段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮等比級數與循環小數、函數的定義域與合成、函數的極限與連續）

安康高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 29 題，照原卷順序

是非題 10 題（20 分）、多重選擇題 4 題（20 分）、填充題 12 題共 15 格（60 分，依答對格數給分）；答案寫在答案卷

一、是非題（每題 2 分，共 20 分）

無窮數列

⟨ \frac{n - 100}{3 n} ⟩

的極限為

0

。

若無窮數列

⟨ \frac{a n ^{2} - 2 n + 1}{3 n} ⟩

的極限存在，則

a = 0

。

無窮數列

⟨ (- 1)^{n} ⟩

的極限為

1

或

- 1

。

無窮等比級數

1 - \frac{3}{2} + \frac{9}{4} - \frac{27}{8} + \dots

的和為

\frac{1}{1 - ( - \frac{3}{2} )} = \frac{2}{5}

。

若多項式函數

f (x)

滿足

f (0) = 2

，則

x \to 0 lim f (x) = 2

。

若函數

f (x) = x^{3} + 1

，

g (x) = 2 x^{2} - 3

，則

(g \circ f) (x)

為五次多項式函數。

函數

f (x) = \frac{5 x - 3}{x ^{2} + x + 1}

的定義域為所有實數。

極限

x \to 1 lim \frac{x}{∣ x ∣}

不存在。

設函數

f (x) = x

，

g (x) = \frac{1}{x}

，則函數

(f + g) (x)

的定義域為

{x \in R ∣ x \geq 0}

。

設

f (x) = x^{2} - x

，則在

3

與

4

之間至少有一個實數

c

，滿足

f (c) = 10

。

二、多重選擇題（每題全對得 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，其餘不給分）（原卷題號 1～4，本頁編為第 11～14 題）

選出正確的選項。

(1) $0. \overline{9} < 1$
(2) $0. \overline{47} = \frac{47}{99}$
(3) $0.4 \overline{74} = 0. \overline{47}$
(4) $0. \overline{47} > 0. \overline{474}$
(5) $0. \overline{47} + 0. \overline{53} = 1$

下列哪些數列為收斂數列。

(1) $⟨ \frac{n + 2024}{n - 2025} ⟩$
(2) $⟨ \frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{3 n + 5} ⟩$
(3) $⟨ \frac{2 ^{n + 2} - 3 ^{n}}{2 ^{n} + 3 ^{n + 1}} ⟩$
(4) $⟨ cos (nπ) ⟩$
(5) $⟨ sin (nπ) ⟩$

設

f (x)

之圖形如圖，選出正確的選項。

(1) $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
(2) $x \to 3 lim f (x) = 5$
(3) $x \to 3 lim f (x) = f (3)$
(4) $f (x)$ 在 $x = 3$ 處連續
(5) $f (x)$ 在 $x = 5$ 處連續

載入中...

設

△ A_{1} B_{1} C_{1}

是邊長為

4

的正三角形，連接各邊中點形成正三角形

△ A_{2} B_{2} C_{2}

，如此繼續下去，得到一序列的正三角形

△ A_{1} B_{1} C_{1}, △ A_{2} B_{2} C_{2}, △ A_{3} B_{3} C_{3}, \dots

。設

a_{n}

，

b_{n}

分別為正三角形

△ A_{n} B_{n} C_{n}

的周長及面積，選出所有正確的選項。

(1) $⟨ a_{n} ⟩$ 是公比為 $\frac{1}{2}$ 的等比數列
(2) $⟨ b_{n} ⟩$ 是公比為 $\frac{1}{2}$ 的等比數列
(3) $n \to \infty lim a_{n} = 0$
(4) $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} + \dots = 24$
(5) $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} + \dots = 163$

載入中...

三、填充題（共 60 分，依答對格數給分）（原卷格號 (1)～(15)，本頁編為第 15～29 題）

填充第 1 題（第 15～16 題）　求下列各無窮數列的極限：

(1)

n \to \infty lim (\frac{- 3 n ^{2} + 1}{2 n ^{2} - 3 n}) =

____。

(2)

n \to \infty lim \frac{4 ^{n} - 2 ^{n + 1}}{4 ^{n + 1} + 3 ^{n}} =

____。

若數列

\frac{2}{2 n + 1}, \frac{4}{2 n + 1}, \frac{6}{2 n + 1}, \dots, \frac{2 n}{2 n + 1}

為等差數列，且這

n

項的算術平均數為

a_{n}

，則

n \to \infty lim a_{n} =

____。

n = 1 \sum \infty \frac{3 ^{n} + ( - 2 ) ^{n}}{5 ^{n}} =

____。

若無窮級數

n = 1 \sum \infty (\frac{x + 1}{2})^{n}

的和存在，則

x

的範圍為 ____。

已知

n \to \infty lim \frac{2 n - a _{n}}{2 n - 5} = 3

，且

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n}

存在，求

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n}

的值為 ____。

已知

a, b

為二實數，滿足

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{4}

，求

a + b =

____。

已知一無窮等比數列的首項為

0. \overline{2}

，第二項為

0.1 \overline{6}

，求此級數的和為 ____。

填充第 8 題（第 23～25 題）　求下列各極限：

(1)

x \to 2 lim \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 3} =

____。

(2)

x \to 2 lim (\frac{x + 1}{x - 2} - \frac{4 x + 4}{x ^{2} - 4}) =

____。

(3)

x \to 1 lim \frac{3 - 3 x - x ^{2} - 1}{x - 1} =

____。

已知

x \to - 2 lim \frac{x ^{2} + a x + 8}{∣ x ∣ - 2} = b

，求實數

a + b =

____。

已知函數

f (x) = {x^{2} - x - 3, - x^{3} + k, x \geq 2 x < 2

為連續函數，求實數

k

的值為 ____。

一顆皮球自離地面

15

公尺高處落下，每次反跳高度為其落下時高度的

\frac{1}{3}

，求此球自落下到靜止時所經過的距離為 ____。

擲筊是民間信仰中人們請神明指示的儀式。使用工具為「筊杯」（如圖所示），由兩個約巴掌大的半月形木片，均為一面平坦、另一面中間凸出。儀式內容是將筊杯擲出，根據落下後的形狀方位以探測神明之意。而落下後的形狀方位共分以下三種：(I)「聖筊」：一平面、一凸面。(II)「笑筊」：兩平面。(III)「無筊」：兩凸面。某宮廟指示若擲出「聖筊」或「無筊」即請示結果，擲筊終止。若擲出笑筊（兩平面）表示陳述不清，可以仔細思考後重新向神明請示一次。已知每次擲筊的結果互不影響且每種出現機會均等，在沒有限制次數下，試問擲出「聖筊」的機率為 ____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

101

第 11 題(2)(3)(4)

第 12 題(1)(3)(5)

第 13 題(1)(5)

第 14 題(1)(3)(4)

第 15 題

- \frac{3}{2}

第 16 題

\frac{1}{4}

第 17 題

\frac{1}{2}

第 18 題

\frac{17}{14}

第 19 題

- 3 < x < 1

第 20 題

- 4

第 21 題

- 1

第 22 題

\frac{8}{9}

第 23 題

\frac{5}{7}

第 24 題

\frac{3}{4}

第 25 題

5

第 26 題

4

第 27 題

7

第 28 題

30

公尺

第 29 題

\frac{1}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～4 題：數列的極限、無窮等比級數的收斂條件

第 1 題2

\frac{n - 100}{3 n} = \frac{1}{3} - \frac{100}{3 n}

。

n \to \infty

時

\frac{100}{3 n} \to 0

，所以極限是

\frac{1}{3}

，不是

0

。

分子的

- 100

是常數，

n

夠大之後它的影響會消失；決定極限的是分子分母最高次項的係數比

\frac{1}{3}

。

第 2 題1

\frac{a n ^{2} - 2 n + 1}{3 n} = \frac{a}{3} n - \frac{2}{3} + \frac{1}{3 n}

。若

a \neq = 0

，

\frac{a}{3} n

的絕對值會無限變大，數列發散；所以極限存在時必有

a = 0

，此時極限為

- \frac{2}{3}

。

第 3 題2數列的極限若存在，只能是一個確定的數。

(- 1)^{n}

的奇數項都是

- 1

、偶數項都是

1

，不會趨近同一個數，所以極限不存在，不能說成「

1

或

- 1

」。

第 4 題2公比

r = - \frac{3}{2}

，

∣ r ∣ = \frac{3}{2} > 1

，各項的絕對值愈來愈大，級數發散，沒有和。公式

\frac{a}{1 - r}

只有在

∣ r ∣ < 1

時才能用。

用部分和檢查：

1, - \frac{1}{2}, \frac{7}{4}, - \frac{13}{8}, \dots

，正負跳動而且愈跳愈遠，不會靠近

\frac{2}{5}

。

分式型數列的極限看最高次項；無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，才能套求和公式。

02是非第 5～10 題：函數的定義域與合成、函數的極限與連續

第 5 題1多項式函數在每一點都連續，所以

x \to 0 lim f (x) = f (0) = 2

。

第 6 題2

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = 2 (x^{3} + 1)^{2} - 3 = 2 x^{6} + 4 x^{3} - 1

，是六次多項式函數。

把三次式代進二次式，次數是相乘

3 \times 2 = 6

，不是相加

3 + 2 = 5

。

第 7 題1分式函數只要分母不為

0

就有定義。

x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0

，對任何實數

x

分母都不是

0

，所以定義域是所有實數。

第 8 題2

x

接近

1

時

x > 0

，

∣ x ∣ = x

，所以

\frac{x}{∣ x ∣} = 1

，

x \to 1 lim \frac{x}{∣ x ∣} = 1

，極限存在。

極限不存在的是

x \to 0

的情形：右邊趨近

1

、左邊趨近

- 1

。本題趨近的點是

1

，附近的

x

都是正的。

第 9 題2

(f + g) (x) = x + \frac{1}{x}

要兩個函數都有定義：

x

需要

x \geq 0

，

\frac{1}{x}

需要

x \neq = 0

。兩者同時成立是

x > 0

，定義域為

{x \in R ∣ x > 0}

，不包含

0

。

第 10 題1

f (x) = x^{2} - x

是多項式函數，在區間

[3, 4]

上連續，而

f (3) = 6

、

f (4) = 12

，

10

介於

6

與

12

之間，所以在

3

與

4

之間至少有一個

c

使

f (c) = 10

。

也可以直接解：

c^{2} - c - 10 = 0

，

c = \frac{1 + 41}{2} \approx 3.70

（另一根為負），確實在

3

與

4

之間。

兩個函數相加、相除或合成時，定義域要每一步都算得出來；多項式函數處處連續，極限直接代入。

03多選第 1、2 題（第 11、12 題）：循環小數、數列的收斂與發散

第 11 題答案 (2)(3)(4)。(1)

0. \overline{9} = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \dots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1

，兩數相等，不是小於。(2)

0. \overline{47} = 0.47 + 0.0047 + \dots = \frac{0.47}{1 - 0.01} = \frac{47}{99}

，正確。(3)

0.4 \overline{74} = 0.4747474 \dots

，與

0. \overline{47} = 0.474747 \dots

每一位都相同；用分數算是

\frac{4}{10} + \frac{74}{990} = \frac{470}{990} = \frac{47}{99}

，正確。(4)

0. \overline{47} = 0.4747 \dots

，

0. \overline{474} = 0.4744 \dots

，前三位相同、第四位

7 > 4

，所以前者較大，正確。(5)

\frac{47}{99} + \frac{53}{99} = \frac{100}{99} \neq = 1

，錯。

(5) 兩個循環節相加是

0. \overline{47} + 0. \overline{53} = 1.0101 \dots = 1. \overline{01}

，每一節

47 + 53 = 100

都會進位，不會剛好是

1

。

第 12 題答案 (1)(3)(5)。(1) 分子分母同除以

n

：

\frac{1 + \frac{2024}{n}}{1 - \frac{2025}{n}} \to 1

，收斂。(2) 分子是二次、分母是一次，

\frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{3 n + 5}

會無限變大，發散。(3) 分子分母同除以

3^{n}

：

\frac{4 ( \frac{2}{3} ) ^{n} - 1}{( \frac{2}{3} ) ^{n} + 3} \to \frac{- 1}{3}

，收斂。(4)

cos (nπ) = (- 1)^{n}

，在

- 1

與

1

之間來回，發散。(5)

sin (nπ) = 0

，每一項都是

0

，收斂到

0

。

(1) 的第

2025

項分母為

0

、沒有意義；數列收斂與否只看

n

很大之後的項，本站依此判定為收斂。(4)(5) 的差別在於

nπ

的餘弦值是

\pm 1

交錯，正弦值則永遠是

0

。

04多選第 3、4 題（第 13、14 題）：由圖形看極限與連續、中點三角形

第 13 題答案 (1)(5)。(1)

x

從左邊接近

2

時圖形趨近高度

5

，從右邊接近

2

時趨近高度

4

，左右極限不相等，極限不存在，正確。(2)

x

從左、右接近

3

時，圖形都趨近空心點

(3, 3)

，所以

x \to 3 lim f (x) = 3

，不是

5

。(3)

f (3)

是

x = 3

上方那個實心點的高度（在

4

與

5

之間，不是

3

），與極限

3

不相等。(4) 極限不等於函數值，所以在

x = 3

不連續。(5) 圖形在

x = 5

沒有斷開，實心點

(5, 1)

就在曲線上，

x \to 5 lim f (x) = 1 = f (5)

，連續，正確。

極限看的是「附近的圖形往哪裡靠」，與那一點本身的實心點在哪裡無關；連續則要極限存在、函數值有定義，而且兩者相等。

第 14 題答案 (1)(3)(4)。連接三邊中點得到的三角形，邊長是原來的

\frac{1}{2}

，所以邊長依序為

4, 2, 1, \dots

。(1) 周長

a_{n}

依序為

12, 6, 3, \dots

，公比

\frac{1}{2}

，正確。(2) 正三角形面積為

\frac{3}{4} \times

邊長

^{2}

，邊長變

\frac{1}{2}

時面積變

\frac{1}{4}

：

b_{n}

依序為

43, 3, \frac{3}{4}, \dots

，公比是

\frac{1}{4}

，不是

\frac{1}{2}

。(3)

a_{n} = 12 (\frac{1}{2})^{n - 1} \to 0

，正確。(4)

\frac{12}{1 - \frac{1}{2}} = 24

，正確。(5)

\frac{4 3}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{16 3}{3}

，不是

163

。

原卷題幹印作「正方形

△ A_{n} B_{n} C_{n}

」，依前後文應為正三角形，本頁題幹已更正。

圖形每次縮成一半時，長度的公比是二分之一、面積的公比是四分之一，兩者不要混用。

05填充 (1)(2)(3)(6)（第 15、16、17、20 題）：數列的極限

第 15 題分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{- 3 n ^{2} + 1}{2 n ^{2} - 3 n} = \frac{- 3 + \frac{1}{n ^{2}}}{2 - \frac{3}{n}}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{n ^{2}}

、

\frac{3}{n}

都趨近

0

，極限為

- \frac{3}{2}

。

第 16 題底數最大的是

4

，分子分母同除以

4^{n}

：

\frac{4 ^{n} - 2 ^{n + 1}}{4 ^{n + 1} + 3 ^{n}} = \frac{1 - 2 ( \frac{1}{2} ) ^{n}}{4 + ( \frac{3}{4} ) ^{n}}

。

(\frac{1}{2})^{n}

、

(\frac{3}{4})^{n}

都趨近

0

，極限為

\frac{1}{4}

。

4^{n + 1} = 4 \times 4^{n}

，除以

4^{n}

後剩下

4

；

2^{n + 1} = 2 \times 2^{n}

，除以

4^{n}

後是

2 (\frac{1}{2})^{n}

。

第 17 題這

n

項的和是

\frac{2 + 4 + 6 + \dots + 2 n}{2 n + 1} = \frac{n ( n + 1 )}{2 n + 1}

，平均數

a_{n} = \frac{1}{n} \times \frac{n ( n + 1 )}{2 n + 1} = \frac{n + 1}{2 n + 1}

。分子分母同除以

n

得

\frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{n}}

，極限為

\frac{1}{2}

。

等差數列的平均數也等於首末兩項的平均：

\frac{1}{2} (\frac{2}{2 n + 1} + \frac{2 n}{2 n + 1}) = \frac{n + 1}{2 n + 1}

，結果相同。

第 20 題分子分母同除以

n

：

\frac{2 n - a _{n}}{2 n - 5} = \frac{2 - \frac{a _{n}}{n}}{2 - \frac{5}{n}}

。設

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n} = L

（題目已知存在），則左式的極限為

\frac{2 - L}{2} = 3

，得

2 - L = 6

，

L = - 4

。

原卷第一個極限的下標印作

x \to \infty

，式中的變數是

n

，應為

n \to \infty

，本頁題幹已更正。檢查：取

a_{n} = - 4 n

，

\frac{2 n + 4 n}{2 n - 5} = \frac{6 n}{2 n - 5} \to 3

。

多項式型同除以最高次，指數型同除以底數最大的那一項，剩下的項都會趨近 0。

06填充 (4)(5)(8)（第 18、19、22 題）：無窮等比級數

第 18 題拆成兩個無窮等比級數：

n = 1 \sum \infty (\frac{3}{5})^{n} + n = 1 \sum \infty (- \frac{2}{5})^{n}

。兩個公比的絕對值都小於

1

，各自收斂。前者首項

\frac{3}{5}

、公比

\frac{3}{5}

，和為

\frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{3}{2}

；後者首項

- \frac{2}{5}

、公比

- \frac{2}{5}

，和為

\frac{- \frac{2}{5}}{1 + \frac{2}{5}} = - \frac{2}{7}

。所以原式

= \frac{3}{2} - \frac{2}{7} = \frac{17}{14}

。

n

從

1

開始，首項是

\frac{3}{5}

與

- \frac{2}{5}

，不是

1

。

第 19 題這是首項與公比都是

r = \frac{x + 1}{2}

的無窮等比級數，和存在的條件是

∣ r ∣ < 1

：

- 1 < \frac{x + 1}{2} < 1

，即

- 2 < x + 1 < 2

，得

- 3 < x < 1

。

x = - 1

時每一項都是

0

，和為

0

，也在這個範圍內，不必另外排除。

第 22 題先化成分數：

0. \overline{2} = \frac{2}{9}

；

0.1 \overline{6} = \frac{1}{10} + \frac{6}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}

。公比

r = \frac{1}{6} \div \frac{2}{9} = \frac{3}{4}

，

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{\frac{2}{9}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{2}{9} \times 4 = \frac{8}{9}

。

0.1 \overline{6}

只有

6

循環，

0.0 \overline{6} = \frac{6}{90}

；若把

16

都當成循環節會得到

\frac{16}{99}

，與本題不同。

07填充 (7)、(9)～(13)（第 21、23～27 題）：函數的極限與連續

第 21 題

x \to 2

時分母

x^{2} - 4 \to 0

，極限要存在，分子在

x = 2

的值必為

0

：

4 + 2 a + b = 0

，

b = - 4 - 2 a

。於是

x^{2} + a x + b = (x - 2) (x + a + 2)

，而

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

，約去

x - 2

後極限為

\frac{2 + a + 2}{2 + 2} = \frac{a + 4}{4} = \frac{1}{4}

，得

a = - 3

，

b = 2

，所以

a + b = - 1

。

檢查：

\frac{x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} - 4} = \frac{( x - 1 ) ( x - 2 )}{( x + 2 ) ( x - 2 )}

，

x \to 2

時趨近

\frac{1}{4}

。

第 23 題

x = 2

時分母

x^{2} + 3 = 7 \neq = 0

，直接代入：

\frac{2 \times 2 + 1}{4 + 3} = \frac{5}{7}

。

第 24 題兩項各自在

x \to 2

時都沒有極限，要先通分：

\frac{x + 1}{x - 2} - \frac{4 x + 4}{x ^{2} - 4} = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 ) - 4 ( x + 1 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{( x + 1 ) ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )}

。約去

x - 2

得

\frac{x + 1}{x + 2}

，

x \to 2

時極限為

\frac{3}{4}

。

分子提出公因式

x + 1

：

(x + 1) [(x + 2) - 4] = (x + 1) (x - 2)

，比全部展開再分解快。

第 25 題先看絕對值裡面的正負：

x = 1

時

3 - 3 x - x^{2} = - 1 < 0

，所以

x

接近

1

時

3 - 3 x - x^{2} = x^{2} + 3 x - 3

。分子變成

x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4)

，約去

x - 1

後極限為

1 + 4 = 5

。

若沒有判斷正負就把絕對值直接拿掉，分子會是

2 - 3 x - x^{2}

，在

x = 1

的值是

- 2

而不是

0

，就看不出可以約分。

第 26 題

x

接近

- 2

時

x < 0

，

∣ x ∣ = - x

，分母

∣ x ∣ - 2 = - x - 2 = - (x + 2) \to 0

。極限要存在，分子在

x = - 2

的值必為

0

：

4 - 2 a + 8 = 0

，

a = 6

。此時

x^{2} + 6 x + 8 = (x + 2) (x + 4)

，原式

= \frac{( x + 2 ) ( x + 4 )}{- ( x + 2 )} = - (x + 4)

，極限為

- 2

，即

b = - 2

。所以

a + b = 4

。

分母是

- (x + 2)

，約分後多一個負號；若把

∣ x ∣ - 2

當成

x - 2

就不會趨近

0

，

a

也定不出來。

第 27 題兩段都是多項式，只要在接點

x = 2

連續即可。

f (2) = 2^{2} - 2 - 3 = - 1

，右極限也是

- 1

；左極限用

- x^{3} + k

算，是

- 8 + k

。連續要左極限＝右極限＝函數值：

- 8 + k = - 1

，得

k = 7

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0，先用這個條件求係數，再約去公因式；有絕對值的先判斷趨近的點附近是正是負。

08填充 (14)(15)（第 28、29 題）：無窮等比級數的應用

第 28 題第一次落下

15

公尺。之後每次反跳都是「上去再下來」：第一次反跳高度

15 \times \frac{1}{3} = 5

，來回

10

公尺；第二次高度

\frac{5}{3}

，來回

\frac{10}{3}

公尺；依此類推。總距離

= 15 + (10 + \frac{10}{3} + \frac{10}{9} + \dots) = 15 + \frac{10}{1 - \frac{1}{3}} = 15 + 15 = 30

公尺。

第一段只有落下、沒有上升，所以

15

只算一次；之後每個高度都要算兩次。

第 29 題題目說三種結果機會均等，每次擲出聖筊、笑筊、無筊的機率各為

\frac{1}{3}

。擲出笑筊就再擲一次，所以「最後停在聖筊」可能發生在第

1

次、第

2

次、第

3

次…：第

k

次才擲出聖筊，表示前

k - 1

次都是笑筊，機率為

(\frac{1}{3})^{k - 1} \times \frac{1}{3}

。全部相加是首項

\frac{1}{3}

、公比

\frac{1}{3}

的無窮等比級數：

\frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}

。

也可以這樣檢查：擲筊只會停在聖筊或無筊，而這兩種結果每次出現的機會相等，所以最後停在聖筊與停在無筊各佔一半。本題依題目所給的「每種出現機會均等」計算，三種結果各取

\frac{1}{3}

。

「重複到某個結果出現為止」的機率，把第 1 次、第 2 次、第 3 次…發生的機率相加，就是一個無窮等比級數。

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安康高中 114 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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04多選第 3、4 題（第 13、14 題）：由圖形看極限與連續、中點三角形

05填充 (1)(2)(3)(6)（第 15、16、17、20 題）：數列的極限

06填充 (4)(5)(8)（第 18、19、22 題）：無窮等比級數

07填充 (7)、(9)～(13)（第 21、23～27 題）：函數的極限與連續

08填充 (14)(15)（第 28、29 題）：無窮等比級數的應用

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高三第一次段考
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