 n} < a_{n} < \frac{2 n + 1}{3 n}

左邊等於

\frac{2}{3} - \frac{100}{3 n}

，右邊等於

\frac{2}{3} + \frac{1}{3 n}

，

n \to \infty

時兩邊的極限都是

\frac{2}{3}

。由夾擠定理，

n \to \infty lim a_{n} = \frac{2}{3}

。

被夾住的是

3 n a_{n}

不是

a_{n}

，要先同除以

3 n

才能用夾擠定理。

第 2 題答案 (D)。兩個括號各自有極限，可以分開算再相乘。第一個括號：

\frac{100}{2 n} \to 0

，極限是

4

。第二個括號：

\frac{n - 3}{2 n + 4}

的分子分母同除以

n

得

\frac{1 - \frac{3}{n}}{2 + \frac{4}{n}} \to \frac{1}{2}

，極限是

\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}

。所以原式的極限是

4 \times \frac{3}{2} = 6

。

02單選第 3、4 題：週期函數、無窮等比級數

第 3 題答案 (A)。

f (x + 9) = f (x)

表示自變數每減

9

函數值不變。

41 = 9 \times 4 + 5

，所以

f (41) = f (5)

。

5

落在

3 \leq x < 9

這一段，用

- x + 8

計算：

f (5) = - 5 + 8 = 3

。

兩段合起來正好是

0 \leq x < 9

，長度

9

，所以每個實數減去

9

的適當倍數後都恰好落在其中一段。

第 4 題答案 (C)。首項

a = 6

，公比

r = \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3}

，與一般項

6 \times (- \frac{1}{3})^{n - 1}

一致。

∣ r ∣ = \frac{1}{3} < 1

，級數收斂，和是

\frac{a}{1 - r} = \frac{6}{1 + \frac{1}{3}} = 6 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{2}

公比是負的，分母是

1 - r = 1 + \frac{1}{3}

，不要寫成

1 - \frac{1}{3}

（那樣會得到

9

）。

03多選第 5、6 題：求和符號、遞迴數列

第 5 題答案 (B)(C)(E)。先算項數：

- 1 + 3 (m - 1) = 101

，得

m = 35

，題目的級數共

35

項。每個選項檢查三件事：首項、公差（

k

的係數）、末項。 (A) 錯誤。

k = 0

時是

- 1

，但

k

的係數是

- 3

，公差是

- 3

；末項是

- 3 \times 34 - 1 = - 103

。 (B) 正確。

k = 0

時是

- 1

，公差

3

，

k = 34

時是

3 \times 34 - 1 = 101

。 (C) 正確。

k = 1

時是

- 1

，公差

3

，

k = 35

時是

3 \times 35 - 4 = 101

。 (D) 錯誤。

k = 1

時是

- 1

，

k = 52

時是

101

，首末兩項都對，但

k

的係數是

2

，公差是

2

不是

3

。 (E) 正確。

k = 2

時是

- 1

，公差

3

，

k = 36

時是

3 \times 36 - 7 = 101

。

(B)、(C)、(E) 是同一個級數，只是

k

的起點不同：把 (B) 的

k

換成

k - 1

就是 (C)，換成

k - 2

就是 (E)。

第 6 題答案 (A)(B)(D)(E)。學校公布的答案是 (A)(D)(E)，沒有列 (B)；下面逐項說明。先求一般項。把

n = 1, 2, \dots

依序代入：

a_{2} = \frac{3}{1} a_{1} = 3

，

a_{3} = \frac{5}{3} a_{2} = 5

，

a_{4} = \frac{7}{5} a_{3} = 7

。逐項相乘時前後約掉：

a_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n - 3} \cdot \frac{2 n - 3}{2 n - 5} \dots \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{1} \cdot a_{1} = 2 n - 1

所以

a_{n} = 2 n - 1

，是首項

1

、公差

2

的等差數列。 (A) 正確。

a_{2} = 3

。 (B) 正確。

a_{3} = \frac{2 \times 2 + 1}{2 \times 2 - 1} a_{2} = \frac{5}{3} \times 3 = 5

。學校公布的答案沒有列這個選項。 (C) 錯誤。

\frac{a _{2}}{a _{1}} = 3

，

\frac{a _{3}}{a _{2}} = \frac{5}{3}

，相鄰兩項的比不固定，不是等比數列。 (D) 正確。

1 + 3 + 5 + \dots + 19 = \frac{10 \times ( 1 + 19 )}{2} = 100

。 (E) 正確。

\frac{a _{n}}{2 n} = \frac{2 n - 1}{2 n} = 1 - \frac{1}{2 n}

，

n \to \infty

時極限是

1

。

(D) 的和

100

要用到

a_{3} = 5

（前十項是

1, 3, 5, \dots, 19

），所以 (D) 成立時 (B) 也一定成立。本頁的答案欄寫的是照題目計算的 (A)(B)(D)(E)；學校公布的是 (A)(D)(E)，成績以老師的說明為準。

04多選第 7、8 題：看圖讀極限、勘根定理

第 7 題答案 (A)(B)(D)。先讀圖：

x = 2

的地方有兩個空心圈，在

(2, 5)

與

(2, 4)

；

x = 3

的地方曲線上是空心圈

(3, 3)

，另外有一個實心點

(3, 5)

；

(5, 1)

是曲線上的實心點。 (A) 正確。

x = 2

的正上方只有空心圈，沒有實心點，

f (2)

沒有定義。 (B) 正確。

x

從左邊接近

2

時函數值接近

5

，從右邊接近

2

時函數值接近

4

，左右極限不相等，極限不存在。 (C) 錯誤。

x

從兩邊接近

3

時，曲線上的點都接近

(3, 3)

，所以極限是

3

。

5

是函數值

f (3)

，不是極限。 (D) 正確。 曲線通過實心點

(5, 1)

沒有斷開，

x \to 5 lim f (x) = 1 = f (5)

。 (E) 錯誤。

x

從右邊接近

2

時函數值接近

4

，右極限存在，等於

4

。

極限看的是「接近時」的趨勢，和那一點有沒有定義、函數值是多少都無關。

第 8 題答案 (A)(C)(E)。多項式函數是連續函數。由勘根定理，若

f (a)

與

f (b)

異號，則

a

、

b

之間至少有一個實根。逐一代入整數：

x f (x) - 1 - 3 0311 2 - 3 3 - 3 47

f (- 1)

與

f (0)

異號、

f (1)

與

f (2)

異號、

f (3)

與

f (4)

異號，所以

- 1

與

0

之間、

1

與

2

之間、

3

與

4

之間各至少有一個實根。三次方程式最多

3

個根，這三個區間已經各佔一個，所以每個區間恰有一個根，其他地方沒有根。 (A) 正確。

f (- 1) = - 3

，

f (0) = 3

，異號。 (B) 錯誤。

f (0) = 3

與

f (1) = 1

同號，而且三個根都已經在別的區間裡。 (C) 正確。

f (1) = 1

，

f (2) = - 3

，異號。 (D) 錯誤。

f (2) = - 3

與

f (3) = - 3

同號，而且三個根都已經在別的區間裡。 (E) 正確。

f (3) = - 3

，

f (4) = 7

，異號。

兩端同號只能說「勘根定理用不上」，不能直接斷定沒有根；這一題是因為三個根都已經找到位置，才能確定 (B)、(D) 沒有根。

05填充第 9～12 題：合成函數、定義域、反函數

第 9 題

(f \circ g) (9) = f (g (9))

，先算裡面：

g (9) = 9 = 3

。再算

f (3) = 10 + 6 \times 3 - 3^{2} = 10 + 18 - 9 = 19

。

f \circ g

是先做

g

再做

f

。若順序弄反，

g (f (9)) = 10 + 54 - 81

的根號裡是負數，沒有意義。

第 10 題根號裡面不能是負的，所以定義域是不等式

- x^{2} + a x + b \geq 0

的解，也就是

x^{2} - a x - b \leq 0

的解。題目說解是

- 1 \leq x \leq 3

，而以

- 1

、

3

為兩端的二次不等式是

(x + 1) (x - 3) \leq 0

，即

x^{2} - 2 x - 3 \leq 0

。兩個不等式的二次項係數都是

1

，比較係數得

a = 2

，

b = 3

，數對

(a, b) = (2, 3)

。

驗算：

- x^{2} + 2 x + 3 = - (x + 1) (x - 3)

，在

- 1 \leq x \leq 3

時不是負的，在這個範圍以外是負的。

第 11 題要同時滿足兩個條件。根號裡面不能是負的：

x^{2} + 2 x - 8 = (x + 4) (x - 2) \geq 0

，解是

x \leq - 4

或

x \geq 2

。分母不能是

0

：

x \neq = 2

。兩個條件合起來，定義域是

x \leq - 4

或

x > 2

。

x = 2

時分子的根號是

0

、有意義，但分母也是

0

，所以要去掉；

x = - 4

時分子是

0

、分母是

- 6

，函數值是

0

，要留著。

第 12 題令

y = 2 x - 4

，把

x

用

y

表示：

x = \frac{y + 4}{2}

。反函數是把這個對應倒過來，所以

g (x) = \frac{x + 4}{2}

，也可以寫成

\frac{1}{2} x + 2

。

檢查：

f (g (x)) = 2 \cdot \frac{x + 4}{2} - 4 = x

。

06填充第 13、14 題：極限與函數值、連續

第 13 題求

x \to 0

的極限時，只看

x

接近

0

但不等於

0

的函數值，這時

f (x) = 5 x + 3

。所以

x \to 0 lim f (x) = x \to 0 lim (5 x + 3) = 3

。

f (0) = 5

和極限

3

不相等，所以這個函數在

x = 0

不連續；但極限仍然存在。

第 14 題每一段都是一次函數，段內連續，只要讓兩個接點

x = 1

、

x = 2

也連續。在

x = 1

：左極限用

x - 1

算，是

0

；

f (1)

與右極限用

a x + b

算，是

a + b

。所以

a + b = 0

。在

x = 2

：左極限用

a x + b

算，是

2 a + b

；

f (2)

與右極限用

3 x

算，是

6

。所以

2 a + b = 6

。題目問的就是

a + b

，由第一個條件直接得

a + b = 0

。

兩式相減得

a = 6

，

b = - 6

，中間那一段是

6 x - 6

：

x = 1

時是

0

，

x = 2

時是

6

，兩個接點都接得上。

07填充第 15、16 題：函數的夾擠定理、由極限決定多項式

第 15 題兩邊都是多項式，

x \to - 1

的極限直接代入：左邊

- (- 1)^{2} + 5 = 4

，右邊

(- 1)^{2} + 3 (- 1) + 6 = 4

。

f (x)

夾在中間，兩邊的極限都是

4

，由夾擠定理得

x \to - 1 lim f (x) = 4

，這也是學校公布的答案。

嚴格來說題目的條件有瑕疵。右邊減左邊是

2 x^{2} + 3 x + 1 = (2 x + 1) (x + 1)

，在

- 1 < x < - \frac{1}{2}

時是負的，也就是右邊比左邊小（例如

x = - \frac{3}{4}

時左邊是

\frac{71}{16}

、右邊是

\frac{69}{16}

），這一段沒有任何

f (x)

能夾在中間，所以「對任意實數

x

」做不到。不等式在

x \leq - 1

都可以成立，由這一側夾出來的左極限是

4

；題目要的就是用夾擠定理得到

4

。

第 16 題

x \to 0

時分母

x

趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

；多項式函數連續，所以

f (0) = 0

，

f (x)

有因式

x

。同理由第二個極限得

f (3) = 0

，

f (x)

有因式

x - 3

。

f (x)

是三次式，可以設

f (x) = x (x - 3) (a x + b)

第一個極限：

\frac{f ( x )}{x} = (x - 3) (a x + b)

，

x \to 0

時是

- 3 b = 3

，得

b = - 1

。第二個極限：

\frac{f ( x )}{x - 3} = x (a x + b)

，

x \to 3

時是

3 (3 a + b) = 6

，即

3 a - 1 = 2

，得

a = 1

。所以

f (x) = x (x - 3) (x - 1)

，

f (1) = 0

。

a = 1

不是

0

，

f (x)

確實是三次式。第三個因式正好是

x - 1

，所以

f (1) = 0

。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定也趨近 0；對多項式來說就是多了一個因式。

同一次段考的其他學校

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基隆高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題被夾住的是 3n 乘以第 n 項，要先同除以 3n；第 7 題選項 C 把那一點的函數值當成極限；第 8 題兩端同號的區間不能只靠勘根定理判斷，要用三個根都已經找到位置來排除；第 11 題分母讓 x 等於 2 被去掉、但 x 等於負 4 要留著；第 16 題要先由兩個極限存在看出兩個因式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自基隆高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮等比級數、函數的概念、函數的極限與連續）

基隆高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、單一選擇題（每題 6 分，共 24 分）

設

2 n - 100 < 3 n a_{n} < (n + 1)^{2} - n^{2}

，則

n \to \infty lim a_{n}

之值為何？

(A) $2$
(B) $3$
(C) $5$
(D) $\frac{2}{3}$
(E) $\frac{2}{5}$

n \to \infty lim ((\frac{100}{2 n} + 4) (\frac{n - 3}{2 n + 4} + 1)) =

？

(A) $1$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $6$
(E) 不存在

設

f (x) = {x^{2} - 7, - x + 8, 0 \leq x < 3 3 \leq x < 9

，且

f (x + 9) = f (x)

，則

f (41)

之值為何？

(A) $3$
(B) $4$
(C) $- 6$
(D) $- 3$
(E) $0$

試求無窮等比級數

6 - 2 + \frac{2}{3} - \frac{2}{9} + \dots\dots + 6 \times (- \frac{1}{3})^{n - 1} + \dots\dots =

？

(A) $\frac{14}{5}$
(B) $\frac{13}{4}$
(C) $\frac{9}{2}$
(D) $4$
(E) $5$

二、多重選擇題（每題 7 分，共 28 分；每題全對得 7 分，錯一個選項得 4.5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個以上選項或未作答得 0 分）

下列哪些選項表示「首項為

- 1

，公差為

3

，最後一項為

101

的等差級數」？

(A) $k = 0 \sum 34 (- 3 k - 1)$
(B) $k = 0 \sum 34 (3 k - 1)$
(C) $k = 1 \sum 35 (3 k - 4)$
(D) $k = 1 \sum 52 (2 k - 3)$
(E) $k = 2 \sum 36 (3 k - 7)$

已知實數數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

a_{1} = 1

，

a_{n + 1} = \frac{2 n + 1}{2 n - 1} a_{n}

，

n

為正整數。試選出正確的選項。

(A) $a_{2} = 3$
(B) $a_{3} = 5$
(C) $⟨ a_{n} ⟩$ 為等比數列
(D) $n = 1 \sum 10 a_{n} = 100$
(E) $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{2 n} = 1$

設

f (x)

之圖形如圖，則下列何者正確？

(A) $f (2)$ 不存在
(B) $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
(C) $x \to 3 lim f (x) = 5$
(D) $f (x)$ 在 $x = 5$ 連續
(E) $x \to 2^{+} lim f (x)$ 不存在

載入中...

假設

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 3

，已知

f (x) = 0

有

3

個根，則

f (x) = 0

在哪些連續整數之間有實根？

(A) $- 1$ ， $0$ 之間
(B) $0$ ， $1$ 之間
(C) $1$ ， $2$ 之間
(D) $2$ ， $3$ 之間
(E) $3$ ， $4$ 之間

三、填充題（每題 6 分，共 48 分）

設

f (x) = 10 + 6 x - x^{2}

，

g (x) = x

，試求

(f \circ g) (9)

的值為 ____。

設

a

，

b \in R

，函數

f (x) = - x^{2} + a x + b

，若

f (x)

的定義域為

{x ∣ x \in R, - 1 \leq x \leq 3}

，則數對

(a, b) =

____。

函數

f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x - 8}{x - 2}

的定義域為 ____。

若

f (x) = 2 x - 4

的反函數為

g (x)

，則

g (x) =

____。

設

f (x) = {5, 5 x + 3, x = 0 x \neq = 0

，則

x \to 0 lim f (x) =

____。

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x - 1, a x + b, 3 x, x < 1 1 \leq x < 2 x \geq 2

，已知

a

，

b

為實數常數且

f (x)

為連續函數，則

a + b =

____。

已知對任意實數

x

，函數

f (x)

滿足

- x^{2} + 5 \leq f (x) \leq x^{2} + 3 x + 6

，試求

x \to - 1 lim f (x) =

____。

已知

f (x)

是三次多項式，且

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = 3

，

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x - 3} = 6

，試求

f (1)

之值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(D)

第 3 題(A)

第 4 題(C)

第 5 題(B)(C)(E)

第 6 題(A)(B)(D)(E)（學校公布的答案是 (A)(D)(E)，沒有列 (B)；依題目

a_{3} = \frac{5}{3} \times 3 = 5

，(B) 成立，見詳解）

第 7 題(A)(B)(D)

第 8 題(A)(C)(E)

第 9 題

19

第 10 題

(2, 3)

第 11 題

{x ∣ x \in R, x \leq - 4 或 x > 2}

第 12 題

\frac{x + 4}{2}

第 13 題

3

第 14 題

0

第 15 題

4

（題目的不等式在

- 1 < x < - \frac{1}{2}

不可能成立；照題意用夾擠定理得 4，見詳解）

第 16 題

0

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選第 1、2 題：夾擠定理、極限的四則運算

第 1 題答案 (D)。右邊

(n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1

，所以條件是

2 n - 100 < 3 n a_{n} < 2 n + 1

。

n

是正整數，

3 n > 0

，三邊同除以

3 n

：

\frac{2 n - 100}{3 n} < a_{n} < \frac{2 n + 1}{3 n}

左邊等於

\frac{2}{3} - \frac{100}{3 n}

，右邊等於

\frac{2}{3} + \frac{1}{3 n}

，

n \to \infty

時兩邊的極限都是

\frac{2}{3}

。由夾擠定理，

n \to \infty lim a_{n} = \frac{2}{3}

。

被夾住的是

3 n a_{n}

不是

a_{n}

，要先同除以

3 n

才能用夾擠定理。

第 2 題答案 (D)。兩個括號各自有極限，可以分開算再相乘。第一個括號：

\frac{100}{2 n} \to 0

，極限是

4

。第二個括號：

\frac{n - 3}{2 n + 4}

的分子分母同除以

n

得

\frac{1 - \frac{3}{n}}{2 + \frac{4}{n}} \to \frac{1}{2}

，極限是

\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}

。所以原式的極限是

4 \times \frac{3}{2} = 6

。

02單選第 3、4 題：週期函數、無窮等比級數

第 3 題答案 (A)。

f (x + 9) = f (x)

表示自變數每減

9

函數值不變。

41 = 9 \times 4 + 5

，所以

f (41) = f (5)

。

5

落在

3 \leq x < 9

這一段，用

- x + 8

計算：

f (5) = - 5 + 8 = 3

。

兩段合起來正好是

0 \leq x < 9

，長度

9

，所以每個實數減去

9

的適當倍數後都恰好落在其中一段。

第 4 題答案 (C)。首項

a = 6

，公比

r = \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3}

，與一般項

6 \times (- \frac{1}{3})^{n - 1}

一致。

∣ r ∣ = \frac{1}{3} < 1

，級數收斂，和是

\frac{a}{1 - r} = \frac{6}{1 + \frac{1}{3}} = 6 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{2}

公比是負的，分母是

1 - r = 1 + \frac{1}{3}

，不要寫成

1 - \frac{1}{3}

（那樣會得到

9

）。

03多選第 5、6 題：求和符號、遞迴數列

第 5 題答案 (B)(C)(E)。先算項數：

- 1 + 3 (m - 1) = 101

，得

m = 35

，題目的級數共

35

項。每個選項檢查三件事：首項、公差（

k

的係數）、末項。 (A) 錯誤。

k = 0

時是

- 1

，但

k

的係數是

- 3

，公差是

- 3

；末項是

- 3 \times 34 - 1 = - 103

。 (B) 正確。

k = 0

時是

- 1

，公差

3

，

k = 34

時是

3 \times 34 - 1 = 101

。 (C) 正確。

k = 1

時是

- 1

，公差

3

，

k = 35

時是

3 \times 35 - 4 = 101

。 (D) 錯誤。

k = 1

時是

- 1

，

k = 52

時是

101

，首末兩項都對，但

k

的係數是

2

，公差是

2

不是

3

。 (E) 正確。

k = 2

時是

- 1

，公差

3

，

k = 36

時是

3 \times 36 - 7 = 101

。

(B)、(C)、(E) 是同一個級數，只是

k

的起點不同：把 (B) 的

k

換成

k - 1

就是 (C)，換成

k - 2

就是 (E)。

第 6 題答案 (A)(B)(D)(E)。學校公布的答案是 (A)(D)(E)，沒有列 (B)；下面逐項說明。先求一般項。把

n = 1, 2, \dots

依序代入：

a_{2} = \frac{3}{1} a_{1} = 3

，

a_{3} = \frac{5}{3} a_{2} = 5

，

a_{4} = \frac{7}{5} a_{3} = 7

。逐項相乘時前後約掉：

a_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n - 3} \cdot \frac{2 n - 3}{2 n - 5} \dots \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{1} \cdot a_{1} = 2 n - 1

所以

a_{n} = 2 n - 1

，是首項

1

、公差

2

的等差數列。 (A) 正確。

a_{2} = 3

。 (B) 正確。

a_{3} = \frac{2 \times 2 + 1}{2 \times 2 - 1} a_{2} = \frac{5}{3} \times 3 = 5

。學校公布的答案沒有列這個選項。 (C) 錯誤。

\frac{a _{2}}{a _{1}} = 3

，

\frac{a _{3}}{a _{2}} = \frac{5}{3}

，相鄰兩項的比不固定，不是等比數列。 (D) 正確。

1 + 3 + 5 + \dots + 19 = \frac{10 \times ( 1 + 19 )}{2} = 100

。 (E) 正確。

\frac{a _{n}}{2 n} = \frac{2 n - 1}{2 n} = 1 - \frac{1}{2 n}

，

n \to \infty

時極限是

1

。

(D) 的和

100

要用到

a_{3} = 5

（前十項是

1, 3, 5, \dots, 19

），所以 (D) 成立時 (B) 也一定成立。本頁的答案欄寫的是照題目計算的 (A)(B)(D)(E)；學校公布的是 (A)(D)(E)，成績以老師的說明為準。

04多選第 7、8 題：看圖讀極限、勘根定理

第 7 題答案 (A)(B)(D)。先讀圖：

x = 2

的地方有兩個空心圈，在

(2, 5)

與

(2, 4)

；

x = 3

的地方曲線上是空心圈

(3, 3)

，另外有一個實心點

(3, 5)

；

(5, 1)

是曲線上的實心點。 (A) 正確。

x = 2

的正上方只有空心圈，沒有實心點，

f (2)

沒有定義。 (B) 正確。

x

從左邊接近

2

時函數值接近

5

，從右邊接近

2

時函數值接近

4

，左右極限不相等，極限不存在。 (C) 錯誤。

x

從兩邊接近

3

時，曲線上的點都接近

(3, 3)

，所以極限是

3

。

5

是函數值

f (3)

，不是極限。 (D) 正確。 曲線通過實心點

(5, 1)

沒有斷開，

x \to 5 lim f (x) = 1 = f (5)

。 (E) 錯誤。

x

從右邊接近

2

時函數值接近

4

，右極限存在，等於

4

。

極限看的是「接近時」的趨勢，和那一點有沒有定義、函數值是多少都無關。

第 8 題答案 (A)(C)(E)。多項式函數是連續函數。由勘根定理，若

f (a)

與

f (b)

異號，則

a

、

b

之間至少有一個實根。逐一代入整數：

x f (x) - 1 - 3 0311 2 - 3 3 - 3 47

f (- 1)

與

f (0)

異號、

f (1)

與

f (2)

異號、

f (3)

與

f (4)

異號，所以

- 1

與

0

之間、

1

與

2

之間、

3

與

4

之間各至少有一個實根。三次方程式最多

3

個根，這三個區間已經各佔一個，所以每個區間恰有一個根，其他地方沒有根。 (A) 正確。

f (- 1) = - 3

，

f (0) = 3

，異號。 (B) 錯誤。

f (0) = 3

與

f (1) = 1

同號，而且三個根都已經在別的區間裡。 (C) 正確。

f (1) = 1

，

f (2) = - 3

，異號。 (D) 錯誤。

f (2) = - 3

與

f (3) = - 3

同號，而且三個根都已經在別的區間裡。 (E) 正確。

f (3) = - 3

，

f (4) = 7

，異號。

兩端同號只能說「勘根定理用不上」，不能直接斷定沒有根；這一題是因為三個根都已經找到位置，才能確定 (B)、(D) 沒有根。

05填充第 9～12 題：合成函數、定義域、反函數

第 9 題

(f \circ g) (9) = f (g (9))

，先算裡面：

g (9) = 9 = 3

。再算

f (3) = 10 + 6 \times 3 - 3^{2} = 10 + 18 - 9 = 19

。

f \circ g

是先做

g

再做

f

。若順序弄反，

g (f (9)) = 10 + 54 - 81

的根號裡是負數，沒有意義。

第 10 題根號裡面不能是負的，所以定義域是不等式

- x^{2} + a x + b \geq 0

的解，也就是

x^{2} - a x - b \leq 0

的解。題目說解是

- 1 \leq x \leq 3

，而以

- 1

、

3

為兩端的二次不等式是

(x + 1) (x - 3) \leq 0

，即

x^{2} - 2 x - 3 \leq 0

。兩個不等式的二次項係數都是

1

，比較係數得

a = 2

，

b = 3

，數對

(a, b) = (2, 3)

。

驗算：

- x^{2} + 2 x + 3 = - (x + 1) (x - 3)

，在

- 1 \leq x \leq 3

時不是負的，在這個範圍以外是負的。

第 11 題要同時滿足兩個條件。根號裡面不能是負的：

x^{2} + 2 x - 8 = (x + 4) (x - 2) \geq 0

，解是

x \leq - 4

或

x \geq 2

。分母不能是

0

：

x \neq = 2

。兩個條件合起來，定義域是

x \leq - 4

或

x > 2

。

x = 2

時分子的根號是

0

、有意義，但分母也是

0

，所以要去掉；

x = - 4

時分子是

0

、分母是

- 6

，函數值是

0

，要留著。

第 12 題令

y = 2 x - 4

，把

x

用

y

表示：

x = \frac{y + 4}{2}

。反函數是把這個對應倒過來，所以

g (x) = \frac{x + 4}{2}

，也可以寫成

\frac{1}{2} x + 2

。

檢查：

f (g (x)) = 2 \cdot \frac{x + 4}{2} - 4 = x

。

06填充第 13、14 題：極限與函數值、連續

第 13 題求

x \to 0

的極限時，只看

x

接近

0

但不等於

0

的函數值，這時

f (x) = 5 x + 3

。所以

x \to 0 lim f (x) = x \to 0 lim (5 x + 3) = 3

。

f (0) = 5

和極限

3

不相等，所以這個函數在

x = 0

不連續；但極限仍然存在。

第 14 題每一段都是一次函數，段內連續，只要讓兩個接點

x = 1

、

x = 2

也連續。在

x = 1

：左極限用

x - 1

算，是

0

；

f (1)

與右極限用

a x + b

算，是

a + b

。所以

a + b = 0

。在

x = 2

：左極限用

a x + b

算，是

2 a + b

；

f (2)

與右極限用

3 x

算，是

6

。所以

2 a + b = 6

。題目問的就是

a + b

，由第一個條件直接得

a + b = 0

。

兩式相減得

a = 6

，

b = - 6

，中間那一段是

6 x - 6

：

x = 1

時是

0

，

x = 2

時是

6

，兩個接點都接得上。

07填充第 15、16 題：函數的夾擠定理、由極限決定多項式

第 15 題兩邊都是多項式，

x \to - 1

的極限直接代入：左邊

- (- 1)^{2} + 5 = 4

，右邊

(- 1)^{2} + 3 (- 1) + 6 = 4

。

f (x)

夾在中間，兩邊的極限都是

4

，由夾擠定理得

x \to - 1 lim f (x) = 4

，這也是學校公布的答案。

嚴格來說題目的條件有瑕疵。右邊減左邊是

2 x^{2} + 3 x + 1 = (2 x + 1) (x + 1)

，在

- 1 < x < - \frac{1}{2}

時是負的，也就是右邊比左邊小（例如

x = - \frac{3}{4}

時左邊是

\frac{71}{16}

、右邊是

\frac{69}{16}

），這一段沒有任何

f (x)

能夾在中間，所以「對任意實數

x

」做不到。不等式在

x \leq - 1

都可以成立，由這一側夾出來的左極限是

4

；題目要的就是用夾擠定理得到

4

。

第 16 題

x \to 0

時分母

x

趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

；多項式函數連續，所以

f (0) = 0

，

f (x)

有因式

x

。同理由第二個極限得

f (3) = 0

，

f (x)

有因式

x - 3

。

f (x)

是三次式，可以設

f (x) = x (x - 3) (a x + b)

第一個極限：

\frac{f ( x )}{x} = (x - 3) (a x + b)

，

x \to 0

時是

- 3 b = 3

，得

b = - 1

。第二個極限：

\frac{f ( x )}{x - 3} = x (a x + b)

，

x \to 3

時是

3 (3 a + b) = 6

，即

3 a - 1 = 2

，得

a = 1

。所以

f (x) = x (x - 3) (x - 1)

，

f (1) = 0

。

a = 1

不是

0

，

f (x)

確實是三次式。第三個因式正好是

x - 1

，所以

f (1) = 0

。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定也趨近 0；對多項式來說就是多了一個因式。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 114 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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每一題，錯在哪一步

01單選第 1、2 題：夾擠定理、極限的四則運算

02單選第 3、4 題：週期函數、無窮等比級數

03多選第 5、6 題：求和符號、遞迴數列

04多選第 7、8 題：看圖讀極限、勘根定理

05填充第 9～12 題：合成函數、定義域、反函數

06填充第 13、14 題：極限與函數值、連續

07填充第 15、16 題：函數的夾擠定理、由極限決定多項式

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基隆高中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

基隆高中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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基隆高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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