段考詳解範圍：機率統計與數據分析（百分位數與平均數、相關係數與最適直線、古典機率與期望值、獨立事件、離散型隨機變數的期望值與變異數、二項分布）

鼓山高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

填充題 10 格（每格 5 分，共 50 分）、單選題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、多重選擇題 5 題（每題 7 分，共 35 分）；原卷規定答案要化為最簡式（分母有理化、分數約分、乘方與根號算出），卷首附一維與二維數據的參考公式

一、填充題：每格 5 分；共 50 分。

參考公式（第 1～18 題）　（原卷卷首所附）(1) 一維數據

X

：

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

。算術平均數

μ_{X} = \frac{1}{n} (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})

；標準差

σ_{X} = \frac{1}{n} [(x_{1} - μ_{X})^{2} + (x_{2} - μ_{X})^{2} + \dots + (x_{n} - μ_{X})^{2}] = \frac{1}{n} [(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) - n μ_{X}^{2}]

。(2) 二維數據

(X, Y)

：

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})

。相關係數

r_{X, Y} = \frac{( x _{1} - μ _{X} ) ( y _{1} - μ _{Y} ) + ( x _{2} - μ _{X} ) ( y _{2} - μ _{Y} ) + \dots + ( x _{n} - μ _{X} ) ( y _{n} - μ _{Y} )}{n σ _{X} σ _{Y}}

；迴歸（最適）直線方程式

y - μ_{Y} = r_{X, Y} \times \frac{σ _{Y}}{σ _{X}} (x - μ_{X})

。

附表是某一學年度學科能力測驗數學科各級分人數統計表，今定義頂標、前標、均標、後標、底標分別為第

88

，

75

，

50

，

25

，

12

百分位數考生的級分。已知參與考試的總人數為

133519

人，若此次數學科前標為

a

級分，後標為

b

級分，則

(a, b) =

____。

級分 人數 級分 人數 05081015712847911296210161108655316120118522412362125965512994135427610479143157712512152815

（資料來源：大學入學考試中心）

依過去之統計資料顯示，一個

25

歲年輕人，在一年內存活的機率為

0.9995

，現有一位

25

歲的年輕人購買了一年期保險額為一百萬元的意外險，須繳保費

700

元，試問保險公司獲利的期望值為 ____ 元。

已知事件

A

，

B

互斥，它們都不發生的機率為

\frac{1}{3}

，且

P (A) = 2 P (B)

，則

P (A^{'}) =

____。

設有相異

5

個數，

a

，

40

，

25

，

35

，

60

，其平均數恰與中位數相等，則

a =

____。

若有一隨機變數

X

其機率分布表如附表，且

P (1 < X < 5) = \frac{5}{9}

，則數對

(α, β) =

____。

x p (x) 1 \frac{1}{9} 2 \frac{1}{6} 3 α 4 \frac{1}{3} 5 β 6 \frac{2}{9}

袋中有

3

個紅球與

2

個白球，小傑自袋中取球。每次取

1

球，取後放回，連取

5

次。已知每個球被取出的機會相同，則第

5

次恰好取得第

3

次紅球的機率為 ____。

一袋中有

2

白球

1

紅球，今從袋中每次取一球，看其顏色後放回。若共取球

6

次，設

X

是

6

次試驗中取出白球的次數，且

X

的期望值為

μ

，標準差為

σ

，則

P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) =

____。（已知

3 \approx 1.732

）

根據經驗，甲打靶的命中率為

\frac{1}{2}

，乙打靶的命中率為

\frac{1}{3}

。今兩人對同一靶面各射擊一發，已知兩人能擊中與否是獨立事件，則此靶面被擊中（至少中一發）的機率為 ____。

已知隨機變數

X

的期望值

E (X) = 5

，

E (X^{2}) = 42

，則

V a r (2 X - 5) =

____。

設盒中有

10

個燈泡，其中有

3

個壞的。今從盒子中任取

2

個燈泡測試，設每個燈泡被取出的機會均相等，隨機變數

X

表示取到壞燈泡的個數，則

E (X) =

____ 個。

二、單選題：每題 5 分，共 15 分。（原卷題號 1～3，本頁編為第 11～13 題）

設隨機變數

X \sim B (40, 0.5)

，利用 Excel 計算二項分布的部分機率值

P (X = k)

與

P (X \geq k)

如表：

X P (X = k) P (X \geq k) 23 0.080702 0.214795 24 0.057164 0.134094 25 0.036585 0.076930 26 0.021107 0.040345 27 0.010944 0.019239

現有一個硬幣，連續投擲此硬幣

40

次，假設在公正的情況下，設出現正面的次數超過

k

次的機率小於

0.05

，我們判定此硬幣不公平，試求

k

的最小值為多少？

(A) $23$
(B) $24$
(C) $25$
(D) $26$
(E) $27$

袋中有大小相同的藍球

3

個、紅球

2

個，從袋中隨機取出

1

個記錄顏色後再放回袋中，連取

10

次中有

x

次取到紅球。將

x = 0, 1, 2, \dots\dots, 10

所對應的發生機率

y_{i}

，

i = 0, 1, 2, \dots\dots, 10

繪出長條圖，下列選項中的圖形，何者最可能是繪出的長條圖？

(A) 附圖 (A)
(B) 附圖 (B)
(C) 附圖 (C)
(D) 附圖 (D)
(E) 附圖 (E)

載入中...

已知某工廠生產的產品中，不良品的機率為

0.2

。今隨機抽樣

23

件產品，隨機變數

X

為不良品的件數，若

P (X = k)

表示不良品為

k

件的機率，試問下列哪一個機率最大？

(A) $P (X = 4)$
(B) $P (X = 4.6)$
(C) $P (X = 5)$
(D) $P (X = 6)$
(E) $P (X = 7)$

三、多重選擇題：至少有一個選項是正確的；每題 7 分，共 35 分；答錯 1 個選項得 4 分，答錯 2 個選項得 2 分，答錯 3 個（含）選項以上或未作答得 0 分。（原卷題號 1～5，本頁編為第 14～18 題）

選擇題為避免猜答而採倒扣記分，其扣分的標準是以猜答得分的期望值為

0

來計算。今有一題有五個選項的選擇題，則下列哪些正確？

(A) 若此題為單選題，小明五個選項完全用猜的，則猜對的機率為 $\frac{1}{5}$
(B) 若此題為至少有一個答案的多重選擇題，小明五個選項完全用猜的，則猜對的機率為 $\frac{1}{32}$
(C) 若單選題每題 $5$ 分，則答錯就需倒扣 $1$ 分
(D) 若至少有一個答案的多重選擇題每題 $10$ 分，答錯 $1$ 個選項得 $7$ 分，答錯 $2$ 個選項得 $4$ 分，答錯 $3$ 個選項（含）以上得 $0$ 分，已知五個選項中有兩個選項不正確，則剩下 $3$ 個選項全猜對的機率為 $\frac{1}{8}$
(E) 承 (D) 選項所述，此多重選擇題得分的期望值為 $5$ 分。

已知某人每次飛鏢射中的機率皆為

\frac{1}{2}

，且每次射飛鏢的結果均互相獨立。試從下列選項中，選出發生機率為

\frac{1}{2}

的事件。

(A) 連續射 $2$ 次飛鏢，恰射中 $1$ 次
(B) 連續射 $4$ 次飛鏢，恰射中 $2$ 次
(C) 連續射 $4$ 次飛鏢，射中的總次數為奇數
(D) 連續射 $6$ 次飛鏢，在第 $1$ 次沒有射中的條件下，第 $2$ 次有射中
(E) 連續射 $6$ 次飛鏢，在前 $2$ 次恰射中 $1$ 次的條件下，後 $4$ 次恰射中 $2$ 次。

若有

10

筆資料

(x_{i}, y_{i})

，已知平均數

μ_{x} = 5

且

μ_{y} = 3

，

x

與

y

的相關係數

r = 1

，若

y

對

x

的最適直線

L

會通過點

(0, 2)

，請選出下列正確的選項。

(A) $x$ 的變異數大於 $y$ 的變異數
(B) 標準差 $σ_{y} = 4$
(C) $L$ 的斜率為 $1$
(D) $L$ 會通過點 $(10, 6)$
(E) $y_{i} = \frac{1}{5} x_{i} + 2$ ， $i = 1, 2, \dots\dots, 10$ 。

投擲

3

顆公正的骰子一次，若恰有一顆骰子出現

6

點時，則得

216

元，恰有兩顆骰子出現

6

點時，則得

432

元，三顆骰子均出現

6

點時，則得

648

元，則下列選項哪些正確？

(A) 恰有一顆骰子出現 $6$ 點的機率為 $\frac{75}{216}$
(B) 恰有兩顆骰子出現 $6$ 點的機率為 $\frac{25}{216}$
(C) 三顆骰子均不為 $6$ 點的機率為 $\frac{125}{216}$
(D) 投擲一次得錢的期望值為 $108$ 元
(E) 若投擲骰子之前須先繳交 $120$ 元，則此遊戲對玩家不利。

袋中有

4

個紅球、

5

個白球，假設每球被選取的機率均等。今自袋中隨機取球，則下列選項哪些正確？

(A) 一次取 $2$ 球，恰有 $1$ 紅球 $1$ 白球的機率為 $\frac{5}{9}$
(B) 一次取 $1$ 球，取後放回，共取 $2$ 次，則恰為 $1$ 紅球 $1$ 白球的機率為 $\frac{20}{81}$
(C) 一次取 $1$ 球，取後不放回，共取 $2$ 次，則恰為 $1$ 紅球 $1$ 白球的機率為 $\frac{5}{9}$
(D) 一次取 $1$ 球，取後不放回，直到所有的球皆取完，則第二次取到白球的機率為 $\frac{5}{9}$
(E) 白球先取完的機率為 $\frac{5}{9}$ 。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

(10, 4)

第 2 題

200

第 3 題

\frac{5}{9}

第 4 題

15

第 5 題

(\frac{1}{18}, \frac{1}{9})

第 6 題

\frac{648}{3125}

第 7 題

\frac{592}{729}

第 8 題

\frac{2}{3}

第 9 題

68

第 10 題

\frac{3}{5}

第 11 題(C)

第 12 題(B)

第 13 題(A)

第 14 題(A)

第 15 題(A)(C)(D)

第 16 題(A)(E)

第 17 題(A)(C)(D)(E)

第 18 題(A)(C)(D)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充第 1、4 題：一維數據（百分位數、平均數與中位數）

第 1 題把考生由低分排到高分。前標是第

75

百分位數：

133519 \times 0.75 = 100139.25

不是整數，取第

100140

位。累計人數：

0 \sim 9

級分共

98978

人，

0 \sim 10

級分共

98978 + 8655 = 107633

人，第

100140

位落在

10

級分，

a = 10

。後標是第

25

百分位數：

133519 \times 0.25 = 33379.75

，取第

33380

位。

0 \sim 3

級分共

50 + 2847 + 10161 + 16120 = 29178

人，

0 \sim 4

級分共

29178 + 12362 = 41540

人，第

33380

位落在

4

級分，

b = 4

。所以

(a, b) = (10, 4)

。

檢查：表中

16

個人數加起來正好是

133519

。由高分往低分數也一樣：

11 \sim 15

級分共

25886

人，還不到全體的

25%

（約

33380

人），加上

10

級分的

8655

人後才超過，所以前標是

10

級分。

第 4 題五數的平均數是

\frac{a + 40 + 25 + 35 + 60}{5} = \frac{a + 160}{5}

。其餘四數由小到大是

25, 35, 40, 60

，依

a

的位置分三種情形。若

a < 35

：中位數是

35

，

\frac{a + 160}{5} = 35

，

a = 15

，符合

a < 35

且與其他四數相異。若

35 < a < 40

：中位數是

a

，

\frac{a + 160}{5} = a

，

a = 40

，不在這個範圍內。若

a > 40

：中位數是

40

，

\frac{a + 160}{5} = 40

，

a = 40

，不合（也與題目「相異」矛盾）。所以

a = 15

。

檢查：

15, 25, 35, 40, 60

的和是

175

，平均數

35

，中位數也是

35

。

百分位數先算「總數乘以百分比」定出第幾位，再用累計人數找它落在哪一組；中位數隨未知數的位置而變，要分情形討論並回頭檢查範圍。

02填充第 2、3、8 題：期望值、互斥事件、獨立事件

第 2 題年輕人在一年內存活的機率是

0.9995

，此時保險公司淨賺保費

700

元；不存活的機率是

1 - 0.9995 = 0.0005

，此時保險公司要付

1000000

元，淨得

700 - 1000000 = - 999300

元。期望值為

700 \times 0.9995 + (- 999300) \times 0.0005 = 699.65 - 499.65 = 200

（元）。

另一種算法：保費

700

元一定收到，理賠的期望值是

1000000 \times 0.0005 = 500

元，所以獲利的期望值是

700 - 500 = 200

元。

第 3 題

A

、

B

都不發生的機率是

\frac{1}{3}

，所以至少一個發生的機率

P (A \cup B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

。

A

、

B

互斥，

P (A \cup B) = P (A) + P (B) = 2 P (B) + P (B) = 3 P (B)

，得

P (B) = \frac{2}{9}

，

P (A) = \frac{4}{9}

。所以

P (A^{'}) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

。

第 8 題靶面沒被擊中，就是甲、乙都沒中。兩人擊中與否獨立，所以都沒中的機率是

(1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

。靶面被擊中的機率是

1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

。

直接算也可以：

P (甲中) + P (乙中) - P (兩人都中) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

。

「至少一個發生」先算「都不發生」再用 1 去減；互斥時聯集的機率直接相加，獨立時交集的機率直接相乘。

03填充第 5、9、10 題：離散型隨機變數

第 5 題

1 < X < 5

就是

X = 2, 3, 4

：

\frac{1}{6} + α + \frac{1}{3} = \frac{5}{9}

，

α = \frac{5}{9} - \frac{1}{2} = \frac{1}{18}

。機率分布表的機率總和為

1

：

\frac{1}{9} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18} + \frac{1}{3} + β + \frac{2}{9} = 1

，通分成

\frac{2 + 3 + 1 + 6 + 4}{18} + β = 1

，

β = 1 - \frac{16}{18} = \frac{1}{9}

。所以

(α, β) = (\frac{1}{18}, \frac{1}{9})

。

1 < X < 5

兩端都不含等號，

X = 1

與

X = 5

不算在內。

第 9 題

V a r (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = 42 - 5^{2} = 17

。

X

乘以

2

再減

5

：平移不改變變異數，伸縮

2

倍使變異數變成

2^{2}

倍，所以

V a r (2 X - 5) = 4 \times 17 = 68

。

第 10 題

X

可能是

0, 1, 2

。從

10

個取

2

個共

C_{2}^{10} = 45

種。

P (X = 0) = \frac{C _{2}^{7}}{45} = \frac{21}{45}

，

P (X = 1) = \frac{C _{1}^{3} C _{1}^{7}}{45} = \frac{21}{45}

，

P (X = 2) = \frac{C _{2}^{3}}{45} = \frac{3}{45}

。

E (X) = 0 \times \frac{21}{45} + 1 \times \frac{21}{45} + 2 \times \frac{3}{45} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5}

（個）。

檢查：每個被取出的燈泡是壞的機率都是

\frac{3}{10}

，取

2

個，壞燈泡個數的期望值是

2 \times \frac{3}{10} = \frac{3}{5}

。

機率分布表先用「總和為 1」；變異數用平方的期望值減期望值的平方，乘以 a 再加 b 之後變異數變成 a 的平方倍。

04填充第 6、7 題：重複試驗與二項分布

第 6 題每次取到紅球的機率是

\frac{3}{5}

，白球是

\frac{2}{5}

，取後放回所以各次獨立。「第

5

次恰好取得第

3

次紅球」表示前

4

次恰有

2

次紅球，而且第

5

次是紅球：

C_{2}^{4} (\frac{3}{5})^{2} (\frac{2}{5})^{2} \times \frac{3}{5} = 6 \times \frac{9}{25} \times \frac{4}{25} \times \frac{3}{5} = \frac{648}{3125}

。

這與「

5

次中恰有

3

次紅球」（

C_{3}^{5} (\frac{3}{5})^{3} (\frac{2}{5})^{2} = \frac{1080}{3125}

）不同：本題第

5

次一定要是紅球。

第 7 題每次取到白球的機率是

\frac{2}{3}

，所以

X \sim B (6, \frac{2}{3})

。

μ = 6 \times \frac{2}{3} = 4

，

σ^{2} = 6 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

，

σ = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3} \approx \frac{2 \times 1.732}{3} \approx 1.155

。

μ - σ \approx 2.845

，

μ + σ \approx 5.155

，範圍內的整數是

X = 3, 4, 5

。

P (X = 3) = C_{3}^{6} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3})^{3} = \frac{160}{729}

，

P (X = 4) = C_{4}^{6} (\frac{2}{3})^{4} (\frac{1}{3})^{2} = \frac{240}{729}

，

P (X = 5) = C_{5}^{6} (\frac{2}{3})^{5} (\frac{1}{3}) = \frac{192}{729}

。相加得

\frac{160 + 240 + 192}{729} = \frac{592}{729}

。

檢查：

P (X \leq 2) = \frac{1 + 12 + 60}{729} = \frac{73}{729}

，

P (X = 6) = \frac{64}{729}

，

1 - \frac{73 + 64}{729} = \frac{592}{729}

。

二項分布的期望值是 np、變異數是 np(1−p)；「第 n 次恰好是第 k 次成功」要拆成「前 n−1 次恰 k−1 次成功」乘上「第 n 次成功」。

05單選第 1～3 題（第 11～13 題）：二項分布的機率表、圖形與最大機率

第 11 題「正面次數超過

k

次」是

X > k

，也就是

X \geq k + 1

。查表：

k = 24

時

P (X \geq 25) = 0.076930

，不小於

0.05

；

k = 25

時

P (X \geq 26) = 0.040345 < 0.05

。

k

越大這個機率越小，所以

k

的最小值是

25

，選 (C)。

「超過

k

次」不含

k

次。若看成

P (X \geq k) < 0.05

會得到

26

，與題意差一。

第 12 題每次取到紅球的機率是

\frac{2}{5}

，取

10

次，

x

服從

B (10, \frac{2}{5})

，期望值

10 \times \frac{2}{5} = 4

。比較相鄰兩項：

\frac{P ( x = k + 1 )}{P ( x = k )} = \frac{10 - k}{k + 1} \times \frac{2}{3}

，

k \leq 3

時大於

1

、

k \geq 4

時小於

1

，所以機率在

x = 4

最大，而且因為

\frac{2}{5} < \frac{1}{2}

，圖形向右拖尾、不對稱。實際值：

P (x = 3) \approx 0.215

，

P (x = 4) \approx 0.251

，

P (x = 5) \approx 0.201

。五張圖中最高在

4

的只有 (B)，選 (B)。

(A) 以

5

為中心左右對稱，是成功機率

\frac{1}{2}

時的樣子；(C)(D)(E) 最高處在

6

或

7

，對應成功機率大於

\frac{1}{2}

。

第 13 題

X \sim B (23, 0.2)

，

X

只能取

0

到

23

的整數，所以

P (X = 4.6) = 0

。比較相鄰兩項：

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{23 - k}{k + 1} \times \frac{0.2}{0.8} = \frac{23 - k}{4 ( k + 1 )}

。

k = 3

時為

\frac{20}{16} > 1

，所以

P (X = 4) > P (X = 3)

；

k = 4

時為

\frac{19}{20} < 1

，所以

P (X = 5) < P (X = 4)

，之後繼續遞減。機率最大的是

P (X = 4)

，選 (A)。

期望值

23 \times 0.2 = 4.6

是平均的件數，不是可能出現的件數；機率最大的件數要用相鄰兩項的比去找。數值：

P (X = 4) \approx 0.204

，

P (X = 5) \approx 0.194

。

二項分布要找機率最大的次數，就算相鄰兩項的比，看它從大於 1 變成小於 1 的位置；「超過 k 次」與「至少 k 次」差一，查表前先寫成不等式。

06多選第 1 題（第 14 題）：猜答的機率與期望值

第 14 題(A) 單選題五個選項選一個，猜對的機率是

\frac{1}{5}

，正確。(B) 每個選項有選與不選兩種，共

2^{5} = 32

種，但「至少有一個答案」排除全不選，可能的答案有

31

種，猜對的機率是

\frac{1}{31}

，不是

\frac{1}{32}

，不正確。(C) 設答錯倒扣

x

分，期望值

5 \times \frac{1}{5} - x \times \frac{4}{5} = 0

，得

x = \frac{5}{4}

，不是

1

分，不正確。(D) 兩個選項已知不正確，答案是其餘

3

個選項的某種選法；同樣排除全不選，可能的答案有

2^{3} - 1 = 7

種，全猜對的機率是

\frac{1}{7}

，不是

\frac{1}{8}

，不正確。(E) 即使照 (D) 所寫的

\frac{1}{8}

（三個選項各自獨立猜、各有

\frac{1}{2}

猜對）來算，三個選項中錯

0, 1, 2, 3

個的機率是

\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \frac{1}{8}

，期望值為

10 \times \frac{1}{8} + 7 \times \frac{3}{8} + 4 \times \frac{3}{8} + 0 \times \frac{1}{8} = \frac{43}{8}

分，不是

5

分，不正確。所以選 (A)。

本卷來源無參考答案，(D) 有兩種讀法。本站對 (B) 與 (D) 採同一個標準：題目說「至少有一個答案」，猜的時候就不會猜「全不選」，所以分別是

\frac{1}{31}

與

\frac{1}{7}

。若把 (D) 讀成「剩下

3

個選項各自獨立判斷、每個猜對的機率

\frac{1}{2}

」，就會得到

\frac{1}{8}

，此時 (D) 成立、答案是 (A)(D)；請以校方公布的答案為準。(E) 在兩種讀法下都不是

5

分：排除全不選時，依正確答案有

1, 2, 3

個選項，期望值分別是

\frac{36}{7}, \frac{39}{7}, \frac{43}{7}

分。

猜答的機率先數清楚「可能的答案有幾種」；倒扣的分數由「期望值等於 0」列式解出。

07多選第 2 題（第 15 題）：射飛鏢的重複試驗

第 15 題每次射中、沒射中的機率都是

\frac{1}{2}

，射

n

次的

2^{n}

種結果機率相同。(A)

2

次恰中

1

次：

\frac{C _{1}^{2}}{2 ^{2}} = \frac{1}{2}

，正確。(B)

4

次恰中

2

次：

\frac{C _{2}^{4}}{2 ^{4}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

，不正確。(C)

4

次中射中奇數次，即

1

次或

3

次：

\frac{C _{1}^{4} + C _{3}^{4}}{2 ^{4}} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}

，正確。(D) 各次結果互相獨立，第

1

次的結果不影響第

2

次，條件機率仍是

\frac{1}{2}

，正確。(E) 前

2

次與後

4

次獨立，條件機率就是「

4

次恰中

2

次」的機率

\frac{3}{8}

，不正確。所以選 (A)(C)(D)。

(B) 與 (A) 的差別：次數變多以後，「剛好一半」的機率會變小，不會維持

\frac{1}{2}

。

08多選第 3 題（第 16 題）：相關係數為 1 與最適直線

第 16 題最適直線一定通過

(μ_{x}, μ_{y}) = (5, 3)

，又通過

(0, 2)

，所以斜率是

\frac{3 - 2}{5 - 0} = \frac{1}{5}

，

L

：

y = \frac{1}{5} x + 2

。由參考公式，斜率

= r \times \frac{σ _{y}}{σ _{x}} = \frac{σ _{y}}{σ _{x}} = \frac{1}{5}

，所以

σ_{x} = 5 σ_{y}

。(A)

σ_{x}^{2} = 25 σ_{y}^{2} > σ_{y}^{2}

（相關係數存在，

σ_{y} > 0

），正確。(B) 只知道

σ_{x}

與

σ_{y}

的比，無法確定

σ_{y}

的值，不正確。(C) 斜率是

\frac{1}{5}

，不正確。(D)

x = 10

時

y = \frac{10}{5} + 2 = 4 \neq = 6

，不正確。(E)

r = 1

表示所有資料點都落在同一條斜率為正的直線上，這條直線就是最適直線

L

，所以每一筆都滿足

y_{i} = \frac{1}{5} x_{i} + 2

，正確。所以選 (A)(E)。

(B) 的例子：取

x_{i}

為

0.5, 1.5, \dots, 9.5

、

y_{i} = \frac{1}{5} x_{i} + 2

，符合所有條件，此時

σ_{y} = \frac{1}{5} σ_{x} = \frac{8.25}{5} \approx 0.57

，不是

4

。

最適直線必過兩個平均數構成的點，斜率是相關係數乘以兩個標準差的比；相關係數等於 1 時所有點都在這條直線上。

09多選第 4、5 題（第 17、18 題）：骰子與取球

第 17 題每顆骰子出現

6

點的機率是

\frac{1}{6}

，三顆互相獨立。(A) 恰一顆

6

點：

C_{1}^{3} \times \frac{1}{6} \times (\frac{5}{6})^{2} = \frac{75}{216}

，正確。(B) 恰兩顆

6

點：

C_{2}^{3} \times (\frac{1}{6})^{2} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216}

，不是

\frac{25}{216}

，不正確。(C) 都不是

6

點：

(\frac{5}{6})^{3} = \frac{125}{216}

，正確。(D) 三顆都是

6

點的機率是

\frac{1}{216}

，期望值

216 \times \frac{75}{216} + 432 \times \frac{15}{216} + 648 \times \frac{1}{216} = 75 + 30 + 3 = 108

（元），正確。(E) 先繳

120

元，期望只拿回

108

元，平均每次少

12

元，對玩家不利，正確。所以選 (A)(C)(D)(E)。

檢查：

75 + 15 + 1 + 125 = 216

，四種情形的機率加起來是

1

。(D) 也可以這樣看：每出現一顆

6

點得

216

元，

6

點顆數的期望值是

3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}

，所以期望值是

216 \times \frac{1}{2} = 108

元。

第 18 題(A) 一次取

2

球：

\frac{C _{1}^{4} C _{1}^{5}}{C _{2}^{9}} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}

，正確。(B) 取後放回：先紅後白或先白後紅，

\frac{4}{9} \times \frac{5}{9} + \frac{5}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{40}{81}

，不是

\frac{20}{81}

，不正確。(C) 取後不放回：

\frac{4}{9} \times \frac{5}{8} + \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{40}{72} = \frac{5}{9}

，正確（與一次取

2

球相同）。(D) 第二次取到白球：第一次紅、第二次白，或兩次都白，

\frac{4}{9} \times \frac{5}{8} + \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{40}{72} = \frac{5}{9}

，正確。(E) 把

9

球取完，白球先取完表示最後一顆是紅球；每一顆球排在最後的機會相同，機率是

\frac{4}{9}

，不是

\frac{5}{9}

，不正確。所以選 (A)(C)(D)。

(D) 不放回時，每一次取到白球的機率都是

\frac{5}{9}

，和抽籤先後不影響中籤機率是同一件事。(B) 少算了順序：

\frac{20}{81}

只是「先紅後白」一種順序的機率。

取球題先分清楚放回或不放回、有沒有順序；不放回時每一次取到某種顏色的機率都與第一次相同。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

鼓山高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題（本頁第 14 題）要先數清楚可能的答案有幾種，至少有一個答案代表不能全不選；單選第 1 題（第 11 題）的超過 k 次不含 k 次，查表時要看 k 加 1 那一欄；單選第 3 題（第 13 題）期望值不是整數，機率最大的件數要用相鄰兩項的比來找；填充第 7 題要先算出期望值與標準差，定出範圍內有哪幾個整數再把機率相加。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自鼓山高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

鼓山高中 114 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01填充第 1、4 題：一維數據（百分位數、平均數與中位數）

02填充第 2、3、8 題：期望值、互斥事件、獨立事件

03填充第 5、9、10 題：離散型隨機變數

04填充第 6、7 題：重複試驗與二項分布

05單選第 1～3 題（第 11～13 題）：二項分布的機率表、圖形與最大機率

06多選第 1 題（第 14 題）：猜答的機率與期望值

07多選第 2 題（第 15 題）：射飛鏢的重複試驗

08多選第 3 題（第 16 題）：相關係數為 1 與最適直線

09多選第 4、5 題（第 17、18 題）：骰子與取球

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高三第一次段考
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